Continuité — exercices corrigés

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0\,;\,1]$ par $f(x) = x^3 + 2x$ et $g(x) = 3 - x$. L'objectif est d'étudier l'intersection de leurs représentations graphiques sur cet intervalle.

1. 1. On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0\,;\,1]$ par $f(x) = x^3 + 2x$ et $g(x) = 3 - x$. Calculer $f(0)$, $g(0)$, $f(1)$ et $g(1)$.

   Indice — Calcule directement l'image de $0$ et de $1$ par chacune des fonctions.

   Correction

   On calcule directement les images par les fonctions $f$ et $g$ :
   - $f(0) = 0^3 + 2 \times 0 = 0$
   - $g(0) = 3 - 0 = 3$
   - $f(1) = 1^3 + 2 \times 1 = 3$
   - $g(1) = 3 - 1 = 2$

2. 2. Comparer $f(0)$ à $g(0)$ puis $f(1)$ à $g(1)$, et observer la position relative des deux courbes aux extrémités de l'intervalle.

   Indice — Compare les images obtenues en $0$ d'une part, puis en $1$ d'autre part.

   Correction

   En utilisant les résultats de la question précédente :
   - En $x = 0$, on a $f(0) < g(0)$ (car $0 < 3$), donc la courbe de $g$ est située au-dessus de celle de $f$.
   - En $x = 1$, on a $f(1) > g(1)$ (car $3 > 2$), donc la courbe de $f$ est située au-dessus de celle de $g$.

3. 3. Poser la fonction auxiliaire $h(x) = f(x) - g(x)$ sur $[0\,;\,1]$, justifier sa continuité sur cet intervalle, puis calculer $h(0)$ et $h(1)$.

   Indice — Exprime la différence entre les deux expressions et étudie sa continuité sur $[0\,;\,1]$ en invoquant le théorème général des fonctions polynômes.

   Correction

   On pose $h(x) = f(x) - g(x) = x^3 + 3x - 3$.
   La fonction $h$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$, et par restriction, elle est continue sur l'intervalle $[0\,;\,1]$.
   En utilisant les résultats de la question 1, on obtient :
   - $h(0) = f(0) - g(0) = -3$
   - $h(1) = f(1) - g(1) = 1$

4. 4. Déterminer le signe du produit $h(0) \times h(1)$ et en déduire l'existence d'au moins un réel $\alpha \in ]0\,;\,1[$ tel que $h(\alpha) = 0$.

   Indice — Observe le signe du produit des valeurs aux bornes et rappelle les conditions requises pour appliquer le théorème relatif aux valeurs prises par une fonction continue sur un segment.

   Correction

   Le produit des images aux bornes est $h(0) \times h(1) = -3 \times 1 = -3$, qui est strictement négatif.
   La fonction $h$ est continue sur $[0\,;\,1]$ et change de signe sur cet intervalle (puisque $h(0) < 0$ et $h(1) > 0$). D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel $\alpha \in ]0\,;\,1[$ tel que $h(\alpha) = 0$.

5. 5. Conclure que le réel $\alpha$ vérifie l'égalité $f(\alpha) = g(\alpha)$, formalisant ainsi la méthode de résolution d'une équation de la forme $f(x) = g(x)$ par l'étude d'une fonction écart.

   Indice — Réécris l'équation $h(\alpha) = 0$ en faisant intervenir les expressions initiales de $f$ et $g$.

   Correction

   Par définition de la fonction écart $h(x) = f(x) - g(x)$, l'égalité $h(\alpha) = 0$ s'écrit $f(\alpha) - g(\alpha) = 0$, ce qui équivaut à $f(\alpha) = g(\alpha)$.

   Ainsi, le réel $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x) = g(x)$ sur $[0\,;\,1]$, correspondant à l'abscisse du point d'intersection des courbes représentatives de $f$ et $g$. Cela formalise la méthode consistant à étudier les zéros de la fonction écart $h = f - g$ pour résoudre une équation de la forme $f(x) = g(x)$.

Soit $a$ un réel. On considère la fonction $f$ définie sur son domaine de définition par :

$$f(x) = \begin{cases}$$
\frac{\sqrt{3x^2+4}-4}{x-2} & \text{si } x \in ]-\infty\,;\,2[ \\
ax^2 - 7 & \text{si } x \in [2\,;\,4] \\
\frac{x^2-15}{x^2-9x+20} & \text{si } x \in ]4\,;\,+\infty[
\end{cases}

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.

   Indice — Examine les conditions d'existence pour chaque morceau de la fonction, en particulier l'annulation du dénominateur de la fraction rationnelle sur l'intervalle correspondant.

   Correction

   Pour déterminer $D_f$, on étudie chaque intervalle de définition de la fonction par morceaux :
   - Sur $]-\infty\,;\,2[$, le dénominateur $x-2$ ne s'annule pas et la quantité sous la racine $3x^2+4$ est strictement positive. La fonction y est donc bien définie.
   - Sur $[2\,;\,4]$, la fonction est polynomiale ($x \mapsto ax^2-7$), donc définie sur tout cet intervalle.
   - Sur $]4\,;\,+\infty[$, le dénominateur de la fraction rationnelle s'annule pour les racines de $x^2-9x+20 = 0$, c'est-à-dire $x=4$ et $x=5$. Seule la valeur $5$ appartient à l'intervalle $]4\,;\,+\infty[$.

   L'ensemble de définition de $f$ est donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{5\}$.

2. 2. Justifier que la fonction $x \mapsto \sqrt{3x^2+4}$ est continue sur l'intervalle $]-\infty\,;\,2[$.

   Indice — Utilise le théorème de continuité de la racine carrée d'une fonction positive en justifiant soigneusement la continuité et le signe de la fonction sous le radical.

   Correction

   La fonction $u : x \mapsto 3x^2+4$ est une fonction polynomiale, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$, et en particulier sur l'intervalle $]-\infty\,;\,2[$.
   De plus, pour tout réel $x$, $3x^2+4 \ge 4 > 0$.
   Par composition avec la fonction racine carrée (qui est continue sur $[0\,;\,+\infty[$), la fonction $x \mapsto \sqrt{3x^2+4}$ est continue sur $]-\infty\,;\,2[$.

3. 3. En déduire que $f$ est continue sur chacun des intervalles ouverts de son domaine de définition.

   Indice — Applique les théorèmes généraux sur la continuité des fonctions usuelles (polynômes, quotients) sur les intervalles ouverts concernés.

   Correction

   On étudie la continuité de $f$ sur les différents intervalles ouverts constituant son domaine de définition :
   - Sur $]-\infty\,;\,2[$, $f$ est le quotient de la fonction $x \mapsto \sqrt{3x^2+4}-4$ (continue d'après la question précédente) et de la fonction $x \mapsto x-2$ (continue et non nulle sur cet intervalle). Par conséquent, $f$ est continue sur cet intervalle.
   - Sur $]2\,;\,4[$, $f$ est une fonction polynomiale, elle est donc continue.
   - Sur $]4\,;\,5[$ et $]5\,;\,+\infty[$, $f$ est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas. Elle est donc continue sur chacun de ces intervalles.

   Ainsi, $f$ est continue sur chacun des intervalles ouverts de son domaine de définition.

4. 4. Déterminer la limite de $f$ à gauche en $2$.

   Indice — Tu feras face à une forme indéterminée du type « 0/0 ». Pense à multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du numérateur pour simplifier par $x-2$.

   Correction

   On cherche à calculer $\lim_{x \to 2^-} \frac{\sqrt{3x^2+4}-4}{x-2}$. C'est une forme indéterminée du type « 0/0 ».
   Pour lever l'indétermination, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du numérateur, soit $\sqrt{3x^2+4}+4$ :

   $$\frac{\sqrt{3x^2+4}-4}{x-2} = \frac{(3x^2+4)-16}{(x-2)(\sqrt{3x^2+4}+4)} = \frac{3(x-2)(x+2)}{(x-2)(\sqrt{3x^2+4}+4)}$$

   Pour tout $x < 2$, on peut simplifier par $x-2$ :

   $$f(x) = \frac{3(x+2)}{\sqrt{3x^2+4}+4}$$

   Par passage à la limite quand $x \to 2^-$, on obtient :

   $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{3(2+2)}{\sqrt{16}+4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$

5. 5. Déterminer la valeur du réel $a$ pour laquelle la fonction $f$ est continue en $2$.

   Indice — Rappelle-toi qu'une fonction est continue en un point si et seulement si ses limites à gauche et à droite en ce point sont égales à la valeur de la fonction en ce point.

   Correction

   Pour que la fonction $f$ soit continue en $2$, il faut et il suffit que $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$.

   D'une part, on a $f(2) = a(2)^2 - 7 = 4a - 7$. Comme $f$ est polynomiale sur $[2;4]$, on a également $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4a - 7$.

   D'autre part, on calcule la limite à gauche en levant l'indétermination par multiplication par la quantité conjuguée :
   $$\lim_{x \to 2^-} \frac{\sqrt{3x^2+4}-4}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} \frac{3(x-2)(x+2)}{(x-2)(\sqrt{3x^2+4}+4)} = \lim_{x \to 2^-} \frac{3(x+2)}{\sqrt{3x^2+4}+4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$

   On résout alors l'équation $4a - 7 = \frac{3}{2}$, ce qui donne $4a = \frac{17}{2}$, soit $a = \frac{17}{8}$.

6. 6. On pose pour la suite $a = 2$. Étudier la limite de $f$ à droite en $4$.

   Indice — Étudie le comportement du numérateur et du dénominateur de la fraction rationnelle lorsque $x$ tend vers $4$ par valeurs supérieures, en dressant le tableau de signe du dénominateur.

   Correction

   Pour $x > 4$, la fonction est définie par $f(x) = \frac{x^2-15}{x^2-9x+20}$.

   Lorsque $x \to 4^+$ :
   - Le numérateur tend vers $4^2 - 15 = 1 > 0$.
   - Le dénominateur se factorise sous la forme $(x-4)(x-5)$. Pour $x$ proche de $4$ avec $x > 4$, le facteur $(x-4)$ est strictement positif et $(x-5)$ est strictement négatif, donc le dénominateur tend vers $0$ par valeurs négatives ($0^-$).

   Par quotient d'une limite positive par une limite tendant vers $0^-$, on obtient :
   $$\lim_{x \to 4^+} f(x) = -\infty$$

7. 7. La fonction $f$ est-elle continue en $4$ ? Justifier la réponse.

   Indice — Compare la limite à droite obtenue à la question précédente avec la limite à gauche (ou la valeur de la fonction) en $4$.

   Correction

   Pour $a = 2$, l'image de $4$ par $f$ est $f(4) = 2(4^2) - 7 = 25$.

   D'après la question précédente, on a $\lim_{x \to 4^+} f(x) = -\infty$.

   La limite à droite en $4$ étant infinie, elle est différente de la valeur $f(4)$. Par conséquent, la fonction $f$ n'est pas continue en $4$.

8. 8. Déterminer, pour $a = 2$, l'ensemble de continuité de la fonction $f$.

   Indice — Fais la synthèse des résultats précédents en combinant la continuité sur les intervalles ouverts et le comportement aux points de raccordement $2$ et $4$ ainsi qu'au point d'exclusion.

   Correction

   Déterminons la continuité de $f$ sur chaque intervalle pour $a = 2$ :
   - Sur $]-\infty\,;\,2[$, $f$ est continue comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas.
   - Sur $]2\,;\,4[$, $f$ est une fonction polynomiale, donc continue.
   - Sur $]4\,;\,+\infty[$, la valeur $5$ annule le dénominateur $x^2-9x+20$. La fonction rationnelle $f$ est donc continue sur $]4\,;\,5[ \cup ]5\,;\,+\infty[$.
   - En $2$, puisque $a = 2 \neq \frac{17}{8}$, la fonction $f$ n'est pas continue d'après la question 5.
   - En $4$, la fonction $f$ n'est pas continue d'après la question 7.

   L'ensemble de continuité de $f$ est donc $]-\infty\,;\,2[ \cup ]2\,;\,4[ \cup ]4\,;\,5[ \cup ]5\,;\,+\infty[$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}$$

On se propose de démontrer la continuité de $f$ en tout point $a \in \mathbb{R}$ en utilisant exclusivement la définition formelle avec les paramètres $(\alpha, \beta)$.

1. 1. Justifier que le domaine de définition de la fonction $f$ est $D_f = \mathbb{R}$, puis expliciter la valeur de $f(a)$ pour tout réel $a$ fixé.

   Indice — Étudie le signe du trinôme $x^2+4$ sur $\mathbb{R}$.

   Correction

   Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \ge 0$, donc $x^2+4 \ge 4 > 0$. La quantité sous la racine étant strictement positive sur $\mathbb{R}$, la fonction est définie sur tout $\mathbb{R}$, d'où $D_f = \mathbb{R}$. Pour tout réel $a$, on a $f(a) = \frac{1}{\sqrt{a^2+4}}$.

2. 2. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $a \in \mathbb{R}$, écrire $|f(x) - f(a)|$ sous la forme d'une unique fraction dont le numérateur est $|\sqrt{a^2+4} - \sqrt{x^2+4}|$.

   Indice — Mets les deux fractions au même dénominateur commun.

   Correction

   En réduisant les deux fractions au même dénominateur commun $\sqrt{x^2+4}\sqrt{a^2+4}$, on écrit : $|f(x) - f(a)| = \left| \frac{1}{\sqrt{x^2+4}} - \frac{1}{\sqrt{a^2+4}} \right| = \frac{|\sqrt{a^2+4} - \sqrt{x^2+4}|}{\sqrt{x^2+4}\sqrt{a^2+4}}$.

3. 3. En multipliant le numérateur par son expression conjuguée, montrer que pour tous réels $x$ et $a$ :
   $$|\sqrt{a^2+4} - \sqrt{x^2+4}| = \frac{|a^2 - x^2|}{\sqrt{a^2+4} + \sqrt{x^2+4}}$$

   Indice — Utilise la relation $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$ pour affranchir le numérateur des racines carrées.

   Correction

   On multiplie et divise par l'expression conjuguée $\sqrt{a^2+4} + \sqrt{x^2+4} > 0$. D'après l'identité remarquable $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$, le numérateur devient $|(a^2+4) - (x^2+4)| = |a^2 - x^2|$, d'où : $|\sqrt{a^2+4} - \sqrt{x^2+4}| = \frac{|a^2 - x^2|}{\sqrt{a^2+4} + \sqrt{x^2+4}}$.

4. 4. En déduire que pour tous réels $x$ et $a$, on a :
   $$|f(x) - f(a)| = \frac{|x+a|}{\sqrt{x^2+4} \sqrt{a^2+4} \left(\sqrt{x^2+4} + \sqrt{a^2+4}\right)} \cdot |x-a|$$

   Indice — Factorise la différence $a^2 - x^2$ sous la forme d'un produit remarquable et applique les propriétés de la valeur absolue.

   Correction

   On factorise le numérateur $|a^2 - x^2| = |a+x||a-x| = |x+a||x-a|$. En substituant l'égalité de la question 3 dans la fraction de la question 2, on regroupe les facteurs pour obtenir : $|f(x) - f(a)| = \frac{|x+a|}{\sqrt{x^2+4} \sqrt{a^2+4} \left(\sqrt{x^2+4} + \sqrt{a^2+4}\right)} \cdot |x-a|$.

5. 5. Soit $a \in \mathbb{R}$. En imposant la condition $|x-a| < 1$, établir une majoration du terme $|x+a|$ en fonction de $|a|$.

   Indice — Écris $x+a = (x-a) + 2a$ puis applique l'inégalité triangulaire.

   Correction

   En écrivant $x+a = (x-a) + 2a$ et en appliquant l'inégalité triangulaire, on obtient :
   $$|x+a| \le |x-a| + 2|a|$$
   Comme on impose la condition $|x-a| < 1$, on en déduit directement la majoration :
   $$|x+a| < 1 + 2|a|$$

6. 6. Justifier que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $\sqrt{x^2+4} \ge 2$, puis en déduire une minoration du dénominateur :
   $$D(x,a) = \sqrt{x^2+4} \sqrt{a^2+4} \left(\sqrt{x^2+4} + \sqrt{a^2+4}\right)$$
   par une quantité strictement positive $K_a$ ne dépendant que de $a$.

   Indice — Pense au fait que $x^2 \ge 0$ pour tout réel $x$.

   Correction

   Pour tout réel $x$, on a $x^2 \ge 0$, donc $x^2+4 \ge 4$, ce qui donne par croissance de la fonction racine carrée $\sqrt{x^2+4} \ge 2$.

   En appliquant cette minoration au premier facteur et au premier terme de la somme dans l'expression de $D(x,a)$, on obtient :
   $$D(x,a) \ge 2 \sqrt{a^2+4} \left(2 + \sqrt{a^2+4}\right)$$
   On peut ainsi poser $K_a = 2 \sqrt{a^2+4} \left(2 + \sqrt{a^2+4}\right) > 0$, qui est une constante ne dépendant que de $a$.

7. 7. Montrer qu'il existe un réel $M_a > 0$, exprimé en fonction de $a$, tel que pour tout $x \in \mathbb{R}$ vérifiant $|x-a| < 1$, on a :
   $$|f(x) - f(a)| \le M_a \cdot |x-a|$$

   Indice — Combine les encadrements du numérateur et du dénominateur obtenus dans les questions précédentes.

   Correction

   En utilisant la méthode de la quantité conjuguée pour simplifier la différence de fractions, on établit l'égalité :
   $$|f(x) - f(a)| = \frac{|x^2-a^2|}{D(x,a)} = \frac{|x+a|}{D(x,a)} |x-a|$$

   En injectant les majorations et minorations obtenues aux questions précédentes sous la condition $|x-a| < 1$, on obtient :
   $$|f(x) - f(a)| \le \frac{1+2|a|}{K_a} |x-a|$$

   Il suffit alors de poser :
   $$M_a = \frac{1+2|a|}{2 \sqrt{a^2+4} \left(2 + \sqrt{a^2+4}\right)} > 0$$

8. 8. Soit $\beta > 0$. Proposer une expression explicite de $\alpha > 0$ en fonction de $\beta$ et $M_a$ garantissant que si $|x-a| < \alpha$, alors $|f(x) - f(a)| < \beta$.

   Indice — Prends en compte la condition initiale imposée sur le voisinage de $a$ et pose $\alpha = \min(1\,;\, \dots)$.

   Correction

   Pour assurer à la fois la validité de la majoration précédente (qui nécessite $|x-a| < 1$) et obtenir l'inégalité $|f(x)-f(a)| < \beta$, on choisit un paramètre $\alpha$ qui contrôle ces deux conditions simultanément.

   On pose :
   $$\alpha = \min\left(1, \frac{\beta}{M_a}\right)$$

   En effet, si $|x-a| < \alpha$, alors $|x-a| < 1$ (ce qui valide la majoration par $M_a |x-a|$) et $|x-a| < \frac{\beta}{M_a}$, d'où :
   $$|f(x) - f(a)| \le M_a |x-a| < M_a \cdot \frac{\beta}{M_a} = \beta$$

9. 9. Conclure formellement sur la continuité de la fonction $f$ en tout réel $a$ au sens de la définition par les quantificateurs $(\alpha, \beta)$.

   Indice — Rappelle la définition formelle de la continuité en un point à l'aide des quantificateurs et vérifie que toutes les étapes s'assemblent.

   Correction

   Pour conclure formellement, on rappelle la définition de la continuité de $f$ en $a$ : pour tout $\alpha > 0$, il existe $\beta > 0$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|x-a| < \beta \implies |f(x)-f(a)| < \alpha$.

   En utilisant les étapes précédentes, on a obtenu une majoration de la forme $|f(x)-f(a)| \le C_a |x-a|$ pour $|x-a| < 1$ (où $C_a$ est une constante positive dépendant de $a$).

   Il suffit alors de choisir $\beta = \min\left(1, \frac{\alpha}{C_a}\right)$. Sous cette condition :
   - Comme $\beta \le 1$, l'hypothèse $|x-a| < \beta$ implique $|x-a| < 1$, ce qui valide la majoration.
   - Comme $\beta \le \frac{\alpha}{C_a}$, on obtient $|f(x)-f(a)| \le C_a |x-a| < C_a \cdot \frac{\alpha}{C_a} = \alpha$.

   La condition est vérifiée, ce qui prouve la continuité de $f$ en tout point $a \in \mathbb{R}$.

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 - 3x + 6$.
On s'intéresse à la limite en $2$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{g(x)}$.

1. 1. Déterminer la nature de la fonction $g$ et donner son ensemble de définition $D_g$.

   Indice — Reconnais la forme de l'expression de $g$ (somme de puissances entières de $x$) pour identifier sa nature usuelle.

   Correction

   La fonction $g$ est une fonction polynôme du second degré. Par conséquent, son ensemble de définition est $D_g = \mathbb{R}$.

2. 2. Justifier, en invoquant un théorème du cours, que la fonction $g$ est continue en tout réel de son ensemble de définition, et en particulier en $a = 2$.

   Indice — Utilise le théorème sur la continuité des fonctions de référence de cette nature sur $\mathbb{R}$.

   Correction

   D'après le théorème du cours sur la continuité des fonctions usuelles, toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$. La fonction $g$ est donc continue en tout réel de son ensemble de définition, et en particulier en $a = 2$.

3. 3. En déduire la relation qui existe entre la limite de $g$ en $2$ et l'image de $2$ par $g$.

   Indice — Pense au théorème fondamental qui relie la limite en un point et la continuité en ce point.

   Correction

   Puisque la fonction $g$ est continue en $2$, la limite de $g(x)$ lorsque $x$ tend vers $2$ est égale à l'image de $2$ par $g$. On a donc la relation : $\lim_{x \to 2} g(x) = g(2)$.

4. 4. Calculer la valeur numérique de $g(2)$ et en déduire la valeur de $\lim_{x \to 2} g(x)$.

   Indice — Remplace $x$ par $2$ dans l'expression de $g(x)$ pour effectuer le calcul numérique.

   Correction

   En calculant l'image de $2$, on obtient $g(2) = 2^2 - 3 \times 2 + 6 = 4$. Par conséquent, d'après la relation de continuité établie précédemment, on en déduit que $\lim_{x \to 2} g(x) = 4$.

5. 5. Justifier que la fonction $g$ est strictement positive en $2$, puis en déduire que la fonction $f = \sqrt{g}$ est continue en $2$.

   Indice — Utilise le signe de $g(2)$ trouvé précédemment et applique le théorème de continuité de la racine carrée d'une fonction.

   Correction

   On calcule la valeur de $g$ en $2$ : $g(2) = 2^2 - 3(2) + 6 = 4$. Comme $g(2) > 0$ et que la fonction polynomiale $g$ est continue en $2$, par composition avec la fonction racine carrée (continue sur $[0, +\infty[$), la fonction $f = \sqrt{g}$ est continue en $2$.

6. 6. Déterminer alors la valeur exacte de la limite suivante :
   $$\lim_{x \to 2} \sqrt{x^2 - 3x + 6}$$

   Indice — Utilise la continuité de la fonction $f$ en $2$ établie à la question précédente pour calculer sa limite par substitution.

   Correction

   La fonction $f$ étant continue en $2$, sa limite en ce point est égale à son image $f(2)$. On obtient ainsi : $\lim_{x \to 2} \sqrt{x^2 - 3x + 6} = f(2) = \sqrt{g(2)} = \sqrt{4} = 2$.

On considère la fonction $f$ définie par :
$$f(x) = \sqrt{\frac{2x^2 - 3x + 5}{x + 1}}$$

On se propose d'étudier la continuité de $f$ en $a = 2$ afin de déterminer sa limite en ce point.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.

   Indice — Recherche les valeurs de $x$ pour lesquelles le dénominateur est non nul et la fraction sous la racine carrée est positive ou nulle. Aide-toi d'un tableau de signes.

   Correction

   Pour que la fonction $f$ soit définie, il faut que le dénominateur soit non nul ($x + 1 \neq 0$) et que la fraction sous la racine carrée soit positive ou nulle. Le discriminant du trinôme $2x^2 - 3x + 5$ est $\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 5 = -31 < 0$. Ce trinôme est donc strictement positif sur $\mathbb{R}$ car son coefficient dominant est positif ($2 > 0$). Le signe de la fraction dépend ainsi uniquement de celui de $x + 1$. La fraction est définie et positive si et seulement si $x + 1 > 0$, soit $x > -1$. On en déduit que $D_f = ]-1\,;\,+\infty[$.

2. 2. Justifier que l'intervalle $I = ]-1\,;\,+\infty[$ est un intervalle ouvert contenant le réel $a = 2$, et vérifier que pour tout $x \in I$, la quantité sous la racine carrée est strictement positive.

   Indice — Vérifie d'abord l'appartenance de $2$ à l'intervalle $I$, puis étudie le signe du trinôme $2x^2 - 3x + 5$ en calculant son discriminant.

   Correction

   On a $2 > -1$, donc le réel $a = 2$ appartient bien à l'intervalle ouvert $I = ]-1\,;\,+\infty[$. Pour tout $x \in I$, on a $x + 1 > 0$. Comme établi à la question précédente, le trinôme $2x^2 - 3x + 5$ est strictement positif sur $\mathbb{R}$. Par quotient de deux quantités strictement positives, la fraction $\frac{2x^2 - 3x + 5}{x + 1}$ est strictement positive pour tout $x \in I$.

3. 3. Justifier la continuité de la fonction rationnelle $u : x \mapsto \frac{2x^2 - 3x + 5}{x + 1}$ sur l'intervalle $I$.

   Indice — Invoque le théorème du cours concernant la continuité des fonctions rationnelles sur leur domaine de définition.

   Correction

   La fonction $u$ est une fonction rationnelle, définie comme le quotient de deux fonctions polynomiales. Un théorème du cours stipule que toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition, qui est ici $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. L'intervalle $I = ]-1\,;\,+\infty[$ étant inclus dans cet ensemble, la fonction $u$ est continue sur $I$.

4. 4. En déduire, à l'aide d'un théorème du cours, que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $I$, et en particulier en $a = 2$.

   Indice — Utilise le théorème de continuité de la racine carrée d'une fonction positive $\sqrt{u}$ en vérifiant bien les hypothèses sur $I$.

   Correction

   La fonction $f$ est la composée de la fonction $u$ par la fonction racine carrée ($f = \sqrt{u}$). Sur l'intervalle $I$, la fonction $u$ est continue et strictement positive. Par théorème de composition, la fonction $f$ est continue sur $I$. Puisque $a = 2$ appartient à $I$, la fonction $f$ est en particulier continue en $2$.

5. 5. Rappeler la caractérisation de la continuité de $f$ en $a = 2$ à l'aide de sa limite en ce point.

   Indice — Écris l'égalité fondamentale qui relie la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $2$ et l'image $f(2)$.

   Correction

   Par définition, la fonction $f$ est continue en $a = 2$ si et seulement si elle est définie en ce point et que sa limite en $2$ est égale à sa valeur en ce point. On écrit ainsi l'égalité :
   $$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$$

6. 6. En déduire la valeur de la limite :
   $$\lim_{x \to 2} f(x)$$

   Indice — Puisque la fonction est continue en $2$, il te suffit de calculer directement l'image de $2$ par $f$.

   Correction

   Puisque la fonction $f$ est continue en $2$, sa limite en ce point est égale à $f(2)$. On calcule directement cette valeur :
   $$f(2) = \sqrt{\frac{2(2)^2 - 3(2) + 5}{2 + 1}} = \sqrt{\frac{7}{3}}$$

   On en déduit immédiatement :
   $$\lim_{x \to 2} f(x) = \sqrt{\frac{7}{3}}$$