Continuité — exercices corrigés

On considère la fonction $f$ définie sur son ensemble de définition par $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 2} + \frac{1}{x+1}$.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 2} + \frac{1}{x+1}$.

   Indice — Pense à identifier les contraintes d'existence : le dénominateur doit être non nul et l'expression sous la racine carrée doit être supérieure ou égale à zéro.

   Correction

   La fonction $f$ comporte une racine carrée et un dénominateur. Les contraintes d'existence sont donc que l'expression sous le radical soit positive ou nulle ($x^2 - 3x + 2 \geq 0$) et que le dénominateur soit non nul ($x + 1 \neq 0$). L'ensemble de définition $D_f$ est l'intersection de ces deux ensembles de contraintes.

2. 2. Préciser les intervalles sur lesquels l'expression sous le radical est positive ou nulle.

   Indice — Étudie le signe du polynôme du second degré $x^2 - 3x + 2$ en déterminant ses racines pour trouver où il est positif ou nul.

   Correction

   Le polynôme $x^2 - 3x + 2$ admet pour racines $x = 1$ et $x = 2$ (car la somme des coefficients 1 - 3 + 2 = 0). Le coefficient dominant étant positif ($a = 1 > 0$), le trinôme est positif ou nul à l'extérieur de ses racines. L'expression sous le radical est donc positive ou nulle sur $]-\infty, 1] \cup [2, +\infty[__.

3. 3. Justifier que la fonction $u : x \mapsto x^2 - 3x + 2$ est continue sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Considère la fonction polynôme à l'intérieur de la racine et rappelle les règles de continuité des fonctions usuelles sur $\mathbb{R}$.

   Correction

   La fonction $u : x \mapsto x^2 - 3x + 2$ est une fonction polynôme. Par propriété générale, les fonctions polynômes sont continues sur l'ensemble des réels $\mathbb{R}$.

4. 4. En déduire que la fonction $g : x \mapsto \sqrt{x^2 - 3x + 2}$ est continue sur son domaine de validité.

   Indice — Invoque le théorème de continuité de la racine carrée d'une fonction positive en combinant les résultats des questions précédentes.

   Correction

   D'après les théorèmes généraux sur la composition, la racine carrée d'une fonction continue et positive est continue sur son domaine de validité. Puisque $u$ est continue sur $\mathbb{R}$ et positive sur $]-\infty, 1] \cup [2, +\infty[$, la fonction $g$ est continue sur ce même domaine.

5. 5. Justifier la continuité de la fonction $h : x \mapsto \frac{1}{x+1}$ en tout point de son ensemble de définition.

   Indice — Examine la nature de la seconde partie de la fonction $f$ en tant que fonction rationnelle et rappelle son domaine de continuité.

   Correction

   La fonction $h : x \mapsto \frac{1}{x+1}$ est une fonction rationnelle. Or, le cours indique qu'une fonction rationnelle est continue sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition, c'est-à-dire pour tout $x \neq -1$.

6. 6. Conclure sur la continuité de la fonction $f$ sur son ensemble de définition $D_f$.

   Indice — Utilise le théorème sur la somme de deux fonctions continues sur un même intervalle.

   Correction

   D'après les questions précédentes, la fonction $f$ s'exprime comme la somme de deux fonctions continues sur $D_f$ : la fonction racine carrée d'un polynôme positif et la fonction rationnelle $h$. Par le théorème sur la somme de fonctions continues, $f$ est continue sur tout son ensemble de définition $D_f$.

On considère la fonction $f$ définie par :
$$f(x) = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2 - 1}$$

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$.

   Indice — Étudie le signe de l'expression sous la racine et le dénominateur pour chaque intervalle.

   Correction

   L'ensemble de définition est déterminé par deux conditions : l'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle, soit $4 - x^2 \geq 0$ (ce qui donne $x \in [-2, 2]$), et le dénominateur doit être non nul, soit $x^2 - 1$
   eq 0 (ce qui exclut $x = -1$ et $x = 1$). En combinant ces contraintes, on obtient $D_f = [-2, -1[ \cup ]-1, 1[ \cup ]1, 2].

2. 2. Déterminer le domaine de continuité de $f$.

   Indice — Invoque les théorèmes généraux sur les fonctions de référence et leurs opérations.

   Correction

   D'après les théorèmes généraux sur les opérations et la composition des fonctions de référence, la fonction $x \mapsto \sqrt{4-x^2}$ est continue sur $[-2, 2]$ et la fonction polynôme $x \mapsto x^2 - 1$ est continue sur $\mathbb{R}$. Comme le dénominateur ne s'annule pas sur $D_f$, le quotient est continu par opérations algébriques. Ainsi, le domaine de continuité de $f$ est exactement son ensemble de définition $D_f = [-2, -1[ \cup ]-1, 1[ \cup ]1, 2].

3. 3. La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en $-1$ et en $1$ ? Justifier.

   Indice — Examine les limites à gauche et à droite en chacun des points frontières exclus du domaine de définition ou de continuité.

   Correction

   Les bornes exclues à examiner sont $x = -1$ et $x = 1$. En calculant les limites latérales en ces points, on constate que les limites à gauche et à droite tendent vers $\pm\infty$ en valeur absolue (par exemple, le numérateur tend vers $\sqrt{3}$ et le dénominateur tend vers $0$). Par conséquent, aucune limite finie n'existe aux bornes du domaine, et la fonction n'admet aucun prolongement par continuité en ces points.

4. 4. Montrer que la fonction $x \mapsto \sqrt{4-x^2}$ est continue en $0$.

   Indice — Exprime la condition formelle locale en $(\alpha, \beta)$ pour la fonction racine carrée au voisinage d'un point bien choisi.

   Correction

   Pour montrer la continuité de $g(x) = \sqrt{4-x^2}$ en $0$ à l'aide de la définition locale, on étudie $|g(x) - g(0)| = |\sqrt{4-x^2} - 2| = \frac{|x^2|}{\sqrt{4-x^2} + 2}$. Pour $|x| \leq 1$, le dénominateur est supérieur ou égal à $\sqrt{3} + 2 > 2$, ce qui permet de majorer l'expression par $\frac{x^2}{2}$. En choisissant $\alpha = \min(1, \sqrt{2\beta})$, on garantit que pour tout $|x| < \alpha$, on a $|g(x) - g(0)| < \beta$, ce qui établit la continuité formelle en $0$.

5. 5. Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet au moins une solution $\alpha$ dans l'intervalle $]0, 2[$.

   Indice — Considère une fonction auxiliaire $g(x) = f(x)$ sur un intervalle bien choisi et vérifie les hypothèses requises.

   Correction

   On introduit la fonction auxiliaire $g(x) = f(x) - x = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2 - 1} - x$ sur l'intervalle $[0, 2[$. La fonction $g$ est continue sur $[0, 2[$ comme somme et quotient de fonctions continues. On calcule les valeurs aux bornes ou en des points bien choisis : $g(0) = \frac{2}{-1} - 0 = -2$ et par exemple $g(1) = \lim_{x \to 1^-} g(x) = +\infty$ (ou en évaluant en un autre point intermédiaire de l'intervalle). Comme $0$ est compris entre $g(0)$ et la valeur positive atteinte par $g$ au voisinage de $1$, le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'au moins une solution $\alpha \in ]0, 2[$ telle que $g(\alpha) = 0$, soit $f(\alpha) = \alpha$.

6. 6. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.

   Indice — Utilisez la méthode de balayage ou d'encadrement successif pour resserrer l'amplitude.

   Correction

   En utilisant la méthode de balayage ou d'évaluation numérique approchée de la fonction $f(x) - x$ sur l'intervalle $]0, 1[$, on teste les valeurs successives. On trouve que $g(x)$ change de signe entre $1$ et une valeur plus petite, ou sur un sous-intervalle adapté. Par approximations successives (par exemple en évaluant au milieu des intervalles d'amplitude décroissante), on obtient l'encadrement $\alpha \in [0.8, 0.9]$ d'amplitude $10^{-1}$.

7. 7. Soit $h(x) = |f(x)|$. Étudier la continuité de $h$ sur son domaine de définition.

   Indice — Analyse l'expression avec la valeur absolue de $f$ et étudie le comportement au voisinage des points de discontinuité.

   Correction

   Le domaine de définition de $f$ est $[-2, 2[ \setminus \{1\}$. La fonction $h(x) = |f(x)|$ est continue sur son domaine de définition comme composée de la fonction valeur absolue et de la fonction $f$, qui est continue partout où elle est définie. Aux points où $f$ n'est pas définie (en $x = 1$, valeur interdite par le dénominateur $x^2 - 1$), $h$ n'est pas définie et présente une discontinuité par impossibilité de prolongation.

8. 8. Déterminer l'image de l'intervalle $[1, 2[$ par $f$.

   Indice — Considère l'image de l'intervalle de définition par une fonction continue et monotone par morceaux.

   Correction

   Sur l'intervalle $[1, 2[$, la fonction $f(x) = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2 - 1}$ est continue et strictement décroissante. En calculant les limites aux bornes : en $1^+$, le numérateur tend vers $\sqrt{3}$ et le dénominateur tend vers $0^+$, donc $f(x) \to +\infty$. En $2^-$, le numérateur tend vers $0$ et le dénominateur tend vers $3$, donc $f(2) = 0$. Par conséquent, l'image de l'intervalle $[1, 2[$ par $f$ est l'intervalle $[0, +\infty[$.

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{3 - \sqrt{x^2 + 8}}{x - 1}$.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{3 - \sqrt{x^2 + 8}}{x - 1}$.

   Indice — Détermine l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'expression sous le radical est positive ou nulle et le dénominateur non nul.

   Correction

   La fonction $f$ comporte une racine carrée et un dénominateur. L'expression sous le radical doit être positive ou nulle ($x^2 + 8 \ge 0$, ce qui est toujours vrai) et le dénominateur doit être non nul ($x - 1 \neq 0$, soit $x \neq 1$). L'ensemble de définition est donc $\mathcal{D}_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} = ]-\infty, 1[ \cup ]1, +\infty[.

2. 2. Calculer la limite de $f$ en $1$.

   Indice — Remarque l'apparition d'une forme indéterminée en $1$. Multiustoie l'expression par sa quantité conjuguée.

   Correction

   En remplaçant $x$ par $1$, on obtient une forme indéterminée du type $\frac{0}{0}$. On multiplie le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du numérateur, soit $(3 + \sqrt{x^2 + 8})$. Après simplification par $(x - 1)$, on obtient l'expression $\frac{-x}{3 + \sqrt{x^2 + 8}}$. En passant à la limite en $1$, on trouve $\lim_{x \to 1} f(x) = -\frac{1}{6}.

3. 3. Expliciter le prolongement par continuité de $f$ en $1$, que l'on note $F$.

   Indice — Utilise la valeur de la limite obtenue en $1$ pour définir une nouvelle fonction qui coïncide avec $f$ partout sauf en $1$ et qui y est définie.

   Correction

   Puisque $f$ admet une limite finie $\ell = -\frac{1}{6}$ en $1$, on peut prolonger $f$ par continuité en $1$ en posant $F(1) = -\frac{1}{6}$. La fonction $F$ est ainsi définie par $F(x) = f(x)$ pour $x \neq 1$ et $F(1) = -\frac{1}{6}.

4. 4. On considère la fonction $g$ définie par : $\n$$$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \in ]-\infty\,;\,1[ \\ ax^2 - 3x & \text{si } x \in [1\,;\,3] \\ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6} & \text{si } x \in ]3\,;\,+\infty[ \end{cases}$$$\nD$éterminer l'ensemble de définition $D_g$ de la fonction $g$.

   Indice — Examine l'ensemble des restrictions d'intervalles et les éventuelles valeurs annulant les dénominateurs des expressions rationnelles présentes dans la définition.

   Correction

   On analyse chaque morceau de la fonction $g$ : sur $]-\infty, 1[$, $f$ est définie sur $]-\infty, 1[$ ; sur $[1, 3]$, le polynôme $ax^2 - 3x$ est défini partout ; sur $]3, +\infty[$, le dénominateur $x^2 - 5x + 6$ s'annule en $x = 2$ et $x = 3$. Comme $2$ et $3$ ne sont pas dans l'intervalle $]3, +\infty[$, le dénominateur ne s'y annule jamais. En réunissant ces domaines, l'ensemble de définition est $D_g = ]-\infty, 3[ \cup ]3, +\infty[ = \mathbb{R} \setminus \{3\}.

5. 5. Calculer la limite à gauche de $g$ en $1$ en utilisant le résultat de la limite de $f$, puis exprimer $g(1)$ en fonction de $a$.

   Indice — Exprime la limite à gauche et la valeur ou la limite à droite de $g$ en $1$ en fonction du paramètre $a$.

   Correction

   Pour calculer la limite à gauche de $g$ en $1$, on utilise l'expression de $g$ valable pour $x < 1$, qui coïncide avec la fonction $f$ étudiée précédemment. En exploitant la limite de $f$ trouvée aux questions antérieures (obtenue par la quantité conjuguée), on trouve que la limite à gauche de $g$ en $1$ est égale à $-\frac{1}{3}$. Pour l'expression de $g(1)$, on utilise la branche où $x = 1$, définie par $g(1) = 3a - 2$ (ou l'expression correspondante selon le paramétrage défini par la fonction par morceaux $g$). Ainsi, la limite à gauche vaut $-\frac{1}{3}$ et $g(1)$ s'exprime directement en fonction de $a$.

6. 6. Déterminer la valeur du paramètre réel $a$ pour laquelle la fonction $g$ est continue en $1$.

   Indice — Écris la condition nécessaire et suffisante de continuité en un point via l'égalité des limites latérales et de la valeur en ce point.

   Correction

   La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit continue en $1$ est que sa limite en $1$ (ou ses limites latérales lorsqu'elles coïncident) soit égale à la valeur de la fonction en ce point, c'est-à-dire $\lim_{x \to 1} g(x) = g(1)$. En posant l'égalité entre la limite calculée à la question précédente ($-\frac{1}{3}$) et l'expression de $g(1)$, on résout l'équation linéaire d'inconnue $a$. On obtient ainsi la valeur exacte du paramètre $a = \frac{5}{9}$.

7. 7. Étudier la continuité de la fonction $g$ en $3$ pour la valeur de $a$ déterminée précédemment, en calculant séparément la limite à gauche et la limite à droite en $3$.

   Indice — Pour la limite à droite en $3$, décompose le dénominateur de l'expression rationnelle sous forme de produit de facteurs et étudie les signes au voisinage de $3$.

   Correction

   Pour étudier la continuité de $g$ en $3$ avec la valeur $a = \frac{5}{9}$, on calcule séparément la limite à gauche et la limite à droite de $g$ en $3$. Pour la limite à droite, le dénominateur de l'expression rationnelle se factorise sous la forme $(x-3)(x+1)$. En étudiant les signes des facteurs au voisinage de $3$ (avec $x > 3$), on évalue le comportement de l'expression. La limite à gauche et la limite à droite en $3$ étant toutes deux finies et égales à la valeur de la fonction en $3$, on conclut que la fonction $g$ est continue en $3$.

8. 8. Préciser le domaine de continuité total de la fonction $g$.

   Indice — Fais la synthèse de tous les intervalles de continuité des branches élémentaires et retire les points de raccordement ou de discontinuité mis en évidence.

   Correction

   Le domaine de continuité total de $g$ s'obtient en faisant la synthèse des intervalles de continuité de chaque branche élémentaire de la fonction par morceaux, et en vérifiant la continuité aux points de raccordement (notamment en $1$ grâce au choix de $a$, et en $3$). En excluant les valeurs annulant les dénominateurs hors de leur domaine de définition, on conclut que le domaine de continuité de $g$ est la réunion des intervalles où chaque expression est définie et continue, soit $]-\infty, 1] \cup ]1, 3[ \cup ]3, +\infty[$ (ou l'ensemble des réels privés des éventuelles valeurs de discontinuité isolées).

On considère la fonction $f$ définie par :
$$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - x}{x + 2}}$$

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - x}{x + 2}}$.

   Indice — Détermine les contraintes d'existence liées au dénominateur et à l'expression sous la racine carrée.

   Correction

   La fonction $f$ comporte une racine carrée et un quotient. Pour qu'elle soit définie, deux conditions doivent être réunies : le dénominateur $x + 2$ doit être non nul, et le quotient sous la racine $\frac{x^2 - x}{x + 2}$ doit être positif ou nul. En étudiant le signe du numérateur $x(x-1)$ et du dénominateur à l'aide d'un tableau de signes, on obtient $D_f = ]-2, 0] \cup [1, +\infty[$.

2. 2. Justifier la continuité des fonctions polynômes intervenant au numérateur et au dénominateur de l'expression sous la racine sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Invoque le théorème général concernant les fonctions polynômes sur leur ensemble de définition.

   Correction

   Les fonctions $P(x) = x^2 - x$ et $Q(x) = x + 2$ sont des fonctions polynômes. D'après le théorème général sur les fonctions polynômes, elles sont continues sur tout $\mathbb{R}$.

3. 3. En déduire la continuité de la fonction rationnelle $g$ définie par $g(x) = \frac{x^2 - x}{x + 2}$ sur son domaine de définition.

   Indice — Vérifie le signe et la non-annulation du dénominateur sur les intervalles constituant le domaine de définition.

   Correction

   La fonction rationnelle $g(x) = \frac{x^2 - x}{x + 2}$ est le quotient de deux fonctions polynômes continues sur leur domaine de définition, le dénominateur ne s'annulant pas. Par conséquent, $g$ est continue sur chaque intervalle composant son ensemble de définition, c'est-à-dire sur $]-2, 0]$ et sur $[1, +\infty[$.

4. 4. Déterminer les sous-intervalles de $D_f$ sur lesquels la fonction rationnelle $g$ est positive ou nulle.

   Indice — Étudie le signe du quotient $g(x)$ en dressant un tableau de signes sur les intervalles composants $D_f$.

   Correction

   En dressant le tableau de signes du quotient $g(x) = \frac{x(x-1)}{x+2}$ sur $D_f$, on détermine les sous-intervalles où $g(x) \ge 0$. La fonction rationnelle $g$ est positive ou nulle sur $]-2, 0]$ et sur $[1, +\infty[$.

5. 5. Conclure quant à la continuité de la fonction $f$ sur chacun des intervalles où elle est définie.

   Indice — Mobilise le théorème de continuité de la racine carrée d'une fonction positive.

   Correction

   Par application du théorème de continuité des fonctions composées et de la racine carrée, $f$ est continue sur chacun des intervalles ouverts où elle est définie et strictement positive (ou nulle là où le numérateur s'annule), c'est-à-dire sur $]-2, 0]$ et $[1, +\infty[$.

6. 6. Préciser la nature de la continuité de $f$ aux bornes de son domaine de définition, notamment en $x = 0$.

   Indice — Examine le comportement de la fonction $f$ au voisinage de la borne fermée du domaine de définition.

   Correction

   Aux bornes fermées du domaine, la continuité est une continuité à droite ou à gauche selon le cas. En particulier, en $x = 0$, $f(0) = 0$ et la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs inférieures est bien $0$, ce qui assure la continuité à gauche de $f$ en $0$.

7. 7. Soit la fonction h définie par $h(x) = f(x)$ pour $x \neq 2$ et $h(2) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Étudier la continuité de $h$ en $x = 2$.

   Indice — Utilise un théorème de prolongement ou de coïncidence avec une fonction continue par morceaux si l'on modifie la valeur en un point isolé.

   Correction

   Pour étudier la continuité de $h$ en $x = 2$, on calcule la limite de $h(x)$ (qui coïncide avec $f(x)$) lorsque $x$ tend vers $2$. On trouve $\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Puisque cette limite est égale à la valeur $h(2)$, la fonction $h$ est continue en $x = 2$.

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{3 - \sqrt{4x^2 - 3}}{2x - 3}$.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de $f$, puis calculer $\lim_{x \to \frac{3}{2}} f(x)$.

   Indice — Utiliser la quantité conjuguée du numérateur.

   Correction

   L'ensemble de définition de $f$ requiert que $4x^2 - 3 \ge 0$ et $2x - 3 \neq 0$. Ainsi, $\mathcal{D}_f = [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}[ \cup ]\frac{3}{2}, +\infty[$. En multipliant par la quantité conjuguée, on lève l'indétermination en $\frac{3}{2}$ et on trouve $\lim_{x \to \frac{3}{2}} f(x) = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

2. 2. La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en $\frac{3}{2}$ ? Justifier, puis donner l'expression de la fonction prolongée $\tilde{f}$.

   Indice — Comparer la limite finie en $\frac{3}{2}$ avec les conditions de prolongement.

   Correction

   Puisque $\lim_{x \to \frac{3}{2}} f(x) = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ (finie), $f$ est prolongeable par continuité en $\frac{3}{2}$. La fonction prolongée $\tilde{f}$ est définie par $\tilde{f}(x) = f(x)$ pour $x \in \mathcal{D}_f$ et $\tilde{f}(\frac{3}{2}) = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

3. 3. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :\n$$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \in ]-\infty\,;\,\frac{3}{2}[ \\ ax^2 + x - 2 & \text{si } x \in [\frac{3}{2}\,;\,3] \\ \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3} & \text{si } x \in ]3\,;\,+\infty[ \end{cases}$$\nDéterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_g$ de $g$.

   Indice — Recenser les contraintes d'existence de chaque expression sur son intervalle respectif.

   Correction

   L'ensemble de définition de $g$ est $\mathcal{D}_g = [-\frac{\sqrt{3}}{2}, 3] \cup ]3, +\infty[$ en tenant compte de la validité du radical et des dénominateurs.

4. 4. Déterminer la valeur du paramètre réel $a$ pour laquelle la fonction $g$ est continue en $\frac{3}{2}$.

   Indice — Égaliser la limite à gauche en $\frac{3}{2}$ et la valeur de $g(\frac{3}{2})$.

   Correction

   La continuité en $\frac{3}{2}$ impose que $a\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} - 2 = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. On en déduit la valeur de $a$.

5. 5. Calculer :\n• $\lim_{x \to 3^-} g(x)$\n• $\lim_{x \to 3^+} g(x)$

   Indice — Étudier les limites unilatérales en $3$.

   Correction

   La limite à gauche en $3$ s'obtient par substitution dans l'expression polynomiale. Pour la limite à droite, on simplifie la fraction rationnelle $\frac{x^2-9}{x^2-4x+3} = \frac{x+3}{x-1}$, ce qui donne $\lim_{x \to 3^+} g(x) = 3$.

6. 6. Déterminer l'ensemble de continuité de $g$.

   Indice — Rassembler les intervalles de continuité de chaque morceau de $g$.

   Correction

   La fonction $g$ est continue sur $\left(-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, 3\right] \cup ]3, +\infty[$.