Généralités sur les fonctions — exercices corrigés

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par ses propriétés générales d'extremums et de bornitude. On suppose que $f$ possède une structure globale permettant d'analyser ses bornes et ses extremums sans expression analytique explicite.

1. 1. Montrer que la fonction admet un majorant sur l'ensemble des réels.

   Indice — Examine la définition d'une fonction majorée sur l'ensemble des réels et exploite les propriétés de l'ensemble image.

   Correction

   Par hypothèse, l'ensemble image $f(\mathbb{R})$ est borné. D'après la définition d'une fonction majorée, il existe un réel $M$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \le M$. Tout réel supérieur ou égal à $M$ constitue donc un majorant de $f$ sur $\mathbb{R}$.

2. 2. Déterminer la borne supérieure de l'ensemble image.

   Indice — Utilise la caractérisation de la borne supérieure en termes de supremum de l'ensemble image.

   Correction

   L'ensemble image $f(\mathbb{R})$ est une partie de $\mathbb{R}$ non vide et majorée. En vertu de l'axiome de la borne supérieure (propriété de complétude de $\mathbb{R}$), cet ensemble admet une unique borne supérieure, notée $S = \sup_{x \in \mathbb{R}} f(x)$.

3. 3. Prouver par l'absurde que cette borne supérieure est atteinte en au moins un point.

   Indice — Suppose par l'absurde que le supremum n'est atteint en aucun point et construis une suite ou un encadrement contradictoire.

   Correction

   Supposons par l'absurde que la borne supérieure $S$ n'est atteinte en aucun point, c'est-à-dire que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) < S$. Par caractérisation du supremum, il existe une suite $(x_n)$ telle que $\lim_{n \to +\infty} f(x_n) = S$. En utilisant la continuité de $f$ et l'existence d'un intervalle compact (grâce aux limites de $f$ à l'infini), on extrait une sous-suite de $(x_n)$ convergeant vers un réel $x^*$. Par continuité, $f(x^*) = S$, ce qui contredit l'hypothèse $f(x) < S$ pour tout $x$.

4. 4. Déterminer l'ensemble de tous les réels en lesquels ce maximum est atteint.

   Indice — Étudie les variations ou les conditions pour lesquelles l'égalité est atteinte dans la majoration.

   Correction

   L'ensemble des points où le maximum est atteint correspond à l'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = S$, soit l'image réciproque $f^{-1}(\{S\})$. D'après l'étude des variations de $f$ et de ses symétries globales, cet ensemble est caractérisé par les points d'annulation de la dérivée $f'(x) = 0$ associés à un changement de signe de positif à négatif.

5. 5. Montrer que la fonction est nécessairement bornée inférieurement.

   Indice — Raisonne sur l'existence d'une minoration en utilisant la structure globale de la fonction.

   Correction

   Par l'hypothèse de la structure globale de $f$ (coercivité, c'est-à-dire $\lim_{|x| \to +\infty} f(x) = +\infty$), il existe un réel $M > 0$ tel que pour tout $|x| > M$, $f(x) \ge f(0)$. Sur le segment compact $[-M, M]$, la fonction $f$ est continue, donc bornée inférieurement par un réel $m_0$. Ainsi, $f$ est minorée sur $\mathbb{R}$ par $\min(m_0, f(0))$, ce qui montre qu'elle est bornée inférieurement.

6. 6. Déterminer la borne inférieure de l'ensemble image.

   Indice — Considère l'infimum de l'ensemble image et sa relation avec les valeurs prises par la fonction.

   Correction

   L'ensemble image $f(\mathbb{R})$ étant une partie non vide et minorée de $\mathbb{R}$ (d'après la question précédente), il admet une borne inférieure unique dans $\mathbb{R}$, notée $m = \inf f(\mathbb{R})$. Par définition de la borne inférieure, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \ge m$, et il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $\mathbb{R}$ telle que $\lim_{n \to +\infty} f(x_n) = m$.

7. 7. Établir l'existence d'un minimum global.

   Indice — Vérifie si la borne inférieure appartient à l'ensemble image en analysant les limites ou les valeurs aux bornes.

   Correction

   La suite $(x_n)$ telle que $f(x_n) \to m$ est nécessairement bornée en raison de la coercivité de $f$ (si elle ne l'était pas, une sous-suite divergerait vers l'infini, impliquant que $f(x_n) \to +\infty$, ce qui contredit la convergence vers $m$). Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut extraire une sous-suite convergente $x_{\phi(n)} \to x^*$. Par continuité de $f$, on obtient $f(x^*) = \lim f(x_{\phi(n)}) = m$. La borne inférieure $m$ est donc atteinte en $x^*$, ce qui établit l'existence d'un minimum global.

8. 8. Déduire l'ensemble image complet de la fonction.

   Indice — Rassemble les bornes et la connexité ou la nature de l'ensemble image pour conclure sur son expression exacte.

   Correction

   La fonction $f$ étant continue sur l'intervalle $\mathbb{R}$, son image $f(\mathbb{R})$ est un intervalle d'après le théorème des valeurs intermédiaires. Comme $f$ admet un minimum global $m$ et que $\lim_{|x| \to +\infty} f(x) = +\infty$, l'ensemble image est l'intervalle non borné $[m, +\infty[$.

9. 9. Caractériser toutes les fonctions vérifiant les mêmes propriétés d'extremums.

   Indice — Examine l'unicité ou la famille de fonctions partageant les mêmes extremums globaux sous les hypothèses données.

   Correction

   Les extremums globaux d'une fonction sont définis par leurs valeurs maximale et minimale ainsi que par les points $x$ où ils sont atteints. Les fonctions $g$ partageant exactement les mêmes extremums que $f$ sont donc celles vérifiant $g(x_{\min}) = f(x_{\min})$ et $g(x_{\max}) = f(x_{\max})$, tout en respectant la contrainte $\min f \le g(x) \le \max f$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{2x + 2}$, et l'on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
Pour tout réel $m$, soit $\mathcal{D}_m$ la droite d'équation $y = x - m$.

1. 1). Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.

   Indice — Quelle condition doit vérifier la quantité $2x + 2$ sous le radical ?

   Correction

   La fonction racine carrée est définie si et seulement si son radicande est positif ou nul. On résout $2x + 2 \ge 0$, ce qui donne $x \ge -1$. L'ensemble de définition est donc $D_f = [-1\,;\,+\infty[$.

2. 2). Montrer que pour tout réel $m$, l'équation $f(x) = x - m$ est équivalente au système :

   $$\begin{cases} x \ge m \\ x^2 - 2(m+1)x + (m^2 - 2) = 0 \end{cases}$$

   Indice — Quelle est la condition nécessaire sur le membre de droite de l'égalité $\sqrt{2x+2} = x - m$ avant d'élever chaque membre au carré ?

   Correction

   L'égalité $\sqrt{2x + 2} = x - m$ impose que le membre de droite soit positif ou nul, soit $x - m \ge 0 \iff x \ge m$.
   Sous cette condition d'existence et d'équivalence, on élève au carré de chaque côté : $2x + 2 = (x - m)^2 = x^2 - 2mx + m^2$.
   En regroupant tous les termes dans un même membre, on obtient $x^2 - 2(m+1)x + (m^2 - 2) = 0$.
   L'équation est donc équivalente au système :
   $$\begin{cases} x \ge m \\ x^2 - 2(m+1)x + (m^2 - 2) = 0 \end{cases}$$

3. 3). Calculer le discriminant réduit $\Delta'(m)$ du trinôme $x^2 - 2(m+1)x + (m^2 - 2)$ et étudier son signe selon les valeurs du paramètre réel $m$.

   Indice — Que vaut $\Delta'(m) = (m+1)^2 - (m^2 - 2)$ ?

   Correction

   Pour le trinôme $x^2 - 2(m+1)x + (m^2 - 2)$, le discriminant réduit s'écrit $\Delta'(m) = (-(m+1))^2 - 1 \cdot (m^2 - 2) = (m+1)^2 - m^2 + 2 = 2m + 3$.
   On étudie le signe de $\Delta'(m)$ :
   - $\Delta'(m) > 0 \iff m > -\frac{3}{2}$
   - $\Delta'(m) = 0 \iff m = -\frac{3}{2}$
   - $\Delta'(m) < 0 \iff m < -\frac{3}{2}$

4. 4). Pour $m \in \left]-\infty\,;\,-\frac{3}{2}\right[$, déterminer le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite $\mathcal{D}_m$.

   Indice — Quel est le signe de $\Delta'(m)$ lorsque $m \in \left]-\infty\,;\,-\frac{3}{2}\right[$ ?

   Correction

   Les points d'intersection entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}_m$ sont donnés par les solutions de l'équation $f(x) = x - m$.
   Si $m \in \left]-\infty\,;\,-\frac{3}{2}\right[$, alors $m < -\frac{3}{2}$ et le discriminant réduit $\Delta'(m) = 2m + 3$ est strictement négatif. L'équation du second degré n'a donc aucune solution réelle.
   Par conséquent, la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\mathcal{D}_m$ n'ont aucun point d'intersection.

5. 5). Étudier le cas particulier $m = -\frac{3}{2}$ et déterminer le nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}_{-\frac{3}{2}}$.

   Indice — Que vaut la racine double $x_0$ du trinôme pour $m = -\frac{3}{2}$, et vérifie-t-elle la condition $x_0 \ge m$ ?

   Correction

   Pour $m = -\frac{3}{2}$, le discriminant du trinôme $x^2 - 2(m+1)x + m^2 - 2 = 0$ est nul. Le trinôme admet donc une unique racine double $x_0 = m + 1 = -\frac{1}{2}$. On vérifie bien la condition d'existence $x_0 \ge m$ car $-\frac{1}{2} \ge -\frac{3}{2}$. Il y a donc exactement 1 point d'intersection.

6. 6). Pour $m \in \left]-\frac{3}{2}\,;\,-1\right]$, exprimer les deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ du trinôme en fonction de $m$, puis prouver qu'elles satisfont toutes deux la condition $x \ge m$. En déduire le nombre de points d'intersection.

   Indice — Regarde le signe de la différence $x_1 - m = 1 - \sqrt{2m+3}$ lorsque $m \le -1$.

   Correction

   Les racines sont $x_1 = m + 1 - \sqrt{2m+3}$ et $x_2 = m + 1 + \sqrt{2m+3}$.
   On a immédiatement $x_2 - m = 1 + \sqrt{2m+3} > 0$, soit $x_2 > m$.
   Pour $m \in \left]-\frac{3}{2}\,;\,-1\right]$, $2m+3 \le 1$ donc $\sqrt{2m+3} \le 1$, d'où $x_1 - m = 1 - \sqrt{2m+3} \ge 0$, soit $x_1 \ge m$.
   Les deux racines respectent la condition $x \ge m$ : il y a donc 2 points d'intersection.

7. 7). Pour $m \in \left]-1\,;\,+\infty\right[$, étudier le signe de $x_1 - m$ et conclure quant au nombre exact de points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}_m$.

   Indice — Pour $m > -1$, que vaut le signe de $1 - \sqrt{2m+3}$ ? La racine $x_1$ peut-elle alors vérifier la condition $x_1 \ge m$ ?

   Correction

   Pour $m > -1$, $2m+3 > 1$ donc $\sqrt{2m+3} > 1$. On en déduit $x_1 - m = 1 - \sqrt{2m+3} < 0$, soit $x_1 < m$. La racine $x_1$ ne convient pas. Seule $x_2$ vérifie $x_2 \ge m$, ce qui donne exactement 1 point d'intersection.

8. 8). Dresser la synthèse en exprimant, selon les valeurs du réel $m$, le nombre $N(m)$ de points d'intersection entre la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\mathcal{D}_m$.

   Indice — Rassemble les résultats obtenus sur chacun des sous-ensembles formant la partition de $\mathbb{R}$.

   Correction

   En ajoutant le cas $m < -\frac{3}{2}$ (pour lequel le discriminant est strictement négatif, soit 0 point), le nombre $N(m)$ de points d'intersection est :
   - $N(m) = 0$ pour $m \in \left]-\infty\,;\,-\frac{3}{2}\right[$ ;
   - $N(m) = 1$ pour $m = -\frac{3}{2}$ et $m \in \left]-1\,;\,+\infty\right[$ ;
   - $N(m) = 2$ pour $m \in \left]-\frac{3}{2}\,;\,-1\right]$.

On considère la fonction $f$ définie par :
$$f(x) = \frac{4x^2 - 6x - 4}{|4 - x^2| + x^2 - 4}$$
On note $D_f$ son ensemble de définition.

1. 1. Établir la condition nécessaire et suffisante sur le réel $x$ pour que $f(x)$ soit définie, sous la forme d'une inéquation ou d'une non-égalité faisant intervenir une valeur absolue.

   Indice — Le dénominateur d'une fraction rationnelle ne doit jamais s'annuler. Pose l'équation d'annulation du dénominateur.

   Correction

   La fonction $f$ est définie si et seulement si son dénominateur est non nul. La condition nécessaire et suffisante de définition est donc $|4 - x^2| + x^2 - 4 \neq 0$, ce qui se réécrit sous la forme :
   $$|4 - x^2| \neq 4 - x^2$$

2. 2. En utilisant la propriété générale de la valeur absolue $|X| = X \iff X \ge 0$, résoudre l'équation $|4 - x^2| = 4 - x^2$ et en déduire que l'ensemble de définition de $f$ est $D_f = ]-\infty\,;\,-2[ \cup ]2\,;\,+\infty[$.

   Indice — Identifie $X$ dans la propriété proposée et résous l'inéquation du second degré obtenue pour trouver les valeurs interdites.

   Correction

   En posant $X = 4 - x^2$, l'égalité $|4 - x^2| = 4 - x^2$ équivaut à $4 - x^2 \ge 0$, c'est-à-dire $x^2 \le 4$.

   La résolution de cette inéquation du second degré donne l'intervalle $[-2, 2]$, qui correspond à l'ensemble des valeurs interdites pour lesquelles le dénominateur s'annule. L'ensemble de définition de $f$ est le complémentaire de cet intervalle dans $\mathbb{R}$ :
   $$D_f = ]-\infty\,;\,-2[ \cup ]2\,;\,+\infty[$$

3. 3. Pour tout $x \in D_f$, déterminer le signe de $4 - x^2$ et en déduire l'expression de $|4 - x^2|$ sans le symbole de la valeur absolue.

   Indice — Utilise le fait que $x$ appartient à $D_f$ pour situer $x^2$ par rapport à $4$.

   Correction

   Pour tout $x \in D_f$, on a par définition $x < -2$ ou $x > 2$. En élevant au carré, on obtient $x^2 > 4$, ce qui équivaut à $4 - x^2 < 0$.

   Puisque la quantité sous la valeur absolue est strictement négative, on a :
   $$|4 - x^2| = -(4 - x^2) = x^2 - 4$$

4. 4. Montrer que pour tout $x \in D_f$, le dénominateur de $f(x)$ se simplifie sous la forme $2(x - 2)(x + 2)$ et factoriser le numérateur $4x^2 - 6x - 4$.

   Indice — Remplace la valeur absolue par l'expression trouvée à la question précédente, puis cherche une racine évidente pour le numérateur ou factorise par $2$.

   Correction

   En substituant l'expression de la valeur absolue obtenue à la question précédente, le dénominateur de $f(x)$ devient :
   $$(x^2 - 4) + x^2 - 4 = 2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x - 2)(x + 2)$$

   Pour le numérateur $4x^2 - 6x - 4$, la recherche de ses racines (par exemple via le calcul du discriminant $\Delta = 100$) donne $x_1 = 2$ et $x_2 = -\frac{1}{2}$. On obtient ainsi la forme factorisée :
   $$4x^2 - 6x - 4 = 4(x - 2)\left(x + \frac{1}{2}\right) = 2(x - 2)(2x + 1)$$

5. 5. En déduire que pour tout $x \in D_f$, l'expression simplifiée de $f(x)$ est donnée par $f(x) = \frac{2x + 1}{x + 2}$.

   Indice — Simplifie les facteurs communs au numérateur et au dénominateur en justifiant que $x \ne 2$.

   Correction

   Pour tout $x \in D_f$, on a $x^2 > 4$, d'où $|4 - x^2| = x^2 - 4$. Le dénominateur de $f(x)$ s'écrit alors $2x^2 - 8 = 2(x - 2)(x + 2)$.

   En factorisant le numérateur, on obtient $4x^2 - 6x - 4 = 2(2x + 1)(x - 2)$.

   Comme $x \in D_f$, on a $x \neq 2$. On peut donc simplifier par le facteur commun $2(x - 2)$ :
   $$f(x) = \frac{2(2x + 1)(x - 2)}{2(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x + 1}{x + 2}$$

6. 6. Montrer que pour tout $x \in D_f$, on a l'égalité : $$f(x) = 2 - \frac{3}{x + 2}$$

   Indice — Pars du membre de droite et réduis au même dénominateur pour retrouver l'expression simplifiée de la question précédente.

   Correction

   Pour tout $x \in D_f$, on réduit au même dénominateur le membre de droite :
   $$2 - \frac{3}{x + 2} = \frac{2(x + 2) - 3}{x + 2} = \frac{2x + 4 - 3}{x + 2} = \frac{2x + 1}{x + 2}$$

   On retrouve bien l'expression de $f(x)$ obtenue à la question précédente.

7. 7. Soient $a$ et $b$ deux réels de l'intervalle $]2\,;\,+\infty[$ tels que $a < b$. En utilisant l'expression obtenue à la question précédente, comparer $f(a)$ et $f(b)$ par étapes successives d'encadrement.

   Indice — Commence par l'inégalité $2 < a < b$, puis ajoute $2$, applique la fonction inverse (attention au changement de sens), multiplie par $-3$ et ajoute $2$.

   Correction

   Soient $a$ et $b$ deux réels de l'intervalle $]2\,;\,+\infty[$ tels que $a < b$. On procède par encadrements successifs :
   1. On ajoute $2$ : $4 < a + 2 < b + 2$.
   2. La fonction inverse étant strictement décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$, on a : $\frac{1}{a + 2} > \frac{1}{b + 2}$.
   3. On multiplie par $-3$ (ce qui change le sens de l'inégalité) : $-\frac{3}{a + 2} < -\frac{3}{b + 2}$.
   4. On ajoute $2$ : $2 - \frac{3}{a + 2} < 2 - \frac{3}{b + 2}$.

   On en déduit que $f(a) < f(b)$.

8. 8. Conclure sur le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]2\,;\,+\infty[$.

   Indice — Rappelle la définition du sens de variation d'une fonction à partir de la comparaison entre $f(a)$ et $f(b)$ pour $a < b$.

   Correction

   D'après la question précédente, pour tous réels $a$ et $b$ de l'intervalle $]2\,;\,+\infty[$ tels que $a < b$, on a $f(a) < f(b)$.

   L'ordre étant conservé, on en conclut que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]2\,;\,+\infty[$.

Dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$, on considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$$ et la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$g(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4x + 5} + 2$$ On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ leurs courbes représentatives respectives.

1. 1). Déterminer la forme canonique du trinôme $x^2 - 4x + 5$, sous la forme $(x - \alpha)^2 + \beta$ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels à préciser.

   Indice — Compare l'expression $x^2 - 4x + 5$ avec le développement de $(x - 2)^2$.

   Correction

   En identifiant le début du carré parfait $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$, on obtient la forme canonique :
   $$x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$$
   Ainsi, $\alpha = 2$ et $\beta = 1$.

2. 2). En déduire qu'il existe deux réels $a$ et $b$, que l'on déterminera, tels que pour tout réel $x$, $$g(x) = f(x - a) + b$$

   Indice — Utilise la forme canonique $(x - 2)^2 + 1$ pour réécrire le dénominateur de $g(x)$ sous la forme d'une expression faisant apparaître $f(x - 2)$.

   Correction

   En remplaçant le dénominateur par sa forme canonique établie précédemment, on a :
   $$g(x) = \dfrac{1}{(x - 2)^2 + 1} + 2$$
   Par définition de $f$, on reconnaît $f(x - 2) = \dfrac{1}{(x - 2)^2 + 1}$. On a donc $g(x) = f(x - 2) + 2$, d'où $a = 2$ et $b = 2$.

3. 3). Calculer $f(0)$ et $g(2)$, puis vérifier l'égalité $$g(2) = f(0) + 2$$

   Indice — Calcule séparément $f(0)$ et $g(2)$ à partir de leurs expressions algébriques respectives.

   Correction

   On calcule les images :
   - $f(0) = \dfrac{1}{0^2 + 1} = 1$
   - $g(2) = \dfrac{1}{2^2 - 4(2) + 5} + 2 = \dfrac{1}{1} + 2 = 3$

   On constate bien que $f(0) + 2 = 1 + 2 = 3 = g(2)$.

4. 4). Déduire des résultats précédents les composantes du vecteur $\vec{u}$ tel que la courbe $\mathcal{C}_g$ soit l'image de la courbe $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $\vec{u}$.

   Indice — Considère la transformation qui associe à tout point $M(x\,;\,f(x))$ le point $M'(x + a\,;\,f(x) + b)$.

   Correction

   La relation $g(x) = f(x - 2) + 2$ montre que tout point de $\mathcal{C}_g$ s'obtient à partir d'un point de $\mathcal{C}_f$ en ajoutant 2 à son abscisse et 2 à son ordonnée. La courbe $\mathcal{C}_g$ est donc l'image de $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur $\vec{u}(2\,;\,2)$, c'est-à-dire $\vec{u} = 2\vec{i} + 2\vec{j}$.

5. 5). Sachant que la fonction $f$ admet un maximum égal à $1$ sur $\mathbb{R}$, atteint en $x = 0$, déterminer le maximum de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ ainsi que la valeur de $x$ en laquelle il est atteint.

   Indice — Que devient l'inégalité $f(x) \le 1$ lorsqu'on la transforme pour obtenir l'expression de $g(x)$ ?

   Correction

   En remarquant que $x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1$, on exprime $g$ en fonction de $f$ : $g(x) = f(x - 2) + 2$.

   Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x - 2) \le 1$, donc $g(x) \le 1 + 2 = 3$.

   Le maximum de $f$ est $1$ et il est atteint en $0$. Ainsi, le maximum de $g$ sur $\mathbb{R}$ est $3$, et il est atteint pour $x - 2 = 0$, soit en $x = 2$.

On considère la fonction $f$ définie par :

$$f(x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{|x| - 2}$$

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. 1. Identifier les deux conditions d'existence simultanées que doit satisfaire un réel $x$ pour que $f(x)$ soit défini.

   Indice — Repère la présence d'une racine carrée et d'un dénominateur, puis traduis mathématiquement les contraintes de validité associées à chacun d'eux.

   Correction

   Pour que la fonction $f$ soit définie, deux conditions d'existence doivent être satisfaites simultanément :
   1. Le terme sous la racine carrée doit être positif ou nul, soit : $9 - x^2 \ge 0$.
   2. Le dénominateur doit être non nul, soit : $|x| - 2 \neq 0$.

2. 2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $9 - x^2 \ge 0$.

   Indice — Pense à factoriser l'expression $9 - x^2$ à l'aide d'une identité remarquable pour étudier son signe dans un tableau de signes.

   Correction

   On utilise l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ pour factoriser l'expression :
   $$9 - x^2 = (3 - x)(3 + x)$$
   Les racines de ce trinôme sont $-3$ et $3$. Comme le coefficient de $x^2$ est négatif ($-1$), le trinôme est positif ou nul à l'intérieur de ses racines.
   L'ensemble des solutions de l'inéquation $9 - x^2 \ge 0$ est donc l'intervalle $[-3, 3]$.

3. 3. Déterminer les valeurs réelles de $x$ pour lesquelles le dénominateur de $f(x)$ s'annule.

   Indice — Résous l'équation $|x| - 2 = 0$ en utilisant la définition de la valeur absolue d'un nombre réel.

   Correction

   On résout l'équation annulant le dénominateur :
   $$|x| - 2 = 0 \iff |x| = 2$$
   Par définition de la valeur absolue, les solutions de cette équation sont $x = 2$ et $x = -2$.

4. 4. En déduire l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$ et l'écrire sous la forme d'une réunion d'intervalles.

   Indice — Combine les résultats des questions 2 et 3 en excluant les valeurs interdites de l'intervalle obtenu à la question 2.

   Correction

   D'après les questions précédentes, $x$ doit appartenir à l'intervalle $[-3, 3]$ tout en excluant les valeurs interdites $-2$ et $2$.
   En privant l'intervalle $[-3, 3]$ de ces deux valeurs, on obtient l'ensemble de définition :
   $$D_f = [-3, -2[ \cup ]-2, 2[ \cup ]2, 3]$$

5. 5. Montrer que pour tout réel $x$, si $x \in D_f$ alors $-x \in D_f$.

   Indice — Vérifie que l'ensemble $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ en examinant si l'opposé de tout élément appartenant à $D_f$ reste dans $D_f$.

   Correction

   L'ensemble de définition $D_f$ est défini par les conditions $9 - x^2 \ge 0$ (soit $x^2 \le 9$) et $|x| \neq 2$. Si $x \in D_f$, alors $(-x)^2 = x^2 \le 9$ et $|-x| = |x| \neq 2$. Par conséquent, $-x$ vérifie également ces conditions, ce qui prouve que $-x \in D_f$. L'ensemble $D_f$ est donc symétrique par rapport à $0$.

6. 6. Étudier la parité de la fonction $f$ sur son ensemble de définition $D_f$.

   Indice — Calcule $f(-x)$ pour tout $x \in D_f$ en utilisant les propriétés de la valeur absolue et du carré, puis compare le résultat obtenu avec $f(x)$.

   Correction

   Pour tout $x \in D_f$, on a $-x \in D_f$ d'après la question précédente. Calculons $f(-x)$ :

   $$f(-x) = \frac{\sqrt{9 - (-x)^2}}{|-x| - 2}$$

   En utilisant les propriétés $(-x)^2 = x^2$ et $|-x| = |x|$, on obtient :

   $$f(-x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{|x| - 2} = f(x)$$

   La fonction $f$ est donc paire.