Point de départ · 1

Parmi les expressions suivantes, laquelle définit une fonction polynôme ?

Remarque

Une fonction polynôme est formée uniquement d'une somme de termes de la forme $a_k x^k$ , où les puissances $k$ sont des entiers naturels. Une variable sous une racine, au dénominateur ou dans une valeur absolue ne définit pas un polynôme.

Définition · 2

Définition d'un polynôme et de son degré

Soient $a_0, a_1, \dots, a_n$ des réels avec $a_n \neq 0$ .

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$

La fonction $P$ est appelée fonction polynôme. L'entier naturel $n$ est le degré du polynôme $P$ , noté $d^\circ(P) = n$ .

Vocabulaire

Monôme — $a_k x^k$
Terme constant — $a_0$
Terme de plus haut degré — $a_n x^n$

Remarque

Le polynôme nul n'a pas de degré. Un polynôme constant non nul est de degré $0$ .

Exemple travaillé · 3

Soit $P(x) = 2 - x + x^3 + x^5 + x^7$ . Détermine le degré de $P$ , son terme constant et son coefficient dominant.

1

On ordonne le polynôme selon les puissances décroissantes de $x$ :

2

P(x) = x^7 + x^5 + x^3 - x + 2

3

La plus haute puissance de $x$ dont le coefficient est non nul est $7$ , donc :

4

d^\circ(P) = 7

5

Le terme de plus haut degré est $x^7$ (coefficient dominant $1$ ) et le terme constant est $2$ .

Vérification · 4

Soit le polynôme $P(x) = -3x^3 + 2\sqrt{5}x^2 + 1$ . Complète les informations suivantes :

Remarque

Le terme de plus haut degré est $-3x^3$ , donc le degré est $3$ . Le terme constant est la valeur sans variable, soit $1$ .

Définition · 5

Opérations sur les polynômes et calcul de degré

Soient $P$ et $Q$ deux fonctions polynômes non nulles, $\alpha$ un réel non nul et $n \in \mathbb{N}$ .

$d^\circ(P \times Q) = d^\circ(P) + d^\circ(Q)$

$d^\circ(P^n) = n \times d^\circ(P) \quad \text{et} \quad d^\circ(\alpha P) = d^\circ(P)$

$d^\circ(P + Q) \le \max(d^\circ(P), d^\circ(Q))$

Remarque

Le degré de la somme $P+Q$ peut être strictement inférieur au maximum si les termes dominants s'annulent.

Piège classique · 6

On donne $P(x) = x^3 + 2x$ et $Q(x) = -x^3 + 4x^2 + 1$ . Quel est le degré du polynôme $(P+Q)$ ?

Attention

Affirmer que $d^\circ(P+Q) = 3$ en appliquant mécaniquement le maximum des degrés.

À la place : Les termes de plus haut degré s'annulent : $x^3 + (-x^3) = 0$ . On a $(P+Q)(x) = 4x^2 + 2x + 1$ , donc $d^\circ(P+Q) = 2$ .

Exemple travaillé · 7

Soient $P(x) = 3x^2 - x$ et $Q(x) = 2x^3 - 4x + 1$ .
1. Détermine le degré de $(PQ)$ sans développer.
2. Développe et réduis le produit $(PQ)(x)$ .

1

1. Le degré d'un produit est la somme des degrés :

2

d^\circ(PQ) = d^\circ(P) + d^\circ(Q) = 2 + 3 = 5

3

2. On applique la distributivité de chaque monôme de $P$ sur $Q$ :

4

(PQ)(x) = 3x^2(2x^3 - 4x + 1) - x(2x^3 - 4x + 1)

5

(PQ)(x) = (6x^5 - 12x^3 + 3x^2) - (2x^4 - 4x^2 + x)

6

On regroupe et on ordonne par puissances décroissantes :

7

(PQ)(x) = 6x^5 - 2x^4 - 12x^3 + 7x^2 - x

Vérification · 8

Soit $A(x) = (x^2 + 1)^3 (2x^4 - 5x + 1)$ . Quel est le degré du polynôme $A$ ?

Remarque

Le facteur $(x^2+1)^3$ est de degré $2 \times 3 = 6$ . Le second facteur est de degré $4$ . Le degré du produit est donc $6 + 4 = 10$ .

Définition · 9

Égalité de deux polynômes et identification

Soient $P$ et $Q$ deux fonctions polynômes définies sur $\mathbb{R}$ .

$P(x) = Q(x) \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R} \iff d^\circ(P) = d^\circ(Q) \text{ et les coefficients de même degré sont égaux}$

En particulier, un polynôme est nul sur $\mathbb{R}$ si et seulement si tous ses coefficients sont nuls :

$a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 = 0 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R} \iff a_n = a_{n-1} = \dots = a_0 = 0$

Exemple travaillé · 10

Soient $P(x) = ax^2 + bx + c$ et $Q(x) = 2x^2 - 10x + 11$ . Détermine les réels $a, b$ et $c$ pour que $P(x) = Q(x)$ pour tout réel $x$ .

1

Les deux polynômes sont déjà ordonnés par puissances décroissantes et sont de degré $2$ .

2

Par identification des coefficients des termes de même degré :

3

\begin{cases} a = 2 \\ b = -10 \\ c = 11 \end{cases}

4

Les réels cherchés sont donc $a = 2$ , $b = -10$ et $c = 11$ .

Piège classique · 11

On pose $A(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ et $B(x) = 4x^3 - 5x + 1$ . Pour que $A(x) = B(x)$ sur $\mathbb{R}$ , quelle est la valeur de $b$ ?

Attention

Associer $b$ à $-5$ en alignant visuellement le deuxième terme écrit sans vérifier son degré.

À la place : Le terme en $x^2$ est absent dans $B(x)$ , son coefficient est donc $0$ . En écrivant $B(x) = 4x^3 + 0x^2 - 5x + 1$ , on obtient $b = 0$ et $c = -5$ .

Vérification · 12

Soient $P(x) = (a-1)x^2 + (b+3)$ et $Q(x) = 3x^2 - 2$ . Trouve $a$ et $b$ pour que $P(x) = Q(x)$ pour tout réel $x$ .

Remarque

Par identification terme à terme : $a - 1 = 3 \implies a = 4$ et $b + 3 = -2 \implies b = -5$ .

Définition · 13

Racine d'un polynôme et divisibilité par (x-α)

Soit $P$ une fonction polynôme de degré $n \ge 1$ et $\alpha$ un nombre réel.

$P(\alpha) = 0 \iff P(x) = (x-\alpha)Q(x)$

où $Q$ est un polynôme de degré $n-1$ .

Vocabulaire

Racine (ou zéro) — $P(\alpha) = 0$
Factorisable par — $(x-\alpha)$

Piège classique · 14

Pour vérifier si un polynôme $P(x)$ est factorisable par $(x+3)$ , quelle valeur calcule-t-on ?

Attention

Calculer $P(3)$ en gardant le signe « + » présent dans le binôme $(x+3)$ .

À la place : Calculer $P(-3)$ . Le binôme $(x+3)$ s'annule pour $x=-3$ , car $(x+3) = (x-(-3))$ .

Définition · 15

Nombre maximal de racines et factorisation complète

$\text{Un polynôme de degré } n \ge 1 \text{ admet au plus } n \text{ racines réelles.}$

Si $P$ admet $n$ racines réelles distinctes $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ , sa factorisation complète s'écrit :

$P(x) = a_n(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\dots(x-\alpha_n)$

Remarque

Le réel $a_n$ est le coefficient du terme de plus haut degré de $P$ .

Exemple travaillé · 16

Soit $P(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12$ .
1. Vérifie que $2$ est une racine de $P$ .
2. Détermine le polynôme $Q$ tel que $P(x) = (x-2)Q(x)$ .

1

1. On évalue $P(2)$ :

2

P(2) = 2^3 + 3(2)^2 - 4(2) - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0

3

$P(2) = 0$ , donc $2$ est bien une racine de $P$ .

4

2. Comme $d^\circ(P)=3$ , le quotient $Q$ est de degré $2$ : $Q(x) = ax^2 + bx + c$ .

5

(x-2)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + (b-2a)x^2 + (c-2b)x - 2c

6

Par identification avec $x^3 + 3x^2 - 4x - 12$ :

7

\begin{cases} a = 1 \\ b - 2(1) = 3 \implies b = 5 \\ -2c = -12 \implies c = 6 \end{cases}

8

On obtient $Q(x) = x^2 + 5x + 6$ , soit $P(x) = (x-2)(x^2 + 5x + 6)$ .

Vérification · 17

Soit $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 8x - 3$ . Sachant que $P(-1) = 0$ , par quel binôme $P(x)$ est-il factorisable ?

Remarque

Puisque $-1$ est racine, $P(x)$ est divisible par $(x - (-1))$ , c'est-à-dire $(x+1)$ .

Définition · 18

Recherche de racines évidentes

Pour factoriser un polynôme sans indication, on cherche d'abord une racine évidente :

$\text{Si la somme des coefficients de } P(x) \text{ est nulle, alors } 1 \text{ est racine de } P.$

$\text{Si } P(-1) = 0, \text{ alors } -1 \text{ est racine de } P.$

Remarque

Les racines entières simples se cherchent en priorité parmi les diviseurs du terme constant ( $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots$ ).

Exemple travaillé · 19

Soit $P(x) = 3x^3 - 2x^2 - 7x - 2$ . Détermine une racine évidente de $P$ , puis factorise complètement $P(x)$ .

1

On teste $-1$ parmi les diviseurs du terme constant $-2$ :

2

P(-1) = 3(-1)^3 - 2(-1)^2 - 7(-1) - 2 = -3 - 2 + 7 - 2 = 0

3

$-1$ est une racine, donc $P(x)$ est factorisable par $(x+1)$ : $P(x) = (x+1)(ax^2+bx+c)$ .

4

Par identification, on trouve $a=3$ , $c=-2$ et $b=-5$ :

5

P(x) = (x+1)(3x^2 - 5x - 2)

6

On factorise le trinôme $3x^2 - 5x - 2$ : son discriminant est $\Delta = (-5)^2 - 4(3)(-2) = 49 = 7^2$ . Ses racines sont $2$ et $-\frac{1}{3}$ .

7

P(x) = (x+1)(x-2)(3x+1)

Définition · 20

Polynôme symétrique de degré 3

Un polynôme de la forme $f(x) = ax^3 + bx^2 + bx + a$ (avec $a \neq 0$ ) est appelé polynôme symétrique de degré $3$ .

$f(-1) = -a + b - b + a = 0 \implies -1 \text{ est toujours racine de } f$

Le polynôme se factorise immédiatement sous la forme canonique :

$f(x) = (x+1)(ax^2 + (b-a)x + a)$

Remarque

Le discriminant du trinôme quotient est $\Delta = (b-a)^2 - 4a^2 = (b-3a)(b+a)$ .

Exemple travaillé · 21

Soit $f(x) = 2x^3 + 5x^2 + 5x + 2$ . Factorise $f(x)$ et résous dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x) = 0$ .

1

$f$ est un polynôme symétrique avec $a=2$ et $b=5$ . La valeur $-1$ est racine évidente.

2

On applique la factorisation canonique avec le coefficient central $b-a = 5 - 2 = 3$ :

3

f(x) = (x+1)(2x^2 + 3x + 2)

4

On résout $2x^2 + 3x + 2 = 0$ en calculant le discriminant :

5

\Delta = 3^2 - 4(2)(2) = 9 - 16 = -7

6

Comme $\Delta < 0$ , le trinôme n'admet aucune racine réelle. L'unique solution de l'équation est $S = \{-1\}$ .

Vérification · 22

Soit le polynôme symétrique $P(x) = 3x^3 + 7x^2 + 7x + 3$ . Quelle est l'expression de son quotient par $(x+1)$ ?

Remarque

Pour $f(x) = ax^3 + bx^2 + bx + a$ , le quotient par $(x+1)$ s'écrit $ax^2 + (b-a)x + a$ . Avec $a=3$ et $b=7$ , on a $b-a = 7 - 3 = 4$ , d'où $3x^2 + 4x + 3$ .

Définition · 23

Équations bicarrées et changement de variable

Une équation de degré 4 de la forme $ax^4 + bx^2 + c = 0$ (avec $a \neq 0$ ) est appelée équation bicarrée.

$X = x^2 \implies aX^2 + bX + c = 0$

On résout d'abord l'équation du second degré en $X$ , sous la contrainte obligatoire :

X \ge 0

Remarque

Une valeur $X < 0$ ne donne aucune solution réelle pour $x$ , car un carré est toujours positif ou nul sur $\mathbb{R}$ .

Piège classique · 24

En posant $X = x^2$ , on trouve que les solutions en $X$ d'une équation sont $X_1 = 4$ et $X_2 = -9$ . Quel est l'ensemble des solutions réelles en $x$ ?

Attention

Conserver la valeur $X = -9$ et écrire $x = \pm 3$ , ou accepter des racines impossibles dans $\mathbb{R}$ .

À la place : L'égalité $x^2 = -9$ est impossible dans $\mathbb{R}$ . Seule la racine positive $X_1 = 4$ donne des solutions réelles : $x^2 = 4 \iff x = -2$ ou $x = 2$ .

Exemple travaillé · 25

Soit $g(x) = 3x^4 - x^2 - 2$ . Factorise $g(x)$ puis résous dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $g(x) \le 0$ .

1

On pose $X = x^2$ . L'expression devient le trinôme $f(X) = 3X^2 - X - 2$ .

2

La somme des coefficients de $3X^2 - X - 2$ est nulle ( $3 - 1 - 2 = 0$ ), ses racines sont donc $X_1 = 1$ et $X_2 = -\frac{2}{3}$ .

3

f(X) = 3(X - 1)\left(X + \frac{2}{3}\right) = (X - 1)(3X + 2)

4

On revient à la variable $x$ en remplaçant $X$ par $x^2$ :

5

g(x) = (x^2 - 1)(3x^2 + 2) = (x - 1)(x + 1)(3x^2 + 2)

6

Pour tout réel $x$ , $3x^2 + 2 \ge 2 > 0$ . Ce facteur est strictement positif, donc le signe de $g(x)$ est uniquement celui de $(x-1)(x+1)$ :

7

g(x) \le 0 \iff (x-1)(x+1) \le 0 \iff x \in [-1 \, ; \, 1]

Vérification · 26

Soit l'équation $x^4 + 5x^2 + 4 = 0$ . En posant $X = x^2$ , l'équation $X^2 + 5X + 4 = 0$ admet pour racines $X_1 = -1$ et $X_2 = -4$ . Combien l'équation initiale admet-elle de solutions réelles en $x$ ?

Remarque

Puisque $X_1 < 0$ et $X_2 < 0$ , les équations $x^2 = -1$ et $x^2 = -4$ n'admettent aucune solution dans $\mathbb{R}$ . L'équation n'a donc aucune solution réelle ( $S = \emptyset$ ).

Définition · 27

Fonction rationnelle et ensemble de définition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions polynômes avec $g$ non nulle.

$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$

La fonction $h$ est appelée fonction rationnelle. Son ensemble de définition est l'ensemble des réels $x$ tels que le dénominateur est non nul :

$D_h = \{x \in \mathbb{R} \mid g(x) \neq 0\}$

Remarque

Les réels qui annulent le dénominateur $g(x)$ sont appelés les valeurs interdites de la fonction rationnelle.

Piège classique · 28

Soit $f(x) = \frac{(x-1)(x+6)}{(x-1)(x+2)}$ , définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-2 \, ; \, 1\}$ . Pour $x \in D_f$ , on simplifie par $(x-1)$ : $f(x) = \frac{x+6}{x+2}$ . Dans le tableau de signes de $f(x)$ , que met-on sous la valeur $x=1$ ?

Attention

Traiter $x=1$ comme un point ordinaire sans coupure car le facteur $(x-1)$ n'apparaît plus dans l'écriture simplifiée.

À la place : La valeur $x=1$ annule le dénominateur de départ : elle reste une valeur interdite pour $f$ , marquée par une double barre « ‖ ».

Piège classique · 29

On étudie le signe de $Q(x) = x^2 + x + 1$ . Son discriminant est $\Delta = -3 < 0$ . Que doit-on inscrire sur la ligne de $Q(x)$ dans un tableau de signes ?

Attention

Chercher à alterner des signes « - » et « + » ou déclarer l'étude impossible faute de zéros.

À la place : Comme $\Delta < 0$ , le trinôme ne s'annule jamais. Il garde un signe constant sur tout $\mathbb{R}$ , celui de son coefficient dominant $a=1$ , donc uniquement des « + ».

Exemple travaillé · 30

Soit la fonction rationnelle $h(x) = \frac{x^2+5x-6}{x^2+x-2}$ .
1. Détermine l'ensemble de définition $D_h$ .
2. Simplifie $h(x)$ sur $D_h$ .
3. Étudie le signe de $h(x)$ sur $D_h$ .

1

1. Le dénominateur $x^2+x-2$ a pour racines $1$ et $-2$ . L'ensemble de définition est :

2

D_h = \mathbb{R} \setminus \{-2 \, ; \, 1\}

3

2. Le numérateur $x^2+5x-6$ a pour racines $1$ et $-6$ . On factorise :

4

h(x) = \frac{(x-1)(x+6)}{(x-1)(x+2)}

5

Pour tout $x \in D_h$ (où $x \neq 1$ ), on simplifie par $(x-1)$ :

6

h(x) = \frac{x+6}{x+2}

7

3. On dresse le tableau de signes en signalant les valeurs interdites $-2$ et $1$ :

x	-6	-2	1	$+\infty$
x+6	-	0	+	+	+
x+2	-	-	0	+	+
h(x)	+	0	‖	‖	+

8

Conclusion : $h(x) > 0$ sur $]-\infty \, ; \, -6[ \cup ]-2 \, ; \, 1[ \cup ]1 \, ; \, +\infty[$ , $h(x) < 0$ sur $]-6 \, ; \, -2[$ , et $h(x) = 0$ pour $x = -6$ .

Vérification · 31

Soit $f(x) = \frac{x-3}{(x-1)(x^2+1)}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ . Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \ge 0$ ?

Remarque

Pour tout réel $x$ , $x^2+1 > 0$ (car $\Delta = -4 < 0$ ). Le signe de $f(x)$ dépend uniquement de $(x-3)$ et $(x-1)$ , avec $x=1$ valeur interdite. Le quotient est positif à l'extérieur des racines $1$ et $3$ , soit $S = ]-\infty \, ; \, 1[ \cup [3 \, ; \, +\infty[$ .

Notions de polynômes — cours

Le cours

Définition d'un polynôme et de son degré

Opérations sur les polynômes et calcul de degré

Égalité de deux polynômes et identification

Racine d'un polynôme et divisibilité par (x-α)

Nombre maximal de racines et factorisation complète

Recherche de racines évidentes

Polynôme symétrique de degré 3

Équations bicarrées et changement de variable

Fonction rationnelle et ensemble de définition

Chapitres liés

Continuer sur Lumio