Généralités sur les fonctions — exercices corrigés

On s'intéresse à la modélisation géométrique de grandeurs variables et à la notion de dépendance fonctionnelle.

1. 1. On considère un cercle de centre fixe $O$ et de rayon variable $r$. Dans quel ensemble de réels la variable $r$ peut-elle prendre ses valeurs ?

   Indice — Rappelle-toi qu'un rayon représente une longueur géométrique non nulle.

   Correction

   Une longueur géométrique devant être strictement positive, le rayon $r$ du cercle doit être strictement supérieur à $0$. L'ensemble des valeurs possibles pour $r$ est donc l'intervalle $]0, +\infty[$ (ou $\mathbb{R}_+^*$).

2. 2. Exprimer le périmètre $p$ de ce cercle en fonction de son rayon $r$.

   Indice — Utilise la formule géométrique usuelle liant le périmètre d'un cercle à son rayon.

   Correction

   D'après la formule usuelle du périmètre d'un cercle, on a directement la relation : $p = 2\pi r$.

3. 3. À partir de l'expression du périmètre, exprimer le rayon $r$ en fonction de $p$, puis en déduire l'expression de l'aire $\mathcal{A}$ du disque en fonction de $p$.

   Indice — Isole d'abord $r$ dans l'égalité précédente, puis substitue cette expression dans la formule de l'aire du disque $\mathcal{A} = \pi r^2$.

   Correction

   En isolant $r$ dans l'expression du périmètre $p = 2\pi r$, on obtient $r = \frac{p}{2\pi}$. En substituant ce résultat dans la formule de l'aire du disque $\mathcal{A} = \pi r^2$, on obtient après simplification : $\mathcal{A} = \frac{p^2}{4\pi}$.

4. 4. On considère à présent un rectangle quelconque dont les dimensions (longueur $x$ et largeur $y$) sont des réels strictement positifs. Dans quel ensemble varie son périmètre $p$ ?

   Indice — Exprime le périmètre $p$ à l'aide des longueurs des côtés $x > 0$ et $y > 0$, puis déduis-en les valeurs possibles pour $p$.

   Correction

   Le périmètre d'un rectangle de dimensions $x$ et $y$ est donné par la formule $p = 2(x + y)$. Puisque $x > 0$ et $y > 0$, la somme $x + y$ peut prendre n'importe quelle valeur strictement positive. Ainsi, le périmètre $p$ varie dans l'ensemble $]0, +\infty[$.

5. 5. On choisit deux rectangles ayant le même périmètre $p = 20$ : - Le premier a pour dimensions $x_1 = 6$ et $y_1 = 4$. - Le second a pour dimensions $x_2 = 7$ et $y_2 = 3$.

   Calculer l'aire de chacun de ces deux rectangles.

   Indice — Calcule l'aire du premier rectangle $\mathcal{A}_1 = x_1 \cdot y_1$ et celle du second $\mathcal{A}_2 = x_2 \cdot y_2$, puis compare les deux valeurs obtenues.

   Correction

   L'aire d'un rectangle est donnée par le produit de ses dimensions.

   - Pour le premier rectangle : $\mathcal{A}_1 = x_1 \times y_1 = 6 \times 4 = 24$.
   - Pour le second rectangle : $\mathcal{A}_2 = x_2 \times y_2 = 7 \times 3 = 21$.

6. 6. La donnée du seul périmètre $p$ d'un rectangle permet-elle de déterminer de façon unique son aire ? Peut-on définir l'aire d'un rectangle comme une fonction de son périmètre ? Justifier.

   Indice — Utilise la définition d'une fonction : une grandeur $Y$ est fonction d'une grandeur $X$ si à chaque valeur de $X$ correspond une unique valeur de $Y$.

   Correction

   Non, la donnée du seul périmètre ne permet pas de déterminer l'aire de manière unique. En effet, d'après la question précédente, deux rectangles ayant le même périmètre $p = 20$ possèdent des aires différentes ($\mathcal{A}_1 = 24$ et $\mathcal{A}_2 = 21$).

   Par définition, une grandeur $Y$ est fonction d'une grandeur $X$ si à chaque valeur de $X$ correspond une unique valeur de $Y$. Puisqu'à la valeur $p = 20$ correspondent plusieurs aires possibles, on ne peut pas définir l'aire d'un rectangle comme une fonction de son périmètre.

Soit la fonction $f_2$ définie par $f_2(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ et la fonction $g_2$ définie par $g_2(x) = x + 2$.

1. 1. On considère la fonction $f_2$ définie par $f_2(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$. Déterminer l'ensemble de définition de $f_2$, puis calculer $f_2(0)$ et $f_2(3)$.

   Indice — Que se passe-t-il si l'on tente d'évaluer le dénominateur de $f_2$ en $x = 2$ ?

   Correction

   La fonction rationnelle $f_2$ est définie si et seulement si son dénominateur est non nul : $x - 2 \neq 0 \iff x \neq 2$. Ainsi, $D_{f_2} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.
   Par calcul direct : $f_2(0) = \dfrac{0 - 4}{0 - 2} = 2$ et $f_2(3) = \dfrac{3^2 - 4}{3 - 2} = 5$.

2. 2. Soit la fonction $g_2$ définie par $g_2(x) = x + 2$. Déterminer son ensemble de définition, calculer $g_2(0)$ et $g_2(3)$, puis comparer les valeurs de $f_2(x)$ et $g_2(x)$ pour chaque $x$ où $f_2(x)$ est définie.

   Indice — Calcule l'image de chaque valeur par la fonction $g_2 : x \mapsto x + 2$ et compare les résultats obtenus avec ceux de la question précédente.

   Correction

   La fonction $g_2$ est une fonction affine, elle est donc définie sur $D_{g_2} = \mathbb{R}$.
   On a $g_2(0) = 0 + 2 = 2$ et $g_2(3) = 3 + 2 = 5$.
   Pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$, en factorisant par l'identité remarquable $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, on obtient $f_2(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 = g_2(x)$.
   Les valeurs de $f_2(x)$ et $g_2(x)$ sont donc égales pour tout $x \in D_{f_2}$.

3. 3. Soit $a un réel non nul. On considère les fonctions$f_a$et$g_a$définies respectivement par$f_a(x) = $\dfrac{x^2 - a^2}{x - a}$$et$g_a(x) = x + a$. Déterminer les ensembles de définition$D_{f_a}$et$D_{g_a}\$.

   Indice — Exprime la condition d'existence d'un quotient dont le dénominateur dépend d'un paramètre $a$.

   Correction

   Pour $f_a$, le dénominateur doit être non nul : $x - a \neq 0 \iff x \neq a$. D'où $D_{f_a} = \mathbb{R} \setminus \{a\}$.
   Pour $g_a$, étant une fonction affine, son ensemble de définition est $D_{g_a} = \mathbb{R}$.

4. 4. Examiner si les fonctions $f_a$ et $g_a$ sont égales sur $\mathbb{R}$.

   Indice — Vérifie si les ensembles de définition des deux fonctions coïncident sur l'ensemble des réels.

   Correction

   Deux fonctions sont égales sur $\mathbb{R}$ si et seulement si elles ont le même ensemble de définition $\mathbb{R}$ et que leurs images coïncident pour tout réel.
   Ici, $D_{f_a} = \mathbb{R} \setminus \{a\} \neq \mathbb{R} = D_{g_a}$. Comme $f_a$ n'est pas définie en $a$, les fonctions $f_a$ et $g_a$ ne sont pas égales sur $\mathbb{R}$.

5. 5. Caractériser précisément le lien mathématique unissant $f_a$ et $g_a$ en utilisant la notion de restriction.

   Indice — Rappelle la définition de la restriction d'une fonction à une partie non vide de son domaine.

   Correction

   Le domaine de définition de $f_2$ est $\mathcal{D}_{f_2} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$, tandis que celui de $g_2$ est $\mathcal{D}_{g_2} = \mathbb{R}$. Pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$, on a $f_2(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 = g_2(x)$. Ainsi, $f_2$ est la restriction de la fonction $g_2$ à l'ensemble $\mathbb{R} \setminus \{2\}$, ce qu'on note $f_2 = {g_2}_{|\mathbb{R} \setminus \{2\}}$.

On considère les fonctions et leurs expressions algébriques dans les questions qui suivent. L'objectif est d'analyser l'impact d'une simplification formelle sur le domaine de validité d'une fonction.

1. 1. On considère la fonction $f_2$ définie par $f_2(x) = \dfrac{(x-2)(x^2+1)}{x-2}$. Calculer l'image par $f_2$ de chacun des réels suivants : $0$, $1$ et $3$.

   Indice — Remplace $x$ par les valeurs données dans l'expression de $f_2(x)$ en respectant les priorités opératoires.

   Correction

   En remplaçant $x$ par les valeurs indiquées :
   - Pour $x = 0$ : $f_2(0) = \dfrac{(0-2)(0^2+1)}{0-2} = \dfrac{-2 \times 1}{-2} = 1$.
   - Pour $x = 1$ : $f_2(1) = \dfrac{(1-2)(1^2+1)}{1-2} = \dfrac{-1 \times 2}{-1} = 2$.
   - Pour $x = 3$ : $f_2(3) = \dfrac{(3-2)(3^2+1)}{3-2} = \dfrac{1 \times 10}{1} = 10$.

2. 2. Déterminer l'ensemble de définition $D_{f_2}$ de la fonction $f_2$, puis simplifier son expression algébrique sur cet ensemble.

   Indice — Regarde quelle valeur annule le dénominateur de l'expression rationnelle avant toute simplification.

   Correction

   La fonction rationnelle $f_2$ est définie si et seulement si son dénominateur est non nul, soit $x - 2 \neq 0 \iff x \neq 2$. Donc $D_{f_2} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

   Pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$, on simplifie par $(x - 2)$, ce qui donne $f_2(x) = x^2 + 1$.

3. 3. Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^2 + 1$. Calculer $g(0)$, $g(1)$ et $g(3)$, puis comparer ces valeurs à celles obtenues pour $f_2$ en 1).

   Indice — Calcule $g(0)$, $g(1)$ et $g(3)$ pour la fonction polynôme $g(x) = x^2 + 1$ et compare-les aux résultats de la première question.

   Correction

   Pour la fonction $g(x) = x^2 + 1$ :
   - $g(0) = 0^2 + 1 = 1$
   - $g(1) = 1^2 + 1 = 2$
   - $g(3) = 3^2 + 1 = 10$

   Les valeurs obtenues sont rigoureusement identiques à celles calculées pour $f_2$ à la question 1 : $f_2(0) = g(0)$, $f_2(1) = g(1)$ et $f_2(3) = g(3)$.

4. 4. Examiner si les fonctions $f_2$ et $g$ sont égales sur $\mathbb{R}$. Justifier soigneusement la réponse.

   Indice — Repense à la condition indispensable sur les ensembles de définition pour que deux fonctions soient égales partout.

   Correction

   Deux fonctions sont égales si et seulement si elles ont le même ensemble de définition et prennent les mêmes valeurs sur cet ensemble.

   Ici, $D_g = \mathbb{R}$ alors que $D_{f_2} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. Les ensembles de définition étant différents ( $f_2(2)$ n'est pas défini alors que $g(2) = 5$), les fonctions $f_2$ et $g$ ne sont pas égales sur $\mathbb{R}$.

5. 5. Soit $a$ un nombre réel quelconque. On définit la fonction $f_a$ par $f_a(x) = \dfrac{(x-a)(x^2+1)}{x-a}$. Déterminer l'ensemble de définition $D_{f_a}$ de $f_a$ et donner son expression simplifiée sur $D_{f_a}$.

   Indice — Reprends la démarche menant au domaine de définition en remplaçant la valeur numérique précise par le paramètre littéral $a$.

   Correction

   La condition d'existence impose que le dénominateur soit non nul, soit $x - a \neq 0 \iff x \neq a$. On en déduit $D_{f_a} = \mathbb{R} \setminus \{a\}$. Pour tout $x \in D_{f_a}$, la simplification par $(x-a)$ donne l'expression $f_a(x) = x^2 + 1$.

6. 6. Comparer l'ensemble de définition $D_{f_a}$ et l'ensemble de définition de la fonction $g$ en fonction des valeurs du paramètre réel $a$.

   Indice — Examine pour quelles valeurs du paramètre $a$ l'ensemble $D_{f_a}$ coïncide ou non avec l'ensemble de définition de la fonction $g$.

   Correction

   La fonction polynomiale $g(x) = x^2 + 1$ a pour ensemble de définition $D_g = \mathbb{R}$. Pour tout réel $a$, le domaine $D_{f_a}$ exclut la valeur $a$, de sorte que $D_{f_a} \neq D_g$. On a plus précisément $D_{f_a} \subset D_g$.

7. 7. En déduire si l'égalité $f_a = g$ est vraie sur $\mathbb{R}$ pour un quelconque réel $a$. Préciser le lien exact entre ces deux fonctions.

   Indice — Conclus sur l'égalité de $f_a$ et $g$ en confrontant leurs domaines respectifs pour tout réel $a$.

   Correction

   Puisque deux fonctions égales doivent posséder le même domaine de définition, l'égalité $f_a = g$ est fausse sur $\mathbb{R}$ pour tout réel $a$. La fonction $f_a$ est la restriction de la fonction $g$ à l'ensemble $D_{f_a}$.

On considère la fonction réelle $f$ définie par :
$$f(x) = \frac{x^2+1}{x-2} + \sqrt{x+3}$$

On note $u$ et $v$ les fonctions définies par $u(x) = \frac{x^2+1}{x-2}$ et $v(x) = \sqrt{x+3}$.

1. 1). Déterminer l'ensemble de définition $D_u$ de la fonction $u$.

   Indice — Résous la condition d'existence $x-2 \ne 0$.

   Correction

   La fonction $u$ est une fonction rationnelle. Son ensemble de définition $D_u$ est l'ensemble des réels pour lesquels le dénominateur est non nul.

   On résout l'équation :
   $$x - 2 = 0 \iff x = 2$$

   Ainsi, la valeur $2$ est interdite, ce qui donne :
   $$D_u = \mathbb{R} \setminus \{2\} = ]-\infty\,;\,2[ \cup ]2\,;\,+\infty[$$

2. 2). Déterminer l'ensemble de définition $D_v$ de la fonction $v$.

   Indice — Résous l'inéquation $x+3 \ge 0$.

   Correction

   La fonction $v$ comporte une racine carrée. Son ensemble de définition $D_v$ est l'ensemble des réels pour lesquels l'expression sous la racine est positive ou nulle.

   On résout l'inéquation :
   $$x + 3 \ge 0 \iff x \ge -3$$

   On obtient donc :
   $$D_v = [-3\,;\,+\infty[$$

3. 3). En déduire que l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$ est :
   $$D_f = [-3\,;\,2[ \cup ]2\,;\,+\infty[$$

   Indice — Détermine l'intersection des deux ensembles $D_u \cap D_v$.

   Correction

   La fonction $f$ est la somme des fonctions $u$ et $v$. Son ensemble de définition $D_f$ est donc l'intersection des ensembles de définition de $u$ et de $v$ :
   $$D_f = D_u \cap D_v$$

   En intersectant $D_u = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ et $D_v = [-3\,;\,+\infty[$, on conserve tous les réels supérieurs ou égaux à $-3$ en excluant la valeur $2$. On obtient bien :
   $$D_f = [-3\,;\,2[ \cup ]2\,;\,+\infty[$$

4. 4). Vérifier si le réel $-2$ appartient à $D_f$, puis examiner si son opposé $2$ appartient à $D_f$.

   Indice — Vérifie si $-2 \in D_f$ et si $2 \in D_f$ en utilisant l'expression de $D_f$ obtenue à la question précédente.

   Correction

   On utilise l'expression de $D_f = [-3\,;\,2[ \cup ]2\,;\,+\infty[$ obtenue à la question précédente :
   - Pour le réel $-2$ : comme $-3 \le -2 < 2$, le nombre $-2$ appartient à l'intervalle $[-3\,;\,2[$. Donc, $-2 \in D_f$.
   - Pour son opposé $2$ : par définition de $D_f$, la valeur $2$ est exclue (les crochets sont ouverts en $2$). Donc, $2 \notin D_f$.

5. 5). Déduire de la question précédente si l'ensemble $D_f$ est symétrique par rapport à $0$.

   Indice — Rappelle-toi la condition de symétrie : pour tout $x \in D_f$, a-t-on $-x \in D_f$ ?

   Correction

   L'ensemble de définition de la fonction est $D_f = [-3, 2[ \cup ]2, +\infty[$. Pour que $D_f$ soit symétrique par rapport à $0$, il est nécessaire que pour tout réel $x$, si $x \in D_f$, alors $-x \in D_f$. En choisissant $x = 4$, on a bien $4 \in D_f$, mais son opposé $-4 \notin D_f$ car $-4 < -3$. L'ensemble $D_f$ n'est donc pas symétrique par rapport à $0$.

6. 6). Conclure si la fonction $f$ est paire, impaire ou ni l'une ni l'autre.

   Indice — Si la condition de symétrie du domaine de définition n'est pas satisfaite, que peut-on conclure pour la parité de $f$ ?

   Correction

   La symétrie du domaine de définition par rapport à l'origine est une condition nécessaire pour qu'une fonction soit qualifiée de paire ou d'impaire. L'ensemble $D_f$ n'étant pas symétrique par rapport à $0$ d'après la question précédente, on en conclut directement que la fonction $f$ n'est ni paire, ni impaire.

Soit $f$ une fonction définie sur $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\,;\,1\}$ satisfaisant, pour tout $x \in D$, la relation fonctionnelle $(E)$ suivante :
$$2f(x) + f(-x) = \frac{3x}{x^2 - 1}$$

1. 1. Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\,;\,1\}$, son opposé $-x$ appartient également à $D$.

   Indice — Vérifie si l'opposé d'un réel différent de $1$ et $-1$ peut être égal à $1$ ou $-1$.

   Correction

   Soit $x \in D$. Par définition, $x \neq 1$ et $x \neq -1$. En prenant l'opposé, on obtient $-x \neq -1$ et $-x \neq 1$. Ainsi, $-x$ n'appartient pas à $\{-1, 1\}$, ce qui prouve que $-x \in D$. Le domaine $D$ est donc symétrique par rapport à l'origine.

2. 2. En substituant $x$ par $-x$ dans la relation $(E)$, exprimer la quantité $2f(-x) + f(x)$ en fonction de $x$.

   Indice — Remplace chaque occurrence de $x$ par $-x$ dans la relation $(E)$ et simplifie le dénominateur de la fraction.

   Correction

   En substituant $x$ par $-x$ dans la relation $(E)$, on obtient :
   $$2f(-x) + f(x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2 - 1}$$
   Comme $(-x)^2 = x^2$, la relation se simplifie directement en :
   $$2f(-x) + f(x) = -\frac{3x}{x^2 - 1}$$

3. 3. En déduire un système de deux équations linéaires d'inconnu le couple $(f(x) ; f(-x))$.

   Indice — Associe la relation de départ $(E)$ et celle obtenue à la question précédente pour écrire un système d'équations où les inconnues sont $f(x)$ and $f(-x)$.

   Correction

   En associant la relation de départ $(E)$ et celle obtenue à la question précédente, on obtient le système linéaire de deux équations à deux inconnues $f(x)$ et $f(-x)$ suivant :
   $$\begin{cases} 2f(x) + f(-x) = \frac{3x}{x^2 - 1} \\[1ex] f(x) + 2f(-x) = -\frac{3x}{x^2 - 1} \end{cases}$$

4. 4. Résoudre ce système pour montrer que pour tout $x \in D$, on a :
   $$f(x) = \frac{3x}{x^2 - 1}$$

   Indice — Utilise la méthode d'élimination par combinaison linéaire pour isoler $f(x)$ dans le système.

   Correction

   Pour résoudre ce système et isoler $f(x)$, on utilise la méthode d'élimination par combinaison linéaire. En multipliant la première équation par $2$ et en lui soustrayant la deuxième, on élimine le terme en $f(-x)$ :
   $$3f(x) = 2\left(\frac{3x}{x^2 - 1}\right) - \left(-\frac{3x}{x^2 - 1}\right) = \frac{9x}{x^2 - 1}$$
   En divisant par $3$, on obtient bien :
   $$f(x) = \frac{3x}{x^2 - 1}$$
   pour tout $x \in D$.

5. 5. Étudier la parité de la fonction $f$ sur $D$.

   Indice — Calcule $f(-x)$ en utilisant l'expression trouvée et compare-la avec $f(x)$.

   Correction

   L'expression de la fonction est $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 1}$ pour tout $x \in D$.
   Pour tout $x \in D$, on a également $-x \in D$. Calculons $f(-x)$ :
   $$f(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2 - 1} = \frac{-3x}{x^2 - 1} = -f(x)$$
   La fonction $f$ est donc impaire sur $D$.

6. 6. On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{3x}{|x^2 - 1|}$. Déterminer l'ensemble de définition de $g$, puis examiner si les fonctions $f$ et $g$ sont égales.

   Indice — Détermine d'abord le domaine de définition de $g$, puis compare les valeurs de $f(x)$ et $g(x)$ sur l'intervalle $]-1\,;\,1[$.

   Correction

   Pour la fonction $g(x) = \frac{3x}{|x^2 - 1|}$, le dénominateur s'annule si et seulement si $x^2 - 1 = 0$, soit $x = 1$ ou $x = -1$. L'ensemble de définition de $g$ est donc $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1\,;\,1\}$, qui est identique à $D$.

   Pour comparer $f$ et $g$, étudions leur expression sur l'intervalle $]-1\,;\,1[$. Sur cet intervalle, $x^2 - 1 < 0$, d'où $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1)$. On a alors :
   $$g(x) = \frac{3x}{-(x^2 - 1)} = -f(x)$$
   Pour $x = 0,5$, on a $f(0,5) = -2$ et $g(0,5) = 2$. Comme $f(0,5) \neq g(0,5)$, les fonctions $f$ et $g$ ne sont pas égales.

7. 7. Soient $a$ et $b$ deux réels distincts de l'intervalle $]1\,;\,+\infty[$. Montrer que le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est donné par :
   $$T = \frac{-3(ab + 1)}{(a^2 - 1)(b^2 - 1)}$$

   Indice — Écris la différence $f(a) - f(b)$, réduis au même dénominateur, puis factorise le numérateur pour faire apparaître le facteur $(a-b)$.

   Correction

   Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est défini par $T = \frac{f(a) - f(b)}{a - b}$.
   Calculons d'abord la différence $f(a) - f(b)$ :
   $$f(a) - f(b) = \frac{3a}{a^2 - 1} - \frac{3b}{b^2 - 1} = \frac{3a(b^2 - 1) - 3b(a^2 - 1)}{(a^2 - 1)(b^2 - 1)}$$
   En développant et en factorisant le numérateur, on obtient :
   $$3ab^2 - 3a - 3ba^2 + 3b = 3ab(b - a) + 3(b - a) = -3(a - b)(ab + 1)$$
   On en déduit :
   $$T = \frac{-3(a - b)(ab + 1)}{(a - b)(a^2 - 1)(b^2 - 1)} = \frac{-3(ab + 1)}{(a^2 - 1)(b^2 - 1)}$$

8. 8. En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1\,;\,+\infty[$.

   Indice — Étudie le signe de chaque facteur du taux de variation $T$ lorsque $a > 1$ et $b > 1$.

   Correction

   Déterminons le signe du taux de variation $T$ pour $a, b \in ]1\,;\,+\infty[$ :
   - Comme $a > 1$ et $b > 1$, on a $ab > 1$, donc $ab + 1 > 0$. Le numérateur $-3(ab + 1)$ est strictement négatif.
   - De plus, $a^2 - 1 > 0$ et $b^2 - 1 > 0$, donc le dénominateur $(a^2 - 1)(b^2 - 1)$ est strictement positif.

   Le taux de variation $T$ est donc strictement négatif sur $]1\,;\,+\infty[$, ce qui prouve que la fonction $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.