Rappel · 1

Le nombre dérivé d'une fonction $f$ en un point $x_0$ , noté $f'(x_0)$ , représente géométriquement :

Remarque

Le nombre dérivé $f'(x_0)$ est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$ .

Point de départ · 2

Pour la fonction $f(x) = x^2$ , le nombre dérivé en $x_0 = 1$ vaut $2$ , en $x_0 = 3$ il vaut $6$ , et en $x_0 = -2$ il vaut $-4$ . Quelle formule donne $f'(x)$ pour tout réel $x$ ?

Remarque

À chaque réel $x$ , on associe le nombre $2x$ . On définit ainsi une nouvelle fonction globale sur $\mathbb{R}$ : la fonction dérivée $f' : x \mapsto 2x$ .

Définition · 3

Définition et dérivée des puissances

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ .

$f' : I \to \mathbb{R} , \quad x \mapsto f'(x)$

Pour tout entier $n \ge 1$ , la fonction $x \mapsto x^n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :

$(x^n)' = n x^{n-1}$

Pour toute constante réelle $c$ , la dérivée est nulle :

$(c)' = 0$

Exemple travaillé · 4

Détermine la fonction dérivée de la fonction polynôme $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $P(x) = 7x^4 - \frac{2}{3}x^3 - 10x^2 + x - \sqrt{2}$

1

On applique la règle de dérivation $(a x^n)' = a \cdot n x^{n-1}$ à chaque terme.

2

P'(x) = 7(4x^3) - \frac{2}{3}(3x^2) - 10(2x) + 1 - 0

3

On simplifie les coefficients numériques :

4

P'(x) = 28x^3 - 2x^2 - 20x + 1

Piège classique · 5

Dans la fonction $P(x) = 7x^4 - \sqrt{2}$ , quelle est la dérivée du terme constant $-\sqrt{2}$ ?

Attention

Dériver $-\sqrt{2}$ en $-\frac{1}{2\sqrt{2}}$ en appliquant la formule de la fonction variable $\sqrt{x}$ .

À la place : $-\sqrt{2}$ est un nombre réel constant qui ne dépend pas de $x$ : sa dérivée est égale à $0$ .

Vérification · 6

Soit $f(x) = 4x^3 - 5x + 9$ . Détermine l'expression de sa fonction dérivée $f'(x)$ .

Remarque

On applique les règles terme à terme : $(4x^3)' = 12x^2$ , $(-5x)' = -5$ , et la constante $(9)' = 0$ . Donc $f'(x) = 12x^2 - 5$ .

Point de départ · 7

Si $f(x) = x$ et $g(x) = x$ , alors $(f \times g)(x) = x^2$ et sa dérivée est $2x$ . Que donne le produit direct des dérivées $f'(x) \times g'(x)$ ?

Remarque

Comme $f'(x) = 1$ et $g'(x) = 1$ , le produit vaut $1 \times 1 = 1 \neq 2x$ . La dérivée d'un produit n'est donc pas égale au produit des dérivées.

Définition · 8

Dérivées d'un produit et d'un quotient

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ .

$(u \cdot v)' = u' v + u v'$

Si de plus $v(x) \neq 0$ pour tout $x \in I$ , alors $\frac{1}{v}$ et $\frac{u}{v}$ sont dérivables sur $I$ :

$\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2}$

Exemple travaillé · 9

Soit $f$ la fonction rationnelle définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ par : $f(x) = \frac{2x - 3}{x + 1}$ Détermine la fonction dérivée $f'$ .

1

On pose $u(x) = 2x - 3$ et $v(x) = x + 1$ .

2

u'(x) = 2 \quad \text{et} \quad v'(x) = 1

3

On applique la formule du quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2}$ :

4

f'(x) = \frac{2(x + 1) - (2x - 3)(1)}{(x + 1)^2}

5

On développe le numérateur en conservant le carré au dénominateur :

6

f'(x) = \frac{2x + 2 - 2x + 3}{(x + 1)^2} = \frac{5}{(x + 1)^2}

Piège classique · 10

Pour dériver $f(x) = \frac{x - 1}{2x + 3}$ , quelle est l'écriture correcte du numérateur avant réduction ?

Attention

Écrire $1(2x+3) - (x-1)(2) = 2x+3 - 2x - 2$ en oubliant de distribuer le signe moins sur $-1$ .

À la place : Le signe « $-$ » affecte l'ensemble du produit $u v'$ : $1(2x+3) - 2(x-1) = 2x + 3 - 2x + 2 = 5$ .

Vérification · 11

Soit $g(x) = \frac{1}{2x + 1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}$ . Quelle est l'expression de $g'(x)$ ?

Remarque

On applique la règle $\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ avec $v(x) = 2x + 1$ et $v'(x) = 2$ , ce qui donne $g'(x) = -\frac{2}{(2x+1)^2}$ .

Point de départ · 12

Si $u(x) = 5x - 11$ , la fonction $f(x) = (5x - 11)^2$ peut s'écrire $u(x) \times u(x)$ . En appliquant la règle du produit $(u \cdot u)' = u'u + uu' = 2u'u$ , quelle est l'expression de $f'(x)$ ?

Remarque

Comme $u'(x) = 5$ , la formule fait apparaître le facteur multiplicatif $5$ issu de la dérivée interne : $f'(x) = 2 \times 5 \times (5x - 11) = 10(5x - 11)$ .

Définition · 13

Dérivées de puissances et de radicaux affines

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $n \in \mathbb{N}^*$ .

$(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$

Pour la fonction $x \mapsto \sqrt{ax+b}$ avec $a \neq 0$ , elle est dérivable sur l'intervalle ouvert où l'expression sous la racine est strictement positive :

ax + b > 0

$(\sqrt{ax+b})' = \frac{a}{2\sqrt{ax+b}}$

Remarque

Le crochet est toujours strictement ouvert en $-\frac{b}{a}$ pour le domaine de dérivabilité, car le dénominateur de la dérivée ne peut pas s'annuler.

Exemple travaillé · 14

Détermine l'ensemble de dérivabilité et la fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (3x^2 - 2x + 1)^4$

1

On pose $u(x) = 3x^2 - 2x + 1$ . Comme $u$ est une fonction polynôme dérivable sur $\mathbb{R}$ , $f = u^4$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2

On calcule la dérivée de la fonction intérieure $u$ :

3

u'(x) = 6x - 2 = 2(3x - 1)

4

On applique la formule $(u^4)' = 4 \cdot u' \cdot u^3$ :

5

f'(x) = 4(6x - 2)(3x^2 - 2x + 1)^3 = 8(3x - 1)(3x^2 - 2x + 1)^3

Piège classique · 15

Soit $g(x) = \sqrt{5 - 2x}$ définie sur $]-\infty\,;\,\frac{5}{2}]$ . Sur quel ensemble $g$ est-elle dérivable, et que vaut $g'(x)$ ?

Attention

Écrire $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{5-2x}}$ en oubliant le coefficient $-2$ , ou fermer l'intervalle de dérivabilité en $\frac{5}{2}$ .

À la place : Le numérateur contient la dérivée de $5-2x$ qui vaut $-2$ , et la dérivabilité exige $5-2x > 0$ , soit l'intervalle ouvert $]-\infty\,;\,\frac{5}{2}[$ : $g'(x) = \frac{-2}{2\sqrt{5-2x}} = -\frac{1}{\sqrt{5-2x}}$ .

Vérification · 16

Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = (2x + 1)^3$ . Quelle est l'expression de sa fonction dérivée $h'(x)$ ?

Remarque

On pose $u(x) = 2x + 1$ , donc $u'(x) = 2$ . On applique $(u^3)' = 3 \cdot u' \cdot u^2$ , d'où $h'(x) = 3 \times 2 \times (2x + 1)^2 = 6(2x + 1)^2$ .

Point de départ · 17

Si une fonction $f$ a une dérivée strictement positive sur un intervalle, par exemple $f'(x) = 3$ pour tout $x$ , que font les valeurs de $f(x)$ quand $x$ augmente ?

Remarque

Comme la pente des tangentes est strictement positive, la courbe monte : la fonction $f$ est strictement croissante.

Définition · 18

Signe de la dérivée et sens de variation

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

$f' \ge 0 \text{ sur } I \iff f \text{ est croissante sur } I$

$f' \le 0 \text{ sur } I \iff f \text{ est décroissante sur } I$

$f' = 0 \text{ sur } I \iff f \text{ est constante sur } I$

Remarque

L'hypothèse que $I$ soit un intervalle d'un seul tenant est indispensable.

Exemple travaillé · 19

Étudie le sens de variation de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^3 - 3x + 2$

1

$f$ est une fonction polynôme dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)

3

On étudie le signe du trinôme $f'(x)$ : il s'annule en $-1$ et en $1$ , est négatif entre les racines et positif à l'extérieur.

x	$-\infty$	-1	1	$+\infty$
f'(x)		+	0	-	+
f		↗	4	0	↗

4

$f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;\,-1]$ , strictement décroissante sur $[-1\,;\,1]$ , et strictement croissante sur $[1\,;\,+\infty[$ .

Piège classique · 20

Soit $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ , dont la dérivée est $f'(x) = \frac{-2}{(x-1)^2} < 0$ pour tout $x \neq 1$ . Peut-on affirmer que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ ?

Attention

Affirmer que $f$ est décroissante sur la réunion d'intervalles $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ d'un seul bloc.

À la place : Non, car $0 < 2$ mais $f(0) = -1 < f(2) = 3$ : les images augmentent d'un intervalle à l'autre. Le théorème exige un intervalle unique ; $f$ est décroissante séparément sur $]-\infty\,;\,1[$ et sur $]1\,;\,+\infty[$ .

Vérification · 21

Soit une fonction $g$ dérivable sur $\mathbb{R}^*$ telle que pour tout $x \neq 0$ , $g'(x) = \frac{1}{x^2} > 0$ . Quelle conclusion est correcte ?

Remarque

Comme $\mathbb{R}^* = ]-\infty\,;\,0[ \cup ]0\,;\,+\infty[$ est formé de deux intervalles disjoints, $g$ est croissante sur $]-\infty\,;\,0[$ et croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ , mais pas sur $\mathbb{R}^*$ globalement.

Point de départ · 22

Au sommet d'une parabole tournée vers le bas, la tangente est horizontale ( $f'(x_0) = 0$ ). Que fait le signe de la dérivée $f'$ en traversant ce sommet de gauche à droite ?

Remarque

Avant le sommet, la fonction monte ( $f'(x) > 0$ ), et après le sommet, elle descend ( $f'(x) < 0$ ) : la dérivée s'annule en passant du positif au négatif.

Définition · 23

Extremums locaux et dérivée

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0 \in I$ .

$f \text{ admet un extremum local en } x_0 \implies f'(x_0) = 0$

Réciproquement, pour identifier la nature de l'extremum :

$f' \text{ s'annule en } x_0 \text{ en changeant de signe} \implies f(x_0) \text{ est un extremum local}$

Remarque

Si $f'$ passe de $+$ à $-$ , $f(x_0)$ est un maximum local. Si $f'$ passe de $-$ à $+$ , $f(x_0)$ est un minimum local.

Exemple travaillé · 24

Détermine la nature et la valeur des extremums locaux de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x(x - 1)^2$

1

On développe la fonction polynôme :

2

f(x) = x(x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x

3

On calcule sa dérivée et on la factorise :

4

f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 = (x - 1)(3x - 1)

5

$f'(x)$ s'annule en $x = \frac{1}{3}$ et en $x = 1$ . En $x = \frac{1}{3}$ , $f'$ passe du positif au négatif : $f$ admet un maximum local valant :

6

f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3} - 1\right)^2 = \frac{4}{27}

7

En $x = 1$ , $f'$ passe du négatif au positif : $f$ admet un minimum local valant :

8

f(1) = 1(1 - 1)^2 = 0

Piège classique · 25

Soit $f(x) = (x-1)^3$ , dont la dérivée est $f'(x) = 3(x-1)^2$ . On a $f'(1) = 0$ . La fonction $f$ admet-elle un extremum local en $x = 1$ ?

Attention

Conclure qu'il y a un extremum local dès que $f'(x_0) = 0$ .

À la place : Pour tout $x \neq 1$ , $3(x-1)^2 > 0$ : la dérivée ne change pas de signe autour de $1$ . La fonction reste strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ; elle n'admet aucun extremum local en $1$ (il s'agit d'un point d'inflexion à tangente horizontale).

Vérification · 26

Soit $g$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ de dérivée $g'(x) = 6x^2(2x - 1)$ . En quel point $g$ admet-elle un extremum local ?

Remarque

En $x = 0$ , le facteur $6x^2 \ge 0$ ne change pas de signe, donc $g'$ ne change pas de signe en $0$ . Seul le facteur $(2x-1)$ change de signe en $x = \frac{1}{2}$ (de négatif à positif), où $g$ admet un minimum local.

Point de départ · 27

La courbe ci-dessus représente la fonction dérivée $f'$ sur $[0\,;\,3]$ . Bien que la courbe $(C_{f'})$ descende, elle reste située au-dessus de l'axe des abscisses ( $f'(x) > 0$ ). Quel est le sens de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle ?

Remarque

Même si la dérivée diminue, ses valeurs restent strictement positives ( $f'(x) > 0$ ). La fonction $f$ est donc strictement croissante sur tout l'intervalle.

Définition · 28

Lecture graphique de la dérivée et tangentes

Soit $(C_{f'})$ la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$ d'une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $I$ :

$(C_{f'}) \text{ au-dessus de } (Ox) \iff f'(x) \ge 0 \iff f \text{ est croissante}$

$(C_{f'}) \text{ en-dessous de } (Ox) \iff f'(x) \le 0 \iff f \text{ est décroissante}$

$(C_{f'}) \text{ coupe et traverse } (Ox) \text{ en } x_0 \iff f \text{ admet un extremum local en } x_0$

Le nombre de tangentes à la courbe $(C_f)$ ayant pour coefficient directeur un réel fixé $m$ est le nombre de solutions de l'équation :

$f'(x) = m$

Exemple travaillé · 29

La parabole $(C_{f'})$ ci-dessus est la dérivée d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ . Elle admet pour sommet $(1,-4)$ et coupe l'axe des abscisses en $-1$ et $3$ . La courbe $(C_f)$ passe par le point $A(0,1)$ .
1) Détermine les extremums locaux de $f$ .
2) Donne une équation de la tangente à $(C_f)$ au point $A$ .
3) Détermine le nombre de tangentes à $(C_f)$ ayant un coefficient directeur égal à $-4$ .

1

1) $f'$ s'annule en changeant de signe en $x = -1$ (du positif au négatif) et en $x = 3$ (du négatif au positif). $f$ admet donc un maximum local en $-1$ et un minimum local en $3$ .

2

2) Au point $A(0,1)$ , $f(0) = 1$ . L'image de $0$ par la dérivée se lit sur le graphe : $f'(0) = (0-1)^2 - 4 = -3$ . L'équation de la tangente est :

3

y = f'(0)(x - 0) + f(0) = -3x + 1

4

3) Le nombre de tangentes de coefficient directeur $-4$ est le nombre de solutions de l'équation $f'(x) = -4$ , c'est-à-dire l'intersection de $(C_{f'})$ avec la droite horizontale $y = -4$ .

5

Comme $-4$ est le minimum absolu de $f'$ atteint uniquement en $x = 1$ , il y a une solution unique : il existe exactement $1$ tangente de coefficient directeur $-4$ .

Piège classique · 30

Sur l'intervalle $[0\,;\,2]$ , la courbe de $f'$ ci-dessus est strictement décroissante et reste au-dessus de l'axe des abscisses ( $f'(x) \ge 1$ ). Quelle affirmation est exacte ?

Attention

Conclure que $f$ est décroissante sur $[0\,;\,2]$ au motif que la courbe tracée $(C_{f'})$ descend.

À la place : Les variations de $f$ dépendent uniquement du signe de $f'(x)$ , et non des variations de $f'$ . Comme $(C_{f'})$ est au-dessus de l'axe des abscisses ( $f'(x) > 0$ ), la fonction $f$ est strictement croissante.

Vérification · 31

Pour déterminer le nombre de tangentes à la courbe $(C_f)$ ayant un coefficient directeur égal à $5$ , quelle équation résout-on graphiquement ?

Remarque

Le coefficient directeur de la tangente en un point d'abscisse $x$ est la valeur de la dérivée $f'(x)$ . On résout donc l'équation $f'(x) = 5$ en cherchant l'intersection de la courbe $(C_{f'})$ avec la droite horizontale $y = 5$ .

Fonctions dérivées — cours

Le cours

Définition et dérivée des puissances

Dérivées d'un produit et d'un quotient

Dérivées de puissances et de radicaux affines

Signe de la dérivée et sens de variation

Extremums locaux et dérivée

Lecture graphique de la dérivée et tangentes

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