Point de départ · 1

Le couple $(2 ; 1)$ est-il solution du système suivant ?

$\begin{cases} 3x - y = 5 \\ x + 2y = 4 \end{cases}$

Pour qu'un couple soit solution d'un système, il doit vérifier simultanément toutes les équations.

Remarque

Ici : $3(2) - 1 = 5$ et $2 + 2(1) = 4$ . Les deux égalités sont vérifiées en même temps.

Définition · 2

Système linéaire 2x2 et matrices associées

$(S) : \begin{cases} ax + by = \alpha \\ cx + dy = \beta \end{cases}$

a, b, c, d, \alpha, \beta \in \mathbb{R} \quad \text{avec} \quad (a ; b) \neq (0 ; 0) \quad \text{et} \quad (c ; d) \neq (0 ; 0)

Les réels $a, b, c, d$ sont les coefficients des inconnues $x$ et $y$ . Les réels $\alpha$ et $\beta$ sont les termes constants du second membre.

Vocabulaire

Matrice du système — $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
Matrice complète — $\begin{pmatrix} a & b & \alpha \\ c & d & \beta \end{pmatrix}$

Définition · 3

Règle de Cramer pour un système 2x2

On associe au système son déterminant principal :

$\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

Si $\Delta \neq 0$ , le système admet un unique couple solution $(x ; y)$ donné par :

$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \quad \text{et} \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$

\Delta_x = \begin{vmatrix} \alpha & b \\ \beta & d \end{vmatrix} = \alpha d - \beta b \quad \text{et} \quad \Delta_y = \begin{vmatrix} a & \alpha \\ c & \beta \end{vmatrix} = a\beta - c\alpha

Exemple travaillé · 4

Résous dans $\mathbb{R}^2$ par la méthode des déterminants le système suivant :
$(S) : \begin{cases} 2x - 3y = -13 \\ 3x + y = -3 \end{cases}$

1

Calcul du déterminant principal $\Delta$ :

\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 \times 1 - (-3) \times 3 = 2 + 9 = 11

2

Comme $\Delta = 11 \neq 0$ , le système admet un unique couple solution.

3

Calcul du déterminant auxiliaire $\Delta_x$ en remplaçant la colonne de $x$ par le second membre :

\Delta_x = \begin{vmatrix} -13 & -3 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = (-13) \times 1 - (-3) \times (-3) = -13 - 9 = -22

4

Calcul du déterminant auxiliaire $\Delta_y$ en remplaçant la colonne de $y$ par le second membre :

\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & -13 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = 2 \times (-3) - (-13) \times 3 = -6 + 39 = 33

5

Calcul des valeurs de $x$ et $y$ :

x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-22}{11} = -2 \quad \text{et} \quad y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{33}{11} = 3

6

Conclusion sur l'ensemble des solutions :

S_{\mathbb{R}^2} = \{(-2 ; 3)\}

Piège classique · 5

On considère un système linéaire $2 \times 2$ dont le déterminant principal est nul : $\Delta = 0$ . Que peut-on en déduire pour l'ensemble des solutions ?

Attention

Conclure que $\Delta = 0$ entraîne nécessairement que le système n'admet aucune solution ( $S_{\mathbb{R}^2} = \emptyset$ ).

À la place : Si $\Delta = 0$ , il existe deux cas possibles : aucune solution (si $\Delta_x \neq 0$ ou $\Delta_y \neq 0$ ) ou une infinité de solutions (si $\Delta_x = 0$ et $\Delta_y = 0$ ).

Vérification · 6

Soit le système $(S) : \begin{cases} 2x - 4y = 2 \\ -x + 2y = -1 \end{cases}$ .
Combien de solutions ce système admet-il dans $\mathbb{R}^2$ ?

Remarque

$\Delta = 2(2) - (-4)(-1) = 4 - 4 = 0$ et $\Delta_x = 2(2) - (-4)(-1) = 0$ . Les équations sont proportionnelles (la 2nde équation vaut $-\frac{1}{2}$ fois la 1ère), donc le système admet une infinité de solutions.

Définition · 7

Système linéaire 3x3 et matrices associées

$(S) : \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases}$

Un triplet $(x_0 ; y_0 ; z_0)$ est solution de $(S)$ s'il vérifie simultanément les trois équations.

Vocabulaire

Matrice du système — $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$
Matrice complète (ou augmentée) — $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{pmatrix}$

Définition · 8

Méthode du pivot de Gauss

La méthode consiste à transformer la matrice complète en une matrice triangulaire supérieure (des zéros sous la diagonale principale) à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes :

Vocabulaire

Échange de deux lignes — $L_i \leftrightarrow L_j$
Multiplication par un scalaire non nul — $L_i \leftarrow \lambda L_i \quad (\lambda \neq 0)$
Combinaison linéaire — $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j \quad (j \neq i)$

Une fois le système triangulaire obtenu, on calcule les inconnues de bas en haut par remontée successive.

Exemple travaillé · 9

Résous dans $\mathbb{R}^3$ , par la méthode du pivot de Gauss, le système suivant :
$(S) : \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$

1

Écriture de la matrice complète du système :

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}

2

Élimination des termes en $x$ sous le premier pivot ( $a_{11} = 1$ ) avec $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \end{pmatrix}

3

Échange des lignes $L_2 \leftrightarrow L_3$ pour obtenir un pivot égal à $1$ en deuxième ligne :

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \\ 0 & -3 & -1 & -9 \end{pmatrix}

4

Élimination du terme en $y$ sous le deuxième pivot avec $L_3 \leftarrow L_3 + 3L_2$ :

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -7 & -21 \end{pmatrix}

5

Résolution par remontée :
- De $L_3$ : $-7z = -21 \iff z = 3$
- De $L_2$ : $y - 2(3) = -4 \iff y = 2$
- De $L_1$ : $x + 2 + 3 = 6 \iff x = 1$

6

Conclusion :

S_{\mathbb{R}^3} = \{(1 ; 2 ; 3)\}

Piège classique · 10

On effectue l'opération $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ sur la ligne $L_2 = (2 \quad -1 \quad 1 \quad 3)$ avec $L_1 = (1 \quad 1 \quad 1 \quad 6)$ .
Quel est le terme constant (dernière colonne) de la nouvelle ligne $L_2$ ?

Attention

Appliquer l'opération élémentaire uniquement aux coefficients des inconnues et recopier le terme constant $3$ sans le modifier.

À la place : L'opération élémentaire s'applique à tous les éléments de la ligne sans exception : le terme constant devient $3 - 2(6) = 3 - 12 = -9$ .

Vérification · 11

On considère le système échelonné associé à la matrice complète suivante :
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}$
Détermine la valeur de $z$ puis celle de $y$ .

Remarque

De la 3ème ligne : $2z = 4 \iff z = 2$ . En reportant dans la 2ème ligne : $3y + 2 = 7 \iff 3y = 5 \iff y = \frac{5}{3}$ .

Définition · 12

Ligne nulle et incompatibilité dans le pivot de Gauss

Lors de l'échelonnement d'un système linéaire par le pivot de Gauss, la dernière ligne de la matrice complète détermine la nature de l'ensemble des solutions :

$0x + 0y + 0z = k$

Vocabulaire

Cas impossible ( $k \neq 0$ ) — $0 = k \implies S = \emptyset$
Cas indéterminé ( $k = 0$ ) — $0 = 0 \implies \text{infinité de solutions (paramètre libre)}$

Exemple travaillé · 13

Résous dans $\mathbb{R}^3$ par la méthode du pivot de Gauss le système suivant :
$(S) : \begin{cases} x - y + 2z = 1 \\ 3x + 2y + 3z = 1 \\ 2x + 3y + z = 0 \end{cases}$

1

Écriture de la matrice complète associée :

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}

2

Élimination de $x$ avec $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ et $L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & -3 & -2 \\ 0 & 5 & -3 & -2 \end{pmatrix}

3

Élimination sous le deuxième pivot avec $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ :

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

4

La dernière équation est $0x + 0y + 0z = 0$ (toujours vérifiée). On choisit $z$ comme paramètre libre dans $\mathbb{R}$ .

5

Expression de $y$ puis de $x$ en fonction de $z$ :
- De $L_2$ : $5y - 3z = -2 \iff y = \frac{3z - 2}{5}$
- De $L_1$ : $x = 1 + y - 2z = 1 + \left(\frac{3z - 2}{5}\right) - 2z = \frac{3 - 7z}{5}$

6

Conclusion :

S_{\mathbb{R}^3} = \left\{\left(\frac{3 - 7z}{5} ; \frac{3z - 2}{5} ; z\right) \mid z \in \mathbb{R}\right\}

Piège classique · 14

Après échelonnement complet d'un système $3 \times 3$ , la troisième équation devient $0x + 0y + 0z = 0$ . Que peut-on en déduire pour l'ensemble des solutions ?

Attention

Conclure que le système est impossible ( $S_{\mathbb{R}^3} = \emptyset$ ) sous prétexte qu'une ligne entière s'est annulée.

À la place : L'égalité $0 = 0$ est toujours vraie : elle n'introduit aucune contradiction, mais indique une équation redondante. Le système admet une infinité de solutions dépendant d'un paramètre libre.

Piège classique · 15

Dans la résolution d'un système avec paramètre réel $\alpha$ , la dernière ligne échelonnée donne l'équation $(\alpha - 10)z = 0$ .
Que vaut $z$ si $\alpha = 7$ ?

Attention

Penser que la présence de $0$ au second membre rend le système indéterminé ou impossible pour toutes les valeurs de $\alpha$ .

À la place : Pour $\alpha = 7$ , le coefficient pivot vaut $7 - 10 = -3 \neq 0$ . L'équation devient $-3z = 0$ , ce qui impose l'unique valeur $z = 0$ .

Vérification · 16

Après échelonnement d'un système dans $\mathbb{R}^3$ , la dernière ligne donne l'équation $0x + 0y + 0z = -3$ .
Quel est l'ensemble des solutions de ce système ?

Remarque

L'égalité $0 = -3$ est fausse pour tout triplet $(x ; y ; z)$ . Le système est donc impossible : $S_{\mathbb{R}^3} = \emptyset$ .

Définition · 17

Système surdéterminé de trois équations à deux inconnues

$(S) : \begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \\ a_3 x + b_3 y = c_3 \end{cases}$

Pour résoudre un tel système dans $\mathbb{R}^2$ , on extrait d'abord un sous-système formé par deux équations pour déterminer un unique couple candidat $(x_0 ; y_0)$ .

a_3 x_0 + b_3 y_0 = c_3

Le couple $(x_0 ; y_0)$ est solution du système global $(S)$ si et seulement s'il vérifie la troisième équation. Si l'égalité n'est pas satisfaite, le système est incompatible et n'admet aucune solution : $S_{\mathbb{R}^2} = \emptyset$ .

Exemple travaillé · 18

Résous dans $\mathbb{R}^2$ le système suivant :
$(S) : \begin{cases} x - y = 5 \quad (1) \\ 2x + y = 1 \quad (2) \\ x + 3y = -7 \quad (3) \end{cases}$

1

On résout le sous-système formé par les équations $(1)$ et $(2)$ par addition membre à membre :

2

(x - y) + (2x + y) = 5 + 1 \iff 3x = 6 \iff x = 2

3

De l'équation $(1)$ , on tire $y = x - 5 = 2 - 5 = -3$ . Le couple candidat est $(2 ; -3)$ .

4

On teste le couple $(2 ; -3)$ dans la troisième équation $(3)$ :

5

x + 3y = 2 + 3(-3) = 2 - 9 = -7

6

L'égalité étant vérifiée, le système $(S)$ est compatible et admet pour unique solution :

7

S_{\mathbb{R}^2} = \{(2 ; -3)\}

Piège classique · 19

Soit le système $(S) : \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x - 2y = 4 \\ 5x + 3y = 11 \end{cases}$ .
Le sous-système formé par les deux premières équations admet pour unique solution le couple $(2 ; 1)$ .
Quel est l'ensemble des solutions de $(S)$ dans $\mathbb{R}^2$ ?

Attention

Déclarer directement $S_{\mathbb{R}^2} = \{(2 ; 1)\}$ sans vérifier si ce couple satisfait la troisième équation.

À la place : Une solution doit vérifier les trois équations simultanément. En testant dans la 3ème ligne : $5(2) + 3(1) = 13 \neq 11$ . La condition échoue, donc le système n'admet aucune solution : $S_{\mathbb{R}^2} = \emptyset$ .

Piège classique · 20

Pour quelle valeur du réel $m$ le système $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + 2y = 4 \\ 3x + my = 1 \end{cases}$ admet-il au moins une solution dans $\mathbb{R}^2$ ?

Attention

Tenter un échelonnement de Gauss global avec le paramètre $m$ au lieu d'exploiter le sous-système numérique indépendant.

À la place : Les deux premières équations donnent pour unique solution $(2 ; 1)$ . Pour que la 3ème équation soit vérifiée, il faut et suffit que $3(2) + m(1) = 1 \iff 6 + m = 1 \iff m = -5$ .

Vérification · 21

On considère le système $(S) : \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x - 3y = -4 \\ -3x + 8y = 2 \end{cases}$ .
Le couple $(1 ; 2)$ est l'unique solution des deux premières équations. Le système $(S)$ est-il compatible ?

Remarque

On teste $(1 ; 2)$ dans la 3ème équation : $-3(1) + 8(2) = -3 + 16 = 13 \neq 2$ . L'égalité n'étant pas vérifiée, le système $(S)$ n'admet aucune solution : $S_{\mathbb{R}^2} = \emptyset$ .

Définition · 22

Systèmes non linéaires réductibles par changement de variable

Certains systèmes non linéaires formés de blocs algébriques récurrents (fractions, racines carrées) se ramènent à un système linéaire en posant des inconnues auxiliaires.

$X = f(x) \quad \text{et} \quad Y = g(y)$

x \in D_f \quad \text{et} \quad y \in D_g

On résout d'abord le système linéaire en $(X ; Y)$ , puis on détermine obligatoirement les inconnues d'origine $(x ; y)$ en vérifiant les conditions d'existence.

Exemple travaillé · 23

Résous dans $\mathbb{R}^2$ le système suivant :
$(S) : \begin{cases} \frac{3}{x+1} - \frac{2}{y-2} = 1 \\ \frac{1}{x+1} + \frac{4}{y-2} = 5 \end{cases}$

1

Conditions d'existence : $x \neq -1$ et $y \neq 2$ .

2

On pose $X = \frac{1}{x+1}$ et $Y = \frac{1}{y-2}$ . Le système devient linéaire :

\begin{cases} 3X - 2Y = 1 \quad (1) \\ X + 4Y = 5 \quad (2) \end{cases}

3

De l'équation $(2)$ , on tire $X = 5 - 4Y$ . En remplaçant dans $(1)$ : $3(5 - 4Y) - 2Y = 1 \iff 15 - 14Y = 1 \iff Y = 1$ .

4

On en déduit $X = 5 - 4(1) = 1$ .

5

Retour aux inconnues d'origine :
- $\frac{1}{x+1} = 1 \iff x+1 = 1 \iff x = 0$
- $\frac{1}{y-2} = 1 \iff y-2 = 1 \iff y = 3$

6

Les valeurs $x = 0$ et $y = 3$ respectent le domaine de validité. Conclusion :

S_{\mathbb{R}^2} = \{(0 ; 3)\}

Piège classique · 24

En résolvant un système avec le changement de variable $u = \sqrt{x}$ et $v = \sqrt{y}$ , un élève trouve $(u ; v) = (1 ; 2)$ .
Quel est l'ensemble des solutions $(x ; y)$ du système initial ?

Attention

Déclarer $S_{\mathbb{R}^2} = \{(1 ; 2)\}$ en confondant les variables auxiliaires avec les variables d'origine.

À la place : Il faut impérativement effectuer le retour aux inconnues d'origine : $x = u^2 = 1^2 = 1$ et $y = v^2 = 2^2 = 4$ , d'où $S_{\mathbb{R}^2} = \{(1 ; 4)\}$ .

Piège classique · 25

Soit le système $\begin{cases} 5x - 4y = 45 \\ (x + y)^2 = 324 \end{cases}$ .
Combien de systèmes linéaires $2 \times 2$ doit-on résoudre pour obtenir toutes les solutions ?

Attention

Écrire uniquement $x + y = \sqrt{324} = 18$ et oublier la racine carrée négative $-\sqrt{324} = -18$ .

À la place : L'égalité $(x+y)^2 = 324$ équivaut à $x+y = 18$ OU $x+y = -18$ . Il faut obligatoirement résoudre les deux systèmes linéaires disjoints pour ne perdre aucune solution.

Vérification · 26

Pour $x > 0$ et $y > 0$ , on pose $X = \frac{1}{x}$ et $Y = \frac{1}{y}$ dans un système. Après résolution, on obtient $X = 2$ et $Y = 5$ .
Que vaut le couple solution $(x ; y)$ ?

Remarque

On effectue le retour aux variables d'origine par inversion : $x = \frac{1}{X} = \frac{1}{2}$ et $y = \frac{1}{Y} = \frac{1}{5}$ . Le couple solution est donc $\left(\frac{1}{2} ; \frac{1}{5}\right)$ .

Systèmes d'équations linéaires — cours

Le cours

Système linéaire 2x2 et matrices associées

Règle de Cramer pour un système 2x2

Système linéaire 3x3 et matrices associées

Méthode du pivot de Gauss

Ligne nulle et incompatibilité dans le pivot de Gauss

Système surdéterminé de trois équations à deux inconnues

Systèmes non linéaires réductibles par changement de variable

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