Rappel · 1

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , exprime $\cos(\widehat{B})$ en fonction des longueurs des côtés, et rappelle la relation entre la longueur $AB$ et la norme $\|\vec{AB}\|$ .

Remarque

Dans le triangle rectangle en $A$ , $\cos(\widehat{B}) = \frac{AB}{BC} = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ . De plus, la norme d'un vecteur géométrique coïncide avec la distance entre son origine et son extrémité : $\|\vec{AB}\| = AB$ .

Point de départ · 2

Si on applique une force $\vec{F}$ pour déplacer un objet selon un vecteur $\vec{u}$ , l'effet utile du déplacement dépend à la fois de l'intensité de la force et de son inclinaison par rapport à la trajectoire. Quel outil mathématique permet de multiplier deux vecteurs pour mesurer cette efficacité sous forme d'un nombre réel ?

Le produit scalaire répond à cette question : il associe à deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ un nombre réel, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$ , tenant compte à la fois de leurs longueurs et de l'angle qu'ils forment.

Définition · 3

Définition géométrique du produit scalaire

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta)$

\theta = (\vec{u}, \vec{v})

Si l'un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{0} = 0$ .

Carré scalaire

$\vec{u} \cdot \vec{u} = \vec{u}^2 = \|\vec{u}\|^2$

Pour deux points $A$ et $B$ , le carré scalaire du vecteur $\vec{AB}$ est égal au carré de la distance : $\vec{AB}^2 = AB^2$ .

Piège classique · 4

Soit un triangle équilatéral $ABC$ de côté 4, donc $\widehat{BAC} = 60^\circ$ . Quelle est la valeur de $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ et celle de $\vec{BA} \cdot \vec{AC}$ ?

Attention

Appliquer directement $\cos(60^\circ)$ pour calculer $\vec{BA} \cdot \vec{AC}$ sans vérifier l'origine des vecteurs.

À la place : Les vecteurs doivent partir du même point pour utiliser directement l'angle géométrique. Comme $\vec{BA} = -\vec{AB}$ , on a $\vec{BA} \cdot \vec{AC} = -(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) = -(4 \times 4 \times \cos(60^\circ)) = -8$ .

Définition · 5

Expression par projection orthogonale

Soient $A$ , $B$ et $C$ trois points avec $A \neq B$ . Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$ .

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ étant colinéaires, le produit scalaire se réduit à un produit de distances avec un signe :

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \begin{cases} + AB \times AH & \text{si } \vec{AB} \text{ et } \vec{AH} \text{ sont de même sens} \\ - AB \times AH & \text{si } \vec{AB} \text{ et } \vec{AH} \text{ sont de sens contraires} \end{cases}$

Piège classique · 6

On donne deux points $A$ et $B$ tels que $AB = 3$ . Un point $H$ de la droite $(AB)$ vérifie $\vec{AB} \cdot \vec{AH} = -6$ . Où se situe le point $H$ ?

Attention

Placer $H$ sur le segment $[AB]$ à la distance $AH = 2$ , en ignorant le signe négatif du produit scalaire.

À la place : Le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AH} = -6$ est strictement négatif, ce qui impose que $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ soient de sens contraires. Le point $H$ est donc situé à l'extérieur du segment $[AB]$ , sur la demi-droite opposée à $[AB)$ , à la distance $AH = \frac{|-6|}{AB} = \frac{6}{3} = 2$ .

Exemple travaillé · 7

Soit $ABCD$ un rectangle tel que $AB = 5$ et $AD = 3$ . Calculer les produits scalaires $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ et $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$ .

1

Pour calculer $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ , on projette orthogonalement le point $C$ sur la droite $(AB)$ .

2

Dans le rectangle $ABCD$ , $(BC) \perp (AB)$ , donc le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est le sommet $B$ .

3

\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot \vec{AB} = AB^2 = 5^2 = 25

4

Pour $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$ , les côtés consécutifs $(AB)$ et $(AD)$ sont perpendiculaires.

5

\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0

Vérification · 8

Soit un triangle équilatéral $ABC$ de côté 6 et $I$ le milieu de $[BC]$ . Quelle est la valeur du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AI}$ ?

Remarque

Dans le triangle équilatéral, la médiane $(AI)$ est aussi la hauteur issue de $A$ . Le triangle $ABI$ est donc rectangle en $I$ , ce qui donne $\vec{IB} \perp \vec{AI}$ . Par décomposition de Chasles : $\vec{AB} \cdot \vec{AI} = (\vec{AI} + \vec{IB}) \cdot \vec{AI} = AI^2 + 0$ . Comme $AI = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ , on obtient $\vec{AB} \cdot \vec{AI} = (3\sqrt{3})^2 = 27$ .

Définition · 9

Propriétés algébriques fondamentales

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$

$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$

$(\alpha \vec{u}) \cdot \vec{v} = \alpha (\vec{u} \cdot \vec{v})$

Caractérisation de l'orthogonalité

$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Le vecteur nul $\vec{0}$ est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

Définition · 10

Identités remarquables vectorielles

$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \|\vec{v}\|^2$

$\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \|\vec{v}\|^2$

$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$

Identité du parallélogramme

$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 + \|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = 2(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2)$

Piège classique · 11

Soit un triangle $ABC$ . Comment résout-on l'égalité $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AC} \cdot \vec{AM}$ pour déterminer l'ensemble des points $M$ ?

Attention

Simplifier par le vecteur commun $\vec{AM}$ pour écrire $\vec{AB} = \vec{AC}$ .

À la place : Le produit scalaire n'est pas une multiplication ordinaire : on ne simplifie jamais par un vecteur. On transpose tous les termes d'un côté pour factoriser : $(\vec{AB} - \vec{AC}) \cdot \vec{AM} = 0 \iff \vec{CB} \cdot \vec{AM} = 0$ , ce qui caractérise la hauteur issue de $A$ .

Exemple travaillé · 12

Soit un parallélogramme $ABCD$ . En posant $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AD}$ , montrer que les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires si et seulement si $ABCD$ est un losange ( $AB = AD$ ).

1

On exprime les vecteurs diagonales dans la base $(\vec{u}, \vec{v})$ : $\vec{AC} = \vec{u} + \vec{v}$ et $\vec{DB} = \vec{u} - \vec{v}$ .

2

Les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires si et seulement si $\vec{AC} \cdot \vec{DB} = 0$ .

3

\vec{AC} \cdot \vec{DB} = (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 = AB^2 - AD^2

4

AB^2 - AD^2 = 0 \iff AB^2 = AD^2 \iff AB = AD

5

Les diagonales d'un parallélogramme sont donc perpendiculaires si et seulement si deux côtés consécutifs ont même longueur, c'est-à-dire si c'est un losange.

Vérification · 13

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\|\vec{u}\| = 3$ , $\|\vec{v}\| = 2$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = -4$ . Calcule $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ et $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2$ .

Remarque

En appliquant les identités remarquables : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \|\vec{v}\|^2 = 3^2 + 2(-4) + 2^2 = 9 - 8 + 4 = 5$ . De même, $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) + \|\vec{v}\|^2 = 3^2 - 2(-4) + 2^2 = 9 + 8 + 4 = 21$ .

Définition · 14

Théorème d'Al-Kashi (Loi des cosinus)

Dans tout triangle $ABC$ , la longueur d'un côté s'exprime en fonction des deux autres côtés et du cosinus de l'angle opposé :

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \times AC \cos(\widehat{BAC})$

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \times BC \cos(\widehat{ABC})$

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC \times BC \cos(\widehat{ACB})$

Remarque

Si le triangle est rectangle en $A$ , alors $\cos(\widehat{BAC}) = \cos(90^\circ) = 0$ et on retrouve le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .

Exemple travaillé · 15

Soit un triangle $ABC$ tel que $AB = 5$ , $AC = 7$ et $BC = 8$ . Calculer $\cos(\widehat{BAC})$ et déterminer la nature de l'angle $\widehat{BAC}$ (aigu ou obtus).

1

D'après le théorème d'Al-Kashi appliqué au côté opposé $[BC]$ :

2

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 AB \times AC \cos(\widehat{BAC})

3

8^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos(\widehat{BAC}) \iff 64 = 74 - 70\cos(\widehat{BAC})

4

70\cos(\widehat{BAC}) = 74 - 64 = 10 \iff \cos(\widehat{BAC}) = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}

5

Comme $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{1}{7} > 0$ , l'angle $\widehat{BAC}$ est un angle aigu.

Définition · 16

Théorème de la médiane

Soient $A$ et $B$ deux points du plan et $I$ le milieu du segment $[AB]$ . Pour tout point $M$ du plan :

$MA^2 + MB^2 = 2 MI^2 + \frac{AB^2}{2}$

$MA^2 - MB^2 = 2 \vec{AB} \cdot \vec{IM}$

$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$

Exemple travaillé · 17

Soit un triangle $ABC$ tel que $AB = 5$ , $AC = 7$ et $BC = 8$ . Soit $I$ le milieu de $[BC]$ . Calculer la longueur de la médiane $AI$ .

1

On applique le théorème de la médiane avec le sommet $A$ et le milieu $I$ du côté opposé $[BC]$ :

2

AB^2 + AC^2 = 2 AI^2 + \frac{BC^2}{2}

3

5^2 + 7^2 = 2 AI^2 + \frac{8^2}{2} \iff 25 + 49 = 2 AI^2 + 32

4

74 = 2 AI^2 + 32 \iff 2 AI^2 = 42 \iff AI^2 = 21

5

AI = \sqrt{21}

Vérification · 18

Dans un triangle $ABC$ , on donne $AB = 4$ , $AC = 6$ et la longueur de la médiane $AI = 5$ , où $I$ est le milieu de $[BC]$ . Quelle formule permet de calculer directement la longueur $BC$ sans déterminer d'angle ?

Remarque

Le théorème de la médiane relie directement les longueurs des deux côtés, la médiane et la base ( $AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}$ ), ce qui permet d'isoler $BC$ sans passer par un angle.

Définition · 19

Expression analytique dans une base orthonormée

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , soient $\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ deux vecteurs.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$

Norme et critère d'orthogonalité

$\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\vec{u} \perp \vec{v} \iff x x' + y y' = 0$

Définition · 20

Vecteur normal et équation de droite

Toute droite $D$ d'équation cartésienne $a x + b y + c = 0$ (avec $(a, b) \neq (0, 0)$ ) admet pour vecteur normal :

$\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \perp D$

Distance d'un point à une droite

La distance d'un point $A(x_A, y_A)$ à la droite $D : a x + b y + c = 0$ est donnée par la formule :

$d(A, D) = \frac{|a x_A + b y_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Exemple travaillé · 21

Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(1, 2)$ , $B(3, -1)$ et $C(-1, 2)$ . Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ et calculer la distance $d(C, (AB))$ .

1

On calcule les composantes du vecteur directeur $\vec{AB}$ :

2

\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 - 1 \\ -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}

3

Un vecteur normal à $(AB)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ , car $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 3(2) + 2(-3) = 0$ .

4

L'équation cartésienne de $(AB)$ s'écrit $3(x - 1) + 2(y - 2) = 0$ , soit :

5

3x + 2y - 7 = 0

6

On applique la formule de la distance du point $C(-1, 2)$ à la droite $(AB)$ :

7

d(C, (AB)) = \frac{|3(-1) + 2(2) - 7|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{13}

Définition · 22

Équations cartésiennes d'un cercle

$$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$$

Équation du cercle de centre $I(a, b)$ et de rayon $R > 0$ .

$$$(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0$$$

Équation du cercle de diamètre $[AB]$ , caractérisé par $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ .

Position relative droite-cercle

$\begin{cases} d(I, \Delta) < R & \iff \Delta \text{ est sécante au cercle (2 points)} \\ d(I, \Delta) = R & \iff \Delta \text{ est tangente au cercle (1 point)} \\ d(I, \Delta) > R & \iff \Delta \text{ est extérieure au cercle (0 point)} \end{cases}$

Vérification · 23

On considère le cercle $\mathscr{C}$ de centre $I(1, 3)$ et de rayon $R = 2$ , et la droite $D$ d'équation $3x + 4y - 5 = 0$ . Quelle est la position relative de $D$ et $\mathscr{C}$ ?

Remarque

On applique la formule de la distance du centre à la droite : $d(I, D) = \frac{|3(1) + 4(3) - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$ . Comme $d(I, D) = R = 2$ , la droite $D$ est tangente au cercle $\mathscr{C}$ .

Point de départ · 24

Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Quelle est la nature de l'ensemble des points $M$ vérifiant $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ ?

Remarque

La condition $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0$ signifie que les vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$ sont orthogonaux. Pour $M \neq A$ et $M \neq B$ , le triangle $MAB$ est rectangle en $M$ , ce qui caractérise le cercle de diamètre $[AB]$ .

Définition · 25

Lignes de niveau : droites orthogonales

Soit un vecteur non nul $\vec{u}$ , un point $A$ et un réel $k$ .

$\vec{u} \cdot \vec{AM} = k$

L'ensemble des points $M$ est la droite perpendiculaire à la direction de $\vec{u}$ passant par le point $H$ de la droite portée par $\vec{u}$ vérifiant $\vec{u} \cdot \vec{AH} = k$ .

Différence de carrés de distances

Soient $A$ et $B$ deux points distincts et $I$ le milieu de $[AB]$ .

$MA^2 - MB^2 = k \iff 2\vec{AB} \cdot \vec{IM} = k$

L'ensemble des points $M$ vérifiant $MA^2 - MB^2 = k$ est une droite perpendiculaire à $(AB)$ .

Piège classique · 26

Soient $A$ et $B$ deux points tels que $AB = 2$ . Quelle est la nature de l'ensemble des points $M$ tels que $MA^2 - MB^2 = 8$ ?

Attention

Appliquer la formule de la somme des carrés et conclure qu'il s'agit d'un cercle.

À la place : Une différence de carrés se factorise : $MA^2 - MB^2 = (\vec{MA} - \vec{MB}) \cdot (\vec{MA} + \vec{MB}) = \vec{BA} \cdot (2\vec{MI}) = 2\vec{AB} \cdot \vec{IM}$ . L'équation devient $2\vec{AB} \cdot \vec{IM} = 8$ , ce qui définit une droite perpendiculaire à $(AB)$ et non un cercle.

Définition · 27

Lignes de niveau : cercles et ensembles ponctuels

Soient $A$ et $B$ deux points distincts et $I$ le milieu de $[AB]$ .

$MA^2 + MB^2 = k \iff MI^2 = \frac{k - \frac{AB^2}{2}}{2} = C$

$\vec{MA} \cdot \vec{MB} = k \iff MI^2 = k + \frac{AB^2}{4} = C'$

Nature de l'ensemble selon le signe de la constante $C$ (ou $C'$ ) :

$\begin{cases} C > 0 & \implies \text{Cercle de centre } I \text{ et de rayon } R = \sqrt{C} \\ C = 0 & \implies \text{Le singleton } \{I\} \\ C < 0 & \implies \text{L'ensemble vide } \emptyset \end{cases}$

Exemple travaillé · 28

Soient $A$ et $B$ deux points distincts tels que $AB = 6$ . Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M$ tels que $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 16$ .

1

Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$ . On utilise la forme réduite du produit scalaire :

2

\vec{MA} \cdot \vec{MB} = MI^2 - \frac{AB^2}{4}

3

MI^2 - \frac{6^2}{4} = 16 \iff MI^2 - 9 = 16

4

MI^2 = 25 \iff MI = 5

5

L'ensemble $(\mathcal{E})$ est le cercle de centre $I$ (milieu de $[AB]$ ) et de rayon $R = 5$ .

Vérification · 29

Soient $A$ et $B$ deux points tels que $AB = 4$ et $I$ le milieu de $[AB]$ . On considère l'ensemble des points $M$ vérifiant $MA^2 + MB^2 = 26$ . Quel est le rayon $R$ de ce cercle ?

Remarque

D'après le théorème de la médiane : $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2} = 2MI^2 + \frac{16}{2} = 2MI^2 + 8$ . L'égalité s'écrit $2MI^2 + 8 = 26 \iff 2MI^2 = 18 \iff MI^2 = 9 \iff MI = 3$ . Le rayon est donc $R = 3$ .

Définition · 30

Réduction scalaire de Leibniz

Soit un système de points pondérés $(A_i, \alpha_i)$ dont la somme des coefficients est non nulle : $\sum \alpha_i \neq 0$ . Il admet un unique barycentre $G$ .

$\sum_{i=1}^n \alpha_i MA_i^2 = \left(\sum_{i=1}^n \alpha_i\right) MG^2 + \sum_{i=1}^n \alpha_i GA_i^2$

En posant la constante $f(G) = \sum_{i=1}^n \alpha_i GA_i^2$ , la ligne de niveau $\sum \alpha_i MA_i^2 = k$ se ramène à l'équation :

$\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i\right) MG^2 = k - f(G)$

Piège classique · 31

Soit un triangle $ABC$ . On cherche à déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant $2MA^2 - MB^2 - MC^2 = k$ . Peut-on utiliser le barycentre des points $(A, 2)$ , $(B, -1)$ et $(C, -1)$ ?

Attention

Chercher à introduire un barycentre $G$ alors que la somme des coefficients $2 - 1 - 1 = 0$ s'annule.

À la place : Le barycentre n'existe que si la somme des coefficients est non nulle. Lorsque la somme est nulle, on utilise le milieu $I$ de $[BC]$ via le théorème de la médiane pour écrire $MB^2 + MC^2 = 2MI^2 + \frac{BC^2}{2}$ , puis on factorise la différence $2(MA^2 - MI^2) = 2\vec{IA} \cdot (2\vec{IM} + \vec{IA})$ , ce qui conduit à une droite perpendiculaire à $(IA)$ .

Exemple travaillé · 32

Soient deux points distincts $A$ et $B$ tels que $AB = 4$ . Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble $(E)$ des points $M$ tels que $2MA^2 - 3MB^2 = -48$ .

1

La somme des coefficients est $2 + (-3) = -1 \neq 0$ . Le barycentre $G$ du système $\{(A, 2), (B, -3)\}$ existe et vérifie $\vec{AG} = 3\vec{AB}$ .

2

On en déduit les distances : $GA = 3 AB = 12$ et $GB = 2 AB = 8$ .

3

f(G) = 2 GA^2 - 3 GB^2 = 2(12^2) - 3(8^2) = 288 - 192 = 96

4

D'après la formule de réduction de Leibniz, pour tout point $M$ du plan :

5

2MA^2 - 3MB^2 = (2 - 3)MG^2 + f(G) = -MG^2 + 96

6

-MG^2 + 96 = -48 \iff -MG^2 = -144 \iff MG^2 = 144 \iff MG = 12

7

L'ensemble $(E)$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $R = 12$ .

Définition · 33

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Soit un cercle $\mathscr{C}$ de centre $O$ et de rayon $R$ , et $M$ un point quelconque du plan. Pour toute droite sécante issue de $M$ coupant le cercle en deux points $A$ et $B$ :

$\mathcal{P}_{\mathscr{C}}(M) = \vec{MA} \cdot \vec{MB} = MO^2 - R^2$

Ce produit scalaire est indépendant de la sécante choisie.

Cas de tangence et signe

$\text{Si } (MT) \text{ est tangente en } T \text{ à } \mathscr{C}, \quad \mathcal{P}_{\mathscr{C}}(M) = MT^2 = MO^2 - R^2$

$\begin{cases} \mathcal{P}_{\mathscr{C}}(M) > 0 & \iff M \text{ est à l'extérieur du cercle} \\ \mathcal{P}_{\mathscr{C}}(M) = 0 & \iff M \text{ appartient au cercle} \\ \mathcal{P}_{\mathscr{C}}(M) < 0 & \iff M \text{ est à l'intérieur du cercle} \end{cases}$

Vérification · 34

On considère deux points distincts $A$ et $B$ . Après réduction d'une équation scalaire de Leibniz du type $\sum \alpha_i MA_i^2 = k$ , on aboutit à la relation $MG^2 = -5$ . Quelle est la nature de cet ensemble de points ?

Remarque

Dans le plan euclidien, le carré d'une distance est toujours positif ou nul ( $MG^2 \geq 0$ ). L'équation $MG^2 = -5$ n'admet aucun point solution, l'ensemble est donc l'ensemble vide $\emptyset$ .

Produit scalaire dans le plan — cours

Le cours

Définition géométrique du produit scalaire

Carré scalaire

Expression par projection orthogonale

Propriétés algébriques fondamentales

Caractérisation de l'orthogonalité

Identités remarquables vectorielles

Identité du parallélogramme

Théorème d'Al-Kashi (Loi des cosinus)

Théorème de la médiane

Expression analytique dans une base orthonormée

Norme et critère d'orthogonalité

Vecteur normal et équation de droite

Distance d'un point à une droite

Équations cartésiennes d'un cercle

Position relative droite-cercle

Lignes de niveau : droites orthogonales

Différence de carrés de distances

Lignes de niveau : cercles et ensembles ponctuels

Réduction scalaire de Leibniz

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Cas de tangence et signe

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