Généralités sur les fonctions — exercices corrigés

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ satisfaisant la relation fonctionnelle : pour tous réels $x$ et $y$, $f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)$, avec $f(0) = 1$ et $f$ non identiquement nulle.

1. 1. Calculer $f(0)$.

   Indice — Évalue la relation fonctionnelle en choisissant des valeurs particulières pour les variables.

   Correction

   En posant $x = y = 0$ dans la relation fonctionnelle, on obtient $2f(0) = 2f(0)^2$, soit $f(0)(f(0) - 1) = 0$. La fonction n'étant pas identiquement nulle, on en déduit $f(0) = 1$ (car $f(0) = 0$ impliquerait $f(x) = 0$ pour tout $x$).

2. 2. Montrer que $f$ est une fonction paire.

   Indice — Substitue $x$ par son opposé dans la relation fonctionnelle en exploitant le résultat de la question précédente.

   Correction

   En choisissant $x = 0$ et en utilisant $f(0) = 1$, la relation devient $f(y) + f(-y) = 2f(y)$, ce qui se simplifie directement en $f(-y) = f(y)$ pour tout $y \in \mathbb{R}$. La fonction $f$ est donc paire.

3. 3. Déterminer les images des premiers entiers naturels et relatifs par $f$.

   Indice — Utilise la relation fonctionnelle par récurrence ou par affectation de valeurs successives pour les entiers.

   Correction

   En posant $f(1) = a$ et $y = 1$, la relation s'écrit $f(x+1) + f(x-1) = 2a f(x)$. Par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$, les valeurs de $f(n)$ suivent la suite des polynômes de Tchebychev $T_n(a)$ : $f(0) = 1$, $f(1) = a$, $f(2) = 2a^2 - 1$, $f(3) = 4a^3 - 3a$. La parité de $f$ donne immédiatement $f(-n) = f(n)$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$.

4. 4. La fonction $f$ est-elle périodique ? Justifier.

   Indice — Observe le comportement de l'expression en incrémentant la variable d'une constante caractéristique.

   Correction

   L'existence d'une période dépend de la valeur de $a = f(1)$. Si $|a| \le 1$, en posant $a = \cos(\theta)$, la solution s'écrit $f(x) = \cos(\theta x)$, qui est une fonction périodique de période $T = \frac{2\pi}{\theta}$ (pour $\theta \neq 0$). Si $|a| > 1$, $f$ s'exprime sous la forme $f(x) = \cosh(cx)$ avec $c > 0$, qui n'est pas périodique.

5. 5. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|f(x)| \le 1$.

   Indice — Utilise un encadrement ou majore la valeur absolue de l'expression par une constante indépendante de $x$.

   Correction

   Par l'absurde, si $|f(x_0)| > 1$ pour un réel $x_0$, la relation fonctionnelle appliquée avec $y = x$ donne la formule de duplication $f(2x) = 2f(x)^2 - 1$. Une récurrence montre alors que la suite $(|f(2^n x_0)|)_{n \in \mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$, ce qui est impossible. On en déduit que $|f(x)| \le 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ : la fonction $f$ est donc bornée.

6. 6. Déterminer les extremums globaux de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Compare les valeurs obtenues pour des points particuliers avec la borne supérieure ou inférieure établie.

   Correction

   Puisque $|f(x)| \le 1$ pour tout $x$, le maximum global vaut $1$, atteint en $x = 0$ car $f(0) = 1$. Pour le minimum, lorsqu'il existe $x$ tel que $f(x) = 0$, la formule de duplication $f(2x) = 2f(x)^2 - 1$ donne $f(2x) = -1$. Le minimum global de $f$ est donc $-1$.

7. 7. Déterminer l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x) = 0$.

   Indice — Examine les points où la relation fonctionnelle s'annule en testant les valeurs particulières de l'ensemble de définition.

   Correction

   En posant $y = x_0$ où $x_0$ est la première valeur annulant $f$, la relation fonctionnelle $f(x+x_0) + f(x-x_0) = 0$ montre que $f$ est anti-périodique de période $2x_0$. L'ensemble des réels annulant $f$ est donc l'ensemble des multiples impairs de هذا point : $\{ (2k+1)x_0 \mid k \in \mathbb{Z} \}$.

8. 8. Montrer que la fonction $f$ n'est pas monotone sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Trouve deux intervalles ou deux couples de points contigus où le sens de variation diffère.

   Correction

   La relation fonctionnelle en $x = 0$ établit que $f$ est une fonction paire ($f(-y) = f(y)$). Une fonction paire non constante atteignant son maximum $1$ en $0$ et son minimum $-1$ en d'autres points alterne nécessairement entre des phases de croissance et de décroissance, elle n'est donc pas monotone sur $\mathbb{R}$.

9. 9. Déterminer l'ensemble image $f(\mathbb{R})$.

   Indice — Synthétise les informations de bornitude et les valeurs atteintes pour caractériser l'ensemble image.

   Correction

   D'après les résultats établis précédemment, la fonction $f$ vérifie $-1 \le f(x) \le 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Comme $f(0) = 1$ et qu'il existe un réel où $f$ atteint la valeur $-1$, la continuité de $f$ et le théorème des valeurs intermédiaires garantissent que $f$ prend toutes les valeurs intermédiaires. L'ensemble des images de $f$ est donc $f(\mathbb{R}) = [-1, 1]$.

Soit la fonction $f$ définie par f(x) = rac{x+2}{\sqrt{3-|x|}}.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.

   Correction

   Pour que $f(x)$ existe, la quantité sous la racine carrée doit être strictement positive : $3 - |x| > 0$, ce qui équivaut à $|x| < 3$, soit $-3 < x < 3$. Ainsi, l'ensemble de définition est $D = ]-3, 3[$.

2. 2. Calculer $f(0)$ puis vérifier que $3 \notin ]-3, 3[$.

   Correction

   Pour $x = 0$, f(0) = rac{0+2}{\sqrt{3-|0|}} = rac{2}{\sqrt{3}}. De plus, $3$
   otin ]-3, 3[ car $3$ ne vérifie pas l'inégalité stricte $|3| < 3$ (la valeur $3$ annule le dénominateur).

3. 3. Montrer que pour tout $x \in ]-3, 3[$, $-x \in ]-3, 3[$.

   Correction

   Soit $x \in ]-3, 3[$, alors $-3 < x < 3$, ce qui implique $-3 < -x < 3$, donc $-x \in ]-3, 3[$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{4x}{x^2 + 4}$, ainsi que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$g(x) = \begin{cases} f(x) + a & \text{si } x \in ]-\infty\,;\,2] \\ b(x - 3)^2 + 1 & \text{si } x \in ]2\,;\,+\infty[ \end{cases}$$
où $a$ et $b$ sont deux réels avec $b < 0$.

1. 1. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) \le 1$.

   Indice — Étudie le signe de la différence $(x^2 + 4) - 4x$.

   Correction

   Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on étudie le signe de la différence $1 - f(x)$ :
   $$1 - f(x) = 1 - \dfrac{4x}{x^2 + 4} = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 + 4} = \dfrac{(x - 2)^2}{x^2 + 4}$$
   Un carré est toujours positif ou nul et le dénominateur $x^2 + 4$ est strictement positif sur $\mathbb{R}$. On a donc $1 - f(x) \ge 0$, soit $f(x) \le 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

2. 2. Montrer que $1$ est le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Résous l'équation $f(x) = 1$ sur $\mathbb{R}$.

   Correction

   D'après la question 1, $1$ est un majorant de $f$ sur $\mathbb{R}$. Pour vérifier s'il s'agit du maximum, on cherche s'il existe au moins un réel $x$ tel que $f(x) = 1$.
   $$f(x) = 1 \iff 1 - f(x) = 0 \iff \dfrac{(x - 2)^2}{x^2 + 4} = 0 \iff x = 2$$
   La valeur $1$ est atteinte en $x = 2$, donc $1$ est le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. 3. Le nombre $1$ est-il le maximum de $f$ sur l'intervalle $]-\infty\,;\,1]$ ? Justifier.

   Indice — Vérifie si l'antécédent de $1$ par $f$ appartient à l'intervalle $]-\infty\,;\,1]$.

   Correction

   Puisque $f(x) \le 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, cette inégalité reste vraie pour tout $x \in ]-\infty\,;\,1]$, donc $1$ est bien un majorant de $f$ sur cet intervalle.
   Cependant, d'après la question 2, le seul réel vérifiant $f(x) = 1$ est $x = 2$. Or $2 \notin ]-\infty\,;\,1]$. La valeur $1$ n'est donc jamais atteinte sur $]-\infty\,;\,1]$, ce qui signifie que $1$ n'est pas le maximum de $f$ sur cet intervalle.

4. 4. Déterminer la valeur de $a$ sachant que $1$ est le maximum de $g$ sur l'intervalle $]-\infty\,;\,2]$.

   Indice — Évalue $g(2)$ sachant que $1$ est le maximum de $g$ sur $]-\infty\,;\,2]$.

   Correction

   Sur l'intervalle $]-\infty\,;\,2]$, la fonction $g$ s'écrit $g(x) = f(x) + a$. Le maximum de $f$ sur cet intervalle est atteint en $x = 2$ et vaut $f(2) = 1$. Par conséquent, le maximum de $g$ sur $]-\infty\,;\,2]$ est $g(2) = f(2) + a = 1 + a$.
   En identifiant ce maximum à la valeur imposée $1$, on résout $1 + a = 1$, ce qui donne $a = 0$.

5. 5. Déterminer l'ensemble des valeurs de $b$ pour lesquelles $1$ est un majorant de $g$ sur l'intervalle $]2\,;\,+\infty[$.

   Indice — Examine l'expression $b(x - 3)^2 + 1 \le 1$ pour tout $x \in ]2\,;\,+\infty[$.

   Correction

   Sur l'intervalle $]2\,;\,+\infty[$, l'expression de $g$ est $g(x) = b(x - 3)^2 + 1$. Pour que $1$ soit le majorant de $g$ sur cet intervalle, on doit avoir $b(x - 3)^2 + 1 \le 1$, soit $b(x - 3)^2 \le 0$ pour tout $x > 2$. Comme $(x - 3)^2 > 0$ pour $x$
   eq 3 et que l'énoncé précise $b < 0$, cette condition est toujours vérifiée quel que soit $b < 0$. L'ensemble des valeurs possibles pour $b$ est donc l'intervalle $]-\infty\,;\,0[$.

6. 6. Déterminer le couple $(a, b)$ sachant que $1$ est le maximum de $g$ sur $\mathbb{R}$ et que $g(4) = 0$.

   Indice — Utilise la condition $g(4) = 0$ avec l'expression de la seconde branche de $g$.

   Correction

   En utilisant l'expression de la seconde branche avec $x = 4$, on a $g(4) = b(4 - 3)^2 + 1 = b + 1$. La condition $g(4) = 0$ donne $b + 1 = 0$, soit $b = -1$. Par ailleurs, pour que $1$ soit le maximum de $g$ sur $\mathbb{R}$, il faut que la valeur maximale atteinte sur la première branche $]-\infty\,;\,2]$ ne dépasse pas $1$. Sur cette branche, $f(x) + a$ admet pour maximum $\frac{4 \times 2}{2^2 + 4} + a = 1 + a$. En imposant que ce maximum soit égal à $1$, on obtient $1 + a = 1$, soit $a = 0$. Le couple recherché est donc $(0, -1)$.

7. 7. Étudier le sens de variations de $g$ sur l'intervalle $[3\,;\,+\infty[$.

   Indice — Applique la définition de la croissance ou de la décroissance à l'aide de deux réels $x_1$ et $x_2$ dans l'intervalle étudié.

   Correction

   Sur l'intervalle $[3\,;\,+\infty[$, la fonction $g$ est définie par $g(x) = -(x - 3)^2 + 1$ (en prenant $b = -1$). Soient $x_1$ et $x_2$ deux réels de $[3\,;\,+\infty[$ tels que $x_1 < x_2$. En encadrant, on a $0 \le x_1 - 3 < x_2 - 3$, puis en élevant au carré (fonction croissante sur les réels positifs) : $0 \le (x_1 - 3)^2 < (x_2 - 3)^2$. En multipliant par $-1$ et en ajoutant $1$, l'ordre s'inverse : $g(x_1) > g(x_2)$. La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur l'intervalle $[3\,;\,+\infty[$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\,;\,2\}$ par $f(x) = \frac{3}{x^2 - 4}$.

1. 1). Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{3}{x^2 - 4}$.

   Indice — Le dénominateur d'une fraction ne doit jamais être nul. Résous l'équation $x^2 - 4 = 0$.

   Correction

   Le dénominateur de la fonction $f$ ne doit pas s'annuler. On résout l'équation $x^2 - 4 = 0$, ce qui donne $(x-2)(x+2) = 0$ et donc $x = 2$ ou $x = -2$. L'ensemble de définition est donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\,;\,2\}$.

2. 2). Justifier que $D_f$ est symétrique par rapport à $0$, puis étudier la parité de la fonction $f$.

   Indice — Vérifie si pour tout $x \in D_f$, $-x$ appartient aussi à $D_f$. Compare ensuite $f(-x)$ et $f(x)$.

   Correction

   L'ensemble $D_f$ est un union d'intervalles symétrique par rapport à $0$ (si $x \in D_f$, alors $-x \in D_f$). Pour tout $x \in D_f$, on calcule $f(-x) = \frac{3}{(-x)^2 - 4} = \frac{3}{x^2 - 4} = f(x)$. La fonction $f$ est donc paire.

3. 3). Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $2 < a < b$. Montrer que $f(b) - f(a) = \frac{3(a^2 - b^2)}{(b^2 - 4)(a^2 - 4)}$, puis en déduire le signe de cette différence.

   Indice — Utilise la forme $f(x) = \frac{3}{(x-2)(x+2)}$. Pour comparer $f(a)$ et $f(b)$, étudie le signe de $f(b) - f(a)$ sur l'intervalle donné.

   Correction

   En calculant la différence $f(b) - f(a)$ et en réduisant au même dénominateur, on obtient directement $\frac{3}{b^2 - 4} - \frac{3}{a^2 - 4} = \frac{3(a^2 - b^2)}{(b^2 - 4)(a^2 - 4)}$. Puisque $2 < a < b$, on a $a^2 < b^2$ donc $a^2 - b^2 < 0$. De plus, $a^2 > 4$ et $b^2 > 4$, ce qui rend le dénominateur strictement positif. La différence $f(b) - f(a)$ est donc négative.

4. 4). En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $]2\,;\,+\infty[$.

   Indice — La monotonie se déduit du signe de la différence $f(b) - f(a)$ calculée précédemment. Rappelle la définition d'une fonction croissante ou décroissante.

   Correction

   Comme $2 < a < b$ entraîne $f(b) - f(a) < 0$, c'est-à-dire $f(b) < f(a)$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $]2\,;\,+\infty[$.

5. 5). Déterminer, sans nouveaux calculs, le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $]-\infty\,;\,-2[$.

   Indice — Utilise la propriété de parité démontrée à la question 2) pour déduire le sens de variation sur l'intervalle $]-\infty\,;\,-2[$.

   Correction

   Puisque la fonction $f$ est paire (démontrée à la question 2) et que les intervalles $]-\infty\,;\,-2[$ et $]2\,;\,+\infty[$ sont symétriques par rapport à $0$, leurs sens de variation sont opposés. La fonction $f$ étant croissante sur $]2\,;\,+\infty[$, elle est donc croissante sur $]-\infty\,;\,-2[$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2\,;\,2\}$ par $f(x) = \frac{3}{x^2 - 4}$.

1. 1). Montrer que $D_f$ est symétrique par rapport à $0$, puis étudier la parité de $f$.

   Indice — Vérifie si pour tout $x \in D_f$, $-x \in D_f$. Compare $f(-x)$ et $f(x)$.

   Correction

   Pour tout $x \in D_f$, on a $-x \in D_f$, donc $D_f$ est symétrique par rapport à $0$. De plus, $f(-x) = \frac{3}{(-x)^2 - 4} = \frac{3}{x^2 - 4} = f(x)$. La fonction $f$ est donc paire.

2. 2). Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $2 < a < b$. Comparer $f(a)$ et $f(b)$.

   Indice — Étudie le signe de $f(b) - f(a)$ pour $2 < a < b$.

   Correction

   Pour $2 < a < b$, $f(b) - f(a) = \frac{3}{b^2-4} - \frac{3}{a^2-4} = \frac{3(a^2-b^2)}{(b^2-4)(a^2-4)}$. Comme $2 < a < b$, $a^2 < b^2$ donc $a^2-b^2 < 0$, et $(b^2-4)(a^2-4) > 0$. Ainsi $f(b) - f(a) < 0$, donc $f(b) < f(a)$. La fonction est strictement décroissante sur $]2, +\infty[$.

3. 3). Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0, 2[$ et sur $]-2, 0[$.

   Indice — Utilise la parité de $f$ et le sens de variation sur $]2, +\infty[$.

   Correction

   Sur $]0, 2[$, $f$ est strictement croissante. Par parité, sur $]-2, 0[$, $f$ est strictement décroissante.

4. 4). Montrer que $f$ admet un maximum local en $0$ et préciser sa valeur.

   Indice — Calcule $f(0)$ et étudie le signe de $f(x) - f(0)$ sur $]-2, 2[$.

   Correction

   On a $f(0) = -\frac{3}{4}$. Pour tout $x \in ]-2, 2[$, $f(x) - f(0) = \frac{3}{x^2-4} + \frac{3}{4} = \frac{3x^2}{4(x^2-4)}$. Comme $x^2 < 4$ sur $]-2, 2[$, le dénominateur est négatif et le numérateur positif, donc $f(x) - f(0) \leq 0$. $f$ admet un maximum local en $0$ égal à $-\frac{3}{4}$.