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Généralités sur les fonctions — cours

3ème année · section Informatique · mathématiques, programme officiel tunisien.

Exercices corrigés : Généralités sur les fonctions Maths 3ème année Informatique

Le cours

Définition · 1

Ensemble de définition d'une fonction

Soit ff une fonction numérique d'une variable réelle xx.

Df={x∈R∣f(x) existe}D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ existe}\}

x∈Df  ⟺  les opeˊrations deˊfinissant f(x) sont possibles dans Rx \in D_f \iff \text{les opérations définissant } f(x) \text{ sont possibles dans } \mathbb{R}

Pour déterminer DfD_f, deux contraintes usuelles s'appliquent : tout dénominateur doit être non nul, et toute expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle.

Définition · 2

Égalité de deux fonctions et restriction

f=g  ⟺  (Df=Dget∀x∈Df,  f(x)=g(x))f = g \iff (D_f = D_g \quad \text{et} \quad \forall x \in D_f,\; f(x) = g(x))

Deux fonctions sont égales lorsqu'elles partagent exactement le même ensemble de définition et attribuent la même image à chaque réel.

Soit D′D' une partie non vide de DfD_f. La fonction hh définie sur D′D' par h(x)=f(x)h(x) = f(x) pour tout x∈D′x \in D' est appelée la restriction de ff à D′D', notée f∣D′f_{|D'}.

Exemple travaillé · 3

Comparer deux fonctions et identifier une restriction

On considère les fonctions f(x)=x2−1x−1f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} et g(x)=x+1g(x) = x+1.
1. Déterminer DfD_f et DgD_g.
2. Comparer ff et gg sur R\mathbb{R}, puis comparer leurs restrictions à l'intervalle ]1;+∞[]1;+\infty[.

1

Pour ff, le quotient existe si et seulement si x−1≠0x-1 \neq 0, d'où Df=R∖{1}D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}. Pour la fonction polynôme gg, Dg=RD_g = \mathbb{R}.

2

Pour tout x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, on factorise le numérateur :

f(x)=(x−1)(x+1)x−1=x+1=g(x)f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 = g(x)
3

Comme Df≠DgD_f \neq D_g, les fonctions ne sont pas égales sur R\mathbb{R} : f≠gf \neq g.

4

Sur I=]1;+∞[I = ]1;+\infty[, 1∉I1 \notin I, donc I⊂DfI \subset D_f et I⊂DgI \subset D_g. Pour tout x∈Ix \in I, f(x)=g(x)f(x) = g(x). Les restrictions sont donc égales :

f∣]1;+∞[=g∣]1;+∞[f_{|]1;+\infty[} = g_{|]1;+\infty[}

Piège classique · 4

Le piège de la simplification sans contrôle du domaine

On pose f(x)=x2+x−2x−1f(x) = \frac{x^2+x-2}{x-1} et g(x)=x+2g(x) = x+2.
Peut-on affirmer que f=gf = g sur R\mathbb{R} ?

Attention

Déclarer que f=gf = g sur R\mathbb{R} sous prétexte que (x−1)(x+2)x−1=x+2\frac{(x-1)(x+2)}{x-1} = x+2.

À la place : La simplification n'est valide que pour x≠1x \neq 1. Le domaine de ff est Df=R∖{1}D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} alors que Dg=RD_g = \mathbb{R}. Comme Df≠DgD_f \neq D_g, on a f≠gf \neq g sur R\mathbb{R}, mais f=g∣R∖{1}f = g_{|\mathbb{R}\setminus\{1\}}.

Vérification · 5

Vérification du groupe

On donne les fonctions u(x)=x2u(x) = \sqrt{x^2} et v(x)=xv(x) = x.
Quelle affirmation est exacte concernant uu et vv ?

Remarque

Pour tout réel xx, x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|. Les deux fonctions ont bien pour domaine R\mathbb{R}, mais pour x<0x < 0, u(x)=−x≠xu(x) = -x \neq x. Ainsi u≠vu \neq v sur R\mathbb{R}, mais leurs restrictions coïncident sur [0;+∞[[0;+\infty[.

Point de départ · 6

Pour la fonction carré f(x)=x2f(x) = x^2, on a f(−x)=(−x)2=x2=f(x)f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) pour tout réel xx.
Quelle propriété géométrique possède sa courbe représentative dans un repère orthogonal ?

Remarque

Deux nombres opposés xx et −x-x ont la même image : les points M(x,y)M(x, y) et M′(−x,y)M'(-x, y) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées (Oy)(Oy).

Définition · 7

Parité d'une fonction

Soit ff une fonction définie sur un ensemble DD.

1. Fonction paire :

∀x∈D,  −x∈Detf(−x)=f(x)\forall x \in D,\; -x \in D \quad \text{et} \quad f(-x) = f(x)

Dans un repère orthogonal, la courbe (Cf)(C_f) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy)(Oy).

2. Fonction impaire :

∀x∈D,  −x∈Detf(−x)=−f(x)\forall x \in D,\; -x \in D \quad \text{et} \quad f(-x) = -f(x)

Dans un repère orthogonal, la courbe (Cf)(C_f) est symétrique par rapport à l'origine OO du repère.

Exemple travaillé · 8

Déterminer l'ensemble de définition et étudier la parité de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2+1}.

1

Pour tout réel xx, x2+1≥1>0x^2+1 \ge 1 > 0, donc le dénominateur ne s'annule jamais. Ainsi, Df=RD_f = \mathbb{R}.

2

Le domaine R\mathbb{R} est symétrique par rapport à 00 : pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, −x∈R-x \in \mathbb{R}.

3

On évalue f(−x)f(-x) pour tout réel xx :

f(−x)=−x(−x)2+1=−xx2+1=−xx2+1=−f(x)f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+1} = \frac{-x}{x^2+1} = -\frac{x}{x^2+1} = -f(x)
4

Puisque f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, la fonction ff est impaire.

Piège classique · 9

Soit la fonction g(x)=x−1g(x) = \sqrt{x-1}. Peut-on affirmer que gg est paire ou impaire en calculant g(−x)g(-x) ?

Attention

Calculer g(−x)=−x−1g(-x) = \sqrt{-x-1} sans vérifier au préalable si le domaine est centré en 0.

À la place : Le domaine de gg est Dg=[1;+∞[D_g = [1;+\infty[. On a 2∈Dg2 \in D_g mais −2∉Dg-2 \notin D_g. Le domaine n'est pas symétrique par rapport à 00 : gg n'est ni paire ni impaire, sans aucun calcul sur g(−x)g(-x).

Vérification · 10

On considère la fonction h(x)=x2∣x∣−2h(x) = \frac{x^2}{|x|-2}. Quelle est la parité de hh ?

Remarque

Dh=R∖{−2;2}D_h = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\} est symétrique par rapport à 00. De plus, pour tout x∈Dhx \in D_h, h(−x)=(−x)2∣−x∣−2=x2∣x∣−2=h(x)h(-x) = \frac{(-x)^2}{|-x|-2} = \frac{x^2}{|x|-2} = h(x), donc hh est paire.

Définition · 11

Sens de variation et taux de variation

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. Pour tous réels x1,x2∈Ix_1, x_2 \in I distincts, on définit le taux de variation par :

T=f(x1)−f(x2)x1−x2T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}

f strictement croissante sur I  ⟺  ∀x1≠x2∈I,  T>0f \text{ strictement croissante sur } I \iff \forall x_1 \neq x_2 \in I,\; T > 0
f strictement deˊcroissante sur I  ⟺  ∀x1≠x2∈I,  T<0f \text{ strictement décroissante sur } I \iff \forall x_1 \neq x_2 \in I,\; T < 0

Exemple travaillé · 12

Étudier le sens de variation de la fonction f(x)=x+1x−1f(x) = \frac{x+1}{x-1} sur l'intervalle ]1;+∞[]1;+\infty[ à l'aide du taux de variation.

1

Soient x1x_1 et x2x_2 deux réels distincts de ]1;+∞[]1;+\infty[. On exprime le taux de variation :

T=f(x1)−f(x2)x1−x2=x1+1x1−1−x2+1x2−1x1−x2T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} = \frac{\frac{x_1+1}{x_1-1} - \frac{x_2+1}{x_2-1}}{x_1 - x_2}
2

On réduit au même dénominateur le numérateur :

(x1+1)(x2−1)−(x2+1)(x1−1)=−2(x1−x2)(x_1+1)(x_2-1) - (x_2+1)(x_1-1) = -2(x_1-x_2)
3

On simplifie par (x1−x2)(x_1-x_2) :

T=−2(x1−1)(x2−1)T = \frac{-2}{(x_1-1)(x_2-1)}
4

Pour x1>1x_1 > 1 et x2>1x_2 > 1, on a x1−1>0x_1-1 > 0 et x2−1>0x_2-1 > 0, donc (x1−1)(x2−1)>0(x_1-1)(x_2-1) > 0. Le numérateur étant −2<0-2 < 0, on obtient T<0T < 0.

5

Puisque T<0T < 0 pour tous réels distincts de ]1;+∞[]1;+\infty[, la fonction ff est strictement décroissante sur ]1;+∞[]1;+\infty[.

Définition · 13

Opérations sur les fonctions monotones

Soient ff et gg deux fonctions définies sur un intervalle II et α∈R\alpha \in \mathbb{R}.

f et g croissantes sur I  ⟹  f+g croissante sur If \text{ et } g \text{ croissantes sur } I \implies f + g \text{ croissante sur } I

α>0  ⟹  αf a le meˆme sens de variation que f\alpha > 0 \implies \alpha f \text{ a le même sens de variation que } f
α<0  ⟹  αf a le sens de variation contraire de f\alpha < 0 \implies \alpha f \text{ a le sens de variation contraire de } f

Si une fonction uu est strictement monotone et garde un signe strictement constant sur II, alors 1u\frac{1}{u} varie en sens contraire de uu sur II.

Piège classique · 14

La fonction f(x)=x+1x−1f(x) = \frac{x+1}{x-1} est strictement décroissante sur ]−∞;1[]-\infty;1[ et strictement décroissante sur ]1;+∞[]1;+\infty[.
Peut-on affirmer que ff est décroissante sur ]−∞;1[∪]1;+∞[]-\infty;1[ \cup ]1;+\infty[ ?

Attention

Déclarer que ff est décroissante sur la réunion ]−∞;1[∪]1;+∞[]-\infty;1[ \cup ]1;+\infty[ car son taux de variation est négatif sur chaque intervalle séparé.

À la place : La monotonie se définit uniquement sur un intervalle. Sur la réunion, en choisissant x1=0x_1 = 0 et x2=2x_2 = 2, on a 0<20 < 2 mais f(0)=−1<f(2)=3f(0) = -1 < f(2) = 3, ce qui contredit la décroissance globale.

Vérification · 15

Soit la fonction h(x)=x2−2xh(x) = x^2 - \frac{2}{x} définie sur ]0;1]]0;1]. Quel est son sens de variation sur cet intervalle ?

Remarque

Sur ]0;1]]0;1], x↦x2x \mapsto x^2 est strictement croissante. La fonction x↦1xx \mapsto \frac{1}{x} est strictement décroissante, donc son produit par −2<0-2 < 0, à savoir x↦−2xx \mapsto -\frac{2}{x}, est strictement croissante. La fonction hh est donc strictement croissante sur ]0;1]]0;1] comme somme de deux fonctions strictement croissantes.

Point de départ · 16

Pour la fonction f(x)=x2x2+1f(x) = \frac{x^2}{x^2+1} définie sur R\mathbb{R}, les valeurs prises par f(x)f(x) peuvent-elles dépasser 11 ?

Remarque

Pour tout réel xx, x2<x2+1x^2 < x^2+1, donc le quotient vérifie f(x)<1f(x) < 1. Les images par ff sont plafonnées : on dit que la fonction est majorée par 11.

Définition · 17

Fonctions majorées, minorées, bornées et extremums

Soit ff une fonction définie sur un ensemble DD.

f est majoreˊe sur D  ⟺  ∃M∈R,  ∀x∈D,  f(x)≤Mf \text{ est majorée sur } D \iff \exists M \in \mathbb{R},\; \forall x \in D,\; f(x) \le M
f est minoreˊe sur D  ⟺  ∃m∈R,  ∀x∈D,  f(x)≥mf \text{ est minorée sur } D \iff \exists m \in \mathbb{R},\; \forall x \in D,\; f(x) \ge m

f est borneˊe sur D  ⟺  f est aˋ la fois majoreˊe et minoreˊe sur Df \text{ est bornée sur } D \iff f \text{ est à la fois majorée et minorée sur } D

Si un majorant MM est atteint en un point x0∈Dx_0 \in D (f(x0)=Mf(x_0) = M), alors MM est le maximum global de ff sur DD. De même, si un minorant mm est atteint en x0∈Dx_0 \in D (f(x0)=mf(x_0) = m), alors mm est le minimum global de ff sur DD.

Exemple travaillé · 18

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2xx2+1f(x) = \frac{2x}{x^2+1}.
Montrer que ff est minorée par −1-1 et majorée par 11, puis en déduire que ff est bornée sur R\mathbb{R}.

1

Pour prouver la majoration par 11, on étudie le signe de la différence f(x)−1f(x) - 1 pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} :

f(x)−1=2xx2+1−1=2x−(x2+1)x2+1=−x2+2x−1x2+1=−(x−1)2x2+1f(x) - 1 = \frac{2x}{x^2+1} - 1 = \frac{2x - (x^2+1)}{x^2+1} = \frac{-x^2+2x-1}{x^2+1} = -\frac{(x-1)^2}{x^2+1}
2

Pour tout réel xx, (x−1)2≥0(x-1)^2 \ge 0 et x2+1>0x^2+1 > 0, d'où −(x−1)2x2+1≤0-\frac{(x-1)^2}{x^2+1} \le 0. Ainsi, f(x)−1≤0f(x) - 1 \le 0, c'est-à-dire f(x)≤1f(x) \le 1.

3

Pour prouver la minoration par −1-1, on étudie le signe de f(x)−(−1)=f(x)+1f(x) - (-1) = f(x) + 1 :

f(x)+1=2xx2+1+1=2x+x2+1x2+1=(x+1)2x2+1≥0f(x) + 1 = \frac{2x}{x^2+1} + 1 = \frac{2x + x^2 + 1}{x^2+1} = \frac{(x+1)^2}{x^2+1} \ge 0
4

On en déduit que f(x)≥−1f(x) \ge -1 pour tout réel xx.

5

Puisque pour tout x∈Rx \in \mathbb{R}, −1≤f(x)≤1-1 \le f(x) \le 1, la fonction ff est bornée sur R\mathbb{R}.

Piège classique · 19

Pour démontrer que la fonction f(x)=x21+x+x2f(x) = \frac{x^2}{1+x+x^2} est majorée par 43\frac{4}{3} sur R\mathbb{R}, quelle démarche est rigoureuse ?

Attention

Encadrer séparément le numérateur x2x^2 et le dénominateur 1+x+x21+x+x^2 comme des variables indépendantes.

À la place : La variable xx est commune au numérateur et au dénominateur : leurs valeurs évoluent simultanément. Il faut étudier le signe global de la différence f(x)−43=−(x+2)23(1+x+x2)≤0f(x) - \frac{4}{3} = -\frac{(x+2)^2}{3(1+x+x^2)} \le 0.

Vérification · 20

On a démontré que pour tout réel xx, f(x)≤3f(x) \le 3. Peut-on immédiatement affirmer que 33 est le maximum de ff sur R\mathbb{R} ?

Remarque

L'inégalité f(x)≤3f(x) \le 3 prouve seulement que 33 est un majorant. Pour être le maximum de ff, il faut obligatoirement qu'il existe un réel x0∈Rx_0 \in \mathbb{R} tel que f(x0)=3f(x_0) = 3.

Point de départ · 21

La parabole d'équation y=x2y = x^2 a pour sommet l'origine O(0,0)O(0,0).
Pour quelle valeur de xx l'expression (x−2)2(x-2)^2 s'annule-t-elle, et vers où la parabole y=(x−2)2y = (x-2)^2 s'est-elle déplacée ?

Remarque

L'expression (x−2)2(x-2)^2 s'annule pour x=2x = 2. Le sommet a donc pour coordonnées (2,0)(2,0) : bien que la formule porte un signe « - », la courbe a glissé vers la droite (abscisses positives).

Définition · 22

Translations de courbes et éléments de symétrie

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O,i⃗,j⃗)(O, \vec{i}, \vec{j}). Soit ff une fonction et (Cf)(C_f) sa courbe représentative.

La courbe de g(x)=f(x+a)+b est l’image de (Cf) par la translation de vecteur u⃗=−ai⃗+bj⃗\text{La courbe de } g(x) = f(x+a) + b \text{ est l'image de } (C_f) \text{ par la translation de vecteur } \vec{u} = -a\vec{i} + b\vec{j}

Éléments de symétrie d'une courbe (Cf)(C_f) :

Axe Δ:x=a  ⟺  (∀x∈Df,  (2a−x)∈Dfetf(2a−x)=f(x))\text{Axe } \Delta : x = a \iff (\forall x \in D_f,\; (2a-x) \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a-x) = f(x))
Centre I(a,b)  ⟺  (∀x∈Df,  (2a−x)∈Dfetf(2a−x)+f(x)=2b)\text{Centre } I(a,b) \iff (\forall x \in D_f,\; (2a-x) \in D_f \quad \text{et} \quad f(2a-x) + f(x) = 2b)

Exemple travaillé · 23

Soit f(x)=x2f(x) = x^2 et g(x)=x2−6x+7g(x) = x^2 - 6x + 7.
1. Mettre g(x)g(x) sous forme canonique.
2. En déduire la translation permettant d'obtenir la courbe (Cg)(C_g) à partir de (Cf)(C_f).

1

On écrit g(x)g(x) sous forme canonique :

g(x)=(x−3)2−9+7=(x−3)2−2g(x) = (x-3)^2 - 9 + 7 = (x-3)^2 - 2
2

On exprime g(x)g(x) en fonction de ff :

g(x)=f(x−3)−2g(x) = f(x-3) - 2
3

Avec a=−3a = -3 et b=−2b = -2, la courbe (Cg)(C_g) est l'image de (Cf)(C_f) par la translation de vecteur :

u⃗=−(−3)i⃗+(−2)j⃗=3i⃗−2j⃗\vec{u} = -(-3)\vec{i} + (-2)\vec{j} = 3\vec{i} - 2\vec{j}
4

Le sommet S(0,0)S(0,0) de la parabole (Cf)(C_f) est transformé en le sommet S′(3,−2)S'(3,-2) de (Cg)(C_g).

Piège classique · 24

Par quelle translation passe-t-on de la courbe de ff à celle de la fonction g(x)=f(x+4)g(x) = f(x+4) ?

Attention

Associer le terme « +4 » à un déplacement de 4 unités vers la droite (vecteur +4i⃗+4\vec{i}).

À la place : Pour obtenir une même image f(X)f(X), l'antécédent xx doit vérifier x+4=Xx+4 = X, d'où x=X−4x = X - 4. L'abscisse diminue de 44, la translation s'effectue donc vers la gauche selon le vecteur u⃗=−4i⃗\vec{u} = -4\vec{i}.

Vérification · 25

On considère la parabole (P):y=x2(P) : y = x^2. La courbe (P′)(P') d'équation y=(x+2)2−5y = (x+2)^2 - 5 est l'image de (P)(P) par la translation de vecteur :

Remarque

Pour g(x)=f(x+2)−5g(x) = f(x+2) - 5, on a a=2a = 2 et b=−5b = -5. Le vecteur de translation est u⃗=−ai⃗+bj⃗=−2i⃗−5j⃗\vec{u} = -a\vec{i} + b\vec{j} = -2\vec{i} - 5\vec{j}.

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