Rappel · 1

Quelle est la limite au voisinage de $+\infty$ de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{4x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 5}$ ?

Remarque

Au voisinage de l'infini, la limite d'une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient de ses termes de plus haut degré : $\lim_{x\to+\infty}\frac{4x^2}{2x^2} = 2$ .

Point de départ · 2

Lorsque la variable $x$ grandit indéfiniment vers $+\infty$ , les valeurs de $f(x)$ se rapprochent sans cesse de $2$ . Géométriquement, de quelle droite la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ se rapproche-t-elle ?

Remarque

La distance verticale entre le point de la courbe $M(x, f(x))$ et la droite horizontale $y = 2$ devient arbitrairement petite quand $x$ tend vers $+\infty$ .

Définition · 3

Définition — Asymptote horizontale

Soit $f$ une fonction numérique et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

$\lim_{x\to+\infty} f(x) = L \iff \text{la droite } y = L \text{ est asymptote horizontale à } \mathcal{C}_f \text{ au voisinage de } +\infty$

$\lim_{x\to-\infty} f(x) = L \iff \text{la droite } y = L \text{ est asymptote horizontale à } \mathcal{C}_f \text{ au voisinage de } -\infty$

Remarque

Le réel $L$ est une constante finie. Une fonction peut posséder une asymptote horizontale en $+\infty$ et une asymptote différente (ou aucune) en $-\infty$ .

Exemple travaillé · 4

Calculer la limite de la fonction $f(x) = \frac{3x^2 - x + 1}{x^2 + 4}$ en $-\infty$ , puis en donner une interprétation géométrique.

1

La fonction $f$ est une fraction rationnelle. En $-\infty$ , sa limite est égale à celle du rapport de ses termes de plus haut degré :

2

\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3

3

La limite obtenue est un réel fini constant $L = 3$ .

4

On en déduit que la droite d'équation $y = 3$ est une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $-\infty$ .

Exemple travaillé · 5

Soit la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x+4} - \sqrt{x}$ . Montrer que la courbe de $f$ admet une asymptote horizontale en $+\infty$ dont on précisera l'équation.

1

L'évaluation directe en $+\infty$ conduit à une forme indéterminée $+\infty - \infty$ . On multiplie et on divise par l'expression conjuguée :

2

f(x) = \frac{(\sqrt{x+4}-\sqrt{x})(\sqrt{x+4}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}} = \frac{(x+4)-x}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}} = \frac{4}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}

3

Au dénominateur, $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+4}+\sqrt{x}) = +\infty$ . Par quotient d'une constante par une limite infinie :

4

\lim_{x\to+\infty} f(x) = \lim_{x\to+\infty} \frac{4}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}} = 0

5

La limite étant le réel fini $0$ , la droite d'équation $y = 0$ (l'axe des abscisses) est une asymptote horizontale à la courbe au voisinage de $+\infty$ .

Piège classique · 6

Une fonction $f$ vérifie $\lim_{x\to+\infty} f(x) = -5$ . Quelle est l'équation de l'asymptote horizontale à sa courbe $\mathcal{C}_f$ ?

Attention

Écrire $x = -5$ en confondant l'asymptote horizontale avec une droite verticale.

À la place : Une droite horizontale a pour équation $y = L$ . Ici, comme la limite en $+\infty$ vaut $-5$ , l'équation de l'asymptote horizontale est $y = -5$ .

Vérification · 7

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-\frac{3}{2}\}$ par $g(x) = \frac{1-6x}{2x+3}$ . Quelle droite est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_g$ aux voisinages de $+\infty$ et $-\infty$ ?

Remarque

Par la règle des termes de plus haut degré, $\lim_{x\to\pm\infty} g(x) = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{-6x}{2x} = -3$ . La droite d'équation $y = -3$ est donc asymptote horizontale en $+\infty$ et $-\infty$ .

Point de départ · 8

Lorsque $x$ s'approche de $2$ par valeurs supérieures ( $x > 2$ ), les valeurs de $f(x)$ deviennent infiniment grandes ( $+\infty$ ). Vers quelle droite la courbe se rapproche-t-elle indéfiniment ?

Remarque

La courbe longe verticalement la droite fixe d'équation $x = 2$ : c'est une asymptote verticale.

Définition · 9

Définition — Asymptote verticale

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ , sauf éventuellement en un réel $a \in I$ , et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$

Si l'une au moins de ces limites latérales est infinie, la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$ .

Remarque

Il suffit qu'un seul des deux côtés tende vers l'infini pour que la droite $x = a$ soit asymptote verticale.

Exemple travaillé · 10

Soit $f(x) = \frac{x+1}{x-3}$ . Étudier les limites de $f$ en $3$ à gauche et à droite, puis en déduire l'asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$ .

1

On évalue le numérateur en $3$ : $\lim_{x \to 3}(x+1) = 4 \neq 0$ . Le dénominateur $x-3$ s'annule en changeant de signe.

2

Pour $x < 3$ , on a $x - 3 < 0$ , donc le dénominateur tend vers $0^-$ :

3

\lim_{x \to 3^-} f(x) = \frac{4}{0^-} = -\infty

4

Pour $x > 3$ , on a $x - 3 > 0$ , donc le dénominateur tend vers $0^+$ :

5

\lim_{x \to 3^+} f(x) = \frac{4}{0^+} = +\infty

6

Les limites latérales étant infinies, la droite d'équation $x = 3$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$ .

Exemple travaillé · 11

Soit $f(x) = \frac{x-6}{(2x-1)^2}$ . Déterminer la limite de $f$ en $\frac{1}{2}$ et préciser l'asymptote à sa courbe $\mathcal{C}_f$ .

1

Le numérateur tend vers $\frac{1}{2} - 6 = -\frac{11}{2} < 0$ .

2

Le dénominateur est un carré non nul sur $\mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{2}\}$ : pour tout $x \neq \frac{1}{2}$ , $(2x-1)^2 > 0$ .

3

\lim_{x \to \frac{1}{2}} (2x-1)^2 = 0^+

4

Le signe de $0^+$ étant garanti des deux côtés, il est inutile de séparer gauche et droite :

5

\lim_{x \to \frac{1}{2}} f(x) = \frac{-\frac{11}{2}}{0^+} = -\infty

6

La droite d'équation $x = \frac{1}{2}$ est une asymptote verticale commune à gauche et à droite.

Piège classique · 12

Soit $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ . La courbe de $f$ admet-elle la droite $x = 1$ comme asymptote verticale ?

Attention

Déclarer immédiatement que $x = 1$ est une asymptote verticale sous prétexte que $1$ est une valeur interdite.

À la place : Pour $x \neq 1$ , $f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$ . Donc $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ (limite finie). Il n'y a pas d'asymptote verticale, mais un trou dans la courbe (prolongement par continuité).

Vérification · 13

Soit la fonction $h(x) = \frac{2 - x}{(x + 4)^2}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-4\}$ . Quelle est la limite de $h$ en $-4$ et quelle en est la conséquence géométrique ?

Remarque

En $-4$ , le numérateur tend vers $2 - (-4) = 6 > 0$ et le dénominateur vers $0^+$ (car $(x+4)^2 > 0$ ). Donc $\lim_{x \to -4} h(x) = \frac{6}{0^+} = +\infty$ . La droite $x = -4$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_h$ .

Point de départ · 14

Pour la fonction $f(x) = x - 1 + \frac{2}{x-1}$ , lorsque $x$ devient très grand ( $x \to +\infty$ ), le terme $\frac{2}{x-1}$ tend vers $0$ . De quelle droite la courbe $\mathcal{C}_f$ se rapproche-t-elle indéfiniment ?

Remarque

L'écart vertical entre la courbe et la droite affine d'équation $y = x - 1$ s'annule à l'infini : cette droite non parallèle aux axes est une asymptote oblique.

Définition · 15

Définition — Asymptote oblique et position relative

Soit $f$ une fonction numérique et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (ax + b)) = 0 \iff y = ax + b \text{ est asymptote oblique à } \mathcal{C}_f \text{ en } +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} (f(x) - (ax + b)) = 0 \iff y = ax + b \text{ est asymptote oblique à } \mathcal{C}_f \text{ en } -\infty$

Position relative de la courbe par rapport à l'asymptote $\Delta : y = ax + b$ :

f(x) - (ax + b) > 0 \implies \mathcal{C}_f \text{ est strictement au-dessus de } \Delta

f(x) - (ax + b) < 0 \implies \mathcal{C}_f \text{ est strictement au-dessous de } \Delta

Exemple travaillé · 16

Soit $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 6}{x - 2} = x - 1 + \frac{4}{x - 2}$ sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ .
1. Montrer que la droite $\Delta : y = x - 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et $-\infty$ .
2. Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta$ .

1

On forme la différence entre l'expression de $f(x)$ et l'équation de la droite $\Delta$ :

2

f(x) - (x - 1) = x - 1 + \frac{4}{x - 2} - (x - 1) = \frac{4}{x - 2}

3

On calcule la limite de cette différence aux voisinages de $+\infty$ et $-\infty$ :

4

\lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x - 2} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{4}{x - 2} = 0

5

La limite étant nulle, la droite $\Delta : y = x - 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

6

Pour la position relative, on étudie le signe de la différence $\frac{4}{x - 2}$ :
- Sur $]2\,;\,+\infty[$ , $x - 2 > 0 \implies f(x) - (x-1) > 0$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ .
- Sur $]-\infty\,;\,2[$ , $x - 2 < 0 \implies f(x) - (x-1) < 0$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\Delta$ .

Exemple travaillé · 17

Soit $f(x) = \frac{x^2 + 3x + 4}{x + 2}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$ .
1. Déterminer les réels $a, b, c$ tels que $f(x) = ax + b + \frac{c}{x + 2}$ .
2. En déduire une équation de l'asymptote oblique $\Delta$ à $\mathcal{C}_f$ en $\pm\infty$ .

1

On réduit au même dénominateur l'expression cible :

2

ax + b + \frac{c}{x + 2} = \frac{(ax + b)(x + 2) + c}{x + 2} = \frac{ax^2 + (2a + b)x + (2b + c)}{x + 2}

3

Par identification terme à terme avec $x^2 + 3x + 4$ , on établit le système :

4

\begin{cases} a = 1 \\ 2a + b = 3 \\ 2b + c = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} a = 1 \\ b = 3 - 2(1) = 1 \\ c = 4 - 2(1) = 2 \end{cases}

5

On obtient l'écriture décomposée : $f(x) = x + 1 + \frac{2}{x + 2}$ .

6

Comme $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x + 1)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x + 2} = 0$ , la droite $\Delta$ d'équation $y = x + 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et $-\infty$ .

Piège classique · 18

Soit $f$ une fonction telle que $f(x) - (2x - 1) = \frac{-3}{x + 1}$ pour $x > -1$ . Quelle est la position de la courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à son asymptote oblique $\Delta : y = 2x - 1$ sur l'intervalle $]-1\,;\,+\infty[$ ?

Attention

Affirmer que $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ au motif que la pente de l'asymptote est positive ( $2 > 0$ ) ou que les valeurs de $f(x)$ tendent vers $+\infty$ .

À la place : Seul le signe algébrique de la différence $f(x) - y_\Delta$ détermine la position. Pour $x > -1$ , $x+1 > 0$ , donc $\frac{-3}{x+1} < 0$ . La différence étant strictement négative, la courbe $\mathcal{C}_f$ est strictement au-dessous de $\Delta$ .

Vérification · 19

Soit $g(x) = \frac{2x^2 + 5x - 1}{x + 1} = 2x + 3 - \frac{4}{x+1}$ sur $]-1\,;\,+\infty[$ . Quelle est l'équation de l'asymptote oblique $\Delta$ à $\mathcal{C}_g$ et la position de $\mathcal{C}_g$ par rapport à $\Delta$ sur cet intervalle ?

Remarque

On a $\lim_{x\to+\infty}(g(x) - (2x+3)) = \lim_{x\to+\infty}\frac{-4}{x+1} = 0$ , donc la droite $\Delta : y = 2x + 3$ est asymptote oblique. Pour $x > -1$ , le reste $-\frac{4}{x+1}$ est strictement négatif, ce qui place $\mathcal{C}_g$ strictement au-dessous de $\Delta$ .

Rappel · 20

Pour tout nombre réel $x < 0$ , à quoi est égale l'expression $\sqrt{x^2}$ ?

Remarque

Pour tout réel $x$ , on a $\sqrt{x^2} = |x|$ . Lorsque $x < 0$ , la valeur absolue de $x$ est égale à son opposé : $|x| = -x$ .

Définition · 21

Propriété — Asymptotes obliques d'une fonction irrationnelle

Pour une fonction de la forme $f(x) = \sqrt{x^2 + \alpha x + \beta}$ , les comportements asymptotiques aux deux infinis se dédoublent en raison de la racine carrée.

$\lim_{x \to +\infty} \left(f(x) - \left(x + \frac{\alpha}{2}\right)\right) = 0 \implies y = x + \frac{\alpha}{2} \text{ est asymptote oblique en } +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} \left(f(x) - \left(-x - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = 0 \implies y = -x - \frac{\alpha}{2} \text{ est asymptote oblique en } -\infty$

Remarque

La courbe $\mathcal{C}_f$ admet deux asymptotes obliques distinctes, dont les coefficients directeurs sont opposés ( $1$ et $-1$ ).

Exemple travaillé · 22

Soit la fonction $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x + 8}$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ . Montrer que la droite $\Delta : y = x + 3$ est une asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ .

1

On forme la différence $f(x) - (x + 3) = \sqrt{x^2 + 6x + 8} - (x + 3)$ qui engendre une forme indéterminée $+\infty - \infty$ .

2

On multiplie et on divise par l'expression conjuguée $(\sqrt{x^2 + 6x + 8} + (x + 3))$ :

3

f(x) - (x+3) = \frac{(x^2+6x+8) - (x+3)^2}{\sqrt{x^2+6x+8} + x + 3} = \frac{x^2+6x+8 - (x^2+6x+9)}{\sqrt{x^2+6x+8} + x + 3} = \frac{-1}{\sqrt{x^2+6x+8} + x + 3}

4

En $+\infty$ , le dénominateur est la somme de deux termes tendant vers $+\infty$ :

5

\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x+3)] = \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{\sqrt{x^2+6x+8} + x + 3} = 0

6

La limite de la différence étant nulle, la droite $\Delta : y = x + 3$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ .

Exemple travaillé · 23

Pour la même fonction $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x + 8}$ sur $]-\infty\,;\,-4]$ , montrer que la droite $\Delta' : y = -x - 3$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $-\infty$ .

1

On étudie la différence $f(x) - (-x - 3) = \sqrt{x^2 + 6x + 8} + (x + 3)$ .

2

Quand $x \to -\infty$ , on a $\sqrt{x^2+6x+8} \to +\infty$ et $x+3 \to -\infty$ . C'est une forme indéterminée $+\infty - \infty$ . On applique la quantité conjuguée :

3

f(x) - (-x-3) = \frac{(\sqrt{x^2+6x+8} + (x+3))(\sqrt{x^2+6x+8} - (x+3))}{\sqrt{x^2+6x+8} - (x+3)} = \frac{-1}{\sqrt{x^2+6x+8} - x - 3}

4

Quand $x \to -\infty$ , le terme $-x - 3$ tend vers $+\infty$ (car $-x \to +\infty$ ). Le dénominateur tend donc vers $+\infty$ par somme de deux termes positifs infinis :

5

\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (-x-3)] = \lim_{x \to -\infty} \frac{-1}{\sqrt{x^2+6x+8} - x - 3} = 0

6

La droite $\Delta' : y = -x - 3$ est donc bien une asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $-\infty$ .

Piège classique · 24

Une fonction est donnée par $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 5}$ . Sachant que la droite $\Delta : y = x - 2$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ , quelle est l'équation de l'asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ ?

Attention

Penser que l'asymptote oblique en $-\infty$ est identique à celle de $+\infty$ ( $y = x - 2$ ), par mimétisme avec les fractions rationnelles.

À la place : Pour une fonction racine, l'asymptote oblique en $-\infty$ a un coefficient directeur opposé car $\sqrt{x^2} = -x$ . L'équation de l'asymptote en $-\infty$ est $y = -(x - 2) = -x + 2$ .

Vérification · 25

Soit la fonction $g(x) = \sqrt{4x^2 - 4x + 3}$ . Quelle est l'équation de l'asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}_g$ au voisinage de $-\infty$ ?

Remarque

Sous forme canonique, $4x^2 - 4x + 3 = (2x-1)^2 + 2$ . En $-\infty$ , $\sqrt{(2x-1)^2} = |2x-1| = -(2x-1) = -2x+1$ . L'asymptote oblique en $-\infty$ a donc pour équation $y = -2x + 1$ .

Point de départ · 26

On considère la fonction $f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x}$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ . Lorsque $x$ grandit indéfiniment ( $x \to +\infty$ ), le terme $\frac{1}{x}$ tend vers $0$ . De quelle courbe la courbe $\mathcal{C}_f$ se rapproche-t-elle indéfiniment ?

Remarque

L'écart vertical entre la courbe $\mathcal{C}_f$ et la parabole d'équation $y = \frac{x^2}{2}$ s'annule à l'infini : cette parabole est une courbe asymptote.

Définition · 27

Définition — Courbe asymptote

Soit $f$ et $g$ deux fonctions numériques, et soient $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leurs courbes représentatives respectives.

$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - g(x)) = 0 \iff \mathcal{C}_g \text{ est une courbe asymptote à } \mathcal{C}_f \text{ au voisinage de } +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} (f(x) - g(x)) = 0 \iff \mathcal{C}_g \text{ est une courbe asymptote à } \mathcal{C}_f \text{ au voisinage de } -\infty$

La position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{C}_g$ est donnée par le signe de la différence $f(x) - g(x)$ .

Exemple travaillé · 28

Soit la fonction $f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$ .
1. Montrer que la parabole $\mathcal{P} : y = \frac{x^2}{2}$ est une courbe asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et $-\infty$ .
2. Étudier la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{P}$ .

1

On calcule la différence entre l'expression de $f(x)$ et celle de la parabole $\mathcal{P}$ :

2

f(x) - \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} - \frac{x^2}{2} = \frac{1}{x}

3

On évalue les limites de cette différence aux voisinages de $+\infty$ et $-\infty$ :

4

\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0

5

La limite étant nulle, la parabole $\mathcal{P} : y = \frac{x^2}{2}$ est bien asymptote à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et $-\infty$ .

6

Pour la position relative, on étudie le signe de $\frac{1}{x}$ :
- Sur $]0\,;\,+\infty[$ , $\frac{1}{x} > 0$ , donc $\mathcal{C}_f$ est strictement au-dessus de $\mathcal{P}$ .
- Sur $]-\infty\,;\,0[$ , $\frac{1}{x} < 0$ , donc $\mathcal{C}_f$ est strictement au-dessous de $\mathcal{P}$ .

Piège classique · 29

Soit $f(x) = x^2 + 3x + 1 + \frac{5}{x-1}$ . Un élève cherche une asymptote oblique de la forme $y = ax + b$ en $+\infty$ . Quelle erreur commet-il ?

Attention

Croire qu'une asymptote en l'infini est nécessairement une droite affine $y = ax + b$ .

À la place : Ici, le terme dominant est quadratique ( $x^2$ ). Puisque $f(x) - (x^2 + 3x + 1) = \frac{5}{x-1} \to 0$ en $+\infty$ , l'asymptote n'est pas une droite mais la parabole d'équation $y = x^2 + 3x + 1$ .

Vérification · 30

Soit la fonction $h(x) = 2x^2 - x + \frac{3}{x^2 + 1}$ définie sur $\mathbb{R}$ . Quelle est la courbe asymptote $\mathcal{C}'$ à $\mathcal{C}_h$ en $\pm\infty$ et quelle est la position de $\mathcal{C}_h$ par rapport à $\mathcal{C}'$ ?

Remarque

On a $h(x) - (2x^2 - x) = \frac{3}{x^2 + 1}$ . Comme $\lim_{x\to\pm\infty} \frac{3}{x^2 + 1} = 0$ , la parabole d'équation $y = 2x^2 - x$ est courbe asymptote. De plus, $\frac{3}{x^2 + 1} > 0$ pour tout réel $x$ , donc $\mathcal{C}_h$ est strictement au-dessus de sa parabole asymptote sur $\mathbb{R}$ .

Limites et comportements asymptotiques — cours

Le cours

Définition — Asymptote horizontale

Définition — Asymptote verticale

Définition — Asymptote oblique et position relative

Propriété — Asymptotes obliques d'une fonction irrationnelle

Définition — Courbe asymptote

Chapitres liés

Continuer sur Lumio