Rappel · 1

Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle contenant $x_0$ , comment s'exprime le taux d'accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x_0+h$ (avec $h \neq 0$ ) ?

Remarque

Le taux d'accroissement $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ mesure le taux de variation moyen de $f$ sur l'intervalle d'amplitude $h$ .

Point de départ · 2

Considérons la chute libre d'une bille dont la distance parcourue en mètres est donnée par $d(t) = 4{,}9t^2$ (avec $t$ en secondes).

La vitesse moyenne entre les instants $t = 1$ et $t = 1 + h$ s'écrit :

$V_{\text{moy}} = \frac{d(1+h)-d(1)}{h} = \frac{4{,}9(1+h)^2 - 4{,}9}{h} = 9{,}8 + 4{,}9h$

Lorsque l'intervalle de temps $h$ devient infiniment proche de 0, cette vitesse moyenne se stabilise autour d'une valeur limite fixe :

$\lim_{h \to 0} (9{,}8 + 4{,}9h) = 9{,}8\text{ m/s}$

Remarque

Cette valeur limite est la vitesse instantanée à l'instant $t=1$ : c'est le nombre dérivé de la fonction $d$ en $1$ .

Définition · 3

Définition du nombre dérivé

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant un réel $x_0$ .

$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

\text{La limite doit être un nombre réel fini}

Lorsque cette limite finie existe, on dit que $f$ est dérivable en $x_0$ . Cette limite est appelée le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ , noté $f'(x_0)$ .

Vocabulaire

Nombre dérivé en $x_0$ — $f'(x_0)$
Taux d'accroissement en $x_0$ — $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Exemple travaillé · 4

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ . Montrer que $f$ est dérivable en $-1$ et calculer $f'(-1)$ .

1

On calcule l'image du point $x_0 = -1$ :

f(-1) = \frac{2(-1)+1}{-1-1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}

2

Pour tout $h \neq 0$ tel que $-1+h \neq 1$ , on exprime le taux d'accroissement :

\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h} = \frac{\frac{2(-1+h)+1}{(-1+h)-1} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{\frac{2h-1}{h-2} - \frac{1}{2}}{h}

3

On réduit au même dénominateur $2(h-2)$ au numérateur :

\frac{\frac{2(2h-1) - (h-2)}{2(h-2)}}{h} = \frac{4h-2-h+2}{2h(h-2)} = \frac{3h}{2h(h-2)}

4

On simplifie par $h$ non nul :

\frac{3}{2(h-2)}

5

On calcule la limite quand $h$ tend vers 0 :

\lim_{h \to 0} \frac{3}{2(h-2)} = -\frac{3}{4}

6

La limite est finie, donc $f$ est dérivable en $-1$ et $f'(-1) = -\frac{3}{4}$ .

Exemple travaillé · 5

Calculer la limite suivante en reconnaissant le calcul d'un nombre dérivé : $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ .

1

L'évaluation directe en $x=1$ donne la forme indéterminée « $\frac{0}{0}$ ».

2

On pose la fonction auxiliaire $g(x) = \sqrt{x+3}$ et le point $x_0 = 1$ .

3

On vérifie la valeur de la fonction en $1$ :

g(1) = \sqrt{1+3} = 2

4

Le quotient s'identifie alors au taux d'accroissement de $g$ en $1$ :

\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} = \frac{g(x)-g(1)}{x-1}

5

La fonction $g$ est dérivable en $1$ avec $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+3}}$ , d'où :

\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1} = g'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1+3}} = \frac{1}{4}

Vérification · 6

Déterminer la valeur de la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{(x+1)^{2006}-1}{x}$ .

Remarque

En posant $g(x) = (x+1)^{2006}$ et $x_0 = 0$ , on a $g(0) = 1$ . L'expression est le taux d'accroissement de $g$ en $0$ , donc la limite vaut $g'(0) = 2006(0+1)^{2005} = 2006$ .

Point de départ · 7

Soit $A(x_0, f(x_0))$ un point fixe sur la courbe $\mathcal{C}_f$ . Pour tout point mobile $M(x, f(x))$ distinct de $A$ , la droite $(AM)$ est une sécante de coefficient directeur :

$m_{(AM)} = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Lorsque $M$ se rapproche indéfiniment de $A$ le long de la courbe ( $x \to x_0$ ), la sécante $(AM)$ pivote et tend vers une position limite : la droite tangente à la courbe en $A$ .

Définition · 8

Équation cartésienne de la tangente

Soit $f$ une fonction dérivable en un réel $x_0$ . La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(x_0, f(x_0))$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(x_0)$ .

$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

Remarque

Cas particulier : si $f'(x_0) = 0$ , la tangente est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses) et a pour équation $y = f(x_0)$ .

Exemple travaillé · 9

Soit $f(x) = 2x^3 - 4x + 3$ . Déterminer une équation cartésienne de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ .

1

On calcule l'ordonnée du point de contact en évaluant $f(1)$ :

f(1) = 2(1)^3 - 4(1) + 3 = 1

2

On détermine la fonction dérivée puis le coefficient directeur $f'(1)$ :

f'(x) = 6x^2 - 4 \implies f'(1) = 6(1)^2 - 4 = 2

3

On applique la formule de la tangente avec $x_0 = 1$ :

y = f'(1)(x - 1) + f(1)

4

On substitue les valeurs et on simplifie :

y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1

Exemple travaillé · 10

Soit $f(x) = \frac{x+1}{x-3}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ . Déterminer les abscisses des points où la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $D : y = -4x$ .

1

Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. La droite $D$ a pour pente $-4$ , on cherche donc $x_0$ tel que :

f'(x_0) = -4

2

On calcule la dérivée de la fonction homographique sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ :

f'(x) = \frac{1(x-3) - (x+1)(1)}{(x-3)^2} = \frac{-4}{(x-3)^2}

3

On pose l'égalité et on simplifie :

-\frac{4}{(x_0-3)^2} = -4 \iff (x_0-3)^2 = 1

4

On résout l'équation quadratique :

x_0 - 3 = 1 \text{ ou } x_0 - 3 = -1 \implies x_0 = 4 \text{ ou } x_0 = 2

Piège classique · 11

On cherche la tangente à la courbe de $f(x) = \frac{1}{x}$ passant par le point $A(-4, 2)$ . Quelle démarche faut-il adopter ?

Attention

Calculer directement $f'(-4)$ et écrire $y = f'(-4)(x+4)+2$ , en pensant que $A$ est le point de tangence sur la courbe.

À la place : On vérifie d'abord l'appartenance : $f(-4) = -\frac{1}{4} \neq 2$ , donc $A \notin \mathcal{C}_f$ . Le point de contact $M_0(x_0, f(x_0))$ est inconnu : on pose $y_A = f'(x_0)(x_A - x_0) + f(x_0)$ pour trouver $x_0$ .

Vérification · 12

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0 = 3$ a pour équation $y = 2x - 5$ . Que valent $f(3)$ et $f'(3)$ ?

Remarque

Le coefficient directeur de la droite donne directement $f'(3) = 2$ . Le point $(3, f(3))$ étant sur la tangente, on a $f(3) = 2(3) - 5 = 1$ .

Point de départ · 13

Au voisinage immédiat d'un point de contact $A(x_0, f(x_0))$ , la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ et sa droite tangente sont pratiquement confondues.

Pour estimer une valeur complexe $f(x_0+h)$ lorsque $h$ est très petit, on remplace le calcul sur la courbe par un calcul sur la droite tangente, beaucoup plus simple.

Définition · 14

Approximation affine locale

Si une fonction $f$ est dérivable en un point $x_0$ , alors pour tout réel $h$ proche de $0$ , on a l'égalité :

$f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)h + h\,\zeta(h) \quad \text{avec} \quad \lim_{h \to 0} \zeta(h) = 0$

En négligeant le terme résiduel $h\,\zeta(h)$ , l'expression $f(x_0) + f'(x_0)h$ constitue l'approximation affine de $f(x_0+h)$ au voisinage de $0$ :

$f(x_0 + h) \approx f(x_0) + f'(x_0)h$

Remarque

En posant $x = x_0 + h$ , pour $x$ proche de $x_0$ , cette formule s'écrit aussi : $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ .

Exemple travaillé · 15

Donner une valeur approchée de $\sqrt{4{,}008}$ sans calculatrice à l'aide d'une approximation affine locale.

1

On pose la fonction de référence $f(x) = \sqrt{x}$ et le point d'ancrage $x_0 = 4$ .

2

On identifie la petite variation $h$ telle que $x_0 + h = 4{,}008$ :

h = 4{,}008 - 4 = 0{,}008

3

On calcule l'image exacte en $x_0 = 4$ et le nombre dérivé :

f(4) = \sqrt{4} = 2 \quad \text{et} \quad f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} = 0{,}25

4

On applique la formule de l'approximation affine $f(4+h) \approx f(4) + f'(4)h$ :

\sqrt{4{,}008} \approx 2 + 0{,}25 \times 0{,}008 = 2 + 0{,}002 = 2{,}002

Piège classique · 16

Soit $f$ une fonction telle que $f(2) = 5$ et $f'(2) = 2$ . Pour estimer $f(1{,}99999)$ , quelle est la valeur correcte de la variation $h$ ?

Attention

Poser $h = 0{,}00001$ positif en ignorant que $1{,}99999 < 2$ , ce qui conduit à une surestimation.

À la place : Puisque $1{,}99999 = 2 - 0{,}00001$ , on a $h = -0{,}00001$ . L'approximation donne $f(1{,}99999) \approx 5 + 2(-0{,}00001) = 4{,}99998$ .

Vérification · 17

À l'aide de l'approximation affine $(1+x)^2 \approx 1 + 2x$ pour $x$ proche de $0$ , estimer la valeur de $1{,}001^2$ .

Remarque

Pour $x = 0{,}001$ , la formule donne directement : $(1+0{,}001)^2 \approx 1 + 2(0{,}001) = 1 + 0{,}002 = 1{,}002$ .

Point de départ · 18

Considérons la fonction $f(x) = |x|$ au voisinage de $0$ .

À droite de $0$ ( $x > 0$ ), la courbe est la demi-droite d'équation $y = x$ de coefficient directeur $1$ . À gauche de $0$ ( $x < 0$ ), elle suit la droite $y = -x$ de coefficient directeur $-1$ .

Au point $O$ , la courbe présente une rupture de pente : les inclinaisons à gauche et à droite ne coïncident pas. Il n'existe pas de droite tangente unique.

Définition · 19

Dérivées à droite et à gauche

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $x_0$ .

$f'_d(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \quad \text{et} \quad f'_g(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

\text{Ces deux limites unilatérales doivent être des réels finis}

Théorème : $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si $f$ est dérivable à droite et à gauche en $x_0$ avec égalité des nombres dérivés :

$f'_d(x_0) = f'_g(x_0) = f'(x_0)$

Définition · 20

Demi-tangentes et point anguleux

Si $f$ est dérivable à droite (resp. à gauche) en $x_0$ , la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une demi-tangente d'origine $A(x_0, f(x_0))$ :

$\delta : y = f'_d(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \quad (x \ge x_0)$

$\delta' : y = f'_g(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \quad (x \le x_0)$

Si $f'_d(x_0) \neq f'_g(x_0)$ , les deux demi-tangentes ont des pentes différentes : le point $A$ est appelé un point anguleux de la courbe.

Exemple travaillé · 21

Étudier la dérivabilité de $f(x) = |x^2 - 4|$ au point $x_0 = 2$ .

1

On calcule l'image : $f(2) = |2^2 - 4| = 0$ .

2

À droite de $2$ ( $x > 2$ ), on a $x^2 - 4 > 0$ , donc $f(x) = x^2 - 4$ :

f'_d(2) = \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2-4-0}{x-2} = \lim_{x \to 2^+} (x+2) = 4

3

À gauche de $2$ ( $x < 2$ proche de $2$ ), on a $x^2 - 4 < 0$ , donc $f(x) = -(x^2 - 4)$ :

f'_g(2) = \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x^2-4)-0}{x-2} = \lim_{x \to 2^-} -(x+2) = -4

4

Comme $f'_d(2) = 4 \neq -4 = f'_g(2)$ , la fonction $f$ n'est pas dérivable en $2$ . La courbe admet un point anguleux au point $(2, 0)$ .

Piège classique · 22

Soit la fonction définie par $f(x) = x^2 + 1$ si $x \le 1$ et $f(x) = 2x + 5$ si $x > 1$ . La fonction $f$ est-elle dérivable en $1$ ?

Attention

Dériver chaque branche pour obtenir $2x \to 2$ et $2 \to 2$ , puis affirmer que $f$ est dérivable car les dérivées formelles coïncident.

À la place : Il faut d'abord vérifier la continuité : $f(1) = 2$ alors que $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 7 \neq 2$ . La fonction est discontinue en $1$ , donc elle ne peut pas être dérivable en ce point.

Vérification · 23

Une fonction $f$ continue en $3$ vérifie $f'_d(3) = 2$ et $f'_g(3) = -1$ . Que peut-on affirmer sur $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $3$ ?

Remarque

Puisque $f'_d(3) \neq f'_g(3)$ , la fonction $f$ n'est pas dérivable en $3$ et sa courbe présente un point anguleux avec deux demi-tangentes de pentes respectives $2$ et $-1$ .

Point de départ · 24

Considérons la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ au voisinage de $0$ . Pour $x > 0$ , le taux d'accroissement à l'origine s'écrit :

$\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Lorsque $x$ tend vers $0^+$ , ce quotient tend vers $+\infty$ : la pente de la sécante devient infiniment raide.

Remarque

La fonction n'est pas dérivable en $0$ , mais la courbe admet une demi-tangente verticale d'équation $x = 0$ .

Définition · 25

Tangentes et demi-tangentes verticales

Si le taux d'accroissement admet une limite infinie en un point $x_0$ , la fonction n'est pas dérivable en $x_0$ , mais la courbe admet une tangente verticale d'équation cartésienne :

$x = x_0$

Règles d'orientation des demi-tangentes verticales :

\text{À droite } (x \to x_0^+) : \begin{cases} +\infty & \implies \text{dirigée vers le haut} \\ -\infty & \implies \text{dirigée vers le bas} \end{cases}

\text{À gauche } (x \to x_0^-) : \begin{cases} +\infty & \implies \text{dirigée vers le bas} \\ -\infty & \implies \text{dirigée vers le haut} \end{cases}

Piège classique · 26

Soit une fonction $f$ définie sur $]-\infty ; 1]$ . On suppose que $\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = -\infty$ . Quelle est l'orientation géométrique de la demi-tangente en $x_0 = 1$ ?

Attention

Associer directement le signe « - » de $-\infty$ à une flèche dirigée vers le bas.

À la place : Pour $x < 1$ , l'accroissement $x - 1$ est négatif. Comme le quotient tend vers $-\infty$ , la différence $f(x) - f(1)$ est positive : la courbe arrive au-dessus du point $(1, f(1))$ . La demi-tangente à gauche est donc dirigée vers le haut.

Exemple travaillé · 27

Soit $f(x) = \sqrt{1-2x}$ définie sur $]-\infty ; \frac{1}{2}]$ . Étudier la dérivabilité de $f$ à gauche en $\frac{1}{2}$ et interpréter graphiquement le résultat.

1

On évalue l'image à la borne :

f\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{1 - 2\left(\frac{1}{2}\right)} = 0

2

Pour $x < \frac{1}{2}$ , on exprime le taux d'accroissement en remarquant que $x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(1-2x)$ :

\frac{f(x)-f(1/2)}{x-1/2} = \frac{\sqrt{1-2x}}{-\frac{1}{2}(1-2x)} = -\frac{2}{\sqrt{1-2x}}

3

On étudie la limite à gauche quand $x$ tend vers $\left(\frac{1}{2}\right)^-$ :

\lim_{x \to (1/2)^-} -\frac{2}{\sqrt{1-2x}} = -\infty

4

La limite est infinie : $f$ n'est pas dérivable à gauche en $\frac{1}{2}$ . La courbe $\mathcal{C}_f$ admet au point $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Vérification · 28

Si $\lim_{x \to 2^+} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = +\infty$ , quelle est l'interprétation géométrique au point d'abscisse $2$ ?

Remarque

À droite ( $x > 2$ ), le dénominateur $x - 2$ est positif. Le signe de la limite donne directement la direction : une limite $+\infty$ correspond à une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Définition · 29

Lien entre dérivabilité et continuité

Théorème fondamental :

$f \text{ dérivable en } x_0 \implies f \text{ continue en } x_0$

Démonstration : pour tout $x \neq x_0$ , on a $f(x) - f(x_0) = (x - x_0) \times \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ . Par passage à la limite :

$\lim_{x \to x_0} [f(x) - f(x_0)] = 0 \times f'(x_0) = 0 \implies \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Remarque

Attention : la réciproque est fausse. Une fonction continue en un point n'y est pas nécessairement dérivable (exemple de $x \mapsto |x|$ en $0$ , qui est continue mais présente un point anguleux).

Définition · 30

Dérivabilité sur un intervalle et inclusion des domaines

Définitions sur les intervalles :

\text{Sur }]a ; b[ : f \text{ est dérivable en tout point de }]a ; b[

\text{Sur }[a ; b] : f \text{ est dérivable sur }]a ; b[,\text{ à droite en } a \text{ et à gauche en } b

Hiérarchie fondamentale des domaines pour toute fonction $f$ :

$D_d \subseteq D_c \subseteq D_f$

Remarque

$D_d$ désigne le domaine de dérivabilité, $D_c$ le domaine de continuité et $D_f$ le domaine de définition. Les inclusions peuvent être strictes.

Piège classique · 31

Soit la fonction $f(x) = \sqrt{2x-1}$ , définie sur $\left[\frac{1}{2} ; +\infty\right[$ . Quel est son domaine de dérivabilité $D_d$ ?

Attention

Conserver l'intervalle fermé $\left[\frac{1}{2} ; +\infty\right[$ en confondant domaine de définition et domaine de dérivabilité.

À la place : En $x = \frac{1}{2}$ , le radicande s'annule et le taux d'accroissement tend vers $+\infty$ (demi-tangente verticale). La fonction n'est donc pas dérivable en $\frac{1}{2}$ , d'où $D_d = \left]\frac{1}{2} ; +\infty\right[$ .

Exemple travaillé · 32

Déterminer le domaine de dérivabilité $D_d$ de la fonction $f(x) = \sqrt{x^2 - x - 2}$ .

1

On pose $u(x) = x^2 - x - 2$ . Les racines du trinôme sont $-1$ et $2$ . Le domaine de définition est :

D_f = ]-\infty ; -1] \cup [2 ; +\infty[

2

La fonction polynôme $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et strictement positive sur les intervalles ouverts :

u(x) > 0 \iff x \in ]-\infty ; -1[ \cup ]2 ; +\infty[

3

Par théorème de dérivation des fonctions composées, $f = \sqrt{u}$ est dérivable sur ces intervalles ouverts avec :

f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x - 2}}

4

Aux bornes $x = -1$ et $x = 2$ , le dénominateur de la dérivée s'annule : le taux d'accroissement admet une limite infinie (tangentes verticales).

D_d = ]-\infty ; -1[ \cup ]2 ; +\infty[ = D_f \setminus \{-1 ; 2\}

Vérification · 33

Quel est le domaine de dérivabilité $D_d$ de la fonction $g(x) = |x^2 - 1|$ ?

Remarque

L'expression $x^2 - 1$ s'annule en $-1$ et $1$ . En ces deux points, les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement sont finies mais opposées ( $g'_d \neq g'_g$ ), formant des points anguleux. La fonction $g$ est donc dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{-1 ; 1\} = ]-\infty ; -1[ \cup ]-1 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[$ .

Dérivabilité d'une fonction — cours

Le cours

Définition du nombre dérivé

Équation cartésienne de la tangente

Approximation affine locale

Dérivées à droite et à gauche

Demi-tangentes et point anguleux

Tangentes et demi-tangentes verticales

Lien entre dérivabilité et continuité

Dérivabilité sur un intervalle et inclusion des domaines

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