Parmi ces phrases, laquelle est une proposition mathématique ?
Remarque
Une proposition mathématique possède une valeur de vérité absolue (soit vraie, soit fausse), indépendante de toute appréciation personnelle.
Définition · 2
Proposition et valeur de vérité
p∈{0;1}
Une proposition (ou assertion) est un énoncé mathématique qui est soit exclusivement vrai (noté 1 ou V), soit exclusivement faux (noté 0 ou F).
Définition · 3
Connecteurs élémentaires : négation, conjonction et disjonction
non(p)=1⟺p=0
(p∧q)=1⟺p=1 et q=1
(p∨q)=1⟺p=1 ou q=1
p
q
non(p)
p∧q
p∨q
L1
1
1
0
1
1
L2
1
0
0
0
1
L3
0
1
1
0
1
L4
0
0
1
0
0
Exemple travaillé · 4
Soient les propositions p:«12 est pair» et q:«5>9». Déterminer la valeur de vérité de R:non(p)∨non(q).
1
p est vraie (p=1) car 12 est un multiple de 2, et q est fausse (q=0) car 5≤9.
2
On calcule les négations : non(p)=0 et non(q)=1.
3
On évalue la disjonction : 0∨1=1.
4
Conclusion : la proposition R est vraie (valeur 1).
Piège classique · 5
Quelle est la valeur de vérité de la proposition (3<5)∨(4=2×2) ?
Attention
Considérer que le « ou » est exclusif et déclarer la disjonction fausse quand les deux affirmations sont vraies en même temps.
À la place : En logique mathématique, la disjonction ∨ est inclusive : dès qu'au moins un terme est vrai, (1∨1)=1.
Vérification · 6
Soient les propositions p=1 et q=0. Complète les valeurs de vérité.
Remarque
non(p)∧q=0∧0=0, tandis que p∨non(q)=1∨1=1.
Définition · 7
L'implication logique
L'implication p⇒q (lue « p implique q ») a la même valeur de vérité que la disjonction [non(p)∨q].
p
q
p⇒q
L1
1
1
1
L2
1
0
0
L3
0
1
1
L4
0
0
1
Piège classique · 8
Quelle est la valeur de vérité de l'implication suivante ? « (5<2)⇒(7 est premier)»
Attention
Déclarer l'implication fausse parce que l'hypothèse de départ (5<2) est fausse.
À la place : En logique formelle, toute implication dont l'hypothèse est fausse (0⇒1) est automatiquement vraie (valeur 1).
Définition · 9
Réciproque, contraposée et négation
(p⇒q)⟺(non(q)⇒non(p))
non(p⇒q)⟺(p∧non(q))
La réciproque de p⇒q est q⇒p (l'implication n'est pas commutative). La contraposée non(q)⇒non(p) a toujours la même valeur de vérité que l'implication initiale.
Piège classique · 10
Quelle est la négation logique de l'implication p⇒q ?
Attention
Conserver une forme conditionnelle avec une flèche, comme p⇒non(q) ou non(p)⇒non(q).
À la place : Nier une implication revient à constater que l'hypothèse est vérifiée sans que la conclusion ne le soit : c'est la conjonction p∧non(q).
Exemple travaillé · 11
Soit n∈N. On considère l'implication : « n≥5⇒n>3 ». Déterminer sa contraposée et sa négation.
1
On pose p:«n≥5» et q:«n>3».
2
On forme les négations des propositions : non(p):«n<5» et non(q):«n≤3».
3
La contraposée non(q)⇒non(p) s'écrit : « n≤3⇒n<5 ».
4
La négation p∧non(q) s'écrit : « n≥5 et n≤3 ».
Vérification · 12
Soient les propositions p=0 et q=0. Complète les valeurs de vérité.
Remarque
L'implication 0⇒0 vaut 1, donc sa négation non(p⇒q) vaut 0.
Définition · 13
L'équivalence logique
(p⇔q)⟺[(p⇒q)∧(q⇒p)]
L'équivalence p⇔q (lue « p si et seulement si q ») est vraie si et seulement si p et q ont exactement la même valeur de vérité.
p
q
p⇔q
L1
1
1
1
L2
1
0
0
L3
0
1
0
L4
0
0
1
Piège classique · 14
Quelle est la valeur de vérité de l'équivalence suivante ? « (0×2=5)⇔(un carreˊ a 3 coˆteˊs)»
Attention
Déclarer l'équivalence fausse au motif que les deux affirmations de départ sont individuellement fausses.
À la place : En logique formelle, deux propositions fausses ont la même valeur de vérité (0), donc leur équivalence est vraie : 0⇔0=1.
Définition · 15
Lois de De Morgan et distributivité
non(p∧q)⟺(non p∨non q)
non(p∨q)⟺(non p∧non q)
p∨(q∧r)⟺(p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∨r)⟺(p∧q)∨(p∧r)
Piège classique · 16
Parmi les formules suivantes, laquelle traduit correctement la distributivité de « ou » sur « et » ?
Attention
Penser que la disjonction ne peut pas se distribuer sur la conjonction par fausse analogie avec l'addition et la multiplication sur les réels.
À la place : En logique booléenne, la distributivité est symétrique : ∨ se distribue sur ∧, tout comme ∧ se distribue sur ∨.
Exemple travaillé · 17
Démontrer par le calcul propositionnel l'équivalence : non(p⇒q)⟺(p∧non q).
1
On utilise la définition formelle de l'implication : p⇒q⟺non(p)∨q.
2
On applique la négation aux deux membres : non(p⇒q)⟺non(non(p)∨q).
3
D'après la loi de De Morgan, la négation d'une disjonction devient une conjonction : non(A∨B)⟺non(A)∧non(B).
4
On obtient : non(non(p))∧non(q).
5
Par la loi de double négation non(non(p))⟺p, on conclut : non(p⇒q)⟺p∧non(q).
Vérification · 18
Complète les valeurs et connecteurs manquants.
Remarque
0⇔0=1 car les deux valeurs sont identiques. La négation d'une disjonction transforme le connecteur ∨ en ∧ selon la loi de De Morgan.
Définition · 19
Définition en compréhension et opérations ensemblistes
A={x∈E;p(x)}
A∩B={x∈E;p(x)∧q(x)}
A∪B={x∈E;p(x)∨q(x)}
A={x∈E;non(p(x))}
Définition · 20
Inclusion, égalité et connecteurs logiques
(A⊂B)⟺(∀x∈E,p(x)⇒q(x))
(A=B)⟺(∀x∈E,p(x)⇔q(x))
L'inclusion d'ensembles correspond à l'implication logique pour tout élément, et l'égalité d'ensembles correspond à l'équivalence logique.
Piège classique · 21
Si A⊂B, quelle relation relie leurs complémentaires A et B dans E ?
Attention
Conserver l'ordre des ensembles en écrivant A⊂B par symétrie visuelle.
À la place : L'inclusion x∈A⇒x∈B a pour contraposée x∈/B⇒x∈/A, ce qui donne x∈B⇒x∈A, d'où B⊂A (l'ordre des ensembles s'inverse).
Exemple travaillé · 22
Soient A={x∈E;p(x)} et B={x∈E;q(x)}. Démontrer la loi de De Morgan ensembliste : A∪B=A∩B.
1
Pour tout x∈E, x∈A∪B⟺non(x∈A∪B).
2
On traduit la réunion par la disjonction : non(p(x)∨q(x)).
3
D'après la loi de De Morgan propositionnelle : non(p(x)∨q(x))⟺non(p(x))∧non(q(x)).
4
On traduit la conjonction en intersection : x∈A et x∈B⟺x∈(A∩B).
5
L'équivalence étant vraie pour tout x∈E, on conclut : A∪B=A∩B.
Vérification · 23
Complète les connecteurs logiques associés aux opérations ensemblistes.
Remarque
A∩B correspond à la conjonction ∧ (les deux conditions réunies), tandis que l'inclusion A⊂B correspond à l'implication ⇒ pour tout élément.
Définition · 24
Fonction caractéristique d'une partie
1A:E→R,x↦1A(x)={10si x∈Asi x∈/A
La fonction caractéristique (ou indicatrice) d'une partie A prend la valeur 1 pour les éléments de A et 0 pour les autres.
1E=1et1∅=0
1A=1−1A
Définition · 25
Algèbre des fonctions caractéristiques
1A∩B=1A⋅1B
1A∪B=1A+1B−1A⋅1B
(A⊂B)⟺(1A≤1B)
(A=B)⟺(1A=1B)
Piège classique · 26
Pour deux parties A et B d'un ensemble E, quelle est l'expression correcte de 1A∪B ?
Attention
Écrire 1A∪B=1A+1B en oubliant de soustraire le terme d'intersection 1A⋅1B.
À la place : Si x∈A∩B, la somme 1A(x)+1B(x)=1+1=2, ce qui sort de {0;1}. Il faut soustraire l'intersection : 1A∪B=1A+1B−1A⋅1B.
Exemple travaillé · 27
Soient A, B et C trois parties de E telles que A∩B=A∩C et A∪B=A∪C. Montrer que B=C à l'aide des fonctions caractéristiques.
1
On traduit les deux hypothèses en égalités de fonctions caractéristiques :
2
1A⋅1B=1A⋅1C
3
1A+1B−1A⋅1B=1A+1C−1A⋅1C
4
En simplifiant par 1A dans la seconde égalité, on obtient :
5
1B−1A⋅1B=1C−1A⋅1C
6
Comme 1A⋅1B=1A⋅1C, on remplace et on en déduit :
7
1B=1C
8
Puisque 1B=1C, on conclut que B=C.
Vérification · 28
Complète les égalités fondamentales sur les fonctions caractéristiques.
Remarque
La fonction caractéristique d'une intersection est le produit 1A⋅1B, et celle du complémentaire est 1−1A.