Suite Arithmétique — exercices corrigés

On considère une suite arithmétique $(U_n)_{n \ge 0}$ de raison $r$. On pose $x = U_1$, $y = U_2$ et $z = U_3$.

On sait que ces trois termes consécutifs vérifient le système suivant :
$$\{\begin{array}{l}x+y+z=18\\ x\cdot z=20\end{array}$$
\begin{cases}
x + y + z = 18 \\
x \cdot z = 20
\end{cases}

1. 1. Exprimer $x$ et $z$ en fonction de $y$ et $r$. En déduire que $x + z = 2y$.

   Indice — Que valent $x$ et $z$ par rapport à $y$ sachant que $y - x = r$ et $z - y = r$ ?

   Correction

   Par définition d'une suite arithmétique de raison $r$, on a $x = y - r$ et $z = y + r$. En additionnant ces deux termes, les $r$ s'annulent : $x + z = (y - r) + (y + r) = 2y$.

2. 2. En utilisant la relation établie à la question précédente, déterminer la valeur de $y$.

   Indice — Remplace $x + z$ par sa nouvelle expression dans l'égalité $x + y + z = 18$.

   Correction

   On réorganise la première équation : $(x + z) + y = 18$. En substituant $x + z = 2y$, on obtient $3y = 18$, d'où $y = 6$.

3. 3. Montrer que la relation $x \cdot z = 20$ s'écrit sous la forme $36 - r^2 = 20$.

   Indice — Développe le produit $(y-r)(y+r)$ en utilisant la valeur $y = 6$.

   Correction

   On exprime le produit $x \cdot z = (y - r)(y + r) = y^2 - r^2$ à l'aide de l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. En remplaçant $y$ par $6$, l'égalité $x \cdot z = 20$ s'écrit bien $36 - r^2 = 20$.

4. 4. Déterminer les valeurs possibles de la raison $r$.

   Indice — Résous l'équation $r^2 = 16$.

   Correction

   L'équation précédente se ramène à $r^2 = 16$. Les deux valeurs possibles pour la raison sont donc $r = 4$ ou $r = -4$.

5. 5. En déduire les deux triplets candidats pour $(x, y, z)$.

   Indice — Calcule le triplet $(y-r, y, y+r)$ pour chaque valeur de $r$ obtenue.

   Correction

   Sachant que $y = 6$ et que les deux valeurs possibles de la raison sont $r = 4$ et $r = -4$, on calcule le triplet $(x, y, z) = (y-r, y, y+r)$ pour chaque cas :
   - Pour $r = 4$ : $(x, y, z) = (6 - 4, 6, 6 + 4) = (2, 6, 10)$.
   - Pour $r = -4$ : $(x, y, z) = (6 - (-4), 6, 6 + (-4)) = (10, 6, 2)$.

   Les deux triplets candidats sont donc $(2, 6, 10)$ et $(10, 6, 2)$.

6. 6. Sachant que la suite $(U_n)_{n \ge 0}$ est strictement croissante, déterminer la valeur de $r$ ainsi que le triplet $(x, y, z)$ unique.

   Indice — Compare $x$, $y$ et $z$ sachant que $U_1 < U_2 < U_3$.

   Correction

   Une suite arithmétique est strictement croissante si et seulement si sa raison est strictement positive ($r > 0$).
   On retient donc $r = 4$, ce qui donne pour unique triplet $(x, y, z) = (2, 6, 10)$.

7. 7. Calculer $U_0$ et $U_{10}$, puis en déduire la valeur de la somme $S = U_0 + U_1 + \dots + U_{10}$.

   Indice — Utilise la formule $S = N \times \dfrac{U_0 + U_{10}}{2}$ en déterminant avec soin le nombre de termes $N$.

   Correction

   On sait que $U_1 = 2$ et $r = 4$.
   - $U_0 = U_1 - r = 2 - 4 = -2$.
   - $U_{10} = U_1 + 9r = 2 + 9 \times 4 = 38$.

   La somme $S = U_0 + U_1 + \dots + U_{10}$ comporte $N = 10 - 0 + 1 = 11$ termes.
   D'après la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique :
   $$S = N \times \frac{U_0 + U_{10}}{2} = 11 \times \frac{-2 + 38}{2} = 11 \times 18 = 198$$

On considère la suite $(U_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par son premier terme $U_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation :
$$U_{n+1} = U_n + 4$$

1. 1). Calculer les termes $U_1$ et $U_2$.

   Indice — Calcule $U_1$ en remplaçant $n$ par $0$ dans la relation $U_{n+1} = U_n + 4$, puis procède de même pour $U_2$.

   Correction

   En appliquant la relation de récurrence :
   - Pour $n = 0$ : $U_1 = U_0 + 4 = 3 + 4 = 7$
   - Pour $n = 1$ : $U_2 = U_1 + 4 = 7 + 4 = 11$

2. 2). Exprimer le terme général $U_n$ en fonction de $n$, puis calculer la valeur de $U_5$.

   Indice — Utilise la formule générale $U_n = U_0 + n \cdot r$ en identifiant la raison $r$ de la suite.

   Correction

   La suite $(U_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $U_0 = 3$ et de raison $r = 4$. Son terme général s'écrit donc $U_n = U_0 + n \cdot r = 3 + 4n$.

   Pour $n = 5$, on obtient $U_5 = 3 + 4 \times 5 = 23$.

3. 3). Vérifier l'égalité $U_0 + U_2 = 2 U_1$.

   Indice — Calcule séparément la somme $U_0 + U_2$ et le produit $2 U_1$ à l'aide des valeurs obtenues à la question 1.

   Correction

   En utilisant les résultats de la question 1 :
   - $U_0 + U_2 = 3 + 11 = 14$
   - $2 U_1 = 2 \times 7 = 14$

   L'égalité $U_0 + U_2 = 2 U_1$ est donc bien vérifiée.

4. 4). Déterminer l'entier naturel $n$ tel que $U_n = 83$.

   Indice — Résous l'équation $4n + 3 = 83$ d'inconnue l'entier naturel $n$.

   Correction

   L'équation $U_n = 83$ s'écrit $3 + 4n = 83$. Sa résolution donne $4n = 80$, soit $n = 20$.

5. 5). Soient les expressions réelles dépendant d'un réel $x$ :
   $$A(x) = 2x - 5$$
   $$B(x) = 4x + 1$$
   $$C(x) = 7x - 3$$
   Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $A(x)$, $B(x)$ et $C(x)$ forment, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique.

   Indice — Traduis la condition sur les trois termes en résolvant l'équation $A(x) + C(x) = 2B(x)$.

   Correction

   Trois réels $A(x)$, $B(x)$ et $C(x)$ forment, dans cet ordre, trois termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si le terme central est la moyenne arithmétique des deux autres, c'est-à-dire $A(x) + C(x) = 2B(x)$.

   En remplaçant par les expressions de l'énoncé, on pose l'équation :
   $$(2x - 5) + (7x - 3) = 2(4x + 1)$$
   $$9x - 8 = 8x + 2$$

   En résolvant cette équation du premier degré, on obtient $x = 10$.

Soit $(U_n)$ la suite arithmétique de premier terme $U_0 = 3$ et de raison $r = 2$.
Soit $(W_n)$ la suite arithmétique de premier terme $W_0 = 5$ et de raison $r' = -2$.

On considère la somme $S$ définie par :
$$S = (U_7 + U_8 + \dots + U_{32}) + (W_7 + W_8 + \dots + W_{32})$$

1. 1. Exprimer, pour tout entier naturel $k$, les termes généraux $U_k$ et $W_k$ en fonction de $k$.

   Indice — Que valent $U_0 + k \cdot r$ et $W_0 + k \cdot r'$ ?

   Correction

   D'après la formule du terme général d'une suite arithmétique, $U_k = U_0 + k \cdot r = 3 + 2k$ et $W_k = W_0 + k \cdot r' = 5 - 2k$.

2. 2. Déterminer la valeur de la somme $U_k + W_k$ pour un entier naturel $k$ quelconque.

   Indice — Calcule $(2k + 3) + (-2k + 5)$.

   Correction

   En effectuant la somme des expressions obtenues, $U_k + W_k = (3 + 2k) + (5 - 2k) = 8$. La somme $U_k + W_k$ est donc constante et égale à $8$ quel que soit $k$.

3. 3. Justifier que la somme $S$ peut s'écrire sous la forme :
   $$S = (U_7 + W_7) + (U_8 + W_8) + \dots + (U_{32} + W_{32})$$

   Indice — Associe chaque $U_k$ avec son correspondant $W_k$.

   Correction

   L'addition étant commutative et associative, on peut réorganiser les termes de la somme $S$ pour associer chaque $U_k$ avec le $W_k$ de même indice $k$, de $k = 7$ à $k = 32$.

4. 4. Déterminer le nombre exact de termes de la forme $(U_k + W_k)$ présents dans la somme $S$, de l'indice $7$ à l'indice $32$.

   Indice — Calcule $32 - 7 + 1$.

   Correction

   Le nombre de termes consécutifs de l'indice $N_1$ à l'indice $N_2$ est $N_2 - N_1 + 1$. De l'indice $7$ à $32$, il y a donc $32 - 7 + 1 = 26$ termes.

5. 5. En déduire la valeur numérique de la somme $S$.

   Indice — Calcule le produit de la constante par le nombre de termes.

   Correction

   En regroupant les termes, la somme s'écrit $S = \sum_{k=7}^{32} (U_k + W_k)$.

   Pour tout entier $k$, $U_k + W_k = (3 + 2k) + (5 - 2k) = 8$. Les termes de la somme sont donc tous égaux à la constante 8.

   Le nombre de termes entre l'indice 7 et l'indice 32 vaut $32 - 7 + 1 = 26$.

   On calcule ainsi la valeur numérique de la somme : $S = 26 \times 8 = 208$.

Une entreprise de forage propose de creuser un puits. Le coût du premier mètre creusé est fixé à $30$ DT. En raison de la dureté croissante du sol, chaque mètre supplémentaire coûte $10$ DT de plus que le mètre précédent.

On note $U_n$ le coût en DT du $n$-ième mètre creusé (pour $n \ge 1$) et $S_n$ le coût total en DT pour un forage d'une profondeur de $n$ mètres.

1. 1)a). Déterminer les valeurs de $U_1$, $U_2$ et $U_3$.

   Indice — Calcule $U_2 = U_1 + 10$ et $U_3 = U_2 + 10$.

   Correction

   Par énoncé, $U_1 = 30$ DT. Chaque mètre supplémentaire coûtant $10$ DT de plus que le précédent, on a $U_2 = U_1 + 10 = 40$ DT et $U_3 = U_2 + 10 = 50$ DT.

2. 1)b). En déduire les valeurs de $S_1$, $S_2$ et $S_3$.

   Indice — Que vaut $S_3$ en fonction de $U_1$, $U_2$ et $U_3$ ?

   Correction

   $S_n$ désigne le coût cumulé pour $n$ mètres, soit la somme des $n$ premiers termes de $(U_n)$ :
   - $S_1 = U_1 = 30$ DT
   - $S_2 = U_1 + U_2 = 30 + 40 = 70$ DT
   - $S_3 = S_2 + U_3 = 70 + 50 = 120$ DT

3. 2). Justifier que pour tout entier $n \ge 1$, on a $U_{n+1} = U_n + 10$, puis caractériser la suite $(U_n)_{n \ge 1}$.

   Indice — Exprime la différence $U_{n+1} - U_n$ à partir de l'énoncé.

   Correction

   Par définition, le coût du $(n+1)$-ième mètre est supérieur de $10$ DT à celui du $n$-ième mètre, d'où $U_{n+1} = U_n + 10$ pour tout $n \ge 1$.

   Cette relation de récurrence caractérise une suite arithmétique de premier terme $U_1 = 30$ et de raison $r = 10$.

4. 3). Exprimer $U_n$ en fonction de $n$.

   Indice — Applique la formule $U_n = U_1 + (n-1)r$.

   Correction

   D'après la formule du terme général d'une suite arithmétique $U_n = U_1 + (n-1)r$, on a :
   $U_n = 30 + 10(n-1) = 10n + 20$.

5. 4). Établir que pour tout entier $n \ge 1$, on a :
   $$S_n = 5n^2 + 25n$$

   Indice — Utilise la formule de la somme $S_n = n \times \dfrac{U_1 + U_n}{2}$.

   Correction

   On utilise la formule de la somme d'une suite arithmétique : $S_n = n \times \dfrac{U_1 + U_n}{2}$. Sachant que $U_1 = 30$ et $U_n = 10n + 20$, on a $S_n = n \times \dfrac{30 + (10n + 20)}{2} = n(5n + 25) = 5n^2 + 25n$.

6. 5)a). Exprimer la différence $S_{n+1} - S_n$ en fonction de $n$.

   Indice — Que représente la différence entre la somme des $n+1$ premiers termes et celle des $n$ premiers termes ?

   Correction

   La différence $S_{n+1} - S_n$ représente le coût du $(n+1)$-ième mètre creusé, soit $U_{n+1}$. Ainsi, $S_{n+1} - S_n = U_{n+1} = 10(n+1) + 20 = 10n + 30$.

7. 5)b). Vérifier algébriquement que :
   $$5(n+1)^2 + 25(n+1) - (5n^2 + 25n) = U_{n+1}$$

   Indice — Développe l'expression $5(n+1)^2 + 25(n+1)$ et compare-la à $S_n + U_{n+1}$.

   Correction

   En développant l'expression de gauche, on a : $5(n^2 + 2n + 1) + 25n + 25 - 5n^2 - 25n = 10n + 30$. Ce résultat étant égal à $U_{n+1}$, l'égalité est vérifiée.

8. 6). Un client dispose d'un budget global de $1870$ DT pour réaliser un forage. Expliquer laquelle des deux expressions, $U_n$ ou $S_n$, modélise la contrainte budgétaire de ce client.

   Indice — Le budget de $1870$ DT doit-il couvrir uniquement le dernier mètre creusé ou l'intégralité du forage ?

   Correction

   Le budget de $1870$ DT doit couvrir l'ensemble des mètres creusés et non uniquement le dernier. C'est donc le coût total $S_n$ qui modélise la contrainte budgétaire, selon l'inégalité $S_n \le 1870$.

9. 7). Déterminer la profondeur maximale, en mètres, que ce client peut faire creuser avec son budget.

   Indice — Résous l'inéquation $5n^2 + 25n \le 1870$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.

   Correction

   On cherche le plus grand entier $n$ tel que le coût total $S_n$ ne dépasse pas le budget de $1870$ DT, soit $5n^2 + 25n \le 1870$. L'équation du second degré $5n^2 + 25n - 1870 = 0$ admet pour racine positive $n = 17$. La profondeur maximale que le client peut financer est donc de $17$ mètres.

10. 8). Si le client avait confondu les deux expressions et résolu l'inéquation associée à l'autre grandeur, quelle profondeur théorique $n'$ aurait-il obtenue ? Confronter ce résultat à la réalité financière du projet.

    Indice — Résous $U_{n'} \le 1870$ puis calcule le coût réel $S_{n'}$ pour cette profondeur.

    Correction

    En confondant le coût total $S_n$ avec le coût du $n$-ième mètre $U_n$, le client résout $10n' + 20 \le 1870$, ce qui donne une profondeur théorique $n' = 185$ mètres. Or, le coût réel pour $185$ mètres est $S_{185} = 5(185)^2 + 25(185) = 175\ 750$ DT. Ce montant dépasse de très loin le budget de $1870$ DT, rendant ce projet financièrement irréalisable.

On considère la suite arithmétique $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de premier terme $U_0 = 2$ et de raison $r = 3$.

1. 1. Calculer les termes $U_4$ et $U_9$.

   Indice — Que vaut $U_n$ pour $n = 4$ et $n = 9$ sachant que $U_n = U_0 + nr$ ?

   Correction

   Pour une suite arithmétique, la forme explicite est $U_n = U_0 + n r$.
   On calcule :
   - $U_4 = 2 + 4 \times 3 = 14$
   - $U_9 = 2 + 9 \times 3 = 29$

2. 2. Écrire la liste de tous les termes de la suite $(U_n)$ du rang $4$ au rang $9$, puis calculer leur somme $S$ en les additionnant un à un. Combien de termes comporte cette somme ?

   Indice — Écris explicitement la somme $U_4 + U_5 + U_6 + U_7 + U_8 + U_9$ et compte les termes.

   Correction

   En ajoutant la raison $r = 3$ à chaque étape, la liste des termes de $U_4$ à $U_9$ est : $14, 17, 20, 23, 26, 29$.
   Leur somme est $S = 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 = 129$.
   Cette somme comporte $6$ termes.

3. 3. Comparer le nombre de termes obtenu à la question précédente avec la différence $9 - 4$. Vérifier par le calcul que la valeur de $S$ est égale au produit de ce nombre de termes par la moyenne arithmétique de $U_4$ et $U_9$.

   Indice — Compare la valeur de $S$ avec $6 \times \dfrac{U_4 + U_9}{2}$.

   Correction

   La différence vaut $9 - 4 = 5$. Le nombre de termes ($6$) correspond donc à $(9 - 4) + 1$.

   Pour la vérification par le calcul :
   $6 \times \dfrac{U_4 + U_9}{2} = 6 \times \dfrac{14 + 29}{2} = 6 \times 21{,}5 = 129$.

   On retrouve bien la valeur de $S$.

4. 4. Soient $p$ et $n$ deux entiers naturels tels que $n \ge p$. En s'inspirant de l'observation précédente, exprimer en fonction de $n$ et $p$ le nombre de termes de la somme $U_p + U_{p+1} + \dots + U_n$.

   Indice — Quelle opération simple sur $9$ et $4$ permet d'obtenir $6$ ?

   Correction

   Par analogie avec l'exemple où l'on a compté $9 - 4 + 1 = 6$ termes, le nombre de termes de la somme $U_p + U_{p+1} + \dots + U_n$ est donné par la formule $n - p + 1$.

5. 5. Soit $(U_n)$ une suite arithmétique de premier terme $U_0$ et de raison $r$. Exprimer $U_p$ et $U_n$ en fonction de $U_0$, $r$, $p$ et $n$.

   Indice — Exprime $U_k$ sous la forme $U_0 + kr$.

   Correction

   Par définition d'une suite arithmétique de premier terme $U_0$ et de raison $r$, le terme général s'écrit $U_k = U_0 + k r$. On en déduit directement $U_p = U_0 + p r$ et $U_n = U_0 + n r$.

6. 6. En écrivant la somme $S_{p,n} = U_p + U_{p+1} + \dots + U_n$ dans l'ordre croissant puis dans l'ordre décroissant, démontrer que :
   $$S_{p,n} = (n - p + 1) \frac{U_p + U_n}{2}$$

   Indice — Que vaut la somme $(U_p + U_n) + (U_{p+1} + U_{n-1}) + \dots$ ?

   Correction

   On écrit la somme $S_{p,n}$ dans les deux ordres :
   $S_{p,n} = U_p + U_{p+1} + \dots + U_n$
   $S_{p,n} = U_n + U_{n-1} + \dots + U_p$
   En additionnant membre à membre, la somme de chaque paire de termes vaut $U_{p+k} + U_{n-k} = U_p + U_n$. Comme la somme compte $n - p + 1$ termes, on obtient $2 S_{p,n} = (n - p + 1)(U_p + U_n)$, d'où $S_{p,n} = (n - p + 1) \frac{U_p + U_n}{2}$.

7. 7. En utilisant la formule établie, calculer la somme $U_{15} + U_{16} + \dots + U_{85}$.

   Indice — Applique la formule avec $p = 15$ et $n = 85$.

   Correction

   On applique la formule avec $p = 15$ et $n = 85$. La somme comporte $85 - 15 + 1 = 71$ termes.
   Avec $U_0 = 2$ et $r = 3$, on calcule les termes extrêmes : $U_{15} = 2 + 15 \times 3 = 47$ et $U_{85} = 2 + 85 \times 3 = 257$.
   Ainsi, $S_{15,85} = 71 \times \frac{47 + 257}{2} = 71 \times 152 = 10\,792$.