Suites réelles — exercices corrigés

On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,2]$ par $f(x) = \dfrac{3x + 4}{x + 3}$.
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = f(u_n)$.

1. 1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{3x + 4}{x + 3}$ sur l'intervalle $[0\,;\,2]$.

   Indice — Quel est le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;\,2]$ ?

   Correction

   La fonction $f$ est dérivable sur $[0\,;\,2]$ comme quotient de fonctions affines. Sa dérivée s'écrit $f'(x) = \dfrac{5}{(x+3)^2}$.

   Le numérateur et le dénominateur étant strictement positifs sur $[0\,;\,2]$, $f'(x) > 0$. On en déduit que $f$ est strictement croissante sur $[0\,;\,2]$.

2. 2. Montrer que l'intervalle $[0\,;\,2]$ est stable par $f$.

   Indice — Vérifie l'image des bornes de l'intervalle par $f$.

   Correction

   Comme $f$ est strictement croissante sur $[0\,;\,2]$, l'image de cet intervalle est $[f(0)\,;\,f(2)]$.

   On calcule $f(0) = \dfrac{4}{3}$ et $f(2) = 2$. Comme $\left[\dfrac{4}{3}\,;\,2\right] \subset [0\,;\,2]$, l'intervalle $[0\,;\,2]$ est stable par $f$.

3. 3. Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $0 \le u_n \le 2$.

   Indice — Utilise la stabilité de l'intervalle et la croissance de $f$.

   Correction

   Démontrons la propriété par récurrence :
   - **Initialisation** : $u_0 = 0 \in [0\,;\,2]$, l'égalité est vérifiée au rang $0$.
   - **Hérédité** : Supposons $0 \le u_n \le 2$ pour un entier $n$. $f$ étant croissante sur $[0\,;\,2]$, on applique $f$ : $f(0) \le f(u_n) \le f(2)$, soit $\dfrac{4}{3} \le u_{n+1} \le 2$. On a donc bien $0 \le u_{n+1} \le 2$.

   Par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 2$.

4. 4. Prouver que la suite $(u_n)$ est croissante.

   Indice — Compare $u_0$ et $u_1$, puis applique la conservation de l'ordre par $f$ à l'hypothèse de récurrence.

   Correction

   Démontrons par récurrence que $u_n \le u_{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
   - **Initialisation** : $u_0 = 0$ et $u_1 = f(0) = \dfrac{4}{3}$, d'où $u_0 \le u_1$.
   - **Hérédité** : Supposons $u_n \le u_{n+1}$. La fonction $f$ étant croissante sur $[0\,;\,2]$, elle conserve l'ordre : $f(u_n) \le f(u_{n+1})$, ce qui donne $u_{n+1} \le u_{n+2}$.

   La suite $(u_n)$ est donc croissante.

5. 5. Établir que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $u_{n+1} - u_n = \dfrac{4 - u_n^2}{u_n + 3}$, et retrouver ainsi le sens de variation de la suite $(u_n)$.

   Indice — Exprime $u_{n+1} - u_n$ en fonction de $u_n$, puis utilise l'encadrement établi pour en déduire le signe.

   Correction

   On calcule la différence $u_{n+1} - u_n = \dfrac{3u_n + 4}{u_n + 3} - u_n = \dfrac{3u_n + 4 - u_n(u_n + 3)}{u_n + 3} = \dfrac{4 - u_n^2}{u_n + 3}$.

   Comme $0 \le u_n \le 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $4 - u_n^2 \ge 0$ et $u_n + 3 > 0$. Le quotient est donc positif, ce qui prouve que la suite $(u_n)$ est croissante.

6. 6. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 2}$. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.

   Indice — Remplace $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$ dans le quotient définissant $v_n$.

   Correction

   En remplaçant $u_{n+1}$ par son expression dans $v_{n+1}$, on obtient $v_{n+1} = \dfrac{\frac{3u_n + 4}{u_n + 3} - 2}{\frac{3u_n + 4}{u_n + 3} + 2} = \dfrac{u_n - 2}{5u_n + 10} = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{u_n - 2}{u_n + 2} = \dfrac{1}{5} v_n$.

   La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q = \dfrac{1}{5}$ et de premier terme $v_0 = \dfrac{0 - 2}{0 + 2} = -1$.

7. 7. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

   Indice — Exprime $v_n$ en fonction de $n$ à l'aide de sa raison et de son premier terme.

   Correction

   D'après les propriétés des suites géométriques, $v_n = v_0 \times q^n$, soit $v_n = -\left(\dfrac{1}{5}\right)^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

8. 8. En déduire l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

   Indice — Isole $u_n$ dans l'égalité reliant $v_n$ et $u_n$, puis substitue l'expression de $v_n$ trouvée précédemment.

   Correction

   De l'égalité $v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 2}$, on tire $u_n = \dfrac{2(1 + v_n)}{1 - v_n}$.

   En substituant l'expression de $v_n$, on obtient $u_n = \dfrac{2\left(1 - \left(\frac{1}{5}\right)^n\right)}{1 + \left(\frac{1}{5}\right)^n}$.

Soit la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par :

$$u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$$

1. 1. Calculer les valeurs exactes des termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

   Indice — Remplace $n$ par $1$, $2$ puis $3$ dans la somme et écris explicitement chacun des termes à additionner.

   Correction

   En remplaçant $n$ par $1$, $2$ et $3$ dans la somme, on obtient :
   - Pour $n=1$ : $u_1 = \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2}$
   - Pour $n=2$ : $u_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$
   - Pour $n=3$ : $u_3 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3 \times 4} = \frac{2}{3} + \frac{1}{12} = \frac{3}{4}$

   Les valeurs exactes sont $u_1 = \frac{1}{2}$, $u_2 = \frac{2}{3}$ et $u_3 = \frac{3}{4}$.

2. 2. Montrer que pour tout entier naturel non nul $k$, $$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$$ En déduire une expression simplifiée de $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

   Indice — Pour la première partie, réduis au même dénominateur le membre de droite. Pour la seconde, écris la somme en remplaçant chaque fraction par la différence obtenue et observe les simplifications successives (somme télescopique).

   Correction

   Pour la première partie, on réduit au même dénominateur le membre de droite :
   $$\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{(k+1) - k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}$$

   Pour la seconde partie, on applique cette égalité à chaque terme de la somme définissant $u_n$ :
   $$u_n = \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$$

   Par télescopage, les termes intermédiaires s'annulent deux à deux. Il ne reste que le premier et le dernier terme :
   $$u_n = 1 - \frac{1}{n+1}$$

3. 3. Déterminer le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ pour tout entier naturel non nul $n$.

   Indice — Exprime la différence $u_{n+1} - u_n$ soit directement à partir de la définition de la somme, soit en utilisant l'expression simplifiée de $u_n$ trouvée à la question précédente.

   Correction

   Par définition de la suite comme somme cumulée, la différence entre deux termes consécutifs correspond au dernier terme ajouté :
   $$u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$$

   Pour tout entier naturel non nul $n$, on a $n+1 > 0$ et $n+2 > 0$, donc leur produit est strictement positif. On en déduit que :
   $$u_{n+1} - u_n > 0$$

4. 4. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.

   Indice — Utilise le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ obtenu à la question précédente pour conclure sur la monotonie de la suite.

   Correction

   D'après la question précédente, la différence $u_{n+1} - u_n$ est strictement positive pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

   On en déduit que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est strictement croissante.

5. 5. Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, $$\frac{1}{2} \le u_n < 1$$

   Indice — Utilise le sens de variation de la suite et la valeur de son premier terme pour la borne inférieure, puis analyse l'expression de $u_n$ pour la borne supérieure.

   Correction

   La suite $(u_n)$ est croissante car $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$. Son premier terme étant $u_1 = \frac{1}{2}$, on a $u_n \ge \frac{1}{2}$ pour tout $n \ge 1$. De plus, en utilisant l'écriture simplifiée $u_n = 1 - \frac{1}{n+1}$, on constate que $u_n < 1$ puisque $\frac{1}{n+1} > 0$. On obtient ainsi l'encadrement : $\frac{1}{2} \le u_n < 1$.

6. 6. Justifier que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est convergente.

   Indice — Pense au théorème de convergence des suites monotones en associant le sens de variation de la suite et le fait qu'elle soit bornée.

   Correction

   La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$ d'après la question précédente. En vertu du théorème de convergence des suites monotones, on en déduit que la suite $(u_n)$ est convergente.

7. 7. Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

   Indice — Utilise l'expression explicite de $u_n$ obtenue à la question 2 et détermine la limite de la fraction $\frac{1}{n+1}$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

   Correction

   En utilisant la forme explicite $u_n = 1 - \frac{1}{n+1}$, on détermine la limite par opérations usuelles. Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0$, on en déduit directement que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$.

8. 8. Déterminer le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $u_n \ge 0,9999$.

   Indice — Traduis l'inégalité $u_n \ge 0,9999$ en utilisant l'expression simplifiée de $u_n$, puis résous l'inéquation d'inconnue $n$ en faisant attention au changement de sens de l'inégalité lors du passage à l'inverse.

   Correction

   On résout l'inéquation $u_n \ge 0,9999$, soit $1 - \frac{1}{n+1} \ge 0,9999$. Cela équivaut à $\frac{1}{n+1} \le 0,0001$. En passant à l'inverse, on obtient $n+1 \ge 10\,000$, d'où $n \ge 9\,999$. Le plus petit entier naturel non nul recherché est donc $n = 9\,999$.

On considère la suite numérique $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par son premier terme $u_0 = 1$ et la relation de récurrence :
$$u_{n+1} = 2u_n + 3 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}$$

1. 1. On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 2u_n + 3$. On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n + 3$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.

   Indice — Calcule le rapport $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$.

   Correction

   On calcule le premier terme : $v_0 = u_0 + 3 = 1 + 3 = 4$.

   Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $v_{n+1} = u_{n+1} + 3 = (2u_n + 3) + 3 = 2u_n + 6 = 2(u_n + 3) = 2v_n$.

   La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $v_0 = 4$.

2. 2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

   Indice — Exprime $v_n$ en fonction de $n$ à l'aide de sa raison et de son premier terme, puis isole $u_n$.

   Correction

   D'après la formule du terme général d'une suite géométrique, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
   $$v_n = v_0 \times q^n = 4 \times 2^n = 2^{n+2}$$

   Comme $v_n = u_n + 3$, on en deduit $u_n = v_n - 3$, soit :
   $$u_n = 4 \times 2^n - 3 = 2^{n+2} - 3$$

3. 3. Pour tout entier $n \ge 2$, on considère la somme composite $S_n = \sum_{k=4}^{n+2} u_k$. Décomposer $S_n$ sous la forme de la somme d'une expression géométrique $G_n = \sum_{k=4}^{n+2} v_k$ et d'une somme constante.

   Indice — Utilise la relation liant $u_k$ et $v_k$, puis sépare la somme en deux blocs distincts.

   Correction

   En réutilisant la relation $u_k = v_k - 3$, on exprime la somme par linéarité :
   $$S_n = \sum_{k=4}^{n+2} (v_k - 3) = \sum_{k=4}^{n+2} v_k - \sum_{k=4}^{n+2} 3$$

   Le nombre de termes de la somme vaut $(n+2) - 4 + 1 = n - 1$. La somme constante vaut donc $3(n - 1)$.

   On obtient ainsi la décomposition : $S_n = G_n - 3(n - 1)$.

4. 4. Exprimer la somme $G_n = \sum_{k=4}^{n+2} v_k$ en fonction de $n$.

   Indice — Combien vaut l'écart entre les bornes augmenté de $1$ ? Regarde combien de termes interviennent réellement de $k=4$ à $k=n+2$.

   Correction

   $G_n$ est la somme de $n - 1$ termes consécutifs de la suite géométrique $(v_n)$, le premier terme étant $v_4 = 4 \times 2^4 = 64$.

   En appliquant la formule de la somme des termes d'une suite géométrique :
   $$G_n = v_4 \times \frac{1 - q^{n-1}}{1 - q} = 64 \times \frac{1 - 2^{n-1}}{1 - 2} = 64 \times (2^{n-1} - 1) = 2^{n+5} - 64$$

5. 5. Calculer la somme constante intervenant dans la décomposition de $S_n$ en fonction de $n$.

   Indice — Calcule le nombre total de termes de cette somme constante en appliquant la même règle de comptage que pour $G_n$.

   Correction

   La somme constante est formée de termes tous égaux à $-3$. Le nombre de termes est donné par la règle $(\text{indice final} - \text{indice initial} + 1)$, soit $(n + 1)$ termes. La somme constante vaut donc $-3(n + 1)$.

6. 6. En déduire une expression simplifiée de $S_n$ en fonction de $n$ pour tout $n \ge 2$.

   Indice — Combine les expressions de $G_n$ et de la somme constante obtenues aux questions précédentes pour factoriser et réduire le tout.

   Correction

   En ajoutant la somme de la partie géométrique $G_n = 4(2^{n+1} - 1)$ et la somme constante $-3(n+1)$, on obtient $S_n = 2^{n+3} - 4 - 3n - 3$, soit $S_n = 2^{n+3} - 3n - 7$.

7. 7. Calculer la valeur exacte de $S_2$ de deux manières différentes afin de vérifier la cohérence de l'expression obtenue.

   Indice — Que vaut la somme $S_2$ en posant $n=2$ dans les bornes, et que vaut directement le terme $u_4$ ?

   Correction

   Première méthode : en remplaçant $n$ par $2$ dans l'expression simplifiée, $S_2 = 2^5 - 3(2) - 7 = 32 - 6 - 7 = 19$.
   Deuxième méthode : en calculant directement les termes de la suite ($u_0 = 1$, $u_1 = 5$, $u_2 = 13$), la somme $S_2 = u_0 + u_1 + u_2$ vaut $1 + 5 + 13 = 19$. Les deux résultats concordent.

On considère les suites $(a_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies pour tout entier $n \ge 3$. L'objectif est d'analyser la structure de ces suites et de calculer des sommes partielles sur un domaine discret borné.

1. 1)a. On considère la suite $(a_n)$ définie pour tout entier $n \ge 3$ par $a_n = 3n - 1$. Montrer que $(a_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme $a_3$.

   Indice — Calcule la différence $a_{n+1} - a_n$ pour tout entier $n \ge 3$.

   Correction

   Le premier terme est $a_3 = 3 \times 3 - 1 = 8$. Pour tout $n \ge 3$, la différence s'écrit $a_{n+1} - a_n = (3(n+1) - 1) - (3n - 1) = 3$. La différence étant constante, $(a_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 3$ et de premier terme $a_3 = 8$.

2. 1)b. On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n \ge 3$ par $v_n = 2^{n+1}$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_3$.

   Indice — Examine le rapport $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ pour tout entier $n \ge 3$.

   Correction

   Le premier terme est $v_3 = 2^{3+1} = 16$. Pour tout $n \ge 3$, le rapport s'écrit $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{2^{n+2}}{2^{n+1}} = 2$. Ce rapport étant constant, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $v_3 = 16$.

3. 2)a. Calculer la somme partielle du premier bloc définie par $S_1 = \sum_{k=3}^{8} a_k$.

   Indice — Combien y a-t-il de termes dans la somme $\sum_{k=3}^{8} a_k$ ? Pense à la formule reliant le nombre de termes aux bornes de la sommation.

   Correction

   La somme comprend $8 - 3 + 1 = 6$ termes. En appliquant la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique, $S_1 = \text{nombre de termes} \times \dfrac{a_3 + a_8}{2}$. Avec $a_3 = 8$ et $a_8 = 3 \times 8 - 1 = 23$, on obtient $S_1 = 6 \times \dfrac{8 + 23}{2} = 93$.

4. 2)b. Calculer la somme partielle du second bloc définie par $S_2 = \sum_{k=3}^{8} v_k$.

   Indice — Pour la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique, quel est le nombre exact de termes additionnés de l'indice $3$ à l'indice $8$ ?

   Correction

   La somme contient 6 termes. D'après la formule de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique, $S_2 = v_3 \times \dfrac{1 - q^6}{1 - q}$. Avec $v_3 = 16$ et $q = 2$, on obtient $S_2 = 16 \times \dfrac{1 - 2^6}{1 - 2} = 16 \times 63 = 1008$.

5. 3. Soit la suite $(w_n)$ définie pour tout entier $n \ge 3$ par $w_n = 3n - 1 + 2^{n+1}$. En déduire la valeur exacte de la somme globale $S = \sum_{k=3}^{8} w_k$.

   Indice — Utilise la relation globale $w_k = a_k + v_k$ ainsi que la linéarisation de la sommation.

   Correction

   Par linéarité de la somme, on décompose $S$ en la somme d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique : $S = \sum_{k=3}^{8} (3k - 1) + \sum_{k=3}^{8} 2^{k+1}$.

   - Pour la partie arithmétique (6 termes, de $k=3$ à $k=8$) : le premier terme vaut $8$ et le dernier $23$. Sa somme vaut $6 \times \frac{8 + 23}{2} = 93$.

   - Pour la partie géométrique (6 termes) : il s'agit d'une suite de raison $2$ et de premier terme $2^4 = 16$. Sa somme vaut $16 \times \frac{2^6 - 1}{2 - 1} = 1008$.

   En additionnant les deux résultats, on obtient $S = 93 + 1008 = 1101$.

On considère la suite numérique définie pour tout entier $k \ge 1$ par $u_k = \dfrac{2}{k(k+2)}$, ainsi que la somme associée $S_n = \sum_{k=1}^n u_k$ pour tout $n \ge 1$.

1. 1. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, on ait $\dfrac{2}{k(k+2)} = \dfrac{a}{k} + \dfrac{b}{k+2}$.

   Indice — Réduis au même dénominateur l'expression $\dfrac{a}{k} + \dfrac{b}{k+2}$ puis identifie les coefficients par identification avec $\dfrac{2}{k(k+2)}$.

   Correction

   On utilise la méthode d'identification des coefficients. En réduisant au même dénominateur, on a $\dfrac{a}{k} + \dfrac{b}{k+2} = \dfrac{(a+b)k + 2a}{k(k+2)}$. Par identification avec $\dfrac{2}{k(k+2)}$, on obtient le système $a+b = 0$ et $2a = 2$, ce qui donne $a = 1$ et $b = -1$. Ainsi, pour tout $k \ge 1$, $\dfrac{2}{k(k+2)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}$.

2. 2. Exprimer la somme $S_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{2}{k(k+2)}$ en fonction de $n$ pour tout $n \ge 1$, sous la forme $S_n = \dfrac{3}{2} - g(n)$ où $g(n)$ est une fraction rationnelle à préciser.

   Indice — Écris les premiers et les derniers termes de la somme en utilisant la décomposition précédente pour observer les simplifications par décalage.

   Correction

   Par télescopage, la somme s'écrit $S_n = \sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}\right) = \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) - \left(\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2}\right)$. On obtient donc $S_n = \dfrac{3}{2} - g(n)$ avec $g(n) = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} = \dfrac{2n+3}{(n+1)(n+2)}$.

3. 3. Démontrer que pour tout $n \ge 1$, on a $S_n = \dfrac{n(3n+5)}{2(n+1)(n+2)}$.

   Indice — Réduis tous les termes de l'expression de $S_n$ au même dénominateur et factorise le numérateur.

   Correction

   En utilisant le résultat précédent, on réduit $S_n = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2n+3}{(n+1)(n+2)}$ au même dénominateur $2(n+1)(n+2)$. On obtient $S_n = \dfrac{3(n^2+3n+2) - 2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)} = \dfrac{3n^2 + 5n}{2(n+1)(n+2)}$. Soit, en factorisant par $n$ au numérateur, $S_n = \dfrac{n(3n+5)}{2(n+1)(n+2)}$.

4. 4. Exprimer pour tout entier $p \ge 1$ la quantité $p \cdot \left(\dfrac{3}{2} - S_p\right)$ sous forme d'une fraction rationnelle irréductible en fonction de $p$.

   Indice — Calcule explicitement la différence $\dfrac{3}{2} - S_n$ en utilisant l'expression précédente puis multiplie le résultat par $p$.

   Correction

   Par définition de $g(p)$, on a $\dfrac{3}{2} - S_p = g(p) = \dfrac{2p+3}{(p+1)(p+2)}$. En multipliant par $p$, il vient $p \cdot \left(\dfrac{3}{2} - S_p\right) = \dfrac{p(2p+3)}{(p+1)(p+2)}$. Les racines du numérateur ($0$ et $-\frac{3}{2}$) étant distinctes de celles du dénominateur ($-1$ et $-2$), cette fraction rationnelle est irréductible.

5. 5. Déterminer l'ensemble $E$ de tous les entiers $p \in \mathbb{N}^*$ vérifiant l'inéquation $p^2 - 7p + 10 \le 0$.

   Indice — Résous une inéquation du second degré en étudiant le signe du trinôme associé.

   Correction

   Le trinôme du second degré $p^2 - 7p + 10$ possède deux racines réelles : $p_1 = 2$ et $p_2 = 5$. Ce trinôme est négatif ou nul entre ses racines, soit sur l'intervalle $[2, 5]$. L'ensemble $E$ des entiers strictement positifs vérifiant cette condition est donc $E = \{2, 3, 4, 5\}$.

6. 6. Évaluer individuellement la quantité $p \cdot \left(\dfrac{3}{2} - S_p\right)$ pour chaque élément de l'ensemble $E$.

   Indice — Teste un à un les éléments de l'ensemble $E$ obtenu à la question précédente dans l'expression de la quantité évaluée.

   Correction

   En écrivant le terme général sous la forme $u_k = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+2}$, la somme $S_p$ se simplifie par télescopage et donne $S_p = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{p+1} - \dfrac{1}{p+2}$. On en déduit l'expression de la quantité étudiée : $p \cdot \left(\dfrac{3}{2} - S_p\right) = p \left(\dfrac{1}{p+1} + \dfrac{1}{p+2}\right) = \dfrac{p(2p+3)}{(p+1)(p+2)}$. En évaluant cette expression pour chaque élément de $E$, on obtient :
   - Pour $p=2$ : $\dfrac{7}{6}$
   - Pour $p=3$ : $\dfrac{27}{20}$
   - Pour $p=4$ : $\dfrac{22}{15}$
   - Pour $p=5$ : $\dfrac{65}{42}$

7. 7. Parmi les éléments de $E$, éliminer ceux qui ne satisfont pas la condition $p \cdot \left(\dfrac{3}{2} - S_p\right) \ge \dfrac{1}{3}$.

   Indice — Compare chaque valeur obtenue précédemment au seuil $\dfrac{1}{3}$.

   Correction

   On compare chacune des valeurs obtenues à la question précédente au seuil $\dfrac{1}{3}$ :
   - Pour $p=2$ : $\dfrac{7}{6} \ge \dfrac{1}{3}$ (Vrai)
   - Pour $p=3$ : $\dfrac{27}{20} \ge \dfrac{1}{3}$ (Vrai)
   - Pour $p=4$ : $\dfrac{22}{15} \ge \dfrac{1}{3}$ (Vrai)
   - Pour $p=5$ : $\dfrac{65}{42} \ge \dfrac{1}{3}$ (Vrai)
   Toutes les valeurs étant strictement supérieures à $\dfrac{1}{3}$, aucun élément de $E$ n'est éliminé.

8. 8. Donner l'ensemble de tous les entiers $p \in \mathbb{N}^*$ vérifiant simultanément les conditions des questions précédentes.

   Indice — Rassemble les entiers survivants pour former l'ensemble solution final.

   Correction

   Puisqu'aucun élément de l'ensemble $E$ n'a été éliminé lors de l'étape précédente, l'ensemble de tous les entiers $p \in \mathbb{N}^*$ satisfaisant l'ensemble des conditions est $E = \{2, 3, 4, 5\}$.