Point de départ · 1

On considère la liste de nombres : $5 \, ; \, 8 \, ; \, 11 \, ; \, 14 \, ; \, 17$ . Comment passe-t-on d'un nombre au suivant ?

Remarque

On ajoute toujours la même valeur fixe ( $+3$ ). C'est la caractéristique fondamentale d'une suite arithmétique.

Définition · 2

Définition d'une suite arithmétique

$U_{n+1} = U_n + r$

r \in \mathbb{R}, \quad n \in \mathbb{N}

Une suite $(U_n)$ est arithmétique lorsqu'on passe de chaque terme au suivant en ajoutant toujours le même réel $r$ , appelé raison de la suite.

Remarque

La différence entre deux termes consécutifs est constante : $U_{n+1} - U_n = r$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Exemple travaillé · 3

Soit $(U_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $U_n = \frac{-2n+1}{8}$ . Montrer que $(U_n)$ est une suite arithmétique et préciser sa raison.

1

On exprime $U_{n+1}$ en remplaçant $n$ par $(n+1)$ dans la formule explicite :

U_{n+1} = \frac{-2(n+1)+1}{8} = \frac{-2n - 2 + 1}{8} = \frac{-2n - 1}{8}

2

On calcule la différence $U_{n+1} - U_n$ pour tout entier naturel $n$ :

U_{n+1} - U_n = \frac{-2n-1}{8} - \frac{-2n+1}{8} = \frac{-2n - 1 - (-2n + 1)}{8}

3

On simplifie le numérateur :

U_{n+1} - U_n = \frac{-2n - 1 + 2n - 1}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}

4

La différence $U_{n+1} - U_n$ est un réel constant indépendant de $n$ . Donc $(U_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = -\frac{1}{4}$ .

Piège classique · 4

Soit la suite définie par $U_n = n^2 + n$ . On a $U_0 = 0$ , $U_1 = 2$ , $U_2 = 6$ . Que peut-on conclure sur la nature de la suite $(U_n)$ ?

Attention

Affirmer qu'une suite est arithmétique sur la seule base des premiers termes, ou sans calculer la différence générale.

À la place : Ici, $U_1 - U_0 = 2$ et $U_2 - U_1 = 4$ . Les différences ne sont pas égales, donc la suite n'est pas arithmétique. Même si les premiers écarts avaient été identiques, seule l'évaluation de $U_{n+1} - U_n$ pour tout $n$ permet de conclure rigoureusement.

Vérification · 5

Pour chacune des suites ci-dessous, identifie sa raison $r$ (ou choisis « aucune » si la suite n'est pas arithmétique) :

Remarque

Une suite est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est une constante additive : pour $(V_n)$ , $V_{n+1} - V_n = 3$ ( $r=3$ ) ; pour $(T_n)$ , $T_{n+1} - T_n = -5$ ( $r=-5$ ). Pour $(W_n)$ , le terme $W_n$ est multiplié par $3$ , ce n'est donc pas une suite arithmétique.

Définition · 6

Représentation graphique d'une suite arithmétique

$A_n(n, U_n) \in \mathcal{D} \quad \text{avec} \quad \mathcal{D} : y = r x + U_0$

Dans un repère, les points $A_n(n, U_n)$ d'une suite arithmétique sont alignés sur la droite d'équation $y = rx + U_0$ , de pente $r$ et d'ordonnée à l'origine $U_0$ .

Remarque

La suite $(U_n)$ est définie uniquement sur les entiers $\mathbb{N}$ : sa représentation graphique est un nuage de points isolés, jamais une ligne continue.

Exemple travaillé · 7

Les points $A_n(n, U_n)$ d'une suite arithmétique $(U_n)$ appartiennent à la droite $(\mathcal{D})$ représentée ci-dessus. Détermine graphiquement le premier terme $U_0$ et la raison $r$ de cette suite.

1

On lit le premier terme $U_0$ à l'ordonnée du point d'abscisse $n = 0$ :

U_0 = -0.5

2

On calcule la raison $r$ (le coefficient directeur de la droite) à l'aide des points $A_0(0, -0.5)$ et $A_1(1, 0)$ :

r = \frac{U_1 - U_0}{1 - 0} = \frac{0 - (-0.5)}{1} = 0.5

3

On en déduit l'expression explicite de la suite : $U_n = 0.5n - 0.5$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Vérification · 8

On considère la suite arithmétique $(U_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $U_n = 2n - 1$ . Quelle est la nature de sa représentation graphique dans un repère ?

Remarque

Une suite $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est définie sur l'ensemble discret des entiers naturels $\mathbb{N}$ . Sa représentation graphique est donc un ensemble de points isolés (alignés sur la droite d'équation $y=2x-1$ ), et non une ligne continue.

Point de départ · 9

On considère une suite arithmétique $(U_n)$ de premier terme $U_0 = 4$ et de raison $r = 3$ . On a $U_1 = U_0 + 3$ , $U_2 = U_0 + 2 \times 3$ , $U_3 = U_0 + 3 \times 3$ . Sans calculer tous les termes intermédiaires, comment s'exprime $U_{100}$ en fonction de $U_0$ et de $r$ ?

Remarque

Pour passer de $U_0$ à $U_{100}$ , on effectue exactement $100$ sauts de raison $r$ . On ajoute donc $100$ fois la raison : $U_{100} = U_0 + 100r$ .

Définition · 10

Formule du terme général

$U_n = U_0 + n r$

n \in \mathbb{N}

Lorsque la suite est indexée à partir du rang $1$ , le terme général s'écrit avec un décalage d'une unité :

$U_n = U_1 + (n - 1)r$

n \in \mathbb{N}^*

Piège classique · 11

Soit $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite arithmétique de premier terme $U_0 = 1$ et de raison $r = 3$ . Quel terme correspond au 20ème terme de cette suite ?

Attention

Calculer $U_{20}$ en associant directement le mot « 20ème » à l'indice $20$ .

À la place : Comme le 1er terme est $U_0$ et le 2ème est $U_1$ , le 20ème terme correspond à l'indice $19$ : $U_{19} = 1 + 19 \times 3 = 58$ .

Exemple travaillé · 12

Soit $(U_n)$ la suite arithmétique de premier terme $U_0 = -2$ et de raison $r = 5$ . Déterminer l'entier naturel $n$ tel que $U_n = 143$ .

1

On exprime $U_n$ en fonction de $n$ grâce à la formule du terme général :

U_n = U_0 + nr = -2 + 5n

2

On pose l'équation $U_n = 143$ :

-2 + 5n = 143

3

On isole $5n$ en ajoutant $2$ à chaque membre :

5n = 145

4

On divise par $5$ pour obtenir $n$ :

n = \frac{145}{5} = 29

5

L'entier cherché est $n = 29$ . Le terme $143$ est $U_{29}$ (le 30ème terme de la suite).

Vérification · 13

Soit $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite arithmétique de premier terme $U_0 = 5$ et de raison $r = -2$ . Calcule la valeur de $U_{10}$ et celle du 15ème terme de cette suite :

Remarque

Pour $U_{10}$ : $U_{10} = U_0 + 10r = 5 + 10(-2) = -15$ . Le 15ème terme correspond à l'indice $n = 14$ : $U_{14} = 5 + 14(-2) = -23$ .

Définition · 14

Relation entre deux termes quelconques

$U_n = U_p + (n - p)r$

n, p \in \mathbb{N}

On peut relier directement deux termes quelconques d'une suite arithmétique sans calculer le premier terme $U_0$ .

Remarque

L'écart entre les valeurs $U_n - U_p$ correspond à $(n-p)$ fois la raison $r$ .

Piège classique · 15

On donne $U_{15} = -12$ et $U_{24} = 15$ . Quelle équation permet de déterminer directement la raison $r$ sans calculer $U_0$ ?

Attention

Poser un système d'équations pour déterminer $U_0$ d'abord, ou écrire $U_{24} = U_{15} + 24r$ en oubliant de soustraire l'indice de départ.

À la place : On applique la relation de saut d'indice : $U_{24} = U_{15} + (24 - 15)r$ , ce qui donne $15 = -12 + 9r$ , d'où $9r = 27$ et $r = 3$ .

Exemple travaillé · 16

Soit $(U_n)$ une suite arithmétique de raison $r = 4$ telle que $U_8 = -31$ . Calculer $U_{57}$ .

1

On applique la relation entre deux termes quelconques avec $n = 57$ et $p = 8$ :

U_{57} = U_8 + (57 - 8)r

2

On remplace par les valeurs données :

U_{57} = -31 + 49 \times 4

3

On effectue le calcul :

U_{57} = -31 + 196 = 165

Vérification · 17

Une suite arithmétique $(U_n)$ vérifie $U_{10} = 25$ et $U_{30} = 65$ . Détermine la raison $r$ et la valeur de $U_5$ :

Remarque

Pour la raison : $U_{30} = U_{10} + (30-10)r \implies 65 = 25 + 20r \implies 20r = 40 \implies r = 2$ . Pour $U_5$ : $U_5 = U_{10} + (5-10)r = 25 - 5(2) = 15$ .

Point de départ · 18

On veut insérer un nombre $b$ entre $4$ et $10$ pour que les trois nombres $4$ , $b$ et $10$ soient en progression arithmétique (même écart). Quelle doit être la valeur de $b$ ?

Remarque

Pour conserver un écart constant, on doit avoir $b - 4 = 10 - b$ , soit $2b = 4 + 10 = 14$ , d'où $b = 7$ . Le terme médian $b$ est exactement la moyenne de $4$ et $10$ .

Définition · 19

Caractérisation de trois termes consécutifs

$a + c = 2b \iff b = \frac{a + c}{2}$

Trois réels $a$ , $b$ et $c$ sont des termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si le terme central $b$ est la moyenne arithmétique de $a$ et $c$ .

Remarque

Si $a, b, c$ sont en progression arithmétique de raison $r$ , on peut les paramétrer de façon symétrique autour de $b$ : $a = b - r$ , $b$ , et $c = b + r$ .

Exemple travaillé · 20

Trois réels $a$ , $b$ et $c$ forment une suite arithmétique de raison $r > 0$ . Sachant que $a + b + c = 21$ et $a \times b \times c = 280$ , déterminer ces trois nombres.

1

On paramètre les trois termes de manière symétrique autour du terme central $b$ : $a = b - r$ et $c = b + r$ .

2

On utilise la somme pour trouver directement la valeur de $b$ :

(b - r) + b + (b + r) = 21 \iff 3b = 21 \iff b = 7

3

On injecte $b = 7$ dans l'équation du produit :

(7 - r) \times 7 \times (7 + r) = 280 \iff 7(49 - r^2) = 280

4

On résout pour trouver la raison positive $r$ :

49 - r^2 = \frac{280}{7} = 40 \iff r^2 = 9 \iff r = 3 \quad (\text{car } r > 0)

5

On calcule $a$ et $c$ : $a = 7 - 3 = 4$ et $c = 7 + 3 = 10$ . Les trois nombres sont $4$ , $7$ et $10$ .

Vérification · 21

Pour tout réel $x$ , les nombres $A = x^2 - 4x + 2$ , $B = x^2 - 2x$ et $C = x^2 - 2$ sont-ils les termes consécutifs d'une suite arithmétique ?

Remarque

On évalue la somme des extrêmes : $A + C = (x^2 - 4x + 2) + (x^2 - 2) = 2x^2 - 4x$ . D'autre part : $2B = 2(x^2 - 2x) = 2x^2 - 4x$ . Comme $A + C = 2B$ pour tout réel $x$ , ces expressions sont bien en progression arithmétique.

Point de départ · 22

Pour calculer la somme $S = 1 + 2 + 3 + \dots + 100$ , on écrit la somme à l'endroit puis à l'envers :
$S = 1 + 2 + \dots + 99 + 100$
$S = 100 + 99 + \dots + 2 + 1$
En additionnant les deux lignes terme à terme, que vaut chaque paire verticale ?

Remarque

Chaque paire donne $1 + 100 = 101$ , $2 + 99 = 101$ , etc. Comme il y a $100$ paires valant $101$ , on a $2S = 100 \times 101$ , d'où $S = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$ .

Piège classique · 23

Combien de termes comporte la somme $S = U_8 + U_9 + \dots + U_{24}$ ?

Attention

Calculer $24 - 8 = 16$ termes par simple soustraction des indices extrêmes.

À la place : La soustraction $24 - 8$ mesure l'écart entre les indices mais oublie d'inclure le terme de départ $U_8$ . Le nombre exact de termes est $(24 - 8 + 1) = 17$ .

Définition · 24

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

$U_p + U_{p+1} + \dots + U_n = (n - p + 1) \times \frac{U_p + U_n}{2}$

n, p \in \mathbb{N}, \quad n \ge p

La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme :

$S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$

Cas particulier fondamental pour la somme des $n$ premiers entiers naturels non nuls :

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Exemple travaillé · 25

Soit $(U_n)$ la suite arithmétique définie par $U_0 = 2$ et de raison $r = 5$ . Calculer la somme $S = U_5 + U_6 + \dots + U_{50}$ .

1

On détermine le nombre exact de termes dans la somme :

N = 50 - 5 + 1 = 46 \text{ termes}

2

On calcule le premier terme $U_5$ et le dernier terme $U_{50}$ avec $U_n = 2 + 5n$ :

U_5 = 2 + 5 \times 5 = 27 \quad \text{et} \quad U_{50} = 2 + 5 \times 50 = 252

3

On applique la formule de la somme :

S = 46 \times \frac{27 + 252}{2} = 23 \times 279 = 6417

Exemple travaillé · 26

Une personne économise 10 dinars le premier mois, puis 15 dinars le deuxième mois, et augmente chaque mois son épargne de 5 dinars. Quel est le montant total cumulé au bout de 8 mois ?

1

L'épargne du $n$ -ième mois suit une suite arithmétique $(U_n)$ avec $U_1 = 10$ et $r = 5$ .

2

On calcule l'épargne versée lors du 8ème mois :

U_8 = U_1 + (8 - 1)r = 10 + 7 \times 5 = 45 \text{ dinars}

3

Le montant total cumulé correspond à la somme des 8 mensualités $S_8 = U_1 + U_2 + \dots + U_8$ :

S_8 = 8 \times \frac{U_1 + U_8}{2} = 8 \times \frac{10 + 45}{2} = 4 \times 55 = 220 \text{ dinars}

Vérification · 27

Calcule la somme des entiers $A = 1 + 2 + 3 + \dots + 40$ et la somme $B = 3 + 8 + 13 + \dots + 108$ (sachant que $B$ comporte 22 termes) :

Remarque

Pour $A$ : $A = \frac{40 \times 41}{2} = 820$ . Pour $B$ : $B = 22 \times \frac{3 + 108}{2} = 11 \times 111 = 1221$ .

Suite Arithmétique — cours

Le cours

Définition d'une suite arithmétique

Représentation graphique d'une suite arithmétique

Formule du terme général

Relation entre deux termes quelconques

Caractérisation de trois termes consécutifs

Somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

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