Sur un cercle trigonométrique de rayon R=1 orienté dans le sens direct, un arc géométrique intercepte un angle au centre de mesure α radians. Complète la formule de sa longueur L et la longueur d'un tour complet.
Remarque
Sur un cercle de rayon R, L=Rα. Pour le cercle trigonométrique où R=1, la longueur de l'arc vaut simplement L=α et le tour complet vaut 2π.
Définition · 2
Mesure d'un arc orienté et congruence modulo 2π
Soit C un cercle trigonométrique et AB un arc orienté d'origine A et d'extrémité B. Si L est la longueur de l'arc parcouru dans le sens direct, toute mesure de AB s'écrit :
mes(AB)=L+2kπ(k∈Z)
Deux mesures x et y du même arc orienté diffèrent d'un multiple entier de 2π. On note :
x≡y[2π]
Pour tous points A, B et C du cercle trigonométrique, on a la relation de Chasles :
mes(AB)+mes(BC)≡mes(AC)[2π]
Exemple travaillé · 3
Détermine la mesure principale de l'arc orienté dont une mesure est x=3125π.
1
On cherche l'unique réel θ∈]−ππ] tel que 3125π=θ+2kπ avec k∈Z.
2
On calcule le quotient 3125≈41,67. Le multiple pair le plus proche de ce quotient est 42.
3
3125π=3126π−π=42π−3π=21×(2π)−3π
4
Comme −3π∈]−ππ], la mesure principale cherchée est −3π.
Piège classique · 4
Soit AB un arc orienté de mesure 32π. Une symétrie axiale transforme A en A′ et B en B′. Quelle est la mesure de l'arc orienté A′B′ ?
Attention
Penser que la symétrie axiale conserve le signe de la mesure orientée parce qu'elle conserve la longueur géométrique.
À la place : Une symétrie axiale inverse le sens de parcours : elle transforme toute mesure θ en son opposée −θ. Ainsi mes(A′B′)≡−32π[2π].
Vérification · 5
Sur un cercle trigonométrique, on donne mes(AB)≡2π[2π] et mes(BC)≡3π[2π]. Quelle est la mesure principale de l'arc orienté AC ?
Remarque
Par la relation de Chasles, mes(AC)≡2π+3π=65π[2π]. Comme 65π∈]−ππ], c'est directement sa mesure principale.
Point de départ · 6
Le point M est situé dans le deuxième quadrant (abscisse négative, ordonnée positive). Quel est le signe de cosx et de sinx pour l'angle x associé ?
Remarque
L'abscisse de M définit cosx et son ordonnée définit sinx. Dans le deuxième quadrant (x∈[2ππ]), on a donc cosx<0 et sinx>0.
Définition · 7
Lignes trigonométriques et relation fondamentale
Pour tout réel x associé au point M(xM,yM) du cercle trigonométrique, on pose cosx=xM et sinx=yM.
cos2x+sin2x=1et−1≤cosx≤1,−1≤sinx≤1
Pour tout x∈R∖{2π+kπ,k∈Z}, la tangente est définie par :
tanx=cosxsinxet1+tan2x=cos2x1
La fonction tangente est π-périodique : pour tout k∈Z, tan(x+kπ)=tanx.
Piège classique · 8
On sait que sinx=−21 et que x∈[π23π]. Quelle est la valeur exacte de cosx ?
Attention
Écrire cosx=1−sin2x=23 par automatisme de racine carrée positive.
À la place : Sur l'intervalle [π23π] (troisième quadrant), l'abscisse est négative : cosx=−1−sin2x=−1−41=−23.
On simplifie d'abord cos(51π−x) en extrayant les multiples pairs de π : 51π=50π+π≡π[2π].
2
cos(51π−x)=cos(π−x)=−cosx
3
Pour sin(x−213π), on factorise d'abord le signe négatif à l'intérieur du sinus (car sin(−u)=−sinu) :
4
sin(x−213π)=−sin(213π−x)
5
On décompose 213π=6π+2π≡2π[2π], puis on applique la formule des angles complémentaires sin(2π−x)=cosx :
6
−sin(6π+2π−x)=−sin(2π−x)=−cosx
7
On regroupe les deux termes pour conclure :
8
A(x)=−cosx+(−cosx)=−2cosx
Piège classique · 10
Quelle est l'expression simplifiée de sin(x−2π) ?
Attention
Écrire sin(x−2π)=cosx en confondant avec sin(2π−x).
À la place : La soustraction n'est pas commutative : sin(x−2π)=sin(−(2π−x))=−sin(2π−x)=−cosx.
Vérification · 11
Sachant que tanx=−21 et x∈[23π2π], calcule cos2x puis déduis la valeur exacte de cosx.
Remarque
On utilise 1+tan2x=cos2x1, soit cos2x1=1+41=45, d'où cos2x=54. Dans le quatrième quadrant (x∈[23π2π]), le cosinus est positif, donc cosx=52=525.
Point de départ · 12
Soient a=3π et b=6π. A-t-on cos(a+b)=cosa+cosb ?
Remarque
Pour a=3π et b=6π, on a a+b=2π, donc cos(a+b)=0. Or cos3π+cos6π=21+23=21+3=0. La fonction cosinus n'est pas linéaire : il faut des formules spécifiques pour développer cos(a+b).
Quelle est l'expression simplifiée de E=4sinxcosxcos(2x) ?
Remarque
On applique d'abord 2sinxcosx=sin(2x), ce qui donne E=2(2sinxcosx)cos(2x)=2sin(2x)cos(2x). Une seconde application de la duplication donne E=sin(4x).
Point de départ · 18
Peut-on réécrire l'expression f(x)=cosx+sinx sous la forme d'un unique cosinus déphasé rcos(x−φ) ?
Remarque
En factorisant par 12+12=2, on a f(x)=2(22cosx+22sinx)=2(cosxcos4π+sinxsin4π)=2cos(x−4π). Cette transformation condense la somme en une onde unique d'amplitude 2.
Définition · 19
Transformation de a.cos(x) + b.sin(x)
Soient a et b deux réels non tous deux nuls. Pour tout réel x :
acosx+bsinx=rcos(x−φ)
où l'amplitude r et la phase φ sont définies par :
r=a2+b2,cosφ=ra,sinφ=rb
Exemple travaillé · 20
Résous dans R l'équation 3cosx+sinx=1.
1
On calcule l'amplitude : r=(3)2+12=3+1=2.
2
On factorise le membre de gauche par 2 pour faire apparaître un angle remarquable :
3
2(23cosx+21sinx)=1⟺2(cosxcos6π+sinxsin6π)=1
4
2cos(x−6π)=1⟺cos(x−6π)=21
5
Comme cos3π=21, on a x−6π=3π+2kπ ou x−6π=−3π+2kπ (k∈Z).
6
SR={2π+2kπ,k∈Z}∪{−6π+2kπ,k∈Z}
Exemple travaillé · 21
Calcule la valeur exacte du produit P=cos(9π)cos(92π)cos(94π).
1
Les angles doublent successivement. Pour amorcer une cascade de duplications, on multiplie P par sin(9π)=0 :
2
Psin(9π)=[sin(9π)cos(9π)]cos(92π)cos(94π)
3
On applique successivement l'identité sinucosu=21sin(2u) :
Écris l'expression E(x)=cosx−3sinx sous la forme rcos(x−φ) avec φ∈]−ππ]. Détermine l'amplitude r et la phase φ.
Remarque
On a a=1 et b=−3, donc r=12+(−3)2=2. On cherche φ tel que cosφ=21 et sinφ=−23, d'où φ=−3π. Ainsi E(x)=2cos(x+3π).
Définition · 23
Résolution des équations trigonométriques fondamentales
Soit c∈[−11] et α∈R tel que cosα=c.
cosx=cosα⟺x=α+2kπoux=−α+2kπ(k∈Z)
Soit c∈[−11] et β∈R tel que sinβ=c.
sinx=sinβ⟺x=β+2kπoux=π−β+2kπ(k∈Z)
Pour la tangente, sur son ensemble de définition :
tanx=tanθ⟺x=θ+kπ(k∈Z)
Piège classique · 24
On résout l'équation cos(2x)=21. Quelles sont les familles de solutions dans R ?
Attention
Diviser l'angle particulier 3π par 2 en oubliant de diviser la période 2kπ par 2, ce qui fait perdre la moitié des solutions réelles.
À la place : On écrit d'abord la congruence complète pour l'argument double 2x=±3π+2kπ, puis on divise tous les termes par 2 : x=±6π+kπ (k∈Z).
Exemple travaillé · 25
Résous dans R l'équation 2cos2x−3cosx+1=0.
1
On effectue le changement de variable X=cosx avec la condition −1≤X≤1.
2
2X2−3X+1=0
3
La somme des coefficients vaut a+b+c=2−3+1=0, donc les racines sont X1=1 et X2=21.
4
Ces deux racines sont dans [−11]. On résout les deux équations fondamentales correspondantes :
5
cosx=1⟺x=2kπ(k∈Z)
6
cosx=21=cos3π⟺x=3π+2kπoux=−3π+2kπ(k∈Z)
7
SR={2kπ,k∈Z}∪{±3π+2kπ,k∈Z}
Piège classique · 26
On résout l'équation 2sin2x+sinx−3=0. Le changement de variable X=sinx donne pour racines X1=1 et X2=−23. Quel est l'ensemble des solutions dans R ?
Attention
Tenter de trouver des solutions pour sinx=−23 en oubliant que le sinus est borné par [−11].
À la place : Pour tout réel x, −1≤sinx≤1. La racine X2=−23<−1 est impossible. Seule sinx=1 donne des solutions réelles : x=2π+2kπ (k∈Z).
Piège classique · 27
On considère l'équation cosxsin(2x)=0. Quelle est la démarche correcte pour la résoudre ?
Attention
Simplifier cosx2sinxcosx=2sinx sans poser de domaine, et déclarer que x=2π+kπ est solution.
À la place : On doit d'abord poser l'ensemble de définition D=R∖{2π+kπ,k∈Z}. Ensuite on simplifie cosx2sinxcosx=2sinx=0⟺x=kπ. Les zéros du dénominateur sont formellement exclus.
Vérification · 28
Combien de solutions l'équation (cosx−1)(2sinx+1)=0 possède-t-elle dans l'intervalle [02π[ ?
Remarque
Pour cosx=1 dans [02π[, l'unique solution est x=0 (2π est exclu de l'intervalle). Pour sinx=−21, les solutions sont x=67π et x=611π. L'ensemble des solutions compte exactement 3 éléments : {0,67π,611π}.
Définition · 29
Résolution géométrique d'une inéquation trigonométrique
Pour résoudre une inéquation du type cosx≤c ou sinx≤c dans R :
1
1. Résoudre l'équation frontière associée sur un intervalle fondamental de longueur 2π (usuellement ]−ππ]).
2
2. Placer les points frontières sur le cercle trigonométrique et identifier le ou les arcs de cercle qui vérifient l'inégalité.
3
3. Écrire l'ensemble des solutions S sur l'intervalle fondamental, puis étendre à R en ajoutant +2kπ (k∈Z).
Exemple travaillé · 30
Résous dans ]−ππ] puis dans R l'inéquation cosx≤21.
1
On résout l'équation frontière cosx=21 sur ]−ππ]. Les solutions sont −3π et 3π.
2
L'inégalité cosx≤21 correspond aux points du cercle situés à gauche de la droite verticale d'abscisse x=21.
3
Sur l'intervalle ]−ππ], cet arc traverse la coupure −π/π et se scinde en deux intervalles disjoints :
4
S]−ππ]=]−π−3π]∪[3ππ]
5
SR=k∈Z⋃(]−π+2kπ−3π+2kπ]∪[3π+2kππ+2kπ])
Piège classique · 31
Pour résoudre cosx≤21 sur ]−ππ], un élève écrit l'ensemble solution sous la forme S=[3π−3π]. Pourquoi cette écriture est-elle formellement fausse ?
Attention
Écrire un intervalle unique [3π−3π] sous prétexte que l'arc de cercle est visuellement continu.
À la place : Dans la notation d'un intervalle [ab], on doit obligatoirement avoir a≤b. Comme 3π>−3π, cette écriture désigne un ensemble vide. L'arc traversant la frontière −π/π, il faut scinder l'ensemble en deux intervalles : ]−π−3π]∪[3ππ].
Exemple travaillé · 32
Résous dans ]−ππ] l'inéquation (sinx−2)(2cosx−1)≥0.
1
On étudie d'abord le signe du premier facteur : pour tout réel x, on a sinx≤1, donc sinx−2≤−1<0. Ce facteur est strictement négatif sur tout R.
2
En divisant les deux membres par la quantité strictement négative (sinx−2), l'inégalité change de sens :
3
2cosx−1≤0⟺cosx≤21
4
D'après l'étude précédente sur ]−ππ], on conclut directement :
5
S=]−π−3π]∪[3ππ]
Vérification · 33
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation sinx≤−21 sur l'intervalle ]−ππ] ?
Remarque
L'inégalité sinx≤−21 correspond aux points du cercle d'ordonnée inférieure ou égale à −21. L'arc solution est situé entre −65π et −6π. Comme cet arc ne traverse pas la frontière −π/π, il s'écrit en un seul intervalle : [−65π−6π].