Suites réelles — exercices corrigés

On considère des suites réelles étudiées dans le cadre de la leçon sur les suites arithmétiques et géométriques.

1. a. Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de $n$, sachant que $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = 2$.

   Indice — Utilise la relation fondamentale liant un terme d'une suite arithmétique à son premier terme et à sa raison.

   Correction

   Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, la formule explicite est $u_n = u_0 + n \times r$. En remplaçant par les valeurs données, on obtient $u_n = 3 + 2n$.

2. b. Calculer le terme $u_{10}$.

   Indice — Remplace $n$ par la valeur souhaitée dans l'expression explicite trouvée à la question précédente.

   Correction

   En utilisant l'expression explicite de $u_n$ trouvée précédemment avec $n = 10$, on calcule directement : $u_{10} = 3 + 2 \times 10 = 23$.

3. c. Calculer la somme $S = \sum_{k=0}^{10} u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.

   Indice — Applique la formule de la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique, en faisant attention au nombre total de termes.

   Correction

   La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique se calcule avec la formule : $\text{Nombre de termes} \times \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2}$. Il y a 11 termes de $k=0$ à $k=10$. On obtient $S = 11 \times \frac{u_0 + u_{10}}{2} = 11 \times \frac{3 + 23}{2} = 11 \times 13 = 143$.

4. d. Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0 = 2$ et de raison $q = 3$. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

   Indice — Utilise la définition de la suite géométrique pour exprimer $v_n$ en fonction de $n$, de son premier terme $v_0$ et de sa raison $q$.

   Correction

   Pour une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q$, la formule explicite est $v_n = v_0 \times q^n$. En remplaçant par $v_0 = 2$ et $q = 3$, on obtient $v_n = 2 \times 3^n$.

5. e. Calculer la somme $S' = \sum_{k=0}^{5} v_k = v_0 + v_1 + \dots + v_5$.

   Indice — Applique la formule de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique, en vérifiant que la raison est différente de 1.

   Correction

   On applique la formule de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q$ : $S' = v_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$. En remplaçant par les valeurs de la suite, on obtient la valeur numérique de la somme $S'$.

6. f. Soit $(w_n)$ une suite géométrique à termes strictement positifs. On note $w_0$, $w_1$ et $w_2$ trois termes consécutifs tels que $w_0 + w_2 = 10$ et $w_1 = 3$. Déterminer la raison $q$ de cette suite.

   Indice — Utilise la propriété algébrique caractérisant trois termes consécutifs d'une suite géométrique.

   Correction

   Pour trois termes consécutifs d'une suite géométrique, on utilise la propriété caractéristique $w_0 w_2 = w_1^2$. En posant $w_2 = w_0 q^2$ et $w_1 = w_0 q$, ou en exploitant directement le système avec $w_0 + w_2 = 10$ et $w_1 = 3$, on obtient une équation du second degré en $q$. La résolution conduit aux valeurs possibles de la raison $q = 3$ ou $q = \frac{1}{3}$.

7. g. En déduire les valeurs possibles du premier terme $w_0$.

   Indice — Exprime $w_0$ et $w_2$ en fonction de $w_1$ et de la raison $q$, puis résous l'équation obtenue.

   Correction

   En utilisant la relation $w_1 = w_0 q$, on exprime $w_0$ par $w_0 = \frac{w_1}{q}$. Selon les valeurs de la raison $q$ trouvées précédemment, on obtient les valeurs possibles pour le premier terme : $w_0 = 1$ ou $w_0 = 9$.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.

1. 1). Calculer $r$ sachant que $u_0 = 2$ et $u_5 = 17$.

   Indice — $u_n = u_p + (n-p)r$

   Correction

   Pour une suite arithmétique, le terme général est $u_n = u_0 + nr$. En utilisant $u_5 = u_0 + 5r$, on obtient $17 = 2 + 5r$, soit $5r = 15$. La raison est donc $r = 3$.

2. 2). Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

   Indice — $u_n = u_0 + nr$

   Correction

   En substituant $u_0 = 2$ et $r = 3$ dans la formule $u_n = u_0 + nr$, on obtient directement l'expression $u_n = 2 + 3n$.

3. 3). Calculer $S = \sum_{k=0}^{10} u_k$.

   Indice — $S = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$

   Correction

   La somme des termes est donnée par $S = \frac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$. Pour $n=10$, on calcule $u_{10} = 2 + 3(10) = 32$. Ainsi, $S = \frac{11(2 + 32)}{2} = \frac{11 \times 34}{2} = 11 \times 17 = 187$.

4. 4). Vérifier que $u_0 + u_2 = 2u_1$.

   Indice — $u_n = u_0 + nr$

   Correction

   D'après la définition d'une suite arithmétique, $u_1 = u_0 + r$ et $u_2 = u_0 + 2r$. Alors $u_0 + u_2 = u_0 + (u_0 + 2r) = 2u_0 + 2r = 2(u_0 + r) = 2u_1$. La relation est vérifiée.

5. 5). Déterminer $n$ tel que $u_n = 50$.

   Indice — $2 + 3n = 50$

   Correction

   On résout $2 + 3n = 50$, soit $3n = 48$, d'où $n = 16$.

On considère la suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie par $U_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n}$.

1. 1. Calculer $U_1$.

   Correction

   En remplaçant $n$ par $1$ dans l'expression de la suite, on obtient $U_1 = \sqrt{1+2} - \sqrt{1} = \sqrt{3} - 1$.

2. 2. Montrer que, pour tout entier $n \ge 1$, $U_n = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$.

   Correction

   On utilise la technique de la quantité conjuguée en multipliant et en divisant $U_n$ par $(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})$. En appliquant l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ au numérateur, on obtient $U_n = \frac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \frac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$.

3. 3. Montrer que, pour tout entier $n \ge 1$, $U_n > \frac{1}{\sqrt{n+2}}$.

   Correction

   Puisque $n \ge 1$, on a $\sqrt{n+2} > \sqrt{n}$, ce qui implique que le dénominateur de l'expression précédente vérifie $\sqrt{n+2} + \sqrt{n} < 2\sqrt{n+2}$. En passant à l'inverse et en multipliant par 2, on obtient $U_n = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} > \frac{2}{2\sqrt{n+2}} = \frac{1}{\sqrt{n+2}}$.

4. 4. Montrer que, pour tout entier $n \ge 1$, $U_n < \frac{1}{\sqrt{n}}$.

   Correction

   De même, en partant de l'inégalité $\sqrt{n+2} > \sqrt{n}$, on majore le dénominateur par $\sqrt{n+2} + \sqrt{n} > 2\sqrt{n}$. En passant à l'inverse, on obtient $U_n = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} < \frac{2}{2\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$.

5. 5. Montrer que, pour tout entier $n \ge 1$, $\frac{1}{\sqrt{n+2}} \le U_n \le \frac{1}{\sqrt{n}}$.

   Correction

   En utilisant les minorations et majorations établies aux questions précédentes, on obtient directement l'encadrement, ce qui donne $\frac{1}{\sqrt{n+2}} \le U_n \le \frac{1}{\sqrt{n}}$.

6. 6. La suite $(U_n)$ est-elle bornée ? Justifier.

   Correction

   Puisque $\frac{1}{\sqrt{n}} \le 1$ pour tout $n \ge 1$, on majore $U_n$ par $1$. De plus, la suite est à termes positifs car $\sqrt{n+2} > \sqrt{n}$. On a donc $0 \le U_n \le 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, ce qui prouve que la suite $(U_n)$ est bornée.

On considère des suites réelles définies sur $\mathbb{N}$.

1. 1). Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$. Sachant que $u_0 + u_1 + u_2 = 12$ et $u_0 \cdot u_2 = 15$, déterminer les couples $(u_0, r)$ possibles, puis donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ pour chaque couple.

   Indice — Exprime $u_1$ et $u_2$ en fonction de $u_0$ et $r$.

   Correction

   Pour une suite arithmétique, $u_1 = u_0 + r$ et $u_2 = u_0 + 2r$. La somme $u_0 + u_1 + u_2 = 3u_0 + 3r = 12$ donne $u_0 + r = 4$, soit $u_1 = 4$. En remplaçant $u_0 = 4-r$ et $u_2 = 4+r$ dans $u_0 \cdot u_2 = 15$, on obtient $(4-r)(4+r) = 15$, soit $16 - r^2 = 15$, d'où $r^2 = 1$. Les couples $(u_0, r)$ sont $(3, 1)$ et $(5, -1)$. Pour $(3, 1)$, $u_n = 3 + n$. Pour $(5, -1)$, $u_n = 5 - n$.

2. 2). On définit la suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par $v_n = 2^{u_n}$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et préciser sa raison $q$ en fonction de $r$.

   Indice — Calcule $\frac{v_{n+1}}{v_n}$.

   Correction

   On a $v_n = 2^{u_n}$. Le rapport $\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{u_{n+1}}}{2^{u_n}} = 2^{u_{n+1}-u_n} = 2^r$. Comme ce rapport est constant, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 2^r$.

3. 3). Calculer $S_n = \sum_{k=0}^{n} v_k$ en fonction de $n$ pour chaque couple $(u_0, r)$.

   Indice — Utilise la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.

   Correction

   Pour $(u_0=3, r=1)$, $v_0 = 8$ et $q = 2$, $S_n = 8(2^{n+1}-1)$. Pour $(u_0=5, r=-1)$, $v_0 = 32$ et $q = 1/2$, $S_n = 64(1-(1/2)^{n+1})$.

4. 4). Soit $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $w_0 = 1$ et $w_{n+1} = \frac{1}{2} w_n + 3$. Soit $(t_n)$ la suite définie par $t_n = w_n - 6$. Montrer que $(t_n)$ est géométrique, puis exprimer $w_n$ en fonction de $n$.

   Indice — Calcule $t_{n+1}$ en fonction de $t_n$.

   Correction

   On a $t_{n+1} = w_{n+1} - 6 = \frac{1}{2} w_n - 3 = \frac{1}{2}(w_n - 6) = \frac{1}{2} t_n$. $(t_n)$ est géométrique de raison $1/2$ et $t_0 = -5$. Ainsi $t_n = -5(1/2)^n$ et $w_n = 6 - 5(1/2)^n$.

5. 5). Étudier le sens de variation de $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

   Indice — Étudie le signe de $w_{n+1} - w_n$.

   Correction

   On a $w_{n+1} - w_n = 5(1/2)^n - 5(1/2)^{n+1} = 5(1/2)^n (1 - 1/2) = \frac{5}{2} (1/2)^n > 0$. La suite $(w_n)$ est strictement croissante.

6. 6). La suite $(w_n)$ est-elle majorée par 5 ? Justifier.

   Indice — Compare $\sup(w_n)$ avec 5.

   Correction

   La suite $(w_n)$ n'est pas majorée par 5. Comme $\lim_{n \to +\infty} w_n = 6$ et que la suite est croissante, il existe des termes supérieurs à 5 (par exemple $w_3 = 5,375 > 5$).

On considère la suite réelle $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par son premier terme $u_0 = \frac{1}{2}$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ pour tout entier naturel $n$.

1. 1. Calculer le terme $u_0$.

   Indice — Remplace directement $n$ par $0$ dans l'expression explicite donnée.

   Correction

   D'après l'énoncé, le premier terme est directement donné par l'énoncé : $u_0 = \frac{1}{2}$.

2. 2. Calculer les termes $u_1$ et $u_2$.

   Indice — Utilise la relation de récurrence pour exprimer $u_1$ en fonction de $u_0$, puis $u_2$ en fonction de $u_1$.

   Correction

   En utilisant la relation de récurrence $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ :
   - Pour $n = 0$ : $u_1 = \frac{1}{2}u_0 + 1 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
   - Pour $n = 1$ : $u_2 = \frac{1}{2}u_1 + 1 = \frac{1}{2} \times \frac{5}{4} + 1 = \frac{5}{8} + 1 = \frac{13}{8}$.

3. 3. Vérifier que $u_1 \in [0\,;\,2]$.

   Indice — Remplace $u_1$ par sa valeur numérique et vérifie l'inégalité demandée.

   Correction

   On a $u_1 = \frac{5}{4} = 1{,}25$. Puisque $0 \le 1{,}25 \le 2$, on a bien $u_1 \in [0\,;\,2]$.

4. 4. Exprimer la différence $u_{n+1} - u_n$ en fonction de $u_n$ pour tout entier naturel $n$.

   Indice — Calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ en fonction de $u_n$.

   Correction

   En remplaçant $u_{n+1}$ par son expression en fonction de $u_n$ :
   $u_{n+1} - u_n = \left(\frac{1}{2}u_n + 1\right) - u_n = 1 - \frac{1}{2}u_n$.

5. 5. Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour tout entier naturel $n$.

   Indice — Utilise le résultat de la question précédente et l'encadrement des termes de la suite pour déterminer le signe de $u_{n+1} - u_n$.

   Correction

   On calcule la différence $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}u_n + 1 - u_n = 1 - \frac{1}{2}u_n$. En utilisant l'encadrement $u_n \le 2$ établi précédemment, on a $-\frac{1}{2}u_n \ge -1$, ce qui donne $1 - \frac{1}{2}u_n \ge 0$. Ainsi, $u_{n+1} - u_n \ge 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

6. 6. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

   Indice — Rappelle-toi la définition de la monotonie d'une suite à partir du signe de la différence de deux termes consécutifs.

   Correction

   Puisque pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} - u_n \ge 0$, la suite $(u_n)$ est croissante par définition de la monotonie d'une suite.

7. 7. Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $0 \le u_n \le 2$.

   Indice — Utilise un raisonnement par récurrence ou les variations successives pour établir l'encadrement de $u_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

   Correction

   On procède par récurrence. Initialisation : pour $n = 0$, $u_0 = \frac{1}{2}$, donc $0 \le u_0 \le 2$ est vrai. Hérédité : supposons que pour un entier $n$, $0 \le u_n \le 2$. Alors $0 \le \frac{1}{2}u_n \le 1$, d'où $1 \le \frac{1}{2}u_n + 1 \le 2$, soit $0 \le 1 \le u_{n+1} \le 2$. Par le principe de récurrence, l'encadrement est vrai pour tout $n \in \mathbb{N}$.

8. 8. Conclure que la suite $(u_n)$ est bornée.

   Indice — Conclus en utilisant la définition d'une suite bornée par un minorant et un majorant.

   Correction

   D'après la question précédente, on a pour tout $n \in \mathbb{N}$ l'encadrement $0 \le u_n \le 2$. Par définition, la suite $(u_n)$ est donc minorée par $0$ et majorée par $2$, ce qui prouve qu'elle est bornée.