Point de départ · 1

Si un point $M'$ est obtenu en multipliant le vecteur $\vec{IM}$ par $3$ , c'est-à-dire $\vec{IM'} = 3\vec{IM}$ , que peut-on affirmer sur la position des points $I$ , $M$ et $M'$ ?

Remarque

Puisque $\vec{IM'} = 3\vec{IM}$ , les vecteurs $\vec{IM'}$ et $\vec{IM}$ sont colinéaires et partagent la même origine $I$ . Les points $I$ , $M$ et $M'$ sont donc toujours alignés.

Définition · 2

Définition de l'homothétie

$h_{(I,k)}(M) = M' \iff \vec{IM'} = k\vec{IM}$

I \in \mathcal{P},\quad k \in \mathbb{R}^*

$I$ est le centre de l'homothétie, $k$ son rapport. Le point $M'$ est l'image de $M$ , et $M$ est l'antécédent de $M'$ .

Points invariants et cas particuliers

• Si $k \neq 1$ , le centre $I$ est l'unique point invariant ( $h(I) = I$ ).
• Si $k = 1$ , l'homothétie est l'identité du plan : $h_{(I,1)} = \text{Id}_P$ .
• Si $k = -1$ , l'homothétie est la symétrie centrale de centre $I$ : $h_{(I,-1)} = S_I$ .

Piège classique · 3

On donne l'égalité vectorielle $\vec{AB'} = 3\vec{AB}$ . Quelle interprétation géométrique est correcte ?

Attention

Considérer que le centre est $B'$ ou que $B$ est l'image de $A$ .

À la place : L'origine commune aux deux vecteurs est le point fixe $A$ : c'est le centre de l'homothétie. $B'$ est l'image de $B$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $3$ , ce qui s'écrit $h_{(A,3)}(B) = B'$ .

Exemple travaillé · 4

Soit $h$ l'homothétie de centre $I$ et de rapport $3$ telle que $h(A) = B$ . Exprime le vecteur $\vec{AI}$ en fonction de $\vec{AB}$ pour construire le centre $I$ .

1

On traduit la définition de l'homothétie par l'égalité vectorielle correspondante :

\vec{IB} = 3\vec{IA}

2

On décompose $\vec{IB}$ à l'aide de la relation de Chasles en introduisant le point $A$ :

\vec{IA} + \vec{AB} = 3\vec{IA}

3

On regroupe les termes en $\vec{IA}$ dans le membre de droite :

\vec{AB} = 3\vec{IA} - \vec{IA} = 2\vec{IA}

4

On isole $\vec{AI}$ pour positionner le centre $I$ par rapport au point fixe $A$ :

\vec{AI} = -\frac{1}{2}\vec{AB}

Vérification · 5

L'égalité vectorielle $\vec{MC} = -\frac{5}{2}\vec{MD}$ signifie que :

Remarque

$M$ est l'origine commune aux deux vecteurs, c'est donc le centre de l'homothétie. Le vecteur $\vec{MC}$ est égal à $-\frac{5}{2}\vec{MD}$ , donc $C$ est l'image de $D$ par $h_{(M, -5/2)}$ .

Point de départ · 6

Sur la figure ci-dessus, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles avec $CD = 3AB$ . Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$ . Quel est le rapport de l'homothétie de centre $O$ qui transforme $A$ en $C$ ?

Remarque

Le centre $O$ est situé entre $A$ et $C$ , donc les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OC}$ sont de sens contraires. Le rapport vectoriel est donc strictement négatif : $k = -3$ .

Piège classique · 7

On sait que $h(A) = C$ pour une homothétie de centre $O$ . Si $O \in [AC]$ et $OC = 4OA$ , que vaut le rapport $k$ de cette homothétie ?

Attention

Calculer uniquement le quotient des distances $\frac{OC}{OA} = 4$ et en déduire $k = 4$ .

À la place : Comme $O \in [AC]$ , le centre $O$ est situé entre $A$ et $C$ . Les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OC}$ sont donc de sens opposés, ce qui donne $\vec{OC} = -4\vec{OA}$ et $k = -4$ .

Définition · 8

Signe du rapport et disposition des points

$\vec{IM'} = k\vec{IM}$

k \in \mathbb{R}^*,\quad M' = h_{(I,k)}(M)

La disposition relative des points $I$ , $M$ et $M'$ sur leur droite commune dépend du signe de $k$ :
• Si $k > 0$ : $\vec{IM'}$ et $\vec{IM}$ ont le même sens ( $M$ et $M'$ sont du même côté par rapport à $I$ ).
• Si $k < 0$ : $\vec{IM'}$ et $\vec{IM}$ sont de sens contraires ( $I$ est situé entre $M$ et $M'$ ).

Agrandissement et réduction

• Si $|k| > 1$ : la transformation est un agrandissement.
• Si $|k| < 1$ : la transformation est une réduction.

Exemple travaillé · 9

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. On considère l'homothétie $h$ de centre $I$ qui transforme $A$ en $B$ , avec $I \in [AB]$ et $IB = 3IA$ .
1. Détermine le rapport $k$ de $h$ .
2. Exprime $\vec{AI}$ en fonction de $\vec{AB}$ pour placer le point $I$ .

1

Puisque $I \in [AB]$ , les vecteurs $\vec{IA}$ et $\vec{IB}$ sont de sens contraires.

\vec{IB} = -3\vec{IA} \implies k = -3

2

On introduit le point $A$ dans $\vec{IB}$ à l'aide de la relation de Chasles :

\vec{IA} + \vec{AB} = -3\vec{IA}

3

On regroupe les termes en $\vec{IA}$ :

\vec{AB} = -4\vec{IA} = 4\vec{AI}

4

On en déduit l'expression du vecteur position du centre $I$ :

\vec{AI} = \frac{1}{4}\vec{AB}

Vérification · 10

Soit $h$ l'homothétie de centre $O$ telle que $h(A) = B$ . Si $O$ est situé entre $A$ et $B$ avec $OA = 2\text{ cm}$ et $OB = 6\text{ cm}$ , complète les informations suivantes :

Remarque

Comme $O \in [AB]$ , les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OB}$ sont opposés, d'où $k = -\frac{OB}{OA} = -3$ . Puisque $|k| = 3 > 1$ , la transformation est un agrandissement.

Définition · 11

Propriété caractéristique

$h_{(I,k)}(M) = M' \quad \text{et} \quad h_{(I,k)}(N) = N' \implies \vec{M'N'} = k\vec{MN}$

Pour tous points distincts $M$ et $N$ , les droites $(MN)$ et $(M'N')$ sont parallèles, et la distance vérifie $M'N' = |k|MN$ .

Effet sur les grandeurs géométriques

Par une homothétie de rapport $k$ non nul :
• Les longueurs et périmètres sont multipliés par $|k|$ .
• Les aires sont multipliées par $k^2$ .

Piège classique · 12

Un cercle $\mathcal{C}$ a pour rayon $R = 3\text{ cm}$ . On applique l'homothétie $h_{(I, -2)}$ . Quel est le rayon $R'$ du cercle image ?

Attention

Multiplier directement le rayon par le rapport $k = -2$ , ce qui donne un rayon négatif $R' = -6\text{ cm}$ .

À la place : Une distance ou un rayon est toujours strictement positif. On multiplie par la valeur absolue du rapport : $R' = |-2| \times 3 = 6\text{ cm}$ .

Exemple travaillé · 13

Un triangle $ABC$ a pour périmètre $p = 12\text{ cm}$ et pour aire $\mathcal{A} = 6\text{ cm}^2$ . On note $A'B'C'$ son image par l'homothétie $h_{(O, -3)}$ . Détermine le périmètre $p'$ et l'aire $\mathcal{A}'$ du triangle $A'B'C'$ .

1

Le périmètre est multiplié par la valeur absolue du rapport $|k| = |-3| = 3$ :

2

p' = |-3| \times p = 3 \times 12 = 36\text{ cm}

3

L'aire est multipliée par le carré du rapport $k^2 = (-3)^2 = 9$ :

4

\mathcal{A}' = (-3)^2 \times \mathcal{A} = 9 \times 6 = 54\text{ cm}^2

Vérification · 14

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de rayon $R = 4\text{ cm}$ et d'aire $\mathcal{A} = 16\pi\text{ cm}^2$ . Son image par $h_{(O, -2)}$ est le cercle $\mathcal{C}'$ . Complète ses caractéristiques :

Remarque

Le rayon de $\mathcal{C}'$ est $R' = |-2| \times 4 = 8\text{ cm}$ . L'aire de $\mathcal{C}'$ est $\mathcal{A}' = (-2)^2 \times 16\pi = 64\pi\text{ cm}^2$ .

Point de départ · 15

Soit $h$ une homothétie de centre $I$ . Si une droite $(D)$ passe par $I$ , que peut-on dire de son image par $h$ ?

Remarque

Pour tout point $M$ de $(D)$ , son image $M'$ vérifie $\vec{IM'} = k\vec{IM}$ , donc $M'$ appartient aussi à la droite $(IM) = (D)$ . L'image de la droite $(D)$ est la droite $(D)$ elle-même.

Définition · 16

Image d'une droite par une homothétie

$h_{(I,k)}((\mathcal{D})) \parallel (\mathcal{D})$

• Si $I \notin (\mathcal{D})$ : l'image de $(\mathcal{D})$ est la droite strictement parallèle à $(\mathcal{D})$ passant par $h(A)$ , où $A \in (\mathcal{D})$ .
• Si $I \in (\mathcal{D})$ : la droite passe par le centre, elle est globalement invariante : $h((\mathcal{D})) = (\mathcal{D})$ .

Image d'un segment

$h_{(I,k)}([AB]) = [A'B'] \quad \text{avec } A'=h(A) \text{ et } B'=h(B)$

La longueur du segment image vérifie $A'B' = |k|AB$ .

Piège classique · 17

Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $3$ . Quelle est l'image de la droite $(AB)$ par $h$ ?

Attention

Tracer une droite parallèle à $(AB)$ qui ne passe plus par $A$ .

À la place : La droite $(AB)$ passe par le centre $A$ de l'homothétie. Tout point $M \in (AB)$ a son image $M'$ sur $(AB)$ . L'image de la droite $(AB)$ est donc la droite $(AB)$ elle-même.

Exemple travaillé · 18

Soit $ABC$ un triangle. On considère l'homothétie $h$ de centre $A$ et de rapport $2$ . On pose $B' = h(B)$ et $C' = h(C)$ . Détermine les images des droites $(AB)$ et $(BC)$ par $h$ .

1

Pour la droite $(AB)$ : elle passe par le centre $A$ de l'homothétie.

2

Une droite contenant le centre est globalement invariante :

h((AB)) = (AB)

3

Pour la droite $(BC)$ : elle ne passe pas par le centre $A$ . Son image est la droite passant par les images des points $B$ et $C$ .

4

Comme $h(B) = B'$ et $h(C) = C'$ , l'image est la droite $(B'C')$ :

h((BC)) = (B'C') \quad \text{avec } (B'C') \parallel (BC)

Vérification · 19

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$ , et $h$ l'homothétie de centre $O$ telle que $h(A) = C$ . Quelles sont les images des droites $(AC)$ et $(AB)$ par $h$ ?

Remarque

La droite $(AC)$ passe par le centre $O$ , donc $h((AC)) = (AC)$ . La droite $(AB)$ ne contient pas $O$ ; son image est la parallèle à $(AB)$ passant par $h(A) = C$ , c'est-à-dire la droite $(CD)$ .

Définition · 20

Propriétés de conservation

Une homothétie conserve les relations géométriques fondamentales :
• L'alignement des points et le parallélisme des droites.
• Le milieu d'un segment : $h(A * B) = h(A) * h(B)$ .
• Le barycentre de points pondérés.
• Les mesures des angles géométriques et orientés.
• L'orthogonalité de deux droites.
• Le contact : l'image d'une droite tangente à un cercle est une droite tangente au cercle image.

Image d'une intersection

$M = (\mathcal{D}_1) \cap (\mathcal{D}_2) \implies h(M) = h((\mathcal{D}_1)) \cap h((\mathcal{D}_2))$

L'image du point d'intersection de deux droites est le point d'intersection de leurs droites images.

Piège classique · 21

Soit un point $M$ défini géométriquement par $M = (\mathcal{D}_1) \cap (\mathcal{D}_2)$ . On connaît les droites images $\Delta_1 = h((\mathcal{D}_1))$ et $\Delta_2 = h((\mathcal{D}_2))$ . Comment détermine-t-on $h(M)$ ?

Attention

Chercher à calculer les coordonnées de $M$ ou établir une relation vectorielle complexe.

À la place : Puisque l'homothétie conserve les intersections, l'image de $M$ est directement le point d'intersection des deux droites transformées : $h(M) = \Delta_1 \cap \Delta_2$ .

Exemple travaillé · 22

Soit $ABCD$ un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$ . Les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $E$ . Soit $h$ l'homothétie de centre $E$ telle que $h(A) = D$ .
1. Détermine $h(B)$ .
2. La parallèle à $(AF)$ passant par $D$ et la parallèle à $(BF)$ passant par $C$ se coupent en $G$ . Montre que $h(F) = G$ et déduis-en que $E$ , $F$ et $G$ sont alignés.

1

L'image de la droite $(AB)$ est la parallèle passant par $h(A) = D$ , soit la droite $(CD)$ car $(AB) \parallel (CD)$ .

2

La droite $(EB)$ passe par le centre $E$ , donc $h((EB)) = (EB) = (EC)$ . Comme $B = (AB) \cap (EB)$ , on en déduit :

3

h(B) = (CD) \cap (EC) = C

4

L'image de $(AF)$ est la parallèle issue de $h(A)=D$ , soit $(DG)$ . L'image de $(BF)$ est la parallèle issue de $h(B)=C$ , soit $(CG)$ . Comme $F = (AF) \cap (BF)$ , on a :

5

h(F) = (DG) \cap (CG) = G

6

Puisque $G = h(F)$ par l'homothétie de centre $E$ , le centre $E$ , le point $F$ et son image $G$ sont alignés.

Exemple travaillé · 23

Soit $\zeta$ un cercle de diamètre $[AB]$ et $(\mathcal{D})$ sa tangente en $B$ . Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$ . On pose $B' = h(B)$ et $\zeta' = h(\zeta)$ .
1. Que représente le segment $[AB']$ pour $\zeta'$ ?
2. Détermine l'image de la droite $(\mathcal{D})$ par $h$ et justifie sa nature par rapport à $\zeta'$ .

1

Par conservation des segments par $h$ , l'image du diamètre $[AB]$ est le segment $[h(A)h(B)] = [AB']$ . Le segment $[AB']$ est donc un diamètre de $\zeta'$ .

2

La droite $(\mathcal{D})$ est tangente à $\zeta$ en $B$ , ce qui implique $(\mathcal{D}) \perp (AB)$ en $B$ .

3

L'image de $(\mathcal{D})$ par $h$ est la droite $(\mathcal{D}')$ parallèle à $(\mathcal{D})$ passant par $h(B) = B'$ .

4

Par conservation de l'orthogonalité et du contact, $(\mathcal{D}') \perp (AB')$ en $B'$ : la droite $(\mathcal{D}')$ est la tangente à $\zeta'$ au point $B'$ .

Vérification · 24

Soit un point $H$ défini par l'intersection de deux droites $(\mathcal{D}_1)$ et $(\mathcal{D}_2)$ . Par une homothétie $h$ , on a $h((\mathcal{D}_1)) = \Delta_1$ et $h((\mathcal{D}_2)) = \Delta_2$ . Que vaut $h(H)$ ?

Remarque

L'homothétie conserve les intersections : l'image de l'intersection de deux droites est l'intersection de leurs droites images, donc $h(H) = \Delta_1 \cap \Delta_2$ .

Rappel · 25

Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A, 2)$ et $(B, 3)$ . Pour tout point $M$ du plan, réduis la somme vectorielle $2\vec{MA} + 3\vec{MB}$ :

Remarque

Par la propriété fondamentale du barycentre, pour tout point $M$ , on a $2\vec{MA} + 3\vec{MB} = (2+3)\vec{MG} = 5\vec{MG}$ .

Définition · 26

Réduction d'une application vectorielle

Soit $f$ une application qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que $\vec{MM'} = \alpha\vec{MA} + \beta\vec{MB}$ .

\alpha + \beta \neq 0

En introduisant le barycentre $G$ des points pondérés $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$ , l'égalité devient :

$\vec{MG} + \vec{GM'} = (\alpha+\beta)\vec{MG} \iff \vec{GM'} = (1 - \alpha - \beta)\vec{GM}$

• Si $\alpha + \beta \neq 1$ : $f$ est l'homothétie de centre $G$ et de rapport $k = 1 - (\alpha + \beta)$ .
• Si $\alpha + \beta = 0$ : le vecteur $\vec{MM'}$ est constant, $f$ est une translation.

Piège classique · 27

On définit l'application $f$ par $\vec{MM'} = 2\vec{MA} - 2\vec{MB}$ . Quelle est la nature de l'application $f$ ?

Attention

Chercher un barycentre alors que la somme des coefficients $2 + (-2) = 0$ s'annule.

À la place : La somme des coefficients est nulle ( $2 - 2 = 0$ ). Le vecteur $\vec{MM'} = 2(\vec{MA} - \vec{MB}) = 2\vec{BA}$ est indépendant de $M$ : $f$ est la translation de vecteur $2\vec{BA}$ .

Exemple travaillé · 28

Soit $f$ l'application définie pour tout point $M$ par $\vec{MM'} = 2\vec{MA} + 3\vec{MB}$ . Montre que $f$ est une homothétie dont on précisera le centre $G$ et le rapport $k$ .

1

La somme des coefficients est $2 + 3 = 5 \neq 0$ . On introduit le barycentre $G$ des points pondérés $(A, 2)$ et $(B, 3)$ , qui vérifie $2\vec{GA} + 3\vec{GB} = \vec{0}$ .

2

On réduit la somme vectorielle à l'aide de la relation de Chasles :

\vec{MM'} = 2(\vec{MG} + \vec{GA}) + 3(\vec{MG} + \vec{GB}) = 5\vec{MG} + (2\vec{GA} + 3\vec{GB}) = 5\vec{MG}

3

On décompose le vecteur $\vec{MM'}$ en passant par le point fixe $G$ :

\vec{MG} + \vec{GM'} = 5\vec{MG} \iff \vec{GM'} = 4\vec{MG}

4

On inverse le vecteur pour faire apparaître la forme canonique :

\vec{GM'} = -4\vec{GM}

5

L'application $f$ est l'homothétie de centre $G$ et de rapport $k = -4$ .

Vérification · 29

Soit $g$ l'application définie par $\vec{MM'} = 3\vec{MA} - \vec{MB}$ . Soit $I$ le barycentre des points pondérés $(A, 3)$ et $(B, -1)$ . Quelle est la nature de $g$ ?

Remarque

On a $\vec{MM'} = 2\vec{MI}$ . En décomposant : $\vec{MI} + \vec{IM'} = 2\vec{MI} \implies \vec{IM'} = \vec{MI} = -\vec{IM}$ . L'application $g$ est l'homothétie de centre $I$ et de rapport $-1$ (la symétrie centrale $S_I$ ).

Définition · 30

Recherche d'un lieu géométrique par homothétie

Lorsqu'un point $M$ se déplace sur une figure connue (une droite, un cercle) et qu'un point $M'$ dépend de la position de $M$ , on peut déterminer la trajectoire de $M'$ en identifiant une homothétie.

1

1. Chercher un point fixe $I$ et un réel constant $k$ tels que $\vec{IM'} = k\vec{IM}$ .

2

2. Déduire que $M'$ est l'image de $M$ par l'homothétie $h_{(I,k)}$ .

3

3. Conclure : si $M$ décrit un ensemble $\mathcal{E}$ , alors $M'$ décrit l'ensemble image $\mathcal{E}' = h(\mathcal{E})$ (une droite parallèle, ou un cercle de rayon transformé).

Exemple travaillé · 31

Soit un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $R$ . $A$ et $B$ sont deux points fixes. Un point $M$ varie sur le cercle $\mathcal{C}$ . Soit $G$ le centre de gravité du triangle $ABM$ . Détermine le lieu géométrique du point $G$ lorsque $M$ décrit $\mathcal{C}$ .

1

Pour faire apparaître une homothétie centrée sur un point fixe, on introduit $I$ , le milieu du segment fixe $[AB]$ .

2

Par propriété du centre de gravité $G$ sur la médiane issue de $M$ , on a :

3

\vec{IG} = \frac{1}{3}\vec{IM}

4

Cette relation prouve que $G$ est l'image de $M$ par l'homothétie $h$ de centre $I$ et de rapport $\frac{1}{3}$ .

5

Puisque $M$ décrit le cercle $\mathcal{C}$ , son image $G$ décrit le cercle image $\mathcal{C}' = h(\mathcal{C})$ .

6

Le lieu géométrique de $G$ est donc un cercle de centre $O' = h(O)$ (tel que $\vec{IO'} = \frac{1}{3}\vec{IO}$ ) et de rayon $R' = \frac{1}{3}R$ .

Exemple travaillé · 32

Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $-2$ . Pour tout point $M$ , on note $M' = h(M)$ . Détermine l'ensemble des points $M$ tels que la distance $MM' = 6\text{ cm}$ .

1

La définition de l'homothétie nous donne l'égalité vectorielle :

2

\vec{AM'} = -2\vec{AM}

3

Pour utiliser la condition $MM' = 6$ , on exprime d'abord le vecteur $\vec{MM'}$ en fonction de $\vec{AM}$ par la relation de Chasles :

4

\vec{MM'} = \vec{MA} + \vec{AM'} = -\vec{AM} - 2\vec{AM} = -3\vec{AM}

5

On passe ensuite aux distances en prenant la norme, sans oublier la valeur absolue du coefficient :

6

MM' = |-3| \times AM = 3AM

7

La condition $MM' = 6$ devient $3AM = 6$ , ce qui donne $AM = 2\text{ cm}$ .

8

L'ensemble des points $M$ situés à une distance fixe de $2\text{ cm}$ du point fixe $A$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $2\text{ cm}$ .

Vérification · 33

Soit $(\mathcal{D})$ une droite et $A$ un point fixe n'appartenant pas à $(\mathcal{D})$ . Un point $M$ se déplace sur la droite $(\mathcal{D})$ . On définit $M'$ tel que $\vec{AM'} = -3\vec{AM}$ . Quel est le lieu géométrique du point $M'$ ?

Remarque

L'égalité $\vec{AM'} = -3\vec{AM}$ montre que $M'$ est l'image de $M$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $-3$ . Puisque $M$ décrit la droite $(\mathcal{D})$ qui ne passe pas par $A$ , $M'$ décrit l'image de cette droite, qui est une droite strictement parallèle.

Homothétie — cours

Le cours

Définition de l'homothétie

Points invariants et cas particuliers

Signe du rapport et disposition des points

Agrandissement et réduction

Propriété caractéristique

Effet sur les grandeurs géométriques

Image d'une droite par une homothétie

Image d'un segment

Propriétés de conservation

Image d'une intersection

Réduction d'une application vectorielle

Recherche d'un lieu géométrique par homothétie

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