Point de départ · 1

On considère la fonction $f : x \mapsto x^2 + 1$ . Lorsque $x$ se rapproche de $2$ , vers quelle valeur $f(x)$ se rapproche-t-elle ? Que vaut $f(2)$ ?

Si on évalue l'image directe, on obtient $f(2) = 2^2 + 1 = 5$ . Pour des valeurs de $x$ très proches de $2$ (comme $1{,}99$ ou $2{,}01$ ), $f(x)$ est très proche de $5$ : la limite coïncide avec la valeur de la fonction.

Définition · 2

Définition de la continuité en un point

f \text{ est une fonction définie sur un intervalle ouvert } I \text{ et } a \in I

$f \text{ est continue en } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Pour déterminer la limite d'une fonction usuelle (polynôme, rationnelle, racine carrée) en un point où elle est définie et continue, il suffit de calculer l'image $f(a)$ par substitution directe.

Exemple travaillé · 3

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $a = 2$ , avec $f(x) = 2x^3 - 4x + 1$ .

1

La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc elle est continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier en $a = 2$ .

2

D'après le théorème de continuité, la limite en $2$ est égale à l'image $f(2)$ :

3

\lim_{x \to 2} (2x^3 - 4x + 1) = f(2) = 2(2)^3 - 4(2) + 1

4

\lim_{x \to 2} f(x) = 16 - 8 + 1 = 9

Exemple travaillé · 4

Déterminer la limite de la fonction rationnelle $g$ en $a = -2$ , avec $g(x) = \frac{x^2 + 5x}{x - 1}$ .

1

Le dénominateur s'annule en $x = 1$ . L'ensemble de définition est $D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .

2

Puisque $-2 \neq 1$ , la fonction $g$ est définie et continue en $a = -2$ .

3

\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + 5x}{x - 1} = g(-2) = \frac{(-2)^2 + 5(-2)}{-2 - 1}

4

\lim_{x \to -2} g(x) = \frac{4 - 10}{-3} = \frac{-6}{-3} = 2

Piège classique · 5

On souhaite déterminer $\lim_{x \to -1} \left|\frac{1 - 2x}{x^2 - 3}\right|$ . Quelle démarche doit-on adopter ?

Attention

Découper systématiquement en limites à gauche et à droite dès qu'une valeur absolue apparaît.

À la place : En $x = -1$ , le dénominateur vaut $(-1)^2 - 3 = -2 \neq 0$ . L'expression est bien définie et continue en $-1$ , donc on substitue directement : $\left|\frac{1 - 2(-1)}{(-1)^2 - 3}\right| = \left|\frac{3}{-2}\right| = \frac{3}{2}$ .

Vérification · 6

Quelle est la valeur de $\lim_{x \to 1} \sqrt{x^2 - 2x + 3}$ ?

Remarque

Pour $x = 1$ , le trinôme sous le radical vaut $1^2 - 2(1) + 3 = 2 > 0$ . La fonction est continue en $1$ , donc la limite est $\sqrt{2}$ .

Point de départ · 7

On considère la fonction définie pour tout $x \neq 0$ par $f(x) = \frac{|x|}{x}$ . Si $x$ approche $0$ par des valeurs positives ( $x > 0$ ), que vaut $f(x)$ ? Et si $x$ approche $0$ par des valeurs négatives ( $x < 0$ ) ?

Pour $x > 0$ , $|x| = x$ donc $f(x) = 1$ . Pour $x < 0$ , $|x| = -x$ donc $f(x) = -1$ . Le comportement de la fonction change selon la direction d'approche : cela nécessite d'introduire les limites à droite et à gauche.

Définition · 8

Limites latérales et existence de la limite finie

f \text{ est définie sur un intervalle ouvert } I \text{ sauf peut-être en } a \in I

$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = L$

Une fonction admet une limite finie $L$ en $a$ si et seulement si ses limites à droite et à gauche en $a$ existent, sont finies et égales à $L$ .

Définition · 9

Continuité à droite et à gauche

f \text{ est définie sur un intervalle } I \text{ et } a \in I

$f \text{ est continue à droite en } a \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$

$f \text{ est continue à gauche en } a \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$

$f \text{ est continue en } a \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$

Exemple travaillé · 10

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} x^3 - 2 & \text{si } x \ge 2 \\ \sqrt{x+2} & \text{si } x < 2 \end{cases}$
Étudier la continuité de $f$ en $2$ .

1

Calculons la valeur de $f(2)$ et la limite à droite en $2$ à l'aide de la branche $x \ge 2$ :

2

f(2) = 2^3 - 2 = 6 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = 6

3

Calculons la limite à gauche en $2$ à l'aide de la branche $x < 2$ :

4

\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \sqrt{x+2} = \sqrt{2+2} = 2

5

Puisque $\lim_{x \to 2^-} f(x) \neq f(2)$ , $f$ n'est pas continue à gauche en $2$ . Comme les limites latérales sont distinctes ( $6 \neq 2$ ), $f$ n'admet pas de limite en $2$ et n'est pas continue en $2$ .

Piège classique · 11

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{3}\}$ par $f(x) = \frac{\sqrt{(3x+1)^2}}{3x+1}$ . Que vaut $\lim_{x \to (-\frac{1}{3})^-} f(x)$ ?

Attention

Remplacer $\sqrt{(3x+1)^2}$ par $(3x+1)$ sans tenir compte du signe, ce qui donnerait une limite égale à $1$ .

À la place : On a $\sqrt{(3x+1)^2} = |3x+1|$ . Quand $x < -\frac{1}{3}$ , on a $3x+1 < 0$ , donc $|3x+1| = -(3x+1)$ . Ainsi $f(x) = \frac{-(3x+1)}{3x+1} = -1$ , d'où une limite égale à $-1$ .

Exemple travaillé · 12

Étudier la limite en $3$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{x^2 - 9}{|x - 3|}$ .

1

Factorisons le numérateur : $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ .

2

Pour $x > 3$ , $x - 3 > 0$ donc $|x - 3| = x - 3$ . On simplifie :

3

\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3^+} (x+3) = 6

4

Pour $x < 3$ , $x - 3 < 0$ donc $|x - 3| = -(x - 3)$ . On simplifie :

5

\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{(x-3)(x+3)}{-(x-3)} = \lim_{x \to 3^-} -(x+3) = -6

6

Puisque $\lim_{x \to 3^+} f(x) \neq \lim_{x \to 3^-} f(x)$ , la fonction $f$ n'admet pas de limite en $3$ .

Vérification · 13

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \ge 1 \\ x - 1 & \text{si } x < 1 \end{cases}$
La fonction $g$ admet-elle une limite en $1$ ?

Remarque

On a $\lim_{x \to 1^+} g(x) = 2(1) + 1 = 3$ et $\lim_{x \to 1^-} g(x) = 1 - 1 = 0$ . Comme les limites latérales sont différentes ( $3 \neq 0$ ), $g$ n'admet pas de limite en $1$ .

Point de départ · 14

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x \neq 1$ par $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ . Peut-on calculer $f(1)$ ? Que se passe-t-il lorsque $x$ devient très proche de $1$ sans lui être égal ?

Pour $x = 1$ , le dénominateur s'annule et l'expression donne la forme $\frac{0}{0}$ : la fonction $f$ n'est pas définie en $1$ . En revanche, pour tout $x \neq 1$ , on a $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ , ce qui permet de simplifier par $(x-1)$ et d'écrire $f(x) = x+1$ . Lorsque $x$ tend vers $1$ , $f(x)$ tend vers $2$ : le « trou » dans la courbe peut être comblé.

Définition · 15

Prolongement par continuité

f \text{ est une fonction définie sur un intervalle ouvert } I \text{ sauf en un réel } a \in I

$\text{Si } \lim_{x \to a} f(x) = L \text{ avec } L \in \mathbb{R}, \text{ alors } f \text{ est prolongeable par continuité en } a.$

Le prolongement par continuité de $f$ en $a$ est la fonction $F$ définie sur $I$ par :

$F(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq a \\ L & \text{si } x = a \end{cases}$

La fonction $F$ est alors continue en $a$ .

Exemple travaillé · 16

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ . Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $2$ et donner l'expression de son prolongement $F$ .

1

L'évaluation directe en $x = 2$ donne la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ .

2

On factorise le numérateur à l'aide de l'identité remarquable $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ :

3

x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)

4

Pour tout $x \neq 2$ , on simplifie par $(x-2)$ :

5

f(x) = \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2} = x^2 + 2x + 4

6

La fonction polynôme $x \mapsto x^2 + 2x + 4$ est continue sur $\mathbb{R}$ , donc on calcule la limite par substitution directe :

7

\lim_{x \to 2} f(x) = 2^2 + 2(2) + 4 = 12

8

La limite étant un nombre réel fini, $f$ est prolongeable par continuité en $2$ . Son prolongement $F$ est défini sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = f(x)$ pour $x \neq 2$ et $F(2) = 12$ .

Exemple travaillé · 17

Déterminer la limite en $2$ de la fonction $g$ définie sur $\left[-\frac{5}{2} ; 2\right[ \cup ]2 ; +\infty[$ par $g(x) = \frac{\sqrt{2x+5} - 3}{x - 2}$ , puis préciser si $g$ admet un prolongement par continuité en $2$ .

1

En remplaçant $x$ par $2$ , on obtient $\frac{\sqrt{9}-3}{2-2} = \frac{0}{0}$ (forme indéterminée).

2

On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $(\sqrt{2x+5} + 3)$ :

3

g(x) = \frac{(\sqrt{2x+5} - 3)(\sqrt{2x+5} + 3)}{(x-2)(\sqrt{2x+5} + 3)} = \frac{(2x+5) - 3^2}{(x-2)(\sqrt{2x+5} + 3)}

4

g(x) = \frac{2x - 4}{(x-2)(\sqrt{2x+5} + 3)} = \frac{2(x-2)}{(x-2)(\sqrt{2x+5} + 3)}

5

Pour tout $x \neq 2$ , on simplifie par $(x-2)$ :

6

g(x) = \frac{2}{\sqrt{2x+5} + 3}

7

On évalue la limite par substitution dans l'expression simplifiée :

8

\lim_{x \to 2} g(x) = \frac{2}{\sqrt{2(2)+5} + 3} = \frac{2}{\sqrt{9} + 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

9

Puisque la limite est finie, $g$ admet un prolongement par continuité $G$ en $2$ défini par $G(x) = g(x)$ pour $x \neq 2$ et $G(2) = \frac{1}{3}$ .

Piège classique · 18

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 5}{x - 1}$ . Après calcul, on trouve $\lim_{x \to 1} f(x) = -4$ . Quelle conclusion est mathématiquement correcte ?

Attention

Dire que la fonction $f$ est continue en $1$ parce que sa limite en $1$ existe et est finie.

À la place : Pour être continue en $1$ , une fonction doit d'abord être définie en $1$ . La fonction $f$ n'est pas définie en $1$ ( $1 \notin D_f$ ) : elle n'est donc pas continue en $1$ , mais elle est prolongeable par continuité en $1$ par une nouvelle fonction $F$ telle que $F(1) = -4$ .

Vérification · 19

On considère la fonction $h$ définie sur $\left[-1 ; 0\right[ \cup ]0 ; +\infty[$ par $h(x) = \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$ . Pour quelle valeur de $L$ la fonction $H$ définie par $H(x) = h(x)$ si $x \neq 0$ et $H(0) = L$ est-elle continue en $0$ ?

Remarque

En multipliant par l'expression conjuguée $\sqrt{x+1}+1$ , on obtient pour tout $x \neq 0$ :
$h(x) = \frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$
La limite en $0$ vaut $\lim_{x \to 0} h(x) = \frac{1}{\sqrt{0+1}+1} = \frac{1}{2}$ . Pour que $H$ soit continue en $0$ , il faut poser $H(0) = \lim_{x \to 0} h(x)$ , c'est-à-dire $L = \frac{1}{2}$ .

Point de départ · 20

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x \le 2 \\ 2x + a & \text{si } x > 2 \end{cases}$
Quelle valeur doit prendre le réel $a$ pour que les deux morceaux se rejoignent exactement en $x = 2$ sans rupture ?

Pour que la courbe se raccorde sans saut en $2$ , il faut que la limite à droite en $2$ soit égale à la valeur $f(2) = 2 + 1 = 3$ . Comme $\lim_{x \to 2^+} (2x+a) = 4 + a$ , on doit avoir $4 + a = 3$ , soit $a = -1$ .

Définition · 21

Continuité paramétrée en un point de raccordement

f \text{ est une fonction définie au voisinage de } x_0 \text{ dont l'expression dépend d'un paramètre } a \in \mathbb{R}

$f \text{ est continue en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$

Pour déterminer un paramètre assurant la continuité en $x_0$ , on calcule séparément les limites latérales et la valeur $f(x_0)$ , puis on résout l'équation qui impose leur égalité.

Exemple travaillé · 22

Soit $a$ un réel et soit la fonction $f$ définie sur $[-2 ; +\infty[$ par :
$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+2}-1}{x+1} & \text{si } x \neq -1 \\ a & \text{si } x = -1 \end{cases}$
Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en $-1$ .

1

La fonction $f$ est continue en $-1$ si et seulement si $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = a$ .

2

En substituant $x$ par $-1$ , on obtient la forme indéterminée $\frac{0}{0}$ . On multiplie par l'expression conjuguée $(\sqrt{x+2}+1)$ :

3

f(x) = \frac{(\sqrt{x+2}-1)(\sqrt{x+2}+1)}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)} = \frac{(x+2)-1}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)} = \frac{x+1}{(x+1)(\sqrt{x+2}+1)}

4

Pour tout $x \neq -1$ , on simplifie par $(x+1)$ :

5

f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}+1}

6

\lim_{x \to -1} f(x) = \frac{1}{\sqrt{-1+2}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}

7

Ainsi, $f$ est continue en $-1$ si et seulement si $a = \frac{1}{2}$ .

Exemple travaillé · 23

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x) = \begin{cases} \frac{x^2-3x+2}{x-1} & \text{si } x > 1 \\ mx + 3 & \text{si } x \le 1 \end{cases}$
Déterminer le réel $m$ pour que $g$ soit continue en $1$ .

1

Pour $x > 1$ , on factorise le numérateur : $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ .

2

\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x-2)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} (x-2) = 1 - 2 = -1

3

Pour $x \le 1$ , l'image et la limite à gauche s'obtiennent par substitution dans la branche affine :

4

g(1) = \lim_{x \to 1^-} g(x) = m(1) + 3 = m + 3

5

Pour que $g$ soit continue en $1$ , on impose l'égalité des limites latérales avec l'image :

6

m + 3 = -1 \iff m = -4

7

La fonction $g$ est continue en $1$ si et seulement si $m = -4$ .

Piège classique · 24

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} \frac{3x^2-2x-1}{x-1} & \text{si } x > 1 \\ \frac{-x^2-2x+3}{x-1} & \text{si } x < 1 \\ \alpha & \text{si } x = 1 \end{cases}$
Existe-t-il une valeur du réel $\alpha$ pour laquelle $f$ est continue en $1$ ?

Attention

Calculer la limite d'un seul côté (par exemple $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ ) et poser immédiatement $\alpha = 4$ sans contrôler la limite à gauche.

À la place : Pour $x > 1$ , on simplifie par $(x-1)$ et on trouve $\lim_{x \to 1^+} (3x+1) = 4$ . Pour $x < 1$ , on factorise $-x^2-2x+3 = -(x-1)(x+3)$ , d'où $\lim_{x \to 1^-} -(x+3) = -4$ . Comme $\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq \lim_{x \to 1^-} f(x)$ , $f$ n'admet pas de limite en $1$ : aucune valeur de $\alpha$ ne peut rendre $f$ continue en $1$ .

Vérification · 25

On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$h(x) = \begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2} & \text{si } x \neq 2 \\ k & \text{si } x = 2 \end{cases}$
Quelle valeur de $k$ rend la fonction $h$ continue en $2$ ?

Remarque

Pour tout $x \neq 2$ , $\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$ . La limite en $2$ est $\lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ . On doit donc poser $k = 4$ pour que $h(2) = \lim_{x \to 2} h(x)$ .

Limites et Continuité — cours

Le cours

Définition de la continuité en un point

Limites latérales et existence de la limite finie

Continuité à droite et à gauche

Prolongement par continuité

Continuité paramétrée en un point de raccordement

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