Rappel · 1

Conditions d'existence d'une fonction

Complète les deux conditions fondamentales d'existence pour une fonction réelle.

Remarque

Pour un quotient $\frac{A(x)}{B(x)}$ , on doit avoir $B(x) \neq 0$ . Pour une racine carrée $\sqrt{A(x)}$ , on doit avoir $A(x) \ge 0$ .

Point de départ · 2

On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = \sqrt{x}$ . Pourquoi peut-on affirmer immédiatement que $g$ ne peut être ni paire ni impaire, sans aucun calcul sur $g(-x)$ ?

Remarque

Le domaine de $g$ est $D_g = [0\,\;\,+\infty[$ . Si $x = 4 \in D_g$ , son opposé $-4 \notin D_g$ . L'expression $g(-4)$ n'a aucun sens mathématique.

Définition · 3

Parité d'une fonction et interprétation géométrique

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D_f$ .

\text{Pour tout } x \in D_f, \quad -x \in D_f \quad \text{($D_f$ est symétrique par rapport à } 0\text{)}

$f(-x) = f(x) \iff f \text{ est paire (la courbe } \mathcal{C}_f \text{ est symétrique par rapport à l'axe } (Oy)\text{)}$

$f(-x) = -f(x) \iff f \text{ est impaire (la courbe } \mathcal{C}_f \text{ admet l'origine } O \text{ pour centre de symétrie)}$

Piège classique · 4

Soit la fonction $h$ définie sur $D_h = [-1\,\;\,4]$ par $h(x) = x^2$ . L'affirmation « $h(-x) = (-x)^2 = x^2 = h(x)$ , donc $h$ est paire » est-elle correcte ?

Attention

Conclure que la fonction est paire en se basant uniquement sur la formule algébrique $h(-x) = h(x)$ .

À la place : Le domaine $D_h = [-1\,\;\,4]$ n'est pas symétrique par rapport à 0 (par exemple $3 \in D_h$ mais $-3 \notin D_h$ ). La fonction $h$ n'est pas paire.

Exemple travaillé · 5

Soient $f$ et $g$ deux fonctions impaires définies sur un même ensemble $D$ symétrique par rapport à 0. Déterminer la parité de la fonction somme $f+g$ et de la fonction produit $f \times g$ .

1

Puisque $f$ et $g$ sont impaires, on a pour tout $x \in D$ : $f(-x) = -f(x)$ et $g(-x) = -g(x)$ .

2

(f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = -(f(x) + g(x)) = -(f+g)(x)

3

La fonction somme $f+g$ est donc impaire.

4

(f \times g)(-x) = f(-x) \times g(-x) = (-f(x)) \times (-g(x)) = f(x) \times g(x) = (f \times g)(x)

5

Par la règle des signes, $(-1) \times (-1) = 1$ . Le produit de deux fonctions impaires est donc une fonction paire.

Exemple travaillé · 6

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f: x \mapsto \frac{x^3 - x}{|x| + 4}$ et étudier sa parité.

1

On cherche les valeurs où le dénominateur s'annule : $|x| + 4 = 0 \iff |x| = -4$ , ce qui est impossible car $|x| \ge 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

2

Le dénominateur ne s'annule jamais. Donc $D_f = \mathbb{R}$ , ensemble parfaitement symétrique par rapport à 0 : pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $-x \in \mathbb{R}$ .

3

f(-x) = \frac{(-x)^3 - (-x)}{|-x| + 4} = \frac{-x^3 + x}{|x| + 4}

4

f(-x) = \frac{-(x^3 - x)}{|x| + 4} = -\left(\frac{x^3 - x}{|x| + 4}\right) = -f(x)

5

La relation $f(-x) = -f(x)$ est vérifiée pour tout $x \in \mathbb{R}$ . La fonction $f$ est donc impaire.

Vérification · 7

Soit la fonction $h$ définie par $h(x) = \frac{x}{|x| - 1}$ . Quel est son domaine de définition $D_h$ et quelle est sa parité ?

Remarque

$|x| - 1 = 0 \iff |x| = 1 \iff x \in \{-1\,\;\,1\}$ . Donc $D_h = \mathbb{R} \setminus \{-1\,\;\,1\}$ , qui est symétrique en 0. De plus, $h(-x) = \frac{-x}{|-x|-1} = -\frac{x}{|x|-1} = -h(x)$ , donc $h$ est impaire.

Point de départ · 8

Pour prouver que pour tout réel $x$ , on a $\frac{2x}{x^2+1} \le 1$ , quelle démarche algébrique directe est la plus rigoureuse ?

Remarque

Encadrer séparément $2x$ et $x^2+1$ sur $\mathbb{R}$ est impossible car la variable n'est pas bornée. Étudier le signe de la différence $1 - f(x)$ permet de réduire au même dénominateur et de faire apparaître le carré parfait $(x-1)^2 \ge 0$ .

Définition · 9

Fonctions majorées, minorées et bornées

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ .

$f \text{ est majorée sur } D \iff \text{il existe un réel } M \text{ tel que pour tout } x \in D, \; f(x) \le M$

$f \text{ est minorée sur } D \iff \text{il existe un réel } m \text{ tel que pour tout } x \in D, \; f(x) \ge m$

$f \text{ est bornée sur } D \iff f \text{ est à la fois majorée et minorée sur } D \; (m \le f(x) \le M)$

Exemple travaillé · 10

Démontrer que la fonction $f: x \mapsto \frac{2x}{x^2+1}$ est bornée sur $\mathbb{R}$ .

1

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $x^2 \ge 0 \implies x^2+1 \ge 1 > 0$ . Le dénominateur est strictement positif sur $\mathbb{R}$ .

2

Étudions la majoration par $1$ en évaluant la différence $1 - f(x)$ :

3

1 - \frac{2x}{x^2+1} = \frac{x^2+1-2x}{x^2+1} = \frac{(x-1)^2}{x^2+1}

4

Puisque $(x-1)^2 \ge 0$ et $x^2+1 > 0$ , on a $1 - f(x) \ge 0$ , soit $f(x) \le 1$ pour tout réel $x$ .

5

Étudions la minoration par $-1$ en évaluant la différence $f(x) - (-1)$ :

6

\frac{2x}{x^2+1} + 1 = \frac{2x+x^2+1}{x^2+1} = \frac{(x+1)^2}{x^2+1}

7

Puisque $(x+1)^2 \ge 0$ , on a $f(x) + 1 \ge 0$ , soit $f(x) \ge -1$ pour tout réel $x$ .

8

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $-1 \le f(x) \le 1$ . La fonction $f$ est donc bornée sur $\mathbb{R}$ .

Exemple travaillé · 11

Soit la fonction $f$ définie sur $[0\,\;\,+\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$ . Démontrer que $f$ est bornée sur $[0\,\;\,+\infty[$ .

1

Multiplions et divisons l'expression par la quantité conjuguée $\sqrt{x+1} + \sqrt{x}$ pour tout $x \ge 0$ :

2

f(x) = \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}

3

Pour tout $x \ge 0$ , on a $x+1 \ge 1 \implies \sqrt{x+1} \ge 1$ . Comme $\sqrt{x} \ge 0$ , on obtient :

4

\sqrt{x+1} + \sqrt{x} \ge 1 + 0 = 1

5

Par passage à l'inverse de quantités strictement positives :

6

0 < \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \le 1

7

Ainsi, pour tout $x \in [0\,\;\,+\infty[$ , $0 < f(x) \le 1$ . La fonction $f$ est donc bornée sur $[0\,\;\,+\infty[$ .

Piège classique · 12

Pour démontrer que la fonction $f(x) = \frac{x^2}{1+x+x^2}$ est majorée par $\frac{4}{3}$ sur $\mathbb{R}$ , quelle démarche est correcte ?

Attention

Essayer d'encadrer séparément le numérateur et le dénominateur sur $\mathbb{R}$ .

À la place : Sur $\mathbb{R}$ , $x$ n'est pas borné. L'encadrement terme à terme est impossible. La seule méthode générale consiste à étudier le signe de la différence $f(x) - \frac{4}{3} = \frac{-(x+2)^2}{3(1+x+x^2)} \le 0$ .

Définition · 13

Extremums d'une fonction : Maximum et Minimum

Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ .

$M \text{ est le maximum de } f \text{ sur } D \iff \text{il existe } x_0 \in D \text{ tel que } f(x_0) = M \text{ et pour tout } x \in D, \; f(x) \le M$

$m \text{ est le minimum de } f \text{ sur } D \iff \text{il existe } x_0 \in D \text{ tel que } f(x_0) = m \text{ et pour tout } x \in D, \; f(x) \ge m$

Remarque

Un extremum est une valeur atteinte : $M$ ne peut être un maximum que s'il possède au moins un antécédent $x_0$ dans $D$ .

Piège classique · 14

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ouvert $]0\,\;\,+\infty[$ par $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ . On sait que pour tout $x > 0$ , $0 < f(x) < 1$ . Peut-on affirmer que $1$ est le maximum de $f$ sur $]0\,\;\,+\infty[$ ?

Attention

Confondre un majorant avec un maximum sans vérifier si la valeur est atteinte.

À la place : Le réel $1$ est un majorant strict de $f$ sur $]0\,\;\,+\infty[$ , mais l'équation $f(x) = 1 \iff x = 0$ n'a aucune solution dans $]0\,\;\,+\infty[$ . La valeur $1$ n'étant jamais atteinte sur ce domaine, $f$ n'admet pas de maximum sur $]0\,\;\,+\infty[$ .

Exemple travaillé · 15

Démontrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 + 10x - 5$ admet un minimum en $x_0 = -\frac{5}{2}$ .

1

Calculons d'abord la valeur candidate $f\left(-\frac{5}{2}\right)$ :

2

f\left(-\frac{5}{2}\right) = 2\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 10\left(-\frac{5}{2}\right) - 5 = 2\left(\frac{25}{4}\right) - 25 - 5 = \frac{25}{2} - 30 = -\frac{35}{2}

3

Étudions le signe de la différence $f(x) - f\left(-\frac{5}{2}\right)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

4

f(x) - \left(-\frac{35}{2}\right) = 2x^2 + 10x - 5 + \frac{35}{2} = 2x^2 + 10x + \frac{25}{2}

5

Factorisons par $2$ pour faire apparaître une identité remarquable :

6

2\left(x^2 + 5x + \frac{25}{4}\right) = 2\left(x + \frac{5}{2}\right)^2

7

Pour tout réel $x$ , $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 \ge 0$ , donc $2\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 \ge 0$ . Ainsi, $f(x) \ge -\frac{35}{2}$ .

8

Puisque $f(x) \ge f\left(-\frac{5}{2}\right)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $-\frac{35}{2}$ est le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$ , atteint en $x_0 = -\frac{5}{2}$ .

Vérification · 16

Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = -(x-3)^2 + 4$ . Que peut-on affirmer sur $h$ ?

Remarque

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $(x-3)^2 \ge 0 \implies -(x-3)^2 \le 0 \implies h(x) \le 4$ . De plus, $h(3) = 4$ . La valeur $4$ est donc le maximum absolu de $h$ sur $\mathbb{R}$ . En revanche, $h$ n'est pas minorée, elle n'est donc pas bornée sur $\mathbb{R}$ .

Rappel · 17

Définition du sens de variation

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

$a \le b \implies f(a) \le f(b) \iff f \text{ est croissante sur } I$

$a \le b \implies f(a) \ge f(b) \iff f \text{ est décroissante sur } I$

Remarque

Une fonction conserve l'ordre quand elle est croissante et inverse l'ordre quand elle est décroissante.

Définition · 18

Opérations sur les variations : Somme et Multiplication par un réel

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ , et $\lambda \in \mathbb{R}^*$ .

$f \text{ et } g \text{ croissantes sur } I \implies f+g \text{ est croissante sur } I$

$f \text{ et } g \text{ décroissantes sur } I \implies f+g \text{ est décroissante sur } I$

$\lambda > 0 \implies \lambda f \text{ a le même sens de variation que } f$

$\lambda < 0 \implies \lambda f \text{ a un sens de variation contraire à celui de } f$

Remarque

Si $f$ et $g$ ont des sens de variation contraires, on ne peut déduire aucune règle générale pour leur somme sans étude spécifique.

Définition · 19

Variations de la racine carrée $\sqrt{f}$ et de l'inverse $\frac{1}{u}$

f \text{ est une fonction positive sur } I

$\sqrt{f} \text{ a le même sens de variation que } f \text{ sur } I$

u \text{ garde un signe constant et ne s'annule pas sur } I

$\frac{1}{u} \text{ a le sens de variation contraire de } u \text{ sur } I$

Exemple travaillé · 20

Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur $]0\,\;\,+\infty[$ par $f(x) = -2x + 1 + \frac{3}{x}$ .

1

On décompose $f$ sous la forme $f = u + v$ avec $u(x) = -2x + 1$ et $v(x) = \frac{3}{x}$ .

2

La fonction affine $u$ a pour coefficient directeur $-2 < 0$ , elle est donc strictement décroissante sur $]0\,\;\,+\infty[$ .

3

La fonction usuelle $x \mapsto \frac{1}{x}$ est strictement décroissante sur $]0\,\;\,+\infty[$ . En multipliant par la constante $3 > 0$ , la fonction $v$ est strictement décroissante sur $]0\,\;\,+\infty[$ .

4

Comme somme de deux fonctions strictement décroissantes sur $]0\,\;\,+\infty[$ , $f$ est strictement décroissante sur $]0\,\;\,+\infty[$ .

Exemple travaillé · 21

Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur $]-\infty\,\;\,2]$ par $f(x) = \sqrt{-x^2+4x+5}$ .

1

Posons $u(x) = -x^2 + 4x + 5$ . C'est un trinôme du second degré avec $a = -1 < 0$ .

2

L'abscisse du sommet de la parabole est $\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2$ .

3

Puisque $a < 0$ , la parabole est orientée vers le bas : la fonction $u$ est strictement croissante sur $]-\infty\,\;\,2]$ .

4

Sur l'intervalle où $u(x) \ge 0$ , la fonction racine carrée $\sqrt{u}$ conserve le sens de variation de $u$ .

5

La fonction $f = \sqrt{u}$ est donc strictement croissante sur $]-\infty\,\;\,2]$ .

Piège classique · 22

La fonction $u(x) = x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Peut-on affirmer que la fonction inverse $g(x) = \frac{1}{x}$ est strictement décroissante sur l'ensemble $\mathbb{R}^* = ]-\infty\,\;\,0[ \cup ]0\,\;\,+\infty[$ ?

Attention

Affirmer que $\frac{1}{u}$ est décroissante sur une réunion d'intervalles où $u$ change de signe.

À la place : Le théorème des variations de $\frac{1}{u}$ exige que $u$ garde un signe strictement constant. La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,\;\,0[$ et sur $]0\,\;\,+\infty[$ séparément, mais pas sur leur réunion (par exemple $-1 < 1$ mais $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac{1}{1}$ ).

Exemple travaillé · 23

Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie sur $[0\,\;\,+\infty[$ par $f(x) = (x^2+3)\sqrt{x}$ .

1

On pose $u(x) = x^2+3$ et $v(x) = \sqrt{x}$ sur $[0\,\;\,+\infty[$ .

2

La fonction carrée étant strictement croissante sur $[0\,\;\,+\infty[$ , la fonction $u: x \mapsto x^2+3$ est strictement croissante sur $[0\,\;\,+\infty[$ .

3

La fonction usuelle $v: x \mapsto \sqrt{x}$ est strictement croissante sur $[0\,\;\,+\infty[$ .

4

Vérifions les signes : pour tout $x \ge 0$ , $u(x) = x^2+3 \ge 3 > 0$ et $v(x) = \sqrt{x} \ge 0$ .

5

Puisque $u$ et $v$ sont deux fonctions strictement croissantes et positives sur $[0\,\;\,+\infty[$ , leur produit $f = u \times v$ est strictement croissant sur $[0\,\;\,+\infty[$ .

Vérification · 24

Soit la fonction $h$ définie sur $[1\,\;\,+\infty[$ par $h(x) = -3x + 2 - \sqrt{x-1}$ . Quel est le sens de variation de $h$ sur $[1\,\;\,+\infty[$ ?

Remarque

La fonction affine $x \mapsto -3x+2$ est strictement décroissante sur $[1\,\;\,+\infty[$ . La fonction $x \mapsto x-1$ est croissante et positive, donc $x \mapsto \sqrt{x-1}$ est strictement croissante, ce qui donne $x \mapsto -\sqrt{x-1}$ strictement décroissante. Comme somme de deux fonctions strictement décroissantes, $h$ est strictement décroissante sur $[1\,\;\,+\infty[$ .

Point de départ · 25

On considère la parabole de référence d'équation $y = x^2$ , dont le sommet est en $(0\,\;\,0)$ . Où se situe le sommet de la parabole d'équation $y = (x-2)^2$ ?

Remarque

Pour que $(x-2)^2 = 0$ , il faut $x = 2$ . Le minimum $0$ est donc atteint en $x = 2$ : le sommet est en $(2\,\;\,0)$ . La parabole s'est déplacée de $2$ unités vers la droite.

Définition · 26

Translations de courbes

Soit $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$ .

$g(x) = f(x - a) \iff \mathcal{C}_g = t_{a\vec{i}}(\mathcal{C}_f)$

$g(x) = f(x) + b \iff \mathcal{C}_g = t_{b\vec{j}}(\mathcal{C}_f)$

$g(x) = f(x - a) + b \iff \mathcal{C}_g = t_{a\vec{i} + b\vec{j}}(\mathcal{C}_f)$

Piège classique · 27

Soit $f(x) = x^2$ . Par quelle transformation géométrique obtient-on la courbe de $g(x) = (x+3)^2$ à partir de $\mathcal{C}_f$ ?

Attention

Penser que $(x+3)$ correspond à un décalage vers la droite de vecteur $3\vec{i}$ en suivant le signe « + ».

À la place : On écrit $g(x) = f(x - (-3))$ . La courbe $\mathcal{C}_g$ est l'image de $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $-3\vec{i}$ , soit un glissement de $3$ unités vers la gauche.

Définition · 28

Courbes avec valeur absolue : $|f(x)|$ et $f(|x|)$

Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.

$g(x) = |f(x)| \implies \begin{cases} \mathcal{C}_g = \mathcal{C}_f & \text{sur les intervalles où } f(x) \ge 0 \\ \mathcal{C}_g = S_{(Ox)}(\mathcal{C}_f) & \text{sur les intervalles où } f(x) < 0 \end{cases}$

$h(x) = f(|x|) \implies h \text{ est paire : } \begin{cases} \mathcal{C}_h = \mathcal{C}_f & \text{sur } D_f \cap \mathbb{R}_+ \\ \mathcal{C}_h = S_{(Oy)}(\mathcal{C}_h \cap \mathbb{R}_+) & \text{sur } D_f \cap \mathbb{R}_- \end{cases}$

Piège classique · 29

Pour tracer la courbe de $h(x) = f(|x|)$ à partir de la courbe de $f$ , quelle méthode applique-t-on ?

Attention

Confondre $f(|x|)$ avec $|f(x)|$ en rabattant les ordonnées négatives vers le haut par rapport à l'axe $(Ox)$ .

À la place : Dans $f(|x|)$ , la valeur absolue est à l'intérieur de la variable : $h$ est paire. On conserve la partie droite ( $x \ge 0$ ) et on la reproduit à gauche ( $x < 0$ ) par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$ .

Exemple travaillé · 30

Soit la fonction $f: x \mapsto -\frac{3}{2}x^2$ . Décrire les étapes de construction de la courbe de $g: x \mapsto -\frac{3}{2}(x-2)^2$ , puis de celle de $h: x \mapsto -\frac{3}{2}(|x|-2)^2$ .

1

On reconnaît $g(x) = f(x-2)$ . La courbe $\mathcal{C}_g$ est l'image de la parabole $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $2\vec{i}$ . Son sommet est le point $S(2\,\;\,0)$ .

2

Pour tout $x \ge 0$ , $|x| = x$ , donc $h(x) = -\frac{3}{2}(x-2)^2 = g(x)$ . La courbe $\mathcal{C}_h$ coïncide donc avec $\mathcal{C}_g$ sur $[0\,\;\,+\infty[$ .

3

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $h(-x) = -\frac{3}{2}(|-x|-2)^2 = -\frac{3}{2}(|x|-2)^2 = h(x)$ . La fonction $h$ est paire.

4

On complète $\mathcal{C}_h$ sur $]-\infty\,\;\,0]$ en traçant le symétrique de la branche positive par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$ .

Vérification · 31

Soit la fonction inverse $f: x \mapsto \frac{1}{x}$ . Par quelles transformations géométriques successives obtient-on la courbe de $k: x \mapsto -\frac{1}{x+1} + 4$ à partir de $\mathcal{C}_f$ ?

Remarque

L'expression $x+1 = x - (-1)$ correspond à une translation horizontale de vecteur $-\vec{i}$ . Le signe « - » devant le quotient applique une symétrie orthogonale par rapport à l'axe des abscisses $(Ox)$ . L'ajout de $+4$ applique enfin une translation verticale de vecteur $4\vec{j}$ .

Point de départ · 32

Par définition, la partie entière d'un réel $x$ , notée $E(x)$ , est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x$ . Que vaut $E(-1{,}2)$ ?

Remarque

L'entier immédiatement inférieur ou égal à $-1{,}2$ est $-2$ , car $-2 \le -1{,}2 < -1$ . L'entier $-1$ est strictement supérieur à $-1{,}2$ .

Définition · 33

Fonction Partie Entière

Pour tout réel $x$ , il existe un unique entier relatif $n \in \mathbb{Z}$ tel que :

n \le x < n + 1

$E(x) = n$

$\forall x \in \mathbb{R}, \quad E(x) \le x < E(x) + 1$

Piège classique · 34

Que vaut la partie entière du réel négatif $-3{,}7$ ?

Attention

Penser que $E(-3{,}7) = -3$ par simple troncature de la partie décimale.

À la place : Pour un nombre négatif non entier, on prend l'entier situé à gauche sur l'axe réel. Puisque $-4 \le -3{,}7 < -3$ , on a $E(-3{,}7) = -4$ .

Définition · 35

Fonction affine par intervalles

$f \text{ est affine par intervalles} \iff \text{sa restriction à chaque intervalle est de la forme } x \mapsto ax+b$

Remarque

La courbe représentative d'une fonction affine par intervalles est constituée d'une réunion de segments de droites ou de demi-droites.

Exemple travaillé · 36

Soit la fonction $f$ définie sur $[-2\,\;\,2]$ par $f(x) = 1 - x E(x)$ . Exprimer $f(x)$ sans le symbole $E(x)$ et montrer qu'elle est affine par intervalles.

1

On découpe l'intervalle d'étude selon les entiers consécutifs :

2

Si $x \in [-2\,\;\,-1[$ , alors $E(x) = -2$ , donc $f(x) = 1 - x(-2) = 1 + 2x$ .

3

Si $x \in [-1\,\;\,0[$ , alors $E(x) = -1$ , donc $f(x) = 1 - x(-1) = 1 + x$ .

4

Si $x \in [0\,\;\,1[$ , alors $E(x) = 0$ , donc $f(x) = 1 - x(0) = 1$ .

5

Si $x \in [1\,\;\,2[$ , alors $E(x) = 1$ , donc $f(x) = 1 - x(1) = 1 - x$ .

6

Si $x = 2$ , alors $E(2) = 2$ , donc $f(2) = 1 - 2(2) = -3$ .

7

Sur chaque sous-intervalle, $f(x)$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à 1 : $f$ est une fonction affine par intervalles.

Exemple travaillé · 37

On considère la fonction $f$ définie sur $[-1\,\;\,2]$ par $f(x) = E(x) - 2E\left(\frac{x}{2}\right)$ . Donner l'expression simplifiée de $f(x)$ sur chaque sous-intervalle.

1

Les sauts ont lieu aux entiers pour $E(x)$ et aux entiers pairs pour $E\left(\frac{x}{2}\right)$ . Subdivisons l'intervalle $[-1\,\;\,2]$ :

2

Si $x \in [-1\,\;\,0[$ : on a $E(x) = -1$ . De plus $-\frac{1}{2} \le \frac{x}{2} < 0 \implies E\left(\frac{x}{2}\right) = -1$ . Donc $f(x) = -1 - 2(-1) = 1$ .

3

Si $x \in [0\,\;\,1[$ : on a $E(x) = 0$ et $0 \le \frac{x}{2} < \frac{1}{2} \implies E\left(\frac{x}{2}\right) = 0$ . Donc $f(x) = 0 - 2(0) = 0$ .

4

Si $x \in [1\,\;\,2[$ : on a $E(x) = 1$ et $\frac{1}{2} \le \frac{x}{2} < 1 \implies E\left(\frac{x}{2}\right) = 0$ . Donc $f(x) = 1 - 2(0) = 1$ .

5

Si $x = 2$ : on a $E(2) = 2$ et $E(1) = 1$ . Donc $f(2) = 2 - 2(1) = 0$ .

Exemple travaillé · 38

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = |1-x| - |2x+4| + x$ . Écrire $f(x)$ sans le symbole de la valeur absolue.

1

On étudie le signe des expressions intérieures : $1-x = 0 \iff x = 1$ et $2x+4 = 0 \iff x = -2$ .

2

Si $x \in ]-\infty\,\;\,-2]$ : $|1-x| = 1-x$ et $|2x+4| = -(2x+4) = -2x-4$ . On obtient : $f(x) = (1-x) - (-2x-4) + x = 2x + 5$ .

3

Si $x \in [-2\,\;\,1]$ : $|1-x| = 1-x$ et $|2x+4| = 2x+4$ . On obtient : $f(x) = (1-x) - (2x+4) + x = -2x - 3$ .

4

Si $x \in [1\,\;\,+\infty[$ : $|1-x| = -(1-x) = x-1$ et $|2x+4| = 2x+4$ . On obtient : $f(x) = (x-1) - (2x+4) + x = -5$ .

Vérification · 39

Soit la fonction $g$ définie sur $[-2\,\;\,-1[$ par $g(x) = x + E(x)$ . Quelle est l'expression simplifiée de $g(x)$ sur cet intervalle ?

Remarque

Pour tout $x \in [-2\,\;\,-1[$ , on a $-2 \le x < -1$ , donc $E(x) = -2$ . L'expression devient immédiatement $g(x) = x - 2$ .

Point de départ · 40

Pour résoudre l'équation $\sqrt{x+4} = \frac{-4}{x-2}$ , peut-on élever directement les deux membres au carré sans aucune condition préalable sur les signes ?

Remarque

Une racine carrée est toujours positive ou nulle. Pour que l'égalité $\sqrt{x+4} = \frac{-4}{x-2}$ soit possible, le membre de droite doit impérativement être positif ou nul : $\frac{-4}{x-2} \ge 0$ , ce qui impose $x-2 < 0$ , soit $x < 2$ .

Définition · 41

Résolution d'équations irrationnelles du type $\sqrt{A(x)} = B(x)$

Soient $A$ et $B$ deux fonctions réelles.

$\sqrt{A(x)} = B(x) \iff \begin{cases} A(x) = [B(x)]^2 \\ B(x) \ge 0 \end{cases}$

Remarque

La condition $A(x) \ge 0$ est automatiquement satisfaite dès que $A(x) = [B(x)]^2$ , mais la condition $B(x) \ge 0$ est obligatoire pour préserver l'équivalence.

Piège classique · 42

En élevant au carré l'équation $\sqrt{x+4} = \frac{-4}{x-2}$ , on obtient après simplification l'équation polynomiale $x(x^2 - 12) = 0$ , dont les racines sont $0$ , $2\sqrt{3}$ et $-2\sqrt{3}$ . La valeur $2\sqrt{3}$ est-elle une solution de l'équation de départ ?

Attention

Considérer que toutes les solutions de l'équation élevée au carré sont valables pour l'équation avec racine carrée.

À la place : Pour $x = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ , le dénominateur $x-2 = 2\sqrt{3}-2 > 0$ , donc $\frac{-4}{x-2} < 0$ . Or $\sqrt{x+4} \ge 0$ . Une quantité positive ne peut pas valoir un nombre strictement négatif : $2\sqrt{3}$ est une solution parasite introduite par le carré.

Exemple travaillé · 43

Déterminer les coordonnées des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ définies par $f(x) = \sqrt{x+4}$ et $g(x) = \frac{-4}{x-2}$ .

1

On cherche les points $M(x\,\;\,y)$ vérifiant le système $y = f(x)$ et $y = g(x)$ avec $x \ge -4$ et $x \neq 2$ .

2

L'égalité $\sqrt{x+4} = \frac{-4}{x-2}$ impose $\frac{-4}{x-2} \ge 0$ , soit $x-2 < 0 \iff x < 2$ . L'intervalle de recherche est donc $[-4\,\;\,2[$ .

3

x+4 = \frac{16}{(x-2)^2} \iff (x+4)(x^2-4x+4) = 16 \iff x^3 - 12x = 0

4

On factorise : $x(x^2 - 12) = 0$ , ce qui donne les candidats $x = 0$ , $x = -2\sqrt{3}$ et $x = 2\sqrt{3}$ .

5

On filtre avec $[-4\,\;\,2[$ : $0 \in [-4\,\;\,2[$ et $-2\sqrt{3} \approx -3{,}46 \in [-4\,\;\,2[$ , tandis que $2\sqrt{3} > 2$ est rejeté.

6

On calcule les ordonnées : pour $x=0$ , $y = \sqrt{4} = 2$ . Pour $x=-2\sqrt{3}$ , $y = \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{3}-1$ .

7

Les points d'intersection sont $A(0\,\;\,2)$ et $B(-2\sqrt{3}\,\;\,\sqrt{3}-1)$ .

Définition · 44

Résolution d'équations fonctionnelles liant $f(x)$ et $f(-x)$

Lorsqu'une relation fonctionnelle fait intervenir simultanément $f(x)$ et $f(-x)$ pour tout réel $x$ :

$\text{On substitue } x \text{ par } -x \text{ dans toute l'égalité pour former un système de deux équations à deux inconnues } f(x) \text{ et } f(-x).$

Remarque

On résout ensuite le système linéaire obtenu pour isoler l'expression explicite de $f(x)$ .

Exemple travaillé · 45

Déterminer l'expression de la fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sachant que pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
$3f(x) + f(-x) = 4x^3 + 2x$

1

L'égalité de départ est (E1) : $3f(x) + f(-x) = 4x^3 + 2x$ .

2

Remplaçons $x$ par $-x$ dans toute l'équation pour obtenir (E2) :

3

3f(-x) + f(-(-x)) = 4(-x)^3 + 2(-x) \implies 3f(-x) + f(x) = -4x^3 - 2x

4

De (E1), on exprime $f(-x) = 4x^3 + 2x - 3f(x)$ et on substitue dans (E2) :

5

3(4x^3 + 2x - 3f(x)) + f(x) = -4x^3 - 2x

6

12x^3 + 6x - 9f(x) + f(x) = -4x^3 - 2x \implies -8f(x) = -16x^3 - 8x

7

En divisant par $-8$ , on obtient pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f(x) = 2x^3 + x$ .

Vérification · 46

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ vérifiant pour tout réel $x$ : $f(x) + x f(-x) = x^2$ . Que vaut $f(x)$ pour tout réel $x$ ?

Remarque

En remplaçant $x$ par $-x$ , on obtient $f(-x) - x f(x) = x^2$ , d'où $f(-x) = x^2 + x f(x)$ . En remplaçant dans la première équation : $f(x) + x(x^2 + x f(x)) = x^2 \iff f(x)(1+x^2) = x^2 - x^3 \iff f(x) = \frac{x^2(1-x)}{1+x^2}$ .

Généralités sur les fonctions — cours

Le cours

Conditions d'existence d'une fonction

Parité d'une fonction et interprétation géométrique

Fonctions majorées, minorées et bornées

Extremums d'une fonction : Maximum et Minimum

Définition du sens de variation

Opérations sur les variations : Somme et Multiplication par un réel

Variations de la racine carrée $\sqrt{f}$ et de l'inverse $\frac{1}{u}$

Translations de courbes

Courbes avec valeur absolue : $|f(x)|$ et $f(|x|)$

Fonction Partie Entière

Fonction affine par intervalles

Résolution d'équations irrationnelles du type $\sqrt{A(x)} = B(x)$

Résolution d'équations fonctionnelles liant $f(x)$ et $f(-x)$

Chapitres liés

Continuer sur Lumio

Généralités sur les fonctions — cours

Le cours

Conditions d'existence d'une fonction

Parité d'une fonction et interprétation géométrique

Fonctions majorées, minorées et bornées

Extremums d'une fonction : Maximum et Minimum

Définition du sens de variation

Opérations sur les variations : Somme et Multiplication par un réel

Variations de la racine carrée f\sqrt{f}f​ et de l'inverse 1u\frac{1}{u}u1​

Translations de courbes

Courbes avec valeur absolue : ∣f(x)∣|f(x)|∣f(x)∣ et f(∣x∣)f(|x|)f(∣x∣)

Fonction Partie Entière

Fonction affine par intervalles

Résolution d'équations irrationnelles du type A(x)=B(x)\sqrt{A(x)} = B(x)A(x)​=B(x)

Résolution d'équations fonctionnelles liant f(x)f(x)f(x) et f(−x)f(-x)f(−x)

Chapitres liés

Continuer sur Lumio

Variations de la racine carrée $\sqrt{f}$ et de l'inverse $\frac{1}{u}$

Courbes avec valeur absolue : $|f(x)|$ et $f(|x|)$

Résolution d'équations irrationnelles du type $\sqrt{A(x)} = B(x)$

Résolution d'équations fonctionnelles liant $f(x)$ et $f(-x)$