Produit scalaire dans le plan — exercices corrigés

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. On considère les points $A(0\,;\,4)$, $B(3\,;\,0)$ et $C(-1\,;\,0)$.

1. 1. Déterminer la valeur du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

   Indice — Pense à utiliser l'expression analytique du produit scalaire dans une base orthonormée à l'aide des composantes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.

   Correction

   On détermine d'abord les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
   $\vec{AB}(3 - 0\,;\,0 - 4) = \vec{AB}(3\,;\,-4)$ et $\vec{AC}(-1 - 0\,;\,0 - 4) = \vec{AC}(-1\,;\,-4)$.

   En utilisant l'expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé :
   $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_{\vec{AB}}x_{\vec{AC}} + y_{\vec{AB}}y_{\vec{AC}} = 3 \times (-1) + (-4) \times (-4) = 13$.

2. 2. Déterminer les valeurs exactes des distances $AB$ et $AC$.

   Indice — Utilise la formule de la norme d'un vecteur dans un repère orthonormé à partir de ses composantes.

   Correction

   On calcule les distances à l'aide de la norme des vecteurs dans un repère orthonormé :
   - $AB = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$
   - $AC = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{17}$

3. 3. Déterminer la valeur exacte de $\cos(\widehat{BAC})$.

   Indice — Pense à exprimer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ sous sa forme trigonométrique pour en extraire le cosinus recherché.

   Correction

   En exprimant le produit scalaire sous sa forme trigonométrique, on a :
   $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$

   En remplaçant par les valeurs obtenues aux questions précédentes :
   $13 = 5 \times \sqrt{17} \times \cos(\widehat{BAC})$

   On en déduit :
   $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{13}{5\sqrt{17}} = \frac{13\sqrt{17}}{85}$.

4. 4. Sur votre copie, construire un repère orthonormé et y placer les points $A$, $B$ et $C$. Déterminer la position exacte du point $H$ de la droite $(AB)$ vérifiant $\vec{AB} \cdot \vec{AH} = 10$, puis placer ce point $H$ sur la figure.

   Indice — Utilise la colinéarité des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ ainsi que le signe de leur produit scalaire pour déterminer le sens et la distance $AH$.

   Correction

   Comme $H$ appartient à la droite $(AB)$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont colinéaires. Il existe donc un réel $k$ tel que $\vec{AH} = k\vec{AB}$.

   On exprime le produit scalaire en fonction de $k$ :
   $\vec{AB} \cdot \vec{AH} = \vec{AB} \cdot (k\vec{AB}) = k \times AB^2 = 25k$

   L'équation $\vec{AB} \cdot \vec{AH} = 10$ devient $25k = 10$, ce qui donne $k = \frac{2}{5}$.

   Le point $H$ est donc défini par $\vec{AH} = \frac{2}{5}\vec{AB}$. On le place sur le segment $[AB]$ à une distance $AH = \frac{2}{5} \times 5 = 2$ de $A$. Ses coordonnées exactes sont $H(1{,}2\,;\,2{,}4)$.

5. 5. Établir que pour tout point $M$ du plan, la relation $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = 10$ est équivalente à $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$.

   Indice — Pense à utiliser la valeur numérique commune pour lier les deux expressions de produits scalaires.

   Correction

   Puisque le point $H$ appartient au segment $[AB]$ à une distance $AH = 2$, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ sont colinéaires et de même sens. Comme $AB = 5$, on a $\vec{AB} \cdot \vec{AH} = AB \times AH = 5 \times 2 = 10$. En remplaçant la constante $10$ par ce produit scalaire, on obtient l'équivalence cherchée : $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = 10 \iff \vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AB} \cdot \vec{AH}$.

6. 6. Justifier que la relation précédente s'écrit sous la forme $\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0$.

   Indice — Transpose tous les termes du même côté de l'égalité et factorise par le vecteur commun en appliquant la relation de Chasles.

   Correction

   En transposant les termes du même côté, l'égalité devient $\vec{AB} \cdot \vec{AM} - \vec{AB} \cdot \vec{AH} = 0$. Par linéarité du produit scalaire, on factorise par $\vec{AB}$ pour obtenir $\vec{AB} \cdot (\vec{AM} - \vec{AH}) = 0$. L'application de la relation de Chasles donne $\vec{AM} - \vec{AH} = \vec{HM}$, d'où la relation $\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0$.

7. 7. Déterminer la nature géométrique de l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M$ du plan tels que $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = 10$, puis tracer cet ensemble sur la figure.

   Indice — Pense à traduire la nullité du produit scalaire en une propriété géométrique d'orthogonalité passant par un point fixe.

   Correction

   D'après les questions précédentes, la relation $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = 10$ équivaut à $\vec{AB} \cdot \vec{HM} = 0$, ce qui traduit l'orthogonalité des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{HM}$. L'ensemble $(\mathcal{E})$ est donc la droite perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par le point $H$, représentée sur la figure.

8. 8. Pour tout point $M$ du plan, transformer l'égalité $\vec{AB} \cdot \vec{AM} = \vec{AC} \cdot \vec{AM}$ pour obtenir une relation de la forme $\vec{u} \cdot \vec{AM} = 0$, où $\vec{u}$ est un vecteur fixe à préciser.

   Indice — Regroupe les deux produits scalaires du même côté de l'égalité et factorise par le vecteur contenant le point mobile $M$.

   Correction

   En regroupant les termes, l'égalité s'écrit $\vec{AB} \cdot \vec{AM} - \vec{AC} \cdot \vec{AM} = 0$. En factorisant par le vecteur $\vec{AM}$, on obtient $(\vec{AB} - \vec{AC}) \cdot \vec{AM} = 0$. Par la relation de Chasles, $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$. On obtient ainsi la relation $\vec{u} \cdot \vec{AM} = 0$ avec $\vec{u} = \vec{CB}$.

9. 9. Déduire de la question précédente la nature géométrique de l'ensemble $(\mathcal{F})$ des points $M$ du plan vérifiant cette égalité, et préciser sa position remarquable par rapport au triangle $ABC$.

   Indice — Interprète géométriquement la relation d'orthogonalité obtenue avec le vecteur fixe et identifie la droite remarquable du triangle $ABC$ correspondante.

   Correction

   L'égalité obtenue à la question précédente se traduit par la relation d'orthogonalité $\vec{AM} \cdot \vec{BC} = 0$. L'ensemble $(\mathcal{F})$ est donc la droite passant par $A$ et perpendiculaire à la droite $(BC)$. Dans le triangle $ABC$, cette droite est par définition la hauteur issue du sommet $A$.

Sur votre copie, construire une figure en plaçant deux points distincts $A$ et $B$ du plan tels que $AB = 6$, puis placer le milieu $I$ du segment $[AB]$. On considère un point mobile $M$ du plan.

1. 1)a). Établir la relation vectorielle $\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}$, où $I$ désigne le milieu du segment $[AB]$.

   Indice — Pense à utiliser la relation de Chasles en introduisant le point $I$ pour chacun des vecteurs $\vec{MA}$ et $\vec{MB}$.

   Correction

   En appliquant la relation de Chasles pour introduire le point $I$, on décompose les deux vecteurs :
   $$\vec{MA} + \vec{MB} = (\vec{MI} + \vec{IA}) + (\vec{MI} + \vec{IB}) = 2\vec{MI} + \vec{IA} + \vec{IB}$$
   Comme $I$ est le milieu du segment $[AB]$, la somme vectorielle $\vec{IA} + \vec{IB}$ est nulle. On obtient ainsi :
   $$\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}$$

2. 1)b). Établir la simplification de la différence vectorielle $\vec{MA} - \vec{MB} = \vec{BA}$ en appliquant la relation de Chasles.

   Indice — Exprime le vecteur $\vec{MA}$ en fonction de $\vec{MB}$ et du vecteur reliant les deux extrémités du segment.

   Correction

   Par définition de l'opposé d'un vecteur, $-\vec{MB} = \vec{BM}$. En réordonnant les termes et en appliquant la relation de Chasles, on obtient :
   $$\vec{MA} - \vec{MB} = \vec{BM} + \vec{MA} = \vec{BA}$$

3. 2)a). Exprimer la différence de carrés de distances $MA^2 - MB^2$ sous la forme du produit scalaire $2\vec{AB} \cdot \vec{IM}$.

   Indice — Écris $MA^2 - MB^2$ sous forme de produit scalaire de vecteurs, puis utilise l'identité algébrique reliant somme et différence de deux vecteurs.

   Correction

   On utilise l'identité remarquable pour la différence de deux carrés sous forme vectorielle :
   $$MA^2 - MB^2 = \vec{MA}^2 - \vec{MB}^2 = (\vec{MA} - \vec{MB}) \cdot (\vec{MA} + \vec{MB})$$
   En substituant les expressions simplifiées obtenues aux questions 1)a) et 1)b), on a :
   $$MA^2 - MB^2 = \vec{BA} \cdot (2\vec{MI}) = 2\vec{BA} \cdot \vec{MI}$$
   Comme $\vec{BA} = -\vec{AB}$ et $\vec{MI} = -\vec{IM}$, le produit de ces deux opposés conserve le signe du produit scalaire :
   $$MA^2 - MB^2 = 2\vec{AB} \cdot \vec{IM}$$

4. 2)b). Pour deux points $A$ et $B$ fixés tels que $AB = 6$, exprimer la somme de carrés de distances $MA^2 + MB^2$ sous la forme $2MI^2 + 18$.

   Indice — Développe les normes au carré en introduisant le point $I$ à l'aide de la première relation vectorielle établie.

   Correction

   En introduisant le point $I$ par la relation de Chasles, on développe la somme des carrés :
   $$MA^2 + MB^2 = (\vec{MI} + \vec{IA})^2 + (\vec{MI} + \vec{IB})^2 = 2MI^2 + 2\vec{MI} \cdot (\vec{IA} + \vec{IB}) + IA^2 + IB^2$$
   Sachant que $I$ est le milieu de $[AB]$, on a $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$. De plus, la distance $IA = IB = \frac{AB}{2} = 3$. En remplaçant ces valeurs, on obtient :
   $$MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + 3^2 + 3^2 = 2MI^2 + 18$$

5. 3)a). Déterminer la nature exacte et les éléments géométriques caractéristiques de l'ensemble $(E_1)$ des points $M$ du plan vérifiant $MA^2 + MB^2 = 26$.

   Indice — Simplifie l'égalité en isolant le terme $MI^2$ après avoir substitué la forme réduite de la somme des carrés.

   Correction

   En utilisant le théorème de la médiane, on a la relation $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}$. En substituant $AB = 6$, l'équation devient $2MI^2 + 18 = 26$, ce qui se simplifie en $MI^2 = 4$, soit $MI = 2$. L'ensemble $(E_1)$ est donc le cercle de centre $I$ et de rayon $2$.

6. 3)b). Déterminer la nature exacte et la position relative de l'ensemble $(E_2)$ des points $M$ du plan vérifiant $MA^2 - MB^2 = 12$.

   Indice — Réécris l'équation en utilisant l'expression du produit scalaire par projection orthogonale sur la droite directrice $(AB)$.

   Correction

   Par réduction vectorielle, on établit la relation $MA^2 - MB^2 = 2\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB}$. L'équation devient $2\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 12$, soit $\overrightarrow{IM} \cdot \overrightarrow{AB} = 6$. En introduisant le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur la droite $(AB)$, le produit scalaire s'écrit $IH \times AB = 6$ (avec $H$ du même côté que $B$ par rapport à $I$). Comme $AB = 6$, on en déduit $IH = 1$. L'ensemble $(E_2)$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par le point $H$ du segment $[IB]$ situé à une distance de $1$ de $I$.

7. 4). Déduire la nature et le nombre d'éléments de l'intersection $(E_1) \cap (E_2)$.

   Indice — Compare la distance entre le centre du cercle et la droite obtenue avec le rayon du cercle.

   Correction

   L'intersection $(E_1) \cap (E_2)$ correspond à l'intersection du cercle de centre $I$ et de rayon $R = 2$ avec la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $H$. La distance du centre du cercle $I$ à cette droite est égale à la distance $IH = 1$. Comme cette distance est strictement inférieure au rayon du cercle ($1 < 2$), la droite et le cercle sont sécants. L'intersection $(E_1) \cap (E_2)$ est donc constituée de deux points distincts.

Soit $A$ et $B$ deux points du plan fixés tels que $AB = 6$.

1. 1). Soit $I$ le milieu du segment $[AB]$. Établir que pour tout point $M$ du plan, on a la relation $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \dfrac{AB^2}{2}$.

   Indice — Introduis le milieu $I$ du segment $[AB]$ dans chaque vecteur en écrivant $\vec{MA} = \vec{MI} + \vec{IA}$ et $\vec{MB} = \vec{MI} + \vec{IB}$, puis développe les carrés scalaires.

   Correction

   En introduisant le point $I$ par la relation de Chasles, on a :
   $MA^2 + MB^2 = (\vec{MI} + \vec{IA})^2 + (\vec{MI} + \vec{IB})^2$
   En développant les carrés scalaires, on obtient :
   $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + 2\vec{MI} \cdot (\vec{IA} + \vec{IB}) + IA^2 + IB^2$
   Comme $I$ est le milieu de $[AB]$, on a $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$ et $IA = IB = \dfrac{AB}{2}$.
   En remplaçant, on obtient directement la relation : $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \dfrac{AB^2}{2}$.

2. 2). Établir que pour tout point $M$ du plan, la différence des carrés des distances $MA^2 - MB^2$ peut s'exprimer sous la forme du produit scalaire $2\vec{AB} \cdot \vec{IM}$, où $I$ désigne le milieu du segment $[AB]$.

   Indice — Exprime la différence de deux carrés de normes sous forme d'une identité remarquable vectorielle, puis utilise la relation de Chasles pour simplifier la somme des vecteurs.

   Correction

   En utilisant l'identité remarquable pour la différence de deux carrés de normes, on a :
   $MA^2 - MB^2 = (\vec{MA} - \vec{MB}) \cdot (\vec{MA} + \vec{MB})$
   Par la relation de Chasles, $\vec{MA} - \vec{MB} = \vec{BA}$. De plus, en introduisant le milieu $I$, on a $\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI} + \vec{IA} + \vec{IB} = 2\vec{MI}$ (car $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$).
   On en déduit :
   $MA^2 - MB^2 = \vec{BA} \cdot 2\vec{MI} = 2(-\vec{AB}) \cdot (-\vec{IM}) = 2\vec{AB} \cdot \vec{IM}$.

3. 3). On considère l'ensemble $(E_1)$ des points $M$ du plan tels que $MA^2 + MB^2 = 26$. Déterminer la nature géométrique de $(E_1)$ et préciser ses éléments caractéristiques.

   Indice — Utilise la relation établie à la première question en remplaçant la longueur $AB$ par sa valeur numérique, puis isole la distance $MI$.

   Correction

   D'après la relation établie à la question 1, l'équation s'écrit $2MI^2 + \dfrac{AB^2}{2} = 26$.
   En remplaçant $AB$ par $6$, on obtient :
   $2MI^2 + 18 = 26 \iff 2MI^2 = 8 \iff MI^2 = 4 \iff MI = 2$
   L'ensemble $(E_1)$ est donc le cercle de centre $I$ (milieu de $[AB]$) et de rayon $2$.

4. 4). On considère l'ensemble $(E_2)$ des points $M$ du plan tels que $MA^2 - MB^2 = 12$. Déterminer la nature géométrique de $(E_2)$.

   Indice — Réécris l'équation en utilisant l'expression sous forme de produit scalaire trouvée à la deuxième question, puis traduis cette condition en une propriété d'orthogonalité.

   Correction

   D'après la relation établie à la question 2, l'équation s'écrit $2\vec{AB} \cdot \vec{IM} = 12$, soit $\vec{AB} \cdot \vec{IM} = 6$.
   Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur la droite $(AB)$. Le produit scalaire s'exprime par la mesure algébrique : $\overline{AB} \cdot \overline{IH} = 6$.
   Puisque $AB = 6$, on obtient $6 \times \overline{IH} = 6$, soit $\overline{IH} = 1$.
   Le point $H$ est donc l'unique point de la droite $(AB)$ situé à une distance de $1$ de $I$ dans le sens de $\vec{AB}$.
   L'ensemble $(E_2)$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par ce point $H$.

5. 5). Déterminer le nombre de points d'intersection entre l'ensemble $(E_1)$ et l'ensemble $(E_2)$.

   Indice — Compare la distance du centre du premier ensemble à la droite du second ensemble pour en déduire leur position relative.

   Correction

   L'ensemble $(E_1)$ est le cercle de centre $I$ (milieu de $[AB]$) et de rayon $R = 3$. L'ensemble $(E_2)$ est une droite située à une distance $d = 2$ du centre $I$. Pour déterminer leur position relative, on compare cette distance au rayon du cercle : comme $d < R$ ($2 < 3$), la droite $(E_2)$ est sécante au cercle $(E_1)$. Il y a donc exactement $2$ points d'intersection.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. 1. Sur votre copie, construire un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ d'unité graphique $1\text{ cm}$, puis placer les points $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,6)$ et $C(-2\,;\,6)$.

   Indice — Veille à respecter l'orthogonalité des axes et l'égalité des unités sur chaque axe pour que ton repère soit bien orthonormé.

   Correction

   On construit un repère orthonormé en traçant deux axes perpendiculaires se coupant à l'origine $O$, munis d'une graduation de $1\text{ cm}$. On place ensuite les points en lisant leurs coordonnées sur les axes : $A(1\,;\,2)$, $B(4\,;\,6)$ et $C(-2\,;\,6)$.

2. 2. Déterminer les composantes des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.

   Indice — Rappelle-toi que pour deux points $M(x_M\,;\,y_M)$ et $N(x_N\,;\,y_N)$, le vecteur $\vec{MN}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x_N - x_M \\ y_N - y_M \end{pmatrix}$. Attention à l'ordre des points pour éviter les erreurs de signe.

   Correction

   On utilise la formule des coordonnées d'un vecteur : $\vec{MN}\begin{pmatrix} x_N - x_M \\ y_N - y_M \end{pmatrix}$.
   - Pour $\vec{AB}$ : $x_B - x_A = 4 - 1 = 3$ et $y_B - y_A = 6 - 2 = 4$, d'où $\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
   - Pour $\vec{AC}$ : $x_C - x_A = -2 - 1 = -3$ et $y_C - y_A = 6 - 2 = 4$, d'où $\vec{AC}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$.

3. 3. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ à l'aide des composantes obtenues à la question précédente.

   Indice — Utilise la formule analytique du produit scalaire dans une base orthonormée : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$. Fais bien attention au signe du produit des abscisses.

   Correction

   On applique l'expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_{\vec{AB}}x_{\vec{AC}} + y_{\vec{AB}}y_{\vec{AC}}$.
   En utilisant les composantes obtenues à la question précédente, on a :
   $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \times (-3) + 4 \times 4 = -9 + 16 = 7$.

4. 4. Calculer les distances exactes $AB$ et $AC$.

   Indice — Utilise la formule de la norme d'un vecteur dans un repère orthonormé : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ pour chacun des deux vecteurs.

   Correction

   La distance entre deux points correspond à la norme du vecteur associé, calculée par la formule $MN = \sqrt{x^2 + y^2}$ où $x$ et $y$ sont les coordonnées de $\vec{MN}$.
   - Pour $AB$ : $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.
   - Pour $AC$ : $AC = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

5. 5. En utilisant l'expression trigonométrique du produit scalaire, déterminer la valeur exacte de $\cos(\widehat{BAC})$.

   Indice — Exprime le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ en fonction des distances $AB$, $AC$ et de $\cos(\widehat{BAC})$ à l'aide de la formule trigonométrique, puis isole le cosinus.

   Correction

   D'après l'expression trigonométrique du produit scalaire, on a :
   $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$

   En isolant le cosinus, on obtient :
   $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{AB \times AC}$

   Il suffit ensuite de remplacer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ et les distances $AB$ et $AC$ par les valeurs numériques calculées aux questions précédentes pour obtenir la valeur exacte.

6. 6. En déduire, en justifiant par le signe du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$, si l'angle géométrique $\widehat{BAC}$ est aigu, obtus ou droit.

   Indice — Rappelle-toi le lien entre le signe du produit scalaire de deux vecteurs non nuls et le signe de leur cosinus, qui détermine si l'angle est aigu, droit ou obtus.

   Correction

   Les distances $AB$ et $AC$ étant strictement positives, le signe de $\cos(\widehat{BAC})$ est le même que celui du produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ :
   - Si $\vec{AB} \cdot \vec{AC} > 0$, alors $\cos(\widehat{BAC}) > 0$, donc l'angle $\widehat{BAC}$ est aigu (mesure dans $[0 ; \frac{\pi}{2}[$).
   - Si $\vec{AB} \cdot \vec{AC} < 0$, alors $\cos(\widehat{BAC}) < 0$, donc l'angle $\widehat{BAC}$ est obtus (mesure dans $]\frac{\pi}{2} ; \pi]$).
   - Si $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$, alors $\cos(\widehat{BAC}) = 0$, donc l'angle est droit.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(1\,;\,3)$, $B(4\,;\,7)$ et $C(-1\,;\,5)$.

On s'intéresse aux vecteurs $\vec{u} = \vec{AB}$ and $\vec{v} = \vec{AC}$.

1. 1. Déterminer les composantes du vecteur $\vec{u} = \vec{AB}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.

   Indice — Utilise la formule des composantes d'un vecteur $\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$ en faisant attention à l'ordre des points pour éviter les erreurs de signe.

   Correction

   On utilise la formule des coordonnées d'un vecteur : $\vec{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$. En remplaçant par les coordonnées de $A(1\,;\,3)$ et $B(4\,;\,7)$, on obtient : $\vec{u}\begin{pmatrix} 4 - 1 \\ 7 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.

2. 2. Déterminer les composantes du vecteur $\vec{v} = \vec{AC}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.

   Indice — Applique la même méthode pour le vecteur $\vec{AC}$ en utilisant les coordonnées des points $A$ et $C$.

   Correction

   De la même manière, on calcule les coordonnées de $\vec{v} = \vec{AC}$ avec $A(1\,;\,3)$ et $C(-1\,;\,5)$ : $\vec{v}\begin{pmatrix} -1 - 1 \\ 5 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$.

3. 3. Calculer les produits des abscisses $x x'$ et des ordonnées $y y'$ des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

   Indice — Multiplie entre elles les abscisses d'une part, et les ordonnées d'autre part, que tu as obtenues aux questions 1) et 2).

   Correction

   À partir des coordonnées obtenues pour $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}$, on calcule les produits demandés : le produit des abscisses est $x x' = 3 \times (-2) = -6$, et le produit des ordonnées est $y y' = 4 \times 2 = 8$.

4. 4. En déduire la valeur du produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.

   Indice — Pense à la formule analytique du produit scalaire dans une base orthonormée : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$.

   Correction

   Dans un repère orthonormé, le produit scalaire est donné par l'expression analytique $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$. En utilisant les produits calculés à la question précédente, on obtient : $\vec{u} \cdot \vec{v} = -6 + 8 = 2$.

5. 5. Calculer les normes $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$ des deux vecteurs.

   Indice — Utilise la formule de la norme d'un vecteur dans un repère orthonormé : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

   Correction

   On détermine d'abord les coordonnées des vecteurs : $\vec{u}(3\,;\,4)$ et $\vec{v}(-2\,;\,2)$. En appliquant la formule de la norme dans un repère orthonormé, on obtient :
   - $\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$
   - $\|\vec{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

6. 6. En déduire la valeur exacte de $\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$, puis déterminer si l'angle géométrique $\widehat{BAC}$ est aigu, droit ou obtus.

   Indice — Relie le produit scalaire aux normes et au cosinus de l'angle grâce à la formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$, puis étudie le signe de ce cosinus pour qualifier l'angle.

   Correction

   On calcule d'abord le produit scalaire avec les coordonnées : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-2) + 4 \times 2 = 2$. En utilisant l'expression géométrique du produit scalaire, on a :
   $$\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} = \frac{2}{5 \times 2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$$
   Le cosinus de l'angle étant strictement positif, l'angle géométrique $\widehat{BAC}$ est aigu.