Rappel · 1

Soit $P(x) = 2x^2 + x - 21$ . Sachant que $3$ est une racine de $P$ ( $P(3) = 0$ ), complète la factorisation de $P(x)$ :

Remarque

Comme $P(3) = 0$ , le polynôme se factorise par $(x-3)$ . Par identification, $2x^2 + x - 21 = (x-3)(2x+7)$ .

Définition · 2

Limite finie et forme indéterminée 0/0

Lorsque le numérateur et le dénominateur d'une fraction rationnelle s'annulent tous deux en $x_0$ , la limite en $x_0$ présente une indétermination :

$\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)} = \text{forme indéterminée } «\frac{0}{0}»$

Comme $x_0$ est une racine commune de $P$ et $Q$ , on factorise les deux polynômes par $(x-x_0)$ :

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{(x-x_0)P_1(x)}{(x-x_0)Q_1(x)} = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)} \quad \text{pour tout } x \neq x_0$

Remarque

La limite en $x_0$ ne dépend que des valeurs pour $x \neq x_0$ , ce qui autorise la simplification par $(x-x_0)$ avant d'évaluer la limite.

Exemple travaillé · 3

Déterminer la limite suivante : $\lim_{x \to 3} \frac{2x^2+x-21}{-x^2+9}$

1

On évalue en $x=3$ : le numérateur donne $2(3)^2+3-21=0$ et le dénominateur $-(3)^2+9=0$ . C'est une forme indéterminée « $\frac{0}{0}$ ».

2

On factorise le numérateur et le dénominateur par $(x-3)$ :

2x^2+x-21 = (x-3)(2x+7)

3

Au dénominateur, on factorise $-x^2+9$ en conservant le signe négatif :

-x^2+9 = -(x^2-9) = -(x-3)(x+3)

4

Pour tout $x \neq 3$ , on simplifie par $(x-3)$ :

\frac{2x^2+x-21}{-x^2+9} = \frac{(x-3)(2x+7)}{-(x-3)(x+3)} = \frac{2x+7}{-(x+3)}

5

On calcule la limite de l'expression simplifiée :

\lim_{x \to 3} \frac{2x+7}{-(x+3)} = \frac{2(3)+7}{-(3+3)} = -\frac{13}{6}

Piège classique · 4

Pour calculer $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-3x+2}{x-1}$ , quelle démarche est correcte ?

Attention

Garder le quotient des termes de plus haut degré $\frac{x^2}{x}$ en un point fini $x=1$ , par confusion avec la règle à l'infini.

À la place : La règle des monômes dominants s'applique exclusivement en $+\infty$ et $-\infty$ . En un réel fini $x_0=1$ , on factorise par $(x-1)$ pour obtenir $\frac{(x-1)(x-2)}{x-1} = x-2$ , d'où la limite $1-2=-1$ .

Vérification · 5

Quelle est la valeur de $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-2x}{x^2-5x+6}$ ?

Remarque

En factorisant par $(x-2)$ , on obtient $\frac{x(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x}{x-3}$ . Lorsque $x \to 2$ , la limite vaut $\frac{2}{2-3} = -2$ .

Définition · 6

Indéterminations avec radicaux et quantité conjuguée

Face à une forme indéterminée « $\frac{0}{0}$ » ou « $(+\infty) - (+\infty)$ » comportant une racine carrée, on multiplie et on divise par l'expression conjuguée :

$(\sqrt{A} - B)(\sqrt{A} + B) = A - B^2$

Remarque

Cette identité remarquable élimine le radical au numérateur et fait apparaître le facteur commun simplifiable.

Exemple travaillé · 7

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}$

1

En remplaçant $x$ par $2$ , on obtient $\frac{\sqrt{4}-2}{2-2} = \frac{0}{0}$ , une forme indéterminée.

2

On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $(\sqrt{x+2}+2)$ :

\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2} = \frac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}

3

On développe le numérateur avec l'identité $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ :

\frac{(\sqrt{x+2})^2 - 2^2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \frac{x+2-4}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}

4

Pour $x \neq 2$ , on simplifie par $(x-2)$ :

\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}

5

On calcule la limite de l'expression obtenue :

\lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+2}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}

Piège classique · 8

Lorsque $x < 0$ (au voisinage de $-\infty$ ), comment s'écrit $\sqrt{x^2+1}$ après factorisation par $x^2$ sous le radical ?

Attention

Écrire $\sqrt{x^2} = x$ alors que $x$ est négatif, ce qui donne $x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ et fausse le signe.

À la place : Pour tout réel $x$ , $\sqrt{x^2} = |x|$ . Lorsque $x < 0$ , on a $|x| = -x$ . Ainsi, $\sqrt{x^2+1} = -x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ .

Exemple travaillé · 9

Déterminer la limite suivante : $\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2+x+1} + x\right)$

1

Lorsque $x \to -\infty$ , $\sqrt{x^2+x+1} \to +\infty$ et $x \to -\infty$ . C'est une forme indéterminée « $(+\infty) - (+\infty)$ ».

2

On multiplie et on divise par l'expression conjuguée $(\sqrt{x^2+x+1} - x)$ :

\sqrt{x^2+x+1} + x = \frac{(x^2+x+1) - x^2}{\sqrt{x^2+x+1} - x} = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1} - x}

3

Au dénominateur, on factorise par $x^2$ sous la racine. Comme $x < 0$ , $\sqrt{x^2} = -x$ :

\sqrt{x^2+x+1} - x = -x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} - x = -x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} + 1\right)

4

On factorise le numérateur par $x$ et on simplifie pour $x < 0$ :

\frac{x\left(1+\frac{1}{x}\right)}{-x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} + 1\right)} = \frac{1+\frac{1}{x}}{-\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} + 1\right)}

5

On passe à la limite en $-\infty$ :

\lim_{x \to -\infty} \frac{1+\frac{1}{x}}{-\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} + 1\right)} = \frac{1}{-(1+1)} = -\frac{1}{2}

Vérification · 10

Quelle est la valeur de $\lim_{x \to -\infty} \left(\sqrt{x^2+1} + x\right)$ ?

Remarque

Par expression conjuguée, $\sqrt{x^2+1}+x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}$ . Quand $x \to -\infty$ , $\sqrt{x^2+1} \to +\infty$ et $-x \to +\infty$ , donc le dénominateur tend vers $+\infty$ , d'où une limite égale à $0$ .

Point de départ · 11

En observant la courbe ci-dessus, vers quelle valeur tend $f(x)$ lorsque $x$ s'approche de $1$ en restant strictement inférieur à $1$ ( $x < 1$ ) ?

Remarque

Lorsque $x$ s'approche de $1$ par la gauche ( $x < 1$ ), les ordonnées se rapprochent de $0$ . On note cette limite unilatérale $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0$ .

Définition · 12

Limites unilatérales et limite globale

Soit $x_0$ et $L$ deux réels, et $f$ une fonction.

La limite à gauche décrit le comportement de $f(x)$ lorsque $x$ s'approche de $x_0$ par valeurs strictement inférieures ( $x < x_0$ ) :

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$

La limite à droite décrit le comportement de $f(x)$ lorsque $x$ s'approche de $x_0$ par valeurs strictement supérieures ( $x > x_0$ ) :

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$

Théorème d'existence de la limite bilatérale :

$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$

Remarque

Si les deux limites latérales sont distinctes ( $\lim_{x \to x_0^-} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^+} f(x)$ ), la fonction $f$ n'admet pas de limite en $x_0$ .

Exemple travaillé · 13

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{x^2-1}{|x-1|}$ . Déterminer $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ , puis préciser si $f$ admet une limite en $1$ .

1

On factorise le numérateur : $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ pour tout $x \neq 1$ .

2

Pour $x > 1$ , on a $x-1 > 0$ , donc $|x-1| = x-1$ :

f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \implies \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1+1 = 2

3

Pour $x < 1$ , on a $x-1 < 0$ , donc $|x-1| = -(x-1)$ :

f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{-(x-1)} = -(x+1) \implies \lim_{x \to 1^-} f(x) = -(1+1) = -2

4

Comme $\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq \lim_{x \to 1^-} f(x)$ ( $2 \neq -2$ ), la fonction $f$ n'admet pas de limite en $1$ .

Piège classique · 14

Pour calculer $\lim_{x \to -1} \left|\frac{1-2x}{x^2-3}\right|$ , est-il nécessaire d'étudier séparément la limite à gauche et la limite à droite en $-1$ ?

Attention

Scinder systématiquement en limites à gauche et à droite dès qu'une valeur absolue apparaît dans une expression.

À la place : La fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$ . Si l'expression sous les barres ne s'annule pas et est bien définie en $x_0$ , on évalue directement : $\left|\frac{1-2(-1)}{(-1)^2-3}\right| = \left|\frac{3}{-2}\right| = \frac{3}{2}$ .

Vérification · 15

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + 3 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$ La fonction $g$ admet-elle une limite en $2$ ?

Remarque

À gauche : $\lim_{x \to 2^-} (3x+1) = 3(2)+1 = 7$ . À droite : $\lim_{x \to 2^+} (x^2+3) = 2^2+3 = 7$ . Les limites latérales étant égales, $g$ admet une limite en $2$ égale à $7$ .

Définition · 16

Continuité en un point

Soit $x_0 \in \mathbb{R}$ et $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$ .

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

La continuité en $x_0$ exige que la fonction soit définie en ce point et que sa limite coïncide avec $f(x_0)$ .

$f \text{ est continue en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$

Définition · 17

Prolongement par continuité

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , sauf en un réel $a \in I$ .

\lim_{x \to a} f(x) = L \quad (L \in \mathbb{R})

Si cette limite existe et est finie, la fonction $g$ définie par morceaux ci-dessous est continue en $a$ :

$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq a \\ L & \text{si } x = a \end{cases}$

Remarque

La fonction $g$ est appelée le prolongement par continuité de $f$ en $a$ .

Exemple travaillé · 18

Soit $f(x) = \frac{\sqrt{2x+5}-3}{x-2}$ définie sur $\left[-\frac{5}{2}; 2\right[ \cup \left]2; +\infty\right[$ . Montrer que $f$ admet un prolongement par continuité en $2$ et expliciter ce prolongement.

1

La fonction $f$ n'est pas définie en $2$ . Pour $x \to 2$ , on a une forme indéterminée « $\frac{0}{0}$ ».

2

On multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée $(\sqrt{2x+5}+3)$ :

f(x) = \frac{(2x+5)-9}{(x-2)(\sqrt{2x+5}+3)} = \frac{2(x-2)}{(x-2)(\sqrt{2x+5}+3)}

3

Pour tout $x \neq 2$ , on simplifie par $(x-2)$ :

f(x) = \frac{2}{\sqrt{2x+5}+3}

4

On évalue la limite en $2$ :

\lim_{x \to 2} f(x) = \frac{2}{\sqrt{9}+3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

5

La limite étant finie ( $L = \frac{1}{3}$ ), $f$ est prolongeable par continuité en $2$ . Son prolongement $F$ est défini sur $\left[-\frac{5}{2}; +\infty\right[$ par :

F(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq 2 \\ \frac{1}{3} & \text{si } x = 2 \end{cases}

Piège classique · 19

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ , et $f(1) = 0$ . La fonction $f$ est-elle continue en $1$ ?

Attention

Conclure que $f$ est continue en $1$ simplement parce que sa limite $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ existe et est finie.

À la place : Une fonction définie en $x_0$ n'est continue que si sa limite coïncide avec sa valeur : $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ . Ici, $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ alors que $f(1) = 0$ : comme $2 \neq 0$ , $f$ est discontinue en $1$ .

Vérification · 20

Soit $f(x) = \frac{x-1}{|x-1|}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ . La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en $1$ ?

Remarque

Pour $x > 1$ , $f(x) = 1 \implies \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1$ . Pour $x < 1$ , $f(x) = -1 \implies \lim_{x \to 1^-} f(x) = -1$ . Les limites latérales étant distinctes ( $1 \neq -1$ ), $f$ n'admet pas de limite en $1$ et ne peut pas être prolongée par continuité.

Définition · 21

Continuité d'une fonction définie par morceaux

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ par deux expressions différentes de part et d'autre d'un point frontière $x_0$ .

$f \text{ est continue en } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$

Remarque

L'égalité de l'une des limites latérales avec $f(x_0)$ découle de la branche portant l'inégalité large. La continuité impose alors que la limite sur l'autre branche soit égale à cette même valeur.

Exemple travaillé · 22

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2+3x-4}{x-1} & \text{si } x > 1 \\ ax + 2 & \text{si } x \le 1 \end{cases}$ Déterminer la valeur du réel $a$ pour que $f$ soit continue en $1$ .

1

On évalue $f(1)$ et la limite à gauche en $1$ avec la branche $x \le 1$ :

f(1) = a(1) + 2 = a + 2 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 1^-} f(x) = a + 2

2

Pour la limite à droite ( $x > 1$ ), on factorise le numérateur $x^2+3x-4 = (x-1)(x+4)$ :

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{(x-1)(x+4)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} (x+4) = 5

3

La fonction $f$ est continue en $1$ si et seulement si $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$ :

a + 2 = 5 \iff a = 3

Piège classique · 23

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \begin{cases} x^3 - 2 & \text{si } x \ge 2 \\ \sqrt{x+2} & \text{si } x < 2 \end{cases}$ .
Pour étudier la continuité de $f$ en $2$ , suffit-il de constater que $f(2) = 2^3 - 2 = 6$ est bien défini ?

Attention

Conclure que $f$ est continue en $2$ au motif que $f(2) = 6$ existe et que la formule pour $x \ge 2$ donne bien $6$ .

À la place : Il faut impérativement calculer la limite sur l'autre branche : $\lim_{x \to 2^-} \sqrt{x+2} = \sqrt{4} = 2$ . Comme $\lim_{x \to 2^-} f(x) \neq f(2)$ ( $2 \neq 6$ ), $f$ n'est pas continue en $2$ .

Exemple travaillé · 24

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \begin{cases} \frac{3x^2-2x-1}{x-1} & \text{si } x > 1 \\ \frac{-x^2-2x+3}{x-1} & \text{si } x < 1 \\ \alpha & \text{si } x = 1 \end{cases}$ Existe-t-il une valeur du réel $\alpha$ pour laquelle $f$ est continue en $1$ ?

1

Pour $x > 1$ , on factorise le numérateur : $3x^2-2x-1 = (x-1)(3x+1)$ :

\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3x+1) = 4

2

Pour $x < 1$ , on factorise le numérateur : $-x^2-2x+3 = -(x-1)(x+3)$ :

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} -(x+3) = -4

3

Comme $\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq \lim_{x \to 1^-} f(x)$ ( $4 \neq -4$ ), la fonction n'admet pas de limite en $1$ .

\text{Il n'existe aucun réel } \alpha \text{ rendant } f \text{ continue en } 1.

Vérification · 25

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 1 \\ \sqrt{x+3} & \text{si } x > 1 \end{cases}$ La fonction $f$ est-elle continue en $1$ ?

Remarque

On a $f(1) = 1^2 - 1 = 0$ et $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0$ . Mais à droite, $\lim_{x \to 1^+} \sqrt{x+3} = \sqrt{4} = 2$ . Comme $0 \neq 2$ , les limites latérales diffèrent et $f$ n'est pas continue en $1$ .

Définition · 26

Fonction partie entière et limites aux entiers

Pour tout réel $x$ , la partie entière de $x$ , notée $E(x)$ , est l'unique entier relatif $n$ vérifiant :

$n \le x < n+1 \quad (n \in \mathbb{Z})$

Au voisinage d'un entier $n$ , la fonction $E$ prend des valeurs constantes distinctes à gauche et à droite :

$\lim_{x \to n^+} E(x) = n \quad \text{et} \quad \lim_{x \to n^-} E(x) = n-1$

Remarque

Comme $n-1 \neq n$ , la fonction partie entière n'admet pas de limite en tout entier relatif $n$ . Elle est continue sur $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ .

Piège classique · 27

Quelle est la valeur de $\lim_{x \to 3^-} E(x)$ ?

Attention

Remplacer directement $x$ par $3$ dans l'expression et écrire $\lim_{x \to 3^-} E(x) = E(3) = 3$ .

À la place : Lorsque $x \to 3$ par valeurs inférieures ( $x < 3$ ), on a $x \in ]2; 3[$ , ce qui implique $E(x) = 2$ . Ainsi, $\lim_{x \to 3^-} E(x) = 2$ .

Exemple travaillé · 28

Soit la fonction $f$ définie sur $[-1; 2]$ par $f(x) = (x-1)E(x)$ . Étudier la continuité de $f$ en $1$ .

1

Pour $x \in ]0; 1[$ , on a $E(x) = 0$ . Donc $f(x) = (x-1) \times 0 = 0$ .

2

On calcule la limite à gauche en $1$ :

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 0 = 0

3

Pour $x \in [1; 2[$ , on a $E(x) = 1$ . Donc $f(x) = (x-1) \times 1 = x-1$ .

4

On calcule la valeur en $1$ et la limite à droite en $1$ :

f(1) = (1-1)E(1) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1-1 = 0

5

Comme $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 0$ , la fonction $f$ est continue en $1$ .

Vérification · 29

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x \cdot E(x)$ . Quelle est la valeur de $\lim_{x \to 2^-} g(x)$ ?

Remarque

Pour $x \in ]1; 2[$ , $E(x) = 1$ . L'expression s'écrit $g(x) = x \times 1 = x$ . Quand $x \to 2^-$ , la limite vaut $2$ .

Définition · 30

Continuité sur un intervalle et image d'un intervalle

Une fonction est continue sur un intervalle ouvert si elle est continue en tout point de cet intervalle. Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$ , et les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur domaine de définition.

$f \text{ continue sur } I \implies f(I) \text{ est un intervalle de } \mathbb{R}$

Remarque

L'image $f(I)$ est l'ensemble de toutes les valeurs prises par $f(x)$ lorsque $x$ parcourt l'intervalle $I$ .

Exemple travaillé · 31

Soit $f$ la fonction continue définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -3x^2+6x-1$ . Déterminer l'image de l'intervalle $[-1; 2]$ par $f$ .

1

On repère les variations de $f$ sur $[-1; 2]$ : $f$ atteint son maximum au sommet en $x = 1$ , avec :

f(1) = -3(1)^2 + 6(1) - 1 = 2

2

On évalue les images des extrémités de l'intervalle :

f(-1) = -3(-1)^2 + 6(-1) - 1 = -10 \quad \text{et} \quad f(2) = -3(2)^2 + 6(2) - 1 = -1

3

Sur $[-1; 2]$ , la fonction croît de $-10$ à $2$ , puis décroît de $2$ à $-1$ . La plus petite valeur atteinte est $-10$ et la plus grande est $2$ .

4

Puisque $f$ est continue, l'image de $[-1; 2]$ est l'intervalle formé par le minimum et le maximum :

f([-1; 2]) = [-10; 2]

Piège classique · 32

Soit $f$ une fonction continue sur $[0; 4]$ qui croît de $f(0)=1$ jusqu'à son maximum $f(2)=5$ , puis décroît jusqu'à $f(4)=2$ . Que vaut l'image $f([0; 4])$ ?

Attention

Écrire $f([0; 4]) = [f(0); f(4)] = [1; 2]$ en évaluant uniquement les bornes de l'intervalle.

À la place : Comme $f$ n'est pas strictement monotone sur $[0; 4]$ , l'intervalle image est délimité par le minimum ( $1$ ) et le maximum ( $5$ ) atteints sur cet intervalle : $f([0; 4]) = [1; 5]$ .

Vérification · 33

x	-2	0	3
g(x)		-4	3	-1

La fonction $g$ est continue sur $[-2; 3]$ et son tableau de variations est donné ci-dessus (avec $g(0)=3$ son maximum). Quelle est l'image $g([-2; 3])$ ?

Remarque

Sur $[-2; 3]$ , la valeur minimale atteinte par $g$ est $-4$ et la valeur maximale est $3$ . Par continuité, $g([-2; 3]) = [-4; 3]$ .

Définition · 34

Asymptotes verticales, horizontales et obliques

Soit $f$ une fonction et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

\lim_{x \to x_0^\pm} f(x) = \pm\infty

$\text{La droite } \Delta : x = x_0 \text{ est une asymptote verticale à } \mathcal{C}_f.$

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L \quad (L \in \mathbb{R})

$\text{La droite } \Delta : y = L \text{ est une asymptote horizontale à } \mathcal{C}_f.$

\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0 \quad (a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R})

$\text{La droite } \Delta : y = ax + b \text{ est une asymptote oblique à } \mathcal{C}_f.$

Exemple travaillé · 35

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par $f(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$ . Déterminer les asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_f$ .

1

En $x=1$ : le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur s'annule. On a $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ , donc la droite $x = 1$ est asymptote verticale.

2

On effectue la division euclidienne de $x^2+1$ par $x-1$ pour décomposer la fraction :

x^2+1 = (x-1)(x+1) + 2 \implies f(x) = x + 1 + \frac{2}{x-1}

3

On calcule la limite de la différence $f(x) - (x+1)$ à l'infini :

\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (x+1)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x-1} = 0

4

La droite d'équation $y = x + 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$ .

Définition · 36

Branches paraboliques

Soit $f$ une fonction telle que $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ . La nature de la branche infinie se détermine par la limite du quotient $\frac{f(x)}{x}$ :

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0

$\mathcal{C}_f \text{ admet une branche parabolique de direction } (Ox) \text{ (axe des abscisses)}.$

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty

$\mathcal{C}_f \text{ admet une branche parabolique de direction } (Oy) \text{ (axe des ordonnées)}.$

Piège classique · 37

Soit $f(x) = \sqrt{x}$ . On a $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ . Quelle est la nature géométrique de cette branche infinie ?

Attention

Conclure que la droite $y = 0$ est asymptote horizontale en voyant que la limite du rapport vaut $0$ .

À la place : Une asymptote horizontale exige $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ . Ici, $f(x) \to +\infty$ et c'est le quotient $\frac{f(x)}{x}$ qui tend vers $0$ : la courbe admet une branche parabolique de direction $(Ox)$ .

Vérification · 38

Soit $g(x) = x^2 - x - 1$ . On sait que $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = +\infty$ . Quelle est la nature de la branche infinie de $\mathcal{C}_g$ au voisinage de $+\infty$ ?

Remarque

Comme $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = +\infty$ , la courbe $\mathcal{C}_g$ admet une branche parabolique de direction celle de l'axe des ordonnées $(Oy)$ au voisinage de $+\infty$ .

Limites, continuité, branches infinies — cours

Le cours

Limite finie et forme indéterminée 0/0

Indéterminations avec radicaux et quantité conjuguée

Limites unilatérales et limite globale

Continuité en un point

Prolongement par continuité

Continuité d'une fonction définie par morceaux

Fonction partie entière et limites aux entiers

Continuité sur un intervalle et image d'un intervalle

Asymptotes verticales, horizontales et obliques

Branches paraboliques

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