Rappel · 1

Rappel : Équation et signe du premier degré

$ax + b = 0 \quad (a \neq 0) \iff x = -\frac{b}{a}$

Pour $a \neq 0$ , le binôme $ax+b$ s'annule en $-\frac{b}{a}$ . Il est du signe de $a$ pour $x > -\frac{b}{a}$ et du signe de $-a$ pour $x < -\frac{b}{a}$ .

Définition · 2

Forme canonique et discriminant

a, b, c \in \mathbb{R} \quad \text{avec } a \neq 0

$ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right] \quad \text{avec } \Delta = b^2 - 4ac$

Le réel $\Delta = b^2 - 4ac$ est appelé le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ .

Définition · 3

Résolution de l'équation $ax^2+bx+c=0$

a \neq 0 \quad \text{et } \Delta = b^2 - 4ac

$S_{\mathbb{R}} = \begin{cases} \left\{ \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} ; \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right\} & \text{si } \Delta > 0 \\[1em] \left\{ -\frac{b}{2a} \right\} & \text{si } \Delta = 0 \\[1em] \emptyset & \text{si } \Delta < 0 \end{cases}$

Si $\Delta > 0$ , l'équation admet deux racines réelles distinctes $x'$ et $x''$ . Si $\Delta = 0$ , elle admet une racine double $x_0$ . Si $\Delta < 0$ , elle n'admet aucune solution réelle.

Exemple travaillé · 4

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^2 + 3x - 5 = 0$ .

1

On identifie les coefficients : $a = 1$ , $b = 3$ et $c = -5$ .

2

\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-5) = 9 + 20 = 29

3

Comme $\Delta > 0$ , l'équation admet deux solutions réelles distinctes :

4

x' = \frac{-3 - \sqrt{29}}{2} \quad \text{et} \quad x'' = \frac{-3 + \sqrt{29}}{2}

5

S_{\mathbb{R}} = \left\{ \frac{-3 - \sqrt{29}}{2} ; \frac{-3 + \sqrt{29}}{2} \right\}

Définition · 5

Le discriminant réduit

a \neq 0 \quad \text{et } b = 2b' \quad (b' = \frac{b}{2})

$\Delta' = b'^2 - ac \quad (\Delta = 4\Delta')$

Lorsque le coefficient $b$ est pair, le discriminant réduit simplifie les calculs :
• Si $\Delta' > 0$ : deux racines distinctes $x' = \frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}$ et $x'' = \frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}$ .
• Si $\Delta' = 0$ : une racine double $x_0 = -\frac{b'}{a}$ .
• Si $\Delta' < 0$ : aucune racine réelle ( $S_{\mathbb{R}} = \emptyset$ ).

Vérification · 6

Pour l'équation $4x^2 + 2x + 5 = 0$ , que vaut le discriminant $\Delta$ et quel est l'ensemble des solutions réelles ?

Remarque

On calcule $\Delta = 2^2 - 4(4)(5) = 4 - 80 = -76$ . Comme $\Delta < 0$ , l'équation ne possède aucune solution réelle, donc $S_{\mathbb{R}} = \emptyset$ .

Point de départ · 7

Sans calculer le discriminant $\Delta$ , que vaut l'expression $3(1)^2 - 5(1) + 2$ ? Que remarques-tu pour l'équation $3x^2 - 5x + 2 = 0$ ?

Remarque

$3(1)^2 - 5(1) + 2 = 3 - 5 + 2 = 0$ . Le réel $1$ est donc une solution évidente, obtenue immédiatement car la somme des coefficients $3 + (-5) + 2$ est nulle.

Définition · 8

Racines évidentes et factorisation

ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)

$\begin{aligned} &\text{Si } a + b + c = 0, \text{ alors } x' = 1 \text{ et } x'' = \frac{c}{a} \\[0.5em] &\text{Si } a - b + c = 0, \text{ alors } x' = -1 \text{ et } x'' = -\frac{c}{a} \end{aligned}$

Lorsqu'un trinôme $ax^2+bx+c$ admet deux racines $x'$ et $x''$ , sa forme factorisée est :

$ax^2 + bx + c = a(x - x')(x - x'')$

Exemple travaillé · 9

Déterminer les racines puis factoriser le trinôme : $A(x) = 2x^2 + x - 3$ .

1

On calcule la somme des coefficients : $a + b + c = 2 + 1 + (-3) = 0$ .

2

Puisque $a+b+c=0$ , la première racine est $x' = 1$ et la seconde est :

3

x'' = \frac{c}{a} = -\frac{3}{2}

4

On applique la factorisation $a(x-x')(x-x'')$ avec $a = 2$ :

5

A(x) = 2(x - 1)\left(x + \frac{3}{2}\right) = (x - 1)(2x + 3)

Piège classique · 10

Le trinôme $B(x) = 3x^2 - 5x + 2$ admet pour racines $1$ et $\frac{2}{3}$ . Quelle est sa forme factorisée correcte ?

Attention

Écrire $(x - 1)(x - \frac{2}{3})$ en omettant le coefficient dominant $a = 3$ .

À la place : La formule de factorisation est $a(x - x')(x - x'')$ . On doit conserver le facteur $3$ , ce qui donne $3(x - 1)(x - \frac{2}{3}) = (x - 1)(3x - 2)$ .

Vérification · 11

Pour le trinôme $C(x) = -3x^2 + x + 4$ , on a $a - b + c = -3 - 1 + 4 = 0$ . Remplis les informations correspondantes.

Remarque

Comme $a-b+c=0$ , la racine évidente est $-1$ et la seconde est $-\frac{c}{a} = -\frac{4}{-3} = \frac{4}{3}$ . Le coefficient principal est $a = -3$ .

Définition · 12

Somme et produit des racines

ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0) \quad \text{avec } \Delta \geq 0

$S = x' + x'' = -\frac{b}{a} \quad \text{et} \quad P = x' x'' = \frac{c}{a}$

Deux nombres réels ont pour somme $S$ et pour produit $P$ si et seulement si ils sont les solutions de l'équation :

$X^2 - SX + P = 0 \quad (\text{avec } S^2 - 4P \geq 0)$

Exemple travaillé · 13

Déterminer deux nombres réels dont la somme vaut $14$ et le produit vaut $40$ .

1

Ces deux réels sont solutions de l'équation $X^2 - SX + P = 0$ avec $S = 14$ et $P = 40$ :

2

X^2 - 14X + 40 = 0

3

On calcule le discriminant :

4

\Delta = (-14)^2 - 4(1)(40) = 196 - 160 = 36 = 6^2

5

Comme $\Delta > 0$ , l'équation admet deux solutions distinctes :

6

X_1 = \frac{14 - 6}{2} = 4 \quad \text{et} \quad X_2 = \frac{14 + 6}{2} = 10

7

Les deux réels cherchés sont donc $4$ et $10$ .

Piège classique · 14

Soient $x'$ et $x''$ les racines de $x^2 - 5x + 3 = 0$ . Quelle est la méthode la plus directe pour calculer $x'^2 + x''^2$ ?

Attention

Calculer explicitement $x' = \frac{5-\sqrt{13}}{2}$ et $x'' = \frac{5+\sqrt{13}}{2}$ avec $\sqrt{\Delta}$ puis développer leurs carrés.

À la place : Utiliser l'identité $x'^2 + x''^2 = (x' + x'')^2 - 2x'x'' = S^2 - 2P$ . Avec $S = 5$ et $P = 3$ , on obtient directement $5^2 - 2(3) = 19$ .

Exemple travaillé · 15

Soit l'équation $2x^2 + 5x - 4 = 0$ , d'inconnue $x$ , admettant deux racines réelles $x'$ et $x''$ . Sans calculer ces racines, déterminer la valeur de $E = \frac{1}{x'} + \frac{1}{x''}$ .

1

On identifie la somme $S$ et le produit $P$ des racines à partir des coefficients :

2

S = x' + x'' = -\frac{5}{2} \quad \text{et} \quad P = x' x'' = \frac{-4}{2} = -2

3

On réduit l'expression $E$ au même dénominateur pour faire apparaître $S$ et $P$ :

4

E = \frac{x'' + x'}{x' x''} = \frac{S}{P}

5

On remplace par les valeurs obtenues :

6

E = \frac{-\frac{5}{2}}{-2} = \frac{5}{4}

Vérification · 16

Soit l'équation $3x^2 - 7x - 2 = 0$ . Sans calculer le discriminant ni les racines, que peut-on déduire sur les signes des racines $x'$ et $x''$ ?

Remarque

Le produit des racines est $P = \frac{c}{a} = \frac{-2}{3} < 0$ . Comme le produit est strictement négatif, l'équation admet obligatoirement deux racines réelles de signes contraires.

Définition · 17

Signe du trinôme du second degré

f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)

Le signe de $f(x)$ dépend du signe de son discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ :

$\begin{aligned} &\bullet \text{Si } \Delta > 0 \text{ (deux racines } x' < x''\text{) :} \\ &\quad f(x) \text{ est du signe de } a \text{ à l'extérieur des racines, et du signe de } -a \text{ à l'intérieur.} \\[0.5em] &\bullet \text{Si } \Delta = 0 \text{ (racine double } x_0\text{) :} \\ &\quad f(x) \text{ est du signe de } a \text{ pour tout } x \neq x_0, \text{ et s'annule en } x_0. \\[0.5em] &\bullet \text{Si } \Delta < 0 \text{ :} \\ &\quad f(x) \text{ garde un signe constant pour tout } x \in \mathbb{R}, \text{ qui est celui de } a. \end{aligned}$

Exemple travaillé · 18

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $2x^2 - 5x + 2 \leq 0$ .

1

On cherche les racines du trinôme associé $2x^2 - 5x + 2 = 0$ :

2

\Delta = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 = 3^2

3

x' = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad x'' = \frac{5 + 3}{4} = 2

4

Le coefficient dominant est $a = 2 > 0$ . Le trinôme est donc négatif ou nul (signe opposé à $a$ ) entre ses racines, bornes incluses.

5

S_{\mathbb{R}} = \left[ \frac{1}{2} ; 2 \right]

Piège classique · 19

On souhaite résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $x^2 + x + 3 > 0$ . Le discriminant vaut $\Delta = 1^2 - 4(1)(3) = -11 < 0$ . Quel est l'ensemble des solutions $S_{\mathbb{R}}$ ?

Attention

Conclure $S_{\mathbb{R}} = \emptyset$ dès que $\Delta < 0$ en confondant l'absence de racines avec l'absence de solutions pour l'inégalité.

À la place : Comme $\Delta < 0$ , le trinôme ne s'annule jamais et conserve partout le signe de son coefficient dominant $a = 1 > 0$ . Il est donc strictement positif pour tout réel $x$ , ce qui donne $S_{\mathbb{R}} = \mathbb{R}$ .

Vérification · 20

Quel est l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $-2x^2 + 5x - 2 > 0$ , sachant que les racines du trinôme sont $\frac{1}{2}$ et $2$ ?

Remarque

Le coefficient dominant est $a = -2 < 0$ . Le trinôme est strictement positif (signe contraire de $a$ ) strictement à l'intérieur de l'intervalle des racines. L'inégalité étant stricte ( $>0$ ), on exclut les bornes : $S_{\mathbb{R}} = \left] \frac{1}{2} ; 2 \right[$ .

Piège classique · 21

Pour résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\frac{1-3x}{2x-1} \leq 3$ , quelle est la première démarche rigoureuse ?

Attention

Multiplier les deux membres par $(2x-1)$ pour obtenir $1-3x \leq 3(2x-1)$ .

À la place : Le signe de $(2x-1)$ dépend de $x$ : s'il est négatif, l'inégalité changerait de sens. On doit transposer le $3$ à gauche pour obtenir $\frac{1-3x}{2x-1} - 3 \leq 0$ , réduire au même dénominateur, puis étudier le signe du quotient.

Définition · 22

Résolution d'une inéquation rationnelle

Pour résoudre une inéquation comportant des quotients de polynômes :

$\frac{A(x)}{B(x)} \geq 0 \quad (\text{ou } \leq 0)$

1. Poser la condition d'existence : $B(x) \neq 0$ pour déterminer les valeurs interdites.
2. Transposer tous les termes dans un seul membre pour comparer le quotient à $0$ .
3. Réduire au même dénominateur et factoriser numérateur et dénominateur.
4. Dresser un tableau de signes et exclure les valeurs interdites (notées par une double barre $‖$ ).

Exemple travaillé · 23

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\frac{2x+1}{x-1} \geq 1$ .

1

Valeur interdite : $x - 1 = 0 \iff x = 1$ . L'inéquation est définie sur $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .

2

On transpose $1$ à gauche et on réduit au même dénominateur :

3

\frac{2x+1}{x-1} - 1 \geq 0 \iff \frac{2x+1 - (x-1)}{x-1} \geq 0 \iff \frac{x+2}{x-1} \geq 0

4

Le numérateur s'annule en $x = -2$ et le dénominateur s'annule en $x = 1$ .

5

Pour $x < -2$ : numérateur négatif et dénominateur négatif, quotient positif.
Pour $-2 \leq x < 1$ : numérateur positif et dénominateur négatif, quotient négatif.
Pour $x > 1$ : numérateur positif et dénominateur positif, quotient positif.

6

S_{\mathbb{R}} = ]-\infty ; -2] \cup ]1 ; +\infty[

Piège classique · 24

Pour résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $(x^2 + 5x)^2 \geq 4(x + 2)^2$ , quelle est la stratégie la plus efficace ?

Attention

Développer les deux carrés pour former un polynôme de degré 4 difficile à factoriser.

À la place : On transpose le terme de droite pour exploiter la structure $A^2 - B^2 \geq 0$ avec $A = x^2+5x$ et $B = 2(x+2)$ , ce qui donne immédiatement $(A-B)(A+B) \geq 0$ sans passer par un degré 4 étalé.

Exemple travaillé · 25

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $(x^2 + 5x)^2 \geq 4(x + 2)^2$ .

1

On transpose le membre de droite en remarquant que $4(x+2)^2 = [2(x+2)]^2$ :

2

(x^2 + 5x)^2 - [2(x+2)]^2 \geq 0

3

On factorise par la formule $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ :

4

[(x^2 + 5x) - (2x + 4)][(x^2 + 5x) + (2x + 4)] \geq 0 \iff (x^2 + 3x - 4)(x^2 + 7x + 4) \geq 0

5

On détermine les racines de chaque facteur du second degré :
• Pour $x^2 + 3x - 4$ : la somme des coefficients est nulle, d'où les racines $1$ et $-4$ .
• Pour $x^2 + 7x + 4$ : $\Delta = 49 - 16 = 33 > 0$ , d'où les racines $x_1 = \frac{-7-\sqrt{33}}{2} \approx -6{,}37$ et $x_2 = \frac{-7+\sqrt{33}}{2} \approx -0{,}63$ .

6

L'ordre des quatre racines sur l'axe réel est : $\frac{-7-\sqrt{33}}{2} < -4 < \frac{-7+\sqrt{33}}{2} < 1$ . Le produit de ces deux trinômes (dont les coefficients dominants sont $a=1>0$ ) est positif ou nul à l'extérieur et entre les paires de racines :

7

S_{\mathbb{R}} = \left] -\infty ; \frac{-7-\sqrt{33}}{2} \right] \cup \left[ -4 ; \frac{-7+\sqrt{33}}{2} \right] \cup [1 ; +\infty[

Vérification · 26

Soit l'inéquation $\frac{x^2+3x}{x^2+5x+6} \geq 0$ . Quelles sont les valeurs interdites du dénominateur à exclure de l'ensemble d'étude ?

Remarque

Le dénominateur $x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$ s'annule pour $x = -2$ et $x = -3$ . Ces deux réels sont des valeurs interdites, même si $(x+3)$ se simplifie ensuite avec le numérateur.

Définition · 27

Équation bicarrée et changement de variable

ax^4 + bx^2 + c = 0 \quad (a \neq 0)

$X = x^2 \quad (\text{avec } X \geq 0) \implies aX^2 + bX + c = 0$

En posant $X = x^2$ , on transforme l'équation de degré 4 en une équation du second degré en $X$ .
Chaque racine positive $X \geq 0$ donne deux solutions réelles pour $x$ : $x = \sqrt{X}$ ou $x = -\sqrt{X}$ .
Toute valeur $X < 0$ ne donne aucune solution réelle.

Piège classique · 28

En résolvant l'équation en $X = x^2$ pour $x^4 - x^2 - 2 = 0$ , on obtient $X_1 = -1$ et $X_2 = 2$ . Quel est l'ensemble des solutions réelles $S_{\mathbb{R}}$ ?

Attention

Garder $X_1 = -1$ et tenter d'extraire sa racine carrée, ou s'arrêter aux solutions en $X$ sans revenir à $x$ .

À la place : Comme $X = x^2 \geq 0$ , la valeur $X_1 = -1$ est impossible dans $\mathbb{R}$ . Seule $X_2 = 2$ donne des réels : $x^2 = 2 \iff x = -\sqrt{2}$ ou $x = \sqrt{2}$ .

Exemple travaillé · 29

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation bicarrée : $3x^4 - 7x^2 + 2 = 0$ .

1

On pose le changement de variable $X = x^2$ avec la condition $X \geq 0$ :

2

3X^2 - 7X + 2 = 0

3

\Delta = (-7)^2 - 4(3)(2) = 49 - 24 = 25 = 5^2

4

X_1 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{1}{3} \quad \text{et} \quad X_2 = \frac{7 + 5}{6} = 2

5

Les deux valeurs de $X$ sont strictement positives, on en extrait les antécédents $x = \pm\sqrt{X}$ :

6

x^2 = \frac{1}{3} \iff x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \quad \text{ou} \quad x = \frac{\sqrt{3}}{3}

7

x^2 = 2 \iff x = -\sqrt{2} \quad \text{ou} \quad x = \sqrt{2}

8

S_{\mathbb{R}} = \left\{ -\sqrt{2} ; -\frac{\sqrt{3}}{3} ; \frac{\sqrt{3}}{3} ; \sqrt{2} \right\}

Exemple travaillé · 30

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $(x^2 + x)^2 + 2(x^2 + x) - 8 = 0$ .

1

On repère le bloc commun et on pose la variable de substitution $X = x^2 + x$ :

2

X^2 + 2X - 8 = 0

3

\Delta = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2

4

X_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \quad \text{et} \quad X_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2

5

On revient à l'inconnue initiale $x$ pour chacune des valeurs de $X$ :

6

• Pour $X = 2$ : $x^2 + x = 2 \iff x^2 + x - 2 = 0$ . La somme des coefficients est nulle ( $1+1-2=0$ ), d'où les racines $x = 1$ et $x = -2$ .

7

• Pour $X = -4$ : $x^2 + x = -4 \iff x^2 + x + 4 = 0$ . Le discriminant vaut $\Delta = 1^2 - 4(1)(4) = -15 < 0$ , il n'y a aucune solution réelle.

8

S_{\mathbb{R}} = \{-2 ; 1\}

Vérification · 31

Soit l'équation bicarrée $x^4 - 3x^2 + 2 = 0$ . On pose $X = x^2$ . Indique les racines de l'équation en $X$ et le nombre total de solutions réelles $x$ .

Remarque

L'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$ , dont les racines sont $X_1 = 1$ et $X_2 = 2$ (car $a+b+c=0$ ). Comme ces deux racines sont strictement positives, elles donnent $x = \pm 1$ et $x = \pm\sqrt{2}$ , soit 4 solutions réelles au total.

Point de départ · 32

Pourquoi l'équation $\sqrt{x} = -3$ n'admet-elle aucune solution réelle, bien que $(-3)^2 = 9$ ?

Remarque

Par définition, pour tout réel positif $x$ , $\sqrt{x} \geq 0$ . Une racine carrée ne peut jamais être égale à un nombre strictement négatif. Élever au carré sans précaution donne $x = 9$ , or $\sqrt{9} = 3 \neq -3$ : c'est une fausse solution.

Définition · 33

Équation irrationnelle $\sqrt{A(x)} = B(x)$

A(x) \text{ et } B(x) \text{ deux expressions réelles}

$\sqrt{A(x)} = B(x) \iff \begin{cases} B(x) \geq 0 \\[0.5em] A(x) = [B(x)]^2 \end{cases}$

L'égalité $A(x) = [B(x)]^2$ garantit automatiquement que $A(x) \geq 0$ dès lors que $B(x) \geq 0$ .
La condition essentielle à imposer avant d'élever au carré est donc la positivité du second membre : $B(x) \geq 0$ .

Piège classique · 34

On résout dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{x^2+4} = 2-3x$ . En élevant au carré, on trouve les valeurs $x = 0$ et $x = \frac{3}{2}$ . Quel est l'ensemble des solutions réelles $S_{\mathbb{R}}$ ?

Attention

Accepter $x = \frac{3}{2}$ sans vérifier le signe du second membre $2-3x$ .

À la place : Pour $x = \frac{3}{2}$ , le membre de droite vaut $2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{5}{2} < 0$ . Comme une racine carrée est toujours positive, $\frac{3}{2}$ est une solution parasite. Seul $x = 0$ convient car $2 - 3(0) = 2 \geq 0$ , d'où $S_{\mathbb{R}} = \{0\}$ .

Exemple travaillé · 35

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sqrt{x+1} = 2x - 1$ .

1

On pose la condition de positivité sur le second membre :

2

2x - 1 \geq 0 \iff x \geq \frac{1}{2}

3

Sous cette condition ( $x \in [\frac{1}{2} ; +\infty[$ ), on élève au carré :

4

x + 1 = (2x - 1)^2 \iff x + 1 = 4x^2 - 4x + 1

5

4x^2 - 5x = 0 \iff x(4x - 5) = 0

6

Les solutions de cette équation sont $x = 0$ et $x = \frac{5}{4}$ .

7

On filtre les solutions avec la condition $x \geq \frac{1}{2}$ :
• $0 < \frac{1}{2}$ : la valeur $0$ est rejetée.
• $\frac{5}{4} \geq \frac{1}{2}$ : la valeur $\frac{5}{4}$ est retenue.

8

S_{\mathbb{R}} = \left\{ \frac{5}{4} \right\}

Vérification · 36

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sqrt{1-x} = \sqrt{2x+4}$ .

Remarque

Domaine d'existence : $1-x \geq 0 \iff x \leq 1$ et $2x+4 \geq 0 \iff x \geq -2$ , soit $D = [-2 ; 1]$ . En élevant au carré : $1-x = 2x+4 \iff -3x = 3 \iff x = -1$ . Comme $-1 \in [-2 ; 1]$ , on conclut $S_{\mathbb{R}} = \{-1\}$ .

Définition · 37

Modélisation et contraintes géométriques

Pour résoudre un problème géométrique à l'aide d'une équation ou inéquation :

$x \in [x_{\min} ; x_{\max}] \quad (\text{domaine géométrique strict})$

1. Définir l'inconnue $x$ et préciser son intervalle de validité géométrique (longueurs strictement positives, points contraints par les segments de la figure).
2. Exprimer les grandeurs géométriques utiles (longueurs, aires, périmètres) en fonction de $x$ .
3. Poser l'équation ou inéquation traduisant l'énoncé et la résoudre dans $\mathbb{R}$ .
4. Filtrer les solutions algébriques obtenues pour ne conserver que celles qui appartiennent au domaine géométrique.

Exemple travaillé · 38

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 10\text{ cm}$ et $AC = 4\text{ cm}$ . Soient $D \in [AB]$ et $E \in [AC]$ tels que $BD = 2AE$ . On pose $x = AE$ . Déterminer $x$ pour que l'aire du triangle $DAE$ soit égale à $\frac{9}{4}\text{ cm}^2$ .

1

Le point $E$ appartient au segment $[AC]$ de longueur $4\text{ cm}$ , donc $x$ est soumis à la contrainte géométrique $0 \leq x \leq 4$ .

2

On exprime la distance $AD$ en fonction de $x$ sachant que $BD = 2x$ :

3

AD = AB - BD = 10 - 2x

4

Le triangle $DAE$ étant rectangle en $A$ , son aire s'écrit :

5

\mathcal{A}(x) = \frac{AD \times AE}{2} = \frac{(10 - 2x)x}{2} = x(5 - x) = 5x - x^2

6

On pose l'égalité avec l'aire cible :

7

5x - x^2 = \frac{9}{4} \iff x^2 - 5x + \frac{9}{4} = 0

8

\Delta = (-5)^2 - 4(1)\left(\frac{9}{4}\right) = 25 - 9 = 16 = 4^2

9

x' = \frac{5 - 4}{2} = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad x'' = \frac{5 + 4}{2} = \frac{9}{2}

10

On filtre avec la contrainte $x \in [0 ; 4]$ : la valeur $\frac{9}{2} = 4{,}5$ dépasse la longueur de $[AC]$ et est donc rejetée. L'unique solution admissible est $x = \frac{1}{2}\text{ cm}$ .

Piège classique · 39

Sur une plaque métallique carrée de côté $a$ ( $a > 8\text{ cm}$ ), on découpe un petit carré de $4\text{ cm}$ de côté à chacun des 4 coins. L'aire restante vaut $336\text{ cm}^2$ , ce qui donne l'équation $a^2 - 64 = 336 \iff a^2 = 400$ . Quelle est la longueur $a$ du côté de la plaque ?

Attention

Donner les deux solutions algébriques de l'équation : $a = 20\text{ cm}$ et $a = -20\text{ cm}$ .

À la place : Une grandeur géométrique (longueur) est strictement positive, et l'énoncé impose $a > 8$ . On rejette la solution négative $-20$ pour ne conserver que la mesure réelle admissible : $a = 20\text{ cm}$ .

Vérification · 40

Un rectangle a pour périmètre $20\text{ cm}$ et pour longueur $x\text{ cm}$ . Son aire vaut $16\text{ cm}^2$ , ce qui conduit à l'équation $x(10-x) = 16 \iff x^2 - 10x + 16 = 0$ . Les racines sont $2$ et $8$ . Sachant que par convention la longueur $x$ désigne la plus grande dimension du rectangle, quelle est la valeur de $x$ ?

Remarque

Le demi-périmètre vaut $10$ . Si $x = 2$ , la largeur vaudrait $10 - 2 = 8$ , ce qui inverserait les dimensions. On choisit donc la longueur $x = 8\text{ cm}$ (la largeur étant alors de $2\text{ cm}$ ).

Équations et inéquations — cours

Le cours

Rappel : Équation et signe du premier degré

Forme canonique et discriminant

Résolution de l'équation $ax^2+bx+c=0$

Le discriminant réduit

Racines évidentes et factorisation

Somme et produit des racines

Signe du trinôme du second degré

Résolution d'une inéquation rationnelle

Équation bicarrée et changement de variable

Équation irrationnelle $\sqrt{A(x)} = B(x)$

Modélisation et contraintes géométriques

Chapitres liés

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Équations et inéquations — cours

Le cours

Rappel : Équation et signe du premier degré

Forme canonique et discriminant

Résolution de l'équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0

Le discriminant réduit

Racines évidentes et factorisation

Somme et produit des racines

Signe du trinôme du second degré

Résolution d'une inéquation rationnelle

Équation bicarrée et changement de variable

Équation irrationnelle A(x)=B(x)\sqrt{A(x)} = B(x)A(x)​=B(x)

Modélisation et contraintes géométriques

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Résolution de l'équation $ax^2+bx+c=0$

Équation irrationnelle $\sqrt{A(x)} = B(x)$