Point de départ · 1

On observe la courbe ci-dessus au voisinage de $x = 1$ . Peut-on la tracer d'un seul trait sans lever le crayon ?

Remarque

La courbe présente une rupture en $x = 1$ : la limite à gauche ( $2$ ) ne rejoint pas le point de départ de la branche droite ( $3$ ).

Définition · 2

Continuité en un point et raccordement

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ .

$f \text{ est continue en } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

Pour une fonction définie par branches autour de $a$ , la continuité impose l'égalité stricte entre la limite à gauche, la limite à droite et l'image $f(a)$ .

Exemple travaillé · 3

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} -x & \text{si } x \le 0 \\ x^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$
Étudier la continuité de $f$ en $0$ .

1

On calcule l'image exacte en utilisant la branche où l'inégalité est large ( $x \le 0$ ) :

2

f(0) = -0 = 0

3

On détermine la limite à gauche en $0$ :

4

\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0

5

On détermine la limite à droite en $0$ :

6

\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0

7

Puisque $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$ , la fonction $f$ est continue en $0$ .

Exemple travaillé · 4

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 1 \\ \sqrt{x-1} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$
Étudier la continuité de $f$ en $1$ .

1

On évalue la fonction en $1$ avec la branche $x \ge 1$ :

2

f(1) = \sqrt{1 - 1} = 0

3

On calcule la limite à droite en $1$ :

4

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \sqrt{x-1} = 0

5

On calcule la limite à gauche en $1$ :

6

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1

7

Comme $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq f(1)$ , la fonction $f$ n'est pas continue en $1$ .

Piège classique · 5

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x+1$ si $x > 2$ et $f(2) = 5$ .
On calcule $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2(2)+1 = 5 = f(2)$ .
Peut-on affirmer que $f$ est continue en $2$ ?

Attention

Conclure que la fonction est continue en $2$ en vérifiant uniquement la limite à droite.

À la place : La continuité en un point exige que la limite à gauche existe également et soit égale à la limite à droite et à $f(2)$ .

Vérification · 6

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$g(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{si } x \le 1 \\ x^2 + 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$
La fonction $g$ est-elle continue en $1$ ?

Remarque

On a $g(1) = 3(1)-1 = 2$ , $\lim_{x \to 1^-} g(x) = 2$ et $\lim_{x \to 1^+} g(x) = 1^2+1 = 2$ . Les trois valeurs étant égales à $2$ , $g$ est continue en $1$ .

Définition · 7

Continuité des fonctions usuelles et opérations

Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$ . Toute fonction rationnelle est continue en tout point où son dénominateur ne s'annule pas.

$f \text{ et } g \text{ continues en } a \implies f+g, f \times g \text{ et } kf \text{ sont continues en } a$

\text{Si } g(a) \neq 0, \text{ alors } \frac{f}{g} \text{ est continue en } a

Définition · 8

Continuité avec racine carrée et valeur absolue

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$ .

$u \text{ continue en } a \implies |u| \text{ continue en } a$

u \text{ continue en } a \text{ et } u(a) \ge 0 \implies \sqrt{u} \text{ continue en } a

Exemple travaillé · 9

Justifier que la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{x^2 + 1}{|x + 1| - 2}$ est continue en $a = -1$ .

1

Le numérateur $x \mapsto x^2 + 1$ est une fonction polynôme, donc continue en $-1$ .

2

Pour le dénominateur $v(x) = |x + 1| - 2$ : la fonction affine $x \mapsto x + 1$ est continue sur $\mathbb{R}$ , donc $x \mapsto |x + 1|$ est continue en $-1$ . Par somme avec une constante, $v$ est continue en $-1$ .

3

On évalue le dénominateur en $a = -1$ :

4

v(-1) = |-1 + 1| - 2 = 0 - 2 = -2 \neq 0

5

Par quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas, $f$ est continue en $-1$ .

Exemple travaillé · 10

Justifier que la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 1}}$ est continue en $a = 3$ .

1

On pose $u(x) = \frac{x - 2}{x + 1}$ . C'est une fonction rationnelle définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ .

2

Puisque $3 \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ , la fonction $u$ est continue en $a = 3$ .

3

On évalue la valeur de $u(3)$ :

4

u(3) = \frac{3 - 2}{3 + 1} = \frac{1}{4} \ge 0

5

Puisque $u$ est continue en $3$ et $u(3) \ge 0$ , la fonction composée $f = \sqrt{u}$ est continue en $3$ .

Piège classique · 11

Si la fonction $|f|$ est continue en un réel $a$ , peut-on en déduire que $f$ est continue en $a$ ?

Attention

Croire que la continuité de $|f|$ entraîne celle de $f$ .

À la place : La réciproque est fausse. Par exemple, si $f(x) = 1$ pour $x > 0$ et $f(x) = -1$ pour $x \le 0$ , alors $|f(x)| = 1$ est continue partout, mais $f$ présente une discontinuité en $0$ .

Vérification · 12

Pour prouver que $g(x) = \sqrt{4x^2 + x + 1}$ est continue en $a = 1$ , quelle démarche est correcte ?

Remarque

La fonction polynôme $u(x) = 4x^2+x+1$ est continue en $1$ , et $u(1) = 4(1)^2 + 1 + 1 = 6 \ge 0$ . Par théorème de continuité de $\sqrt{u}$ , $g$ est continue en $1$ .

Point de départ · 13

Sur $[0; 2]$ , on a $f(0) = 1$ et $f(2) = 1$ . L'ensemble de toutes les valeurs prises par $f(x)$ sur $[0; 2]$ est-il réduit à $\{1\}$ ?

Remarque

Non : la fonction descend jusqu'à $0$ au point $S(1; 0)$ avant de remonter à $1$ . L'ensemble des images est le segment $[0; 1]$ .

Définition · 14

Image d'un intervalle par une fonction continue

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

$f \text{ continue sur } [a; b] \implies f([a; b]) = [m; M]$

$m$ et $M$ désignent respectivement le minimum et le maximum de $f$ sur $[a; b]$ .

\text{Si } f \text{ est strictement croissante, } f([a; b]) = [f(a); f(b)]

\text{Si } f \text{ est strictement décroissante, } f([a; b]) = [f(b); f(a)]

Exemple travaillé · 15

Soit $f$ une fonction continue et strictement décroissante sur $[0; 1]$ telle que $f(0) = 2$ et $f(1) = -2$ .
Déterminer l'image $f([0; 1])$ .

1

La fonction $f$ est continue sur $[0; 1]$ , donc son image est un intervalle.

2

Puisque $f$ est strictement décroissante sur $[0; 1]$ , l'ordre des bornes est inversé :

3

f([0; 1]) = [f(1); f(0)]

4

f([0; 1]) = [-2; 2]

Exemple travaillé · 16

Soit la fonction $f$ définie sur $[-2; 2]$ par $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 5$ .
Déterminer $f([-2; 2])$ .

1

La fonction $f$ est continue sur $[-2; 2]$ mais n'est pas monotone : elle est décroissante sur $[-2; 0]$ puis croissante sur $[0; 2]$ .

2

Le minimum de $f$ sur $[-2; 2]$ est atteint en $x = 0$ :

3

m = f(0) = 5

4

Le maximum de $f$ sur $[-2; 2]$ est atteint aux bornes :

5

M = f(-2) = f(2) = \frac{1}{2}(2)^2 + 5 = 7

6

L'image du segment est donc le segment $[m; M]$ :

7

f([-2; 2]) = [5; 7]

Piège classique · 17

Soit $f$ une fonction continue sur $[-1; 2]$ avec $f(-1) = 3$ et $f(2) = 5$ . On sait que $f$ admet un minimum égal à $-1$ en $x = 0$ .
Quelle est l'image $f([-1; 2])$ ?

Attention

Répondre $[f(-1); f(2)] = [3; 5]$ en ignorant le minimum intérieur.

À la place : Le minimum atteint à l'intérieur de l'intervalle est $m = -1$ et le maximum est $M = 5$ . L'image est donc $[m; M] = [-1; 5]$ .

Vérification · 18

Soit $g$ une fonction continue sur $[1; 3]$ , strictement croissante, avec $g(1) = 2$ et $g(3) = 5$ .
Que vaut $g([1; 3])$ ?

Remarque

Puisque $g$ est continue et strictement croissante sur $[1; 3]$ , l'ordre des bornes est conservé : $g([1; 3]) = [g(1); g(3)] = [2; 5]$ .

Point de départ · 19

Une fonction $f$ continue sur $[0; 2]$ vérifie $f(0) = -2$ et $f(2) = 4$ . La courbe coupe-t-elle nécessairement l'axe des abscisses ( $y = 0$ ) ?

Remarque

Puisque le tracé est continu et sans saut, il ne peut pas passer d'une ordonnée négative à une ordonnée positive sans franchir la ligne $y = 0$ .

Définition · 20

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle fermé $[a; b]$ .

$\forall k \text{ compris entre } f(a) \text{ et } f(b), \quad \exists c \in [a; b] \text{ tel que } f(c) = k$

Corollaire (Existence d'un zéro)

f \text{ continue sur } [a; b] \quad \text{et} \quad f(a) \times f(b) < 0

$\exists c \in ]a; b[ \quad \text{tel que} \quad f(c) = 0$

Exemple travaillé · 21

Montrer que l'équation $x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 1 = 0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[-2; 1]$ .

1

On pose $f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 1$ . La fonction $f$ est un polynôme, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ , et en particulier sur $[-2; 1]$ .

2

On évalue la fonction aux deux bornes du segment :

3

f(-2) = (-2)^3 + \frac{3}{2}(-2)^2 + 1 = -8 + 6 + 1 = -1

4

f(1) = 1^3 + \frac{3}{2}(1)^2 + 1 = 1 + \frac{3}{2} + 1 = \frac{7}{2}

5

On constate que $f(-2) \times f(1) = -1 \times \frac{7}{2} = -\frac{7}{2} < 0$ .

6

D'après le corollaire du TVI, l'équation $x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 1 = 0$ admet au moins une solution dans $]-2; 1[$ , et donc dans $[-2; 1]$ .

Exemple travaillé · 22

Montrer que l'équation $x^2 + 1 = -\frac{1}{x}$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[-2; -0.5]$ .

1

Pour tout $x \in [-2; -0.5]$ , l'équation $x^2 + 1 = -\frac{1}{x}$ équivaut à $x(x^2 + 1) = -1$ , soit $x^3 + x + 1 = 0$ .

2

On introduit la fonction auxiliaire $h(x) = x^3 + x + 1$ . C'est une fonction polynôme, donc continue sur $[-2; -0.5]$ .

3

On évalue $h$ aux bornes de l'intervalle :

4

h(-2) = (-2)^3 + (-2) + 1 = -9 < 0

5

h(-0.5) = (-0.5)^3 + (-0.5) + 1 = -0.125 - 0.5 + 1 = 0.375 > 0

6

Comme $h(-2) \times h(-0.5) < 0$ , le TVI garantit qu'il existe au moins une solution $\alpha \in ]-2; -0.5[$ telle que $h(\alpha) = 0$ , donc solution de l'équation initiale.

Piège classique · 23

Soit $f$ une fonction définie sur $[0; 1]$ telle que $f(0) = -3$ et $f(1) = 3$ .
L'équation $f(x) = 0$ admet-elle obligatoirement au moins une solution dans $[0; 1]$ ?

Attention

Conclure que la solution existe uniquement parce que $f(0) \times f(1) < 0$ .

À la place : Le TVI exige obligatoirement que la fonction soit continue sur $[0; 1]$ . Si $f$ n'est pas continue (fonction en escalier ou avec rupture), la courbe peut sauter de $-3$ à $3$ sans jamais s'annuler.

Vérification · 24

Soit $f(x) = x^3 - 4x + 5$ continue sur $[-2; 3]$ . On calcule $f(-2) = 5$ et $f(3) = 20$ .
Quelle condition permet d'affirmer que l'équation $f(x) = 8$ admet au moins une solution dans $[-2; 3]$ ?

Remarque

La valeur cible $k = 8$ est comprise entre $f(-2) = 5$ et $f(3) = 20$ . Puisque $f$ est continue sur $[-2; 3]$ , le TVI s'applique directement pour la valeur $8$ .

Définition · 25

TVI et stricte monotonie (Unicité de la solution)

Lorsque la fonction est strictement monotone sur l'intervalle, la solution garantie par le TVI est unique.

f \text{ est continue et strictement monotone sur } [a; b]

k \text{ est compris entre } f(a) \text{ et } f(b)

$\text{L'équation } f(x) = k \text{ admet une unique solution } \alpha \in [a; b]$

Exemple travaillé · 26

Soit la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x} + x$ .
Montrer que l'équation $f(x) = 5$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[3; 4]$ .

1

Continuité : la fonction racine carrée $x \mapsto \sqrt{x}$ et la fonction identité $x \mapsto x$ sont continues sur $[0; +\infty[$ . Par somme, $f$ est continue sur $[3; 4]$ .

2

Monotonie : la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ et la fonction $x \mapsto x$ sont strictement croissantes sur $[3; 4]$ , donc par somme $f$ est strictement croissante sur $[3; 4]$ .

3

Évaluation aux bornes :
$f(3) = \sqrt{3} + 3 \approx 4.732$
$f(4) = \sqrt{4} + 4 = 2 + 4 = 6$

4

Encadrement de la cible : la valeur $k = 5$ est strictement comprise entre $f(3)$ et $f(4)$ car $4.732 < 5 < 6$ .

5

Conclusion : d'après le TVI sous condition de stricte monotonie, l'équation $f(x) = 5$ admet une unique solution $\alpha \in [3; 4]$ .

Exemple travaillé · 27

Soit la fonction $f$ définie sur $[0; 1]$ par $f(x) = -2x^3 - 7x + 4$ . On sait que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha \in [0; 1]$ .
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0.1$ par balayage, puis préciser sa valeur approchée par défaut à $0.1$ près.

1

On évalue $f(x)$ au pas de $0.1$ à partir de $0$ pour localiser le changement de signe :
- $f(0) = 4 > 0$
- $f(0.5) = -2(0.5)^3 - 7(0.5) + 4 = -0.25 - 3.5 + 4 = 0.25 > 0$
- $f(0.6) = -2(0.6)^3 - 7(0.6) + 4 = -0.432 - 4.2 + 4 = -0.632 < 0$

2

Puisque $f(0.5) > 0$ et $f(0.6) < 0$ , la fonction continue $f$ s'annule entre $0.5$ et $0.6$ .

3

L'encadrement d'amplitude $0.1$ est :

4

0.5 < \alpha < 0.6

5

La valeur approchée par défaut correspond à la borne inférieure, soit $0.5$ .

Piège classique · 28

Une solution $\alpha$ d'une équation vérifie l'encadrement $-0.7 < \alpha < -0.6$ .
Quelle est la valeur approchée de $\alpha$ à $0.1$ près **par défaut** ?

Attention

Choisir $-0.6$ en pensant que la valeur par défaut est celle de plus petite valeur absolue.

À la place : La valeur approchée par défaut est toujours la borne inférieure (la plus petite algébriquement), c'est-à-dire $-0.7$ . Pour les nombres négatifs, $-0.7 < -0.6$ .

Exemple travaillé · 29

Soit la fonction polynôme $f(x) = 8x^3 - 6x - 1$ .
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet exactement $3$ solutions réelles distinctes dans $[-1; 1]$ .

1

La fonction $f$ est un polynôme de degré $3$ , elle est donc continue sur $\mathbb{R}$ .

2

On évalue $f$ en quatre points de $[-1; 1]$ :
- $f(-1) = 8(-1)^3 - 6(-1) - 1 = -3 < 0$
- $f\left(-\frac{1}{2}\right) = 8\left(-\frac{1}{8}\right) - 6\left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 > 0$
- $f(0) = -1 < 0$
- $f(1) = 8(1)^3 - 6(1) - 1 = 1 > 0$

3

On applique le TVI sur les trois intervalles disjoints :
- Sur $\left[-1; -\frac{1}{2}\right]$ , $f(-1) \times f\left(-\frac{1}{2}\right) < 0 \implies$ au moins une racine $\alpha_1 \in \left]-1; -\frac{1}{2}\right[$ .
- Sur $\left[-\frac{1}{2}; 0\right]$ , $f\left(-\frac{1}{2}\right) \times f(0) < 0 \implies$ au moins une racine $\alpha_2 \in \left]-\frac{1}{2}; 0\right[$ .
- Sur $[0; 1]$ , $f(0) \times f(1) < 0 \implies$ au moins une racine $\alpha_3 \in ]0; 1[$ .

4

L'équation admet donc au moins $3$ solutions réelles distinctes dans $[-1; 1]$ .

5

Or, un polynôme de degré $3$ admet au maximum $3$ racines réelles. L'équation admet donc exactement $3$ solutions réelles.

Vérification · 30

Soit une fonction $f$ continue et strictement croissante sur $[1; 5]$ telle que $f(1) = -4$ et $f(5) = 6$ .
Combien de solutions l'équation $f(x) = 0$ admet-elle dans $[1; 5]$ ?

Remarque

Puisque $f$ est continue, strictement croissante sur $[1; 5]$ et que $f(1) \times f(5) = -24 < 0$ , le TVI avec stricte monotonie garantit l'existence d'une **unique** solution.

Continuité — cours

Le cours

Continuité en un point et raccordement

Continuité des fonctions usuelles et opérations

Continuité avec racine carrée et valeur absolue

Image d'un intervalle par une fonction continue

Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Corollaire (Existence d'un zéro)

TVI et stricte monotonie (Unicité de la solution)

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