Point de départ · 1

Pour une fonction numérique $f(x) = 2x+1$ définie sur $\mathbb{R}$ , la variable $x$ peut valoir $1,5$ ou $\sqrt{2}$ . Pour une suite réelle $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ , l'indice $n$ peut-il valoir $1,5$ ?

Remarque

Un indice $n$ est un entier naturel ( $0, 1, 2, 3 \dots$ ) : il indique le rang d'un terme et ne prend jamais de valeur décimale ou négative.

Définition · 2

Définition et notation d'une suite réelle

$u : \{k, k+1, k+2, \dots\} \to \mathbb{R}, \quad n \mapsto u_n$

Une suite réelle est une fonction dont l'ensemble de départ est une partie de $\mathbb{N}$ de la forme $\{k, k+1, \dots\}$ avec $k \in \mathbb{N}$ .

Vocabulaire

Suite réelle — $(u_n)_{n \ge k} \text{ ou } (u_n)$
Terme général (valeur au rang n) — $u_n$

Remarque

Il faut distinguer $(u_n)$ , qui désigne l'application tout entière, de $u_n$ , qui est un nombre réel.

Piège classique · 3

Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = 3n + 1$ . Quelle est l'expression correcte de $u_{2n}$ en fonction de $n$ ?

Attention

Multiplier toute l'expression par 2 et écrire $u_{2n} = 2(3n + 1) = 6n + 2$ .

À la place : L'indice $2n$ remplace la lettre $n$ dans la formule : $u_{2n} = 3(2n) + 1 = 6n + 1$ .

Exemple travaillé · 4

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} = 2u_n - 1$ . Calculer $u_1$ et $u_2$ .

1

Pour déterminer $u_1$ , on applique la relation de récurrence au rang $n = 0$ :

u_1 = 2u_0 - 1 = 2(3) - 1 = 5

2

Pour déterminer $u_2$ , on utilise la valeur de $u_1$ au rang $n = 1$ :

u_2 = 2u_1 - 1 = 2(5) - 1 = 9

Remarque

Pour une suite récurrente, le calcul d'un terme nécessite de connaître le terme immédiatement précédent.

Vérification · 5

Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \frac{5n-1}{n-3}$ . Détermine le plus petit entier naturel $n_0$ à partir duquel la suite est définie, puis calcule la valeur de son premier terme $v_{n_0}$ .

Remarque

Le dénominateur s'annule pour $n = 3$ . L'ensemble de définition discret commence donc au premier entier supérieur : $n_0 = 4$ . On obtient $v_4 = \frac{5(4)-1}{4-3} = 19$ .

Point de départ · 6

Si les trois premiers termes d'une suite vérifient $u_0 > u_1 > u_2$ , peut-on affirmer avec certitude que la suite est décroissante sur tout $\mathbb{N}$ ?

Remarque

Non. Par exemple, pour la suite $u_n = n^2 - 8n + 7$ , on a $u_0 = 7, u_1 = 0, u_2 = -5$ (phase décroissante), mais $u_5 = -8 < u_6 = -5$ (phase croissante). La monotonie doit être établie pour tout entier naturel $n$ .

Définition · 7

Monotonie d'une suite réelle

$u_{n+1} \ge u_n \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \iff (u_n) \text{ est croissante}$

$u_{n+1} \le u_n \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N} \iff (u_n) \text{ est décroissante}$

Une suite est dite monotone lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante. Une suite qui n'est pas croissante n'est pas nécessairement décroissante : elle peut alterner et n'avoir aucune monotonie globale.

Exemple travaillé · 8

Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = \frac{n}{2n+1}$ .

1

On forme la différence de deux termes consécutifs $u_{n+1} - u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

2

u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{2(n+1)+1} - \frac{n}{2n+1} = \frac{n+1}{2n+3} - \frac{n}{2n+1}

3

On réduit au même dénominateur :

4

u_{n+1} - u_n = \frac{(n+1)(2n+1) - n(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{2n^2 + 3n + 1 - (2n^2 + 3n)}{(2n+3)(2n+1)} = \frac{1}{(2n+3)(2n+1)}

5

Pour tout $n \ge 0$ , le dénominateur est strictement positif, donc $u_{n+1} - u_n > 0$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

Piège classique · 9

Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_n = -n$ . On calcule le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{-(n+1)}{-n} = \frac{n+1}{n} > 1$ . La suite $(u_n)$ est-elle croissante ?

Attention

Conclure que la suite est croissante dès que $\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1$ , sans contrôler le signe des termes.

À la place : Le critère $\frac{u_{n+1}}{u_n} \ge 1 \implies u_{n+1} \ge u_n$ n'est valable que si TOUS les termes sont STRICTEMENT POSITIFS. Ici, $u_n < 0$ , donc multiplier par $u_n$ inverse le sens de l'inégalité : $u_{n+1} < u_n$ (la suite décroît : $-1 > -2 > -3$ ).

Exemple travaillé · 10

Soit la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = \frac{2}{n+3}$ . Étudier son sens de variation à l'aide de la méthode du quotient.

1

Étape 1 : Justifier la stricte positivité des termes. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $n+3 > 0$ , donc $v_n > 0$ .

2

Étape 2 : Exprimer le quotient de deux termes consécutifs :

3

\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{\frac{2}{n+4}}{\frac{2}{n+3}} = \frac{2}{n+4} \times \frac{n+3}{2} = \frac{n+3}{n+4}

4

Étape 3 : Comparer le quotient à 1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $n+3 < n+4$ , d'où $\frac{n+3}{n+4} < 1$ .

5

Conclusion : Les termes étant strictement positifs et le quotient étant strictement inférieur à 1, la suite $(v_n)$ est strictement décroissante.

Vérification · 11

Soit la suite $(w_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $w_n = n + (-1)^n$ . En évaluant $w_1, w_2$ et $w_3$ , détermine la monotonie de $(w_n)$ .

Remarque

On calcule : $w_1 = 1 - 1 = 0$ , $w_2 = 2 + 1 = 3$ , $w_3 = 3 - 1 = 2$ . On a $w_1 < w_2$ mais $w_2 > w_3$ . La suite n'est ni croissante ni décroissante sur $\mathbb{N}^*$ .

Point de départ · 12

La suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = -2n + 5$ ne dépasse jamais la valeur $5$ . Peut-on affirmer qu'elle est bornée ?

Remarque

Non. La suite est majorée par $5$ , mais ses termes prennent des valeurs négatives arbitrairement grandes (elle tend vers $-\infty$ ) : elle n'est pas minorée, donc elle n'est pas bornée.

Définition · 13

Suite majorée, minorée, bornée

$u_n \le M \quad \text{pour tout } n \ge p \iff (u_n)_{n \ge p} \text{ est majorée par } M$

$u_n \ge m \quad \text{pour tout } n \ge p \iff (u_n)_{n \ge p} \text{ est minorée par } m$

$m \le u_n \le M \quad \text{pour tout } n \ge p \iff (u_n)_{n \ge p} \text{ est bornée}$

Les réels $M$ et $m$ sont des constantes indépendantes de $n$ .

Exemple travaillé · 14

Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = \frac{3n}{n+1}$ est bornée par $0$ et $3$ .

1

Minoration : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , le numérateur $3n \ge 0$ et le dénominateur $n+1 > 0$ , donc :

2

u_n \ge 0

3

Majoration : On étudie le signe de la différence $3 - u_n$ :

4

3 - u_n = 3 - \frac{3n}{n+1} = \frac{3(n+1) - 3n}{n+1} = \frac{3}{n+1}

5

Pour tout $n \ge 0$ , $\frac{3}{n+1} > 0$ , d'où $3 - u_n > 0$ , soit $u_n < 3$ .

6

Conclusion : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $0 \le u_n < 3$ . La suite $(u_n)$ est donc bornée.

Piège classique · 15

Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n = 2n + (-1)^n$ . Parmi ces trois affirmations, laquelle est exacte ?

Attention

Penser que la présence de $(-1)^n$ rend la suite bornée.

À la place : Le terme $(-1)^n \ge -1$ , donc $u_n \ge 2n - 1 \ge -1$ : la suite est bien minorée par $-1$ . En revanche, le terme $2n$ tend vers $+\infty$ , donc la suite n'est pas majorée et n'est pas bornée.

Exemple travaillé · 16

Montrer que la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $v_n = 3 - 2\cos(4n-1)$ est bornée par $1$ et $5$ .

1

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , la fonction cosinus vérifie l'encadrement fondamental :

2

-1 \le \cos(4n-1) \le 1

3

On multiplie par $-2$ , ce qui inverse le sens des inégalités :

4

-2 \le -2\cos(4n-1) \le 2

5

On ajoute $3$ à chaque membre de l'encadrement :

6

1 \le 3 - 2\cos(4n-1) \le 5

7

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $1 \le v_n \le 5$ : la suite $(v_n)$ est bornée.

Vérification · 17

On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout $n \ge 1$ par $w_n = \frac{(-1)^n}{n} + 3$ . Quel est le meilleur encadrement de $w_n$ pour tout $n \ge 1$ ?

Remarque

Pour tout $n \ge 1$ , $-1 \le (-1)^n \le 1$ . En divisant par $n \ge 1$ , on a $-\frac{1}{n} \le \frac{(-1)^n}{n} \le \frac{1}{n}$ . Comme $\frac{1}{n} \le 1$ , on a $-1 \le \frac{(-1)^n}{n} \le 1$ . En ajoutant $3$ , on obtient $2 \le w_n \le 4$ .

Point de départ · 18

Observe ces deux suites de nombres : Suite A : $3, 7, 11, 15, 19$ ; Suite B : $3, 6, 12, 24, 48$ . Dans laquelle passe-t-on d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre fixe ?

Remarque

Dans la suite A, la différence entre deux termes consécutifs est constante et vaut $+4$ : c'est le principe fondamental d'une suite arithmétique.

Définition · 19

Définition et terme général d'une suite arithmétique

$u_{n+1} = u_n + r \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}$

Le réel constant $r = u_{n+1} - u_n$ est appelé la raison de la suite.

$u_n = u_0 + nr \quad \text{ou plus généralement} \quad u_n = u_p + (n-p)r$

Remarque

Trois réels $a, b, c$ forment dans cet ordre trois termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si $a + c = 2b$ .

Exemple travaillé · 20

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 11$ et $u_7 = 23$ . Déterminer sa raison $r$ , son premier terme $u_0$ , puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .

1

On applique la relation générale entre deux termes quelconques $u_n = u_p + (n-p)r$ avec $n = 7$ et $p = 3$ :

2

u_7 = u_3 + (7 - 3)r \iff 23 = 11 + 4r

3

On isole la raison $r$ :

4

4r = 12 \iff r = 3

5

On calcule le premier terme $u_0$ à partir de $u_3 = u_0 + 3r$ :

6

11 = u_0 + 3(3) \iff u_0 = 11 - 9 = 2

7

On en déduit l'expression explicite pour tout entier $n \in \mathbb{N}$ : $u_n = 2 + 3n$ .

Définition · 21

Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

$S = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = \frac{(n-p+1)(u_p + u_n)}{2}$

La somme est égale au produit du nombre de termes par la demi-somme des termes extrêmes (premier et dernier terme).

Remarque

Cas particulier : pour la somme des entiers de $1$ à $n$ , on a $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Piège classique · 22

On souhaite calculer la somme $S = u_5 + u_6 + \dots + u_{15}$ . Quel est le nombre exact de termes additionnés dans cette somme ?

Attention

Calculer $15 - 5 = 10$ termes en effectuant une simple soustraction des indices.

À la place : Le décompte d'une suite discrète d'indices de $p$ à $n$ comprend toujours $n - p + 1$ termes. Ici : $15 - 5 + 1 = 11$ termes.

Vérification · 23

Soit la suite arithmétique $(u_n)$ définie par $u_n = 2 + 3n$ . Détermine le nombre de termes $N$ ainsi que la valeur de la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{20}$ .

Remarque

De $n=0$ à $n=20$ , il y a $20 - 0 + 1 = 21$ termes. Le dernier terme est $u_{20} = 2 + 3(20) = 62$ . La somme vaut $S = \frac{21}{2}(u_0 + u_{20}) = \frac{21}{2}(2 + 62) = 21 \times 32 = 672$ .

Point de départ · 24

Dans la suite de nombres $2, 6, 18, 54, 162$ , comment passe-t-on d'un terme au suivant ?

Remarque

On multiplie chaque terme par $3$ : ce facteur constant multiplicatif est la raison d'une suite géométrique.

Définition · 25

Définition et terme général d'une suite géométrique

$u_{n+1} = q \cdot u_n \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}$

Le réel constant non nul $q = \frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \ne 0$ ) est appelé la raison de la suite géométrique.

$u_n = u_0 \cdot q^n \quad \text{ou plus généralement} \quad u_n = u_p \cdot q^{n-p}$

Remarque

Trois réels non nuls $a, b, c$ forment dans cet ordre trois termes consécutifs d'une suite géométrique si et seulement si $a \cdot c = b^2$ .

Exemple travaillé · 26

Soit $(v_n)$ une suite géométrique à termes strictement positifs telle que $v_2 = 18$ et $v_5 = 486$ . Déterminer sa raison $q$ , son premier terme $v_0$ , puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .

1

On applique la relation générale entre deux termes quelconques $v_n = v_p \cdot q^{n-p}$ avec $n = 5$ et $p = 2$ :

2

v_5 = v_2 \cdot q^{5-2} = v_2 \cdot q^3 \iff 486 = 18 \cdot q^3

3

On isole $q^3$ :

4

q^3 = \frac{486}{18} = 27 \implies q = 3

5

On calcule $v_0$ à partir de $v_2 = v_0 \cdot q^2$ :

6

18 = v_0 \cdot 3^2 \iff 18 = 9v_0 \iff v_0 = 2

7

On en déduit l'expression du terme général pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

8

v_n = 2 \cdot 3^n

Piège classique · 27

Soit la suite géométrique $(u_n)$ définie par $u_0 = -18$ et de raison $q = \frac{2}{3}$ . Quel est le sens de variation de la suite $(u_n)$ ?

Attention

Affirmer que la suite est décroissante car la raison vérifie $0 < q < 1$ .

À la place : Comme $u_0 = -18 < 0$ , les termes sont $u_0 = -18, u_1 = -12, u_2 = -8$ . Les termes négatifs se rapprochent de zéro, donc augmentent ( $-18 < -12 < -8$ ). La suite est strictement croissante.

Vérification · 28

Trois réels strictement positifs $a, b, c$ forment dans cet ordre trois termes consécutifs d'une suite géométrique. Sachant que $a \cdot b \cdot c = 216$ et que la raison vaut $q = 3$ , détermine la valeur du terme central $b$ puis du premier terme $a$ .

Remarque

Comme $a, b, c$ sont consécutifs, on a $a \cdot c = b^2$ , d'où $a \cdot b \cdot c = b^3 = 216 \implies b = 6$ . Avec $b = a \cdot q = 3a$ , on obtient $a = \frac{6}{3} = 2$ .

Définition · 29

Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

q \ne 1

$S = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = u_p \times \frac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$

La somme est égale au produit du premier terme par le quotient $\frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ .

Remarque

Pour la somme des puissances successives d'un réel $q \ne 1$ : $1 + q + q^2 + \dots + q^n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ .

Piège classique · 30

On souhaite calculer la somme $S = 1 + 2 + 4 + 8 + \dots + 1024 = 2^0 + 2^1 + \dots + 2^{10}$ . Quel exposant doit-on placer sur la raison $2$ au numérateur de la formule ?

Attention

Mettre l'exposant 10 parce que le dernier terme s'écrit $2^{10}$ .

À la place : L'exposant au numérateur représente toujours le NOMBRE TOTAL DE TERMES additionnés. De l'exposant $0$ à $10$ , il y a $10 - 0 + 1 = 11$ termes. On pose donc $1 \times \frac{1 - 2^{11}}{1 - 2}$ .

Définition · 31

Limite et convergence d'une suite géométrique

Le comportement asymptotique en $+\infty$ de la suite de référence $(q^n)_{n \in \mathbb{N}}$ dépend uniquement de la valeur de la raison $q$ :

$\begin{aligned} -1 < q < 1 &\implies \lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \\ q > 1 &\implies \lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty \\ q = 1 &\implies \lim_{n \to +\infty} q^n = 1 \\ q \le -1 &\implies (q^n) \text{ n'admet pas de limite} \end{aligned}$

Remarque

Une suite géométrique $u_n = u_0 q^n$ avec $u_0 \ne 0$ est convergente si et seulement si $-1 < q \le 1$ .

Exemple travaillé · 32

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par $u_n = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$ . Exprimer la somme $S_n = \sum_{k=1}^n u_k$ en fonction de $n$ , puis déterminer $\lim_{n \to +\infty} S_n$ .

1

La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_1 = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ et de raison $q = \frac{1}{2}$ .

2

La somme compte $n - 1 + 1 = n$ termes. On applique la formule de sommation géométrique :

3

S_n = u_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q} = \frac{3}{2} \times \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{1 - \frac{1}{2}}

4

Comme $1 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{1/2} = 3$ , on simplifie l'expression :

5

S_n = 3\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)

6

Comme $-1 < \frac{1}{2} < 1$ , le théorème donne $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ , d'où :

7

\lim_{n \to +\infty} S_n = 3(1 - 0) = 3

Vérification · 33

Soit la somme $S = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \dots - \frac{1}{1024}$ . Précise le nombre de termes de cette somme géométrique de raison $q = -\frac{1}{2}$ , ainsi que sa valeur exacte.

Remarque

Le terme général est $u_k = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}$ . Le dernier terme vérifie $-\frac{1}{1024} = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right)^9$ , il y a donc $10$ termes. La formule donne $S = \frac{1}{2} \times \frac{1 - (-1/2)^{10}}{1 - (-1/2)} = \frac{1}{2} \times \frac{1 - 1/1024}{3/2} = \frac{1}{3} \times \frac{1023}{1024} = \frac{341}{1024}$ .

Point de départ · 34

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 6$ et $u_{n+1} = \frac{2}{3}u_n + 1$ . On calcule $u_1 = \frac{2}{3}(6)+1 = 5$ et $u_2 = \frac{2}{3}(5)+1 = \frac{13}{3}$ . Cette suite est-elle arithmétique ou géométrique ?

Remarque

On teste la différence : $u_1 - u_0 = -1$ et $u_2 - u_1 = -\frac{2}{3} \ne -1$ (non arithmétique). On teste le quotient : $\frac{u_1}{u_0} = \frac{5}{6}$ et $\frac{u_2}{u_1} = \frac{13}{15} \ne \frac{5}{6}$ (non géométrique). C'est une suite mixte, dite arithmético-géométrique.

Définition · 35

Suite récurrente affine (arithmético-géométrique)

$u_{n+1} = a u_n + b \quad (a \ne 0, a \ne 1 \text{ et } b \ne 0)$

L'équation du point fixe $a\alpha + b = \alpha$ admet pour unique solution le réel :

$\alpha = \frac{b}{1 - a}$

La suite auxiliaire $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $v_n = u_n - \alpha$ est une suite géométrique de raison $a$ . Le terme général de $(u_n)$ s'en déduit directement :

$u_n = v_n + \alpha = (u_0 - \alpha)a^n + \alpha$

Remarque

Si $|a| < 1$ , alors $\lim_{n \to +\infty} a^n = 0$ , et par conséquent $\lim_{n \to +\infty} u_n = \alpha$ .

Exemple travaillé · 36

Soit la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ . Déterminer le terme général $u_n$ en fonction de $n$ , puis calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$ .

1

On détermine le point fixe $\alpha$ vérifiant $\alpha = \frac{1}{2}\alpha + 1$ :

2

\alpha - \frac{1}{2}\alpha = 1 \iff \frac{1}{2}\alpha = 1 \iff \alpha = 2

3

On pose $v_n = u_n - 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ et on exprime $v_{n+1}$ :

4

v_{n+1} = u_{n+1} - 2 = \left(\frac{1}{2}u_n + 1\right) - 2 = \frac{1}{2}u_n - 1 = \frac{1}{2}(u_n - 2) = \frac{1}{2}v_n

5

$(v_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 2 = 1 - 2 = -1$ .

6

On écrit $v_n$ puis $u_n$ :

7

v_n = -1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = -\left(\frac{1}{2}\right)^n \implies u_n = v_n + 2 = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^n

8

Comme $|\frac{1}{2}| < 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ , donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 2$ .

Piège classique · 37

Pour la suite $u_n = 3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^n + 3$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on calcule la somme $S_n = \sum_{k=0}^n u_k = \sum_{k=0}^n \left(3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^k\right) + \sum_{k=0}^n 3$ . Que vaut la somme du terme constant $\sum_{k=0}^n 3$ ?

Attention

Écrire $\sum_{k=0}^n 3 = 3n$ en multipliant la constante par le dernier indice $n$ .

À la place : La somme compte $n - 0 + 1 = n + 1$ termes. On additionne la constante $3$ un total de $(n+1)$ fois : $\sum_{k=0}^n 3 = 3(n+1) = 3n + 3$ .

Exemple travaillé · 38

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = 3 \left(\frac{2}{3}\right)^n + 3$ . Calculer la somme $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ en fonction de $n$ , puis déterminer $\lim_{n \to +\infty} S_n$ .

1

On scinde la somme en deux parties : la somme géométrique et la somme constante :

2

S_n = \sum_{k=0}^n 3 \left(\frac{2}{3}\right)^k + \sum_{k=0}^n 3

3

Pour la partie géométrique (premier terme $3$ , raison $\frac{2}{3}$ , et $n+1$ termes) :

4

\sum_{k=0}^n 3 \left(\frac{2}{3}\right)^k = 3 \times \frac{1 - (\frac{2}{3})^{n+1}}{1 - \frac{2}{3}} = 3 \times \frac{1 - (\frac{2}{3})^{n+1}}{\frac{1}{3}} = 9\left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right)

5

Pour la partie constante (somme de $n+1$ termes égaux à $3$ ) :

6

\sum_{k=0}^n 3 = 3(n+1)

7

On regroupe les deux résultats :

8

S_n = 9\left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right) + 3n + 3

9

Calcul de la limite : comme $|\frac{2}{3}| < 1$ , $\lim_{n \to +\infty} 9\left(1 - (\frac{2}{3})^{n+1}\right) = 9$ et $\lim_{n \to +\infty} (3n+3) = +\infty$ , d'où $\lim_{n \to +\infty} S_n = +\infty$ .

Vérification · 39

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = 0,8 u_n + 2$ . Détermine la valeur du point fixe $\alpha$ vers lequel converge la suite $(u_n)$ , ainsi que le premier terme $v_0$ de la suite auxiliaire géométrique $v_n = u_n - \alpha$ .

Remarque

L'équation du point fixe est $\alpha = 0,8\alpha + 2 \iff 0,2\alpha = 2 \iff \alpha = 10$ . La suite auxiliaire géométrique vérifie $v_0 = u_0 - \alpha = 4 - 10 = -6$ . Comme $|0,8| < 1$ , $(u_n)$ converge bien vers $10$ .

Point de départ · 40

Pour prouver qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ , suffit-il de vérifier qu'elle fonctionne pour $n=0, 1, 2$ et $3$ ?

Remarque

Non. Vérifier les premiers cas ne constitue pas une preuve générale. Pour couvrir l'infinité des entiers naturels, il faut un mécanisme de transmission d'un rang au suivant : c'est le principe du raisonnement par récurrence.

Définition · 41

Principe de raisonnement par récurrence

Pour démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \ge n_0$ , on procède en deux étapes indissociables :

Vocabulaire

1. Initialisation — $P(n_0) \text{ est vraie}$
2. Hérédité — $P(n) \implies P(n+1) \text{ pour } n \ge n_0$

$\text{Si } P(n_0) \text{ est vraie et si } (P(n) \implies P(n+1)), \text{ alors } P(n) \text{ est vraie pour tout } n \ge n_0$

Exemple travaillé · 42

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$ . Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $0 \le u_n < 3$ .

1

Initialisation : Pour $n = 0$ , $u_0 = 1$ . Comme $0 \le 1 < 3$ , la propriété est vraie au rang initial $n=0$ .

2

Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$ . On suppose que $0 \le u_n < 3$ (hypothèse de récurrence). On veut montrer que $0 \le u_{n+1} < 3$ .

3

On applique les opérations à l'encadrement en multipliant par $2$ puis en ajoutant $3$ :

4

0 \le 2u_n < 6 \implies 3 \le 2u_n + 3 < 9

5

La fonction racine carrée étant strictement croissante sur $[0;+\infty[$ :

6

\sqrt{3} \le \sqrt{2u_n + 3} < \sqrt{9} \implies \sqrt{3} \le u_{n+1} < 3

7

Comme $\sqrt{3} \ge 0$ , on en déduit $0 \le u_{n+1} < 3$ . L'hérédité est prouvée.

8

Conclusion : Par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ , on a $0 \le u_n < 3$ .

Piège classique · 43

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n+1}{u_n+3}$ , avec $0 \le u_n \le 1$ . Pour étudier sa monotonie, quelle approche évite les calculs algébriques lourds et indéterminés ?

Attention

Calculer brutalement le signe de la différence $u_{n+1} - u_n = \frac{-u_n^2 - 2u_n + 1}{u_n + 3}$ et bloquer sur le signe du numérateur.

À la place : La fonction associée $f(x) = \frac{x+1}{x+3}$ est strictement croissante sur $[0;1]$ . En prouvant d'abord $u_1 = \frac{1}{2} < u_0 = 1$ , l'application de la fonction croissante $f$ conserve l'ordre à chaque rang : $u_{n+1} < u_n \implies f(u_{n+1}) < f(u_n) \implies u_{n+2} < u_{n+1}$ .

Vérification · 44

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ . Sachant que $u_n \ge 0$ pour tout $n$ , quelle expression permet de prouver immédiatement que $(u_n)$ est strictement croissante ?

Remarque

La différence vaut $u_{n+1} - u_n = (2u_n + 1) - u_n = u_n + 1$ . Comme $u_n \ge 0$ , on a $u_n + 1 \ge 1 > 0$ , ce qui prouve la stricte croissance.

Suites réelles — cours

Le cours

Définition et notation d'une suite réelle

Monotonie d'une suite réelle

Suite majorée, minorée, bornée

Définition et terme général d'une suite arithmétique

Somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique

Définition et terme général d'une suite géométrique

Somme des termes consécutifs d'une suite géométrique

Limite et convergence d'une suite géométrique

Suite récurrente affine (arithmético-géométrique)

Principe de raisonnement par récurrence

Chapitres liés

Continuer sur Lumio