Équations et inéquations — exercices corrigés

On considère l'équation irrationnelle $\sqrt{x+1} = 2x-1$ et l'inéquation avec valeurs absolues $|x-3| < |3x+1|$ dans l'ensemble des réels $\mathbb{R}$.

1. 1. Déterminer le domaine de validité de l'équation $\sqrt{x+1} = 2x-1$.

   Indice — Pense aux conditions d'existence d'une racine carrée et à la condition nécessaire sur le second membre pour qu'une égalité avec une racine soit possible.

   Correction

   Pour que l'équation soit définie, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle, soit $x + 1 \ge 0 \iff x \ge -1$. De plus, une racine carrée étant toujours positive, l'égalité impose que le second membre soit également positif ou nul, soit $2x - 1 \ge 0 \iff x \ge \frac{1}{2}$. Le domaine de validité $D$ est l'intersection de ces deux conditions : $D = \left[\frac{1}{2}, +\infty\right[$.

2. 2. Élever les deux membres de l'équation au carré sur le domaine de validité pour obtenir une équation polynomiale.

   Indice — Vérifie que les deux membres sont positifs sur le domaine de validité avant d'élever au carré.

   Correction

   Sur le domaine de validité $D = \left[\frac{1}{2}, +\infty\right[$, les deux membres de l'équation sont positifs. Par équivalence, on peut élever au carré : $(\sqrt{x+1})^2 = (2x-1)^2 \iff x + 1 = 4x^2 - 4x + 1$. En regroupant les termes, on obtient l'équation polynomiale : $4x^2 - 5x = 0$.

3. 3. Résoudre l'équation polynomiale et en déduire l'ensemble des solutions $S_{\mathbb{R}}$ de l'équation initiale.

   Indice — Résous l'équation du second degré obtenue et confronte chaque solution au domaine de validité déterminé à la première question.

   Correction

   L'équation $4x^2 - 5x = 0$ se factorise sous la forme $x(4x - 5) = 0$, ce qui donne pour solutions $x = 0$ ou $x = \frac{5}{4}$. En confrontant ces valeurs au domaine de validité $D = \left[\frac{1}{2}, +\infty\right[$, on constate que $0 \notin D$ et $\frac{5}{4} \in D$. L'ensemble des solutions de l'équation initiale est donc $S_{\mathbb{R}} = \left\{\frac{5}{4}\right\}$.

4. 4. Soit l'inéquation $|x-3| < |3x+1|$. Établir l'inéquation équivalente obtenue par l'élévation au carré des deux membres.

   Indice — Pour une inéquation du type $|A| < |B|$, pense à élever les deux membres au carré puisque les deux expressions sont positives.

   Correction

   Les deux membres de l'inéquation $|x-3| < |3x+1|$ étant strictement positifs, l'inéquation est équivalente à celle obtenue en élevant au carré : $(x-3)^2 < (3x+1)^2$. En développant, on obtient $x^2 - 6x + 9 < 9x^2 + 6x + 1$, ce qui se simplifie en $8x^2 + 12x - 8 > 0$. En divisant par 4, on établit l'inéquation équivalente : $2x^2 + 3x - 2 > 0$.

5. 5. Transformer cette inéquation en une inéquation du second degré sous la forme $ax^2 + bx + c > 0$.

   Indice — Développe les carrés et regroupe tous les termes dans le même membre pour faire apparaître un trinôme.

   Correction

   Comme les deux membres de l'inéquation $|x-3| < |3x+1|$ sont positifs, on obtient une inéquation équivalente en élevant au carré : $(x-3)^2 < (3x+1)^2$. En développant les deux membres, on obtient $x^2 - 6x + 9 < 9x^2 + 6x + 1$. En transposant tous les termes du même côté, on aboutit à $8x^2 + 12x - 8 > 0$. Après simplification en divisant par $4$, on obtient l'inéquation du second degré : $2x^2 + 3x - 2 > 0$.

6. 6. Déterminer le signe du trinôme pour conclure sur l'ensemble des solutions de l'inéquation avec valeurs absolues.

   Indice — Calcule le discriminant $\Delta$, trouve les racines $x'$ et $x''$, puis utilise le signe du trinôme.

   Correction

   On étudie le signe du trinôme $2x^2 + 3x - 2$ en calculant son discriminant : $\Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 25$. Le discriminant étant strictement positif, le trinôme admet deux racines réelles distinctes : $x_1 = -2$ et $x_2 = \frac{1}{2}$. Le coefficient de $x^2$ étant positif ($a = 2 > 0$), le trinôme est strictement positif à l'extérieur des racines. L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc $S = ]-\infty, -2[ \cup ]\frac{1}{2}, +\infty[$.

Dans l'ensemble des nombres réels, on considère différentes équations et inéquations comportant des quotients, des radicaux et des valeurs absolues.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition de l'équation $\frac{x-3}{2x} = \frac{2x+3}{x}$.

   Indice — Pense à identifier toutes les valeurs qui annulent les dénominateurs présents dans l'expression rationnelle.

   Correction

   Pour que l'équation soit définie, les dénominateurs $2x$ et $x$ doivent être non nuls, ce qui impose $x \neq 0$. L'ensemble de définition est donc $D = \mathbb{R}^*$.

2. 2. Transformer l'équation rationnelle en une équation polynomiale en développant les expressions obtenues.

   Indice — Utilise l'égalité des produits en croix pour transformer l'équation en une égalité polynomiale.

   Correction

   Pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, on multiplie les deux membres de l'équation par le dénominateur commun $2x$, ce qui donne $x - 3 = 2(2x + 3)$. En développant et en regroupant les termes, on obtient l'équation polynomiale du premier degré : $3x + 9 = 0$.

3. 3. Résoudre cette équation dans $\mathbb{R}$ en confrontant le résultat obtenu au domaine de définition.

   Indice — Résous l'équation du premier degré obtenue et vérifie si la solution trouvée appartient à l'ensemble de définition déterminé précédemment.

   Correction

   La résolution de l'équation $3x + 9 = 0$ donne immédiatement $x = -3$. Cette valeur appartenant bien à l'ensemble de définition $D = \mathbb{R}^*$, l'ensemble des solutions est $S = \{-3\}$.

4. 4. Déterminer le domaine de validité de l'inéquation $\sqrt{4x+1} \leq 2$.

   Indice — Examine la condition d'existence du radical en posant que le radicande doit être positif ou nul.

   Correction

   La racine carrée est définie si et seulement si son radicande est positif ou nul, c'est-à-dire $4x + 1 \geq 0$. On obtient $x \geq -\frac{1}{4}$. Le domaine de validité est donc l'intervalle $I = \left[-\frac{1}{4}; +\infty\right[$.

5. 5. Élever au carré les deux membres de l'inéquation irrationnelle pour aboutir à une inéquation simple.

   Indice — Vérifie que les deux membres sont positifs et élève les deux membres au carré pour éliminer la racine.

   Correction

   Pour l'inéquation $\sqrt{x+3} \le x+1$, le membre de gauche est positif sur son domaine de définition ($x \ge -3$). Le membre de droite doit également être positif, ce qui impose $x \ge -1$. En élevant les deux membres au carré sous ces conditions, on obtient $x+3 \le (x+1)^2$. Après développement et simplification, cela conduit à l'inéquation du second degré $x^2 + x - 2 \ge 0$.

6. 6. Déterminer l'ensemble des solutions de cette inéquation irrationnelle en effectuant l'intersection requise.

   Indice — Pense à croiser l'intervalle obtenu après élévation au carré avec le domaine de validité initial de l'inéquation.

   Correction

   La résolution de l'inéquation $x^2 + x - 2 \ge 0$ donne comme ensemble de solutions $]-\infty, -2] \cup [1, +\infty[$. En effectuant l'intersection de cet ensemble avec le domaine de validité initial $[ -1, +\infty[$, on obtient l'ensemble des solutions final : $S = [1, +\infty[$.

7. 7. Établir le domaine de résolution de l'équation $\sqrt{x+1} = 2x-1$ en posant les conditions d'existence et de positivité.

   Indice — Pour qu'une racine carrée soit égale à un nombre, pose à la fois la condition sur le radicande et la condition de positivité du second membre.

   Correction

   Pour l'équation $\sqrt{x+1} = 2x-1$, on pose deux conditions : d'une part, le radicande doit être positif ou nul ($x+1 \ge 0 \iff x \ge -1$), et d'autre part, le second membre doit être positif ou nul ($2x-1 \ge 0 \iff x \ge 1/2$). L'intersection de ces deux conditions définit le domaine de résolution : $D = [1/2, +\infty[$.

8. 8. Transformer cette équation irrationnelle en une équation du second degré par élévation au carré.

   Indice — Applique l'élévation au carré sur le domaine de résolution pour obtenir une équation polynomiale.

   Correction

   Sur le domaine de résolution $D = [1/2, +\infty[$, on élève les deux membres de l'équation au carré : $x+1 = (2x-1)^2$. En développant et en regroupant les termes, on obtient l'équation du second degré $4x^2 - 5x = 0$. Ses solutions sont $x = 0$ et $x = 5/4$ ; seule $x = 5/4$ appartient au domaine $D$ et constitue l'unique solution de l'équation initiale.

9. 9. Déterminer l'ensemble final des solutions en rejetant les faux positifs générés par l'élévation au carré.

   Indice — Recherche les solutions algébriques du second degré et rejette impérativement celles qui violent les conditions du domaine de résolution.

   Correction

   L'élévation au carré de l'équation irrationnelle $\sqrt{x+3} = x-3$ impose la condition de positivité du second membre : $x - 3 \ge 0$, soit $x \ge 3$.

   En élevant au carré, on obtient l'équation du second degré $x^2 - 7x + 6 = 0$. Sa résolution donne deux solutions candidates : $x = 1$ et $x = 6$.

   En confrontant ces valeurs à la condition d'existence $x \ge 3$ :
   - $x = 1$ est rejetée car $1 < 3$ (elle produit un faux positif où $\sqrt{4} = -2$).
   - $x = 6$ est conservée car $6 \ge 3$.

   L'ensemble final des solutions est donc $S = \{6\}$.

Dans l'ensemble des nombres réels, on étudie différentes équations et inéquations comportant des quotients, des radicaux et des valeurs absolues.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition de l'équation $\frac{x-3}{2x} = \frac{x}{2x+3}$.

   Indice — Recherche les valeurs pour lesquelles les dénominateurs de l'expression s'annulent.

   Correction

   L'expression est définie si et seulement si ses deux dénominateurs sont non nuls : $2x \neq 0 \iff x \neq 0$ et $2x+3 \neq 0 \iff x \neq -\frac{3}{2}$. L'ensemble de définition est donc $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{3}{2}, 0\right\}$.

2. 2. Transformer cette équation rationnelle en une équation polynomiale.

   Indice — Utilise l'égalité des produits en croix sur le domaine de définition établi.

   Correction

   Pour tout $x \in D$, l'égalité des produits en croix donne $(x-3)(2x+3) = x(2x)$, soit $2x^2 - 3x - 9 = 2x^2$. En simplifiant par $2x^2$, on obtient l'équation polynomiale $-3x - 9 = 0$ (ou $3x + 9 = 0$).

3. 3. Déterminer l'ensemble des solutions $S_{\mathbb{R}}$ de cette équation rationnelle.

   Indice — Résous l'équation polynomiale obtenue et vérifie l'appartenance au domaine de définition.

   Correction

   La résolution de l'équation $-3x - 9 = 0$ donne $x = -3$. Cette valeur appartient bien à l'ensemble de définition $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{3}{2}, 0\right\}$. Ainsi, $S_{\mathbb{R}} = \{-3\}$.

4. 4. Déterminer le domaine de validité de l'inéquation $\sqrt{4x+1} \leq 2$.

   Indice — Le radicande d'une racine carrée doit être positif ou nul.

   Correction

   La racine carrée est définie si et seulement si son radicande est supérieur ou égal à zéro, c'est-à-dire $4x+1 \geq 0$. On en déduit $x \geq -\frac{1}{4}$. Le domaine de validité est donc $D_v = \left[-\frac{1}{4}, +\infty\right[$.

5. 5. Établir l'inéquation du premier degré équivalente par élévation au carré.

   Indice — Élève les deux membres au carré en justifiant leur positivité.

   Correction

   Pour l'inéquation $\sqrt{x+2} \le 3$, le domaine de validité impose $x+2 \ge 0$, soit $x \ge -2$. Sur ce domaine, les deux membres sont positifs. Par élévation au carré, on obtient l'inéquation du premier degré équivalente : $x+2 \le 9$.

6. 6. Déterminer l'ensemble des solutions de cette inéquation irrationnelle.

   Indice — Fais l'intersection entre la solution algébrique et le domaine de validité initial.

   Correction

   L'inéquation $x+2 \le 9$ équivaut à $x \le 7$. En effectuant l'intersection de cet ensemble avec le domaine de validité $[-2, +\infty[$, on obtient l'ensemble des solutions : $S = [-2, 7]$.

7. 7. Déterminer le domaine de résolution de l'équation $\sqrt{x+1} = 2x-1$.

   Indice — Pose les conditions d'existence sur le radicande et sur le second membre.

   Correction

   Pour l'équation $\sqrt{x+1} = 2x-1$, on définit le domaine de résolution par deux conditions : la non-négativité du radicande ($x+1 \ge 0 \iff x \ge -1$) et la non-négativité du second membre ($2x-1 \ge 0 \iff x \ge 1/2$). Le domaine de résolution est l'intersection de ces intervalles, soit $D = [1/2, +\infty[$.

8. 8. Déterminer l'ensemble des solutions de cette équation irrationnelle.

   Indice — Élève au carré, résous l'équation du second degré et rejette les solutions n'appartenant pas au domaine.

   Correction

   Sur le domaine $D = [1/2, +\infty[$, on élève l'équation au carré : $x+1 = (2x-1)^2$. Après développement et simplification, on obtient l'équation du second degré $4x^2 - 5x = 0$, dont les solutions sont $x = 0$ et $x = 5/4$. Seule la valeur $x = 5/4$ appartient au domaine $D$. L'ensemble des solutions est donc $S = \{5/4\}$.

9. 9. Transformer l'inéquation $|x-3| < |3x+1|$ en une inéquation du second degré.

   Indice — Les deux membres étant positifs, élève les deux membres au carré pour éliminer les valeurs absolues.

   Correction

   Puisque les deux membres de l'inéquation sont positifs, on peut élever au carré pour éliminer les valeurs absolues. L'inéquation $|x-3| < |3x+1|$ est donc équivalente à $(x-3)^2 < (3x+1)^2$. En développant et en regroupant les termes, on obtient $8x^2 + 12x - 8 > 0$, ce qui se simplifie en l'inéquation du second degré : $2x^2 + 3x - 2 > 0$.

10. 10. Déterminer l'ensemble des solutions de cette inéquation avec valeurs absolues.

    Indice — Calcule le discriminant du trinôme obtenu et étudie son signe pour conclure.

    Correction

    Pour résoudre l'inéquation $2x^2 + 3x - 2 > 0$, on étudie le signe du trinôme associé. Le discriminant est $\Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times (-2) = 25$. Le trinôme admet deux racines réelles distinctes : $x_1 = -2$ et $x_2 = \frac{1}{2}$. Le coefficient devant $x^2$ étant positif ($2 > 0$), le trinôme est strictement positif à l'extérieur des racines. L'ensemble des solutions est donc $S = ]-\infty, -2[ \cup ]\frac{1}{2}, +\infty[$.

On considère l'équation rationnelle $\frac{x-3}{2x} = \frac{x}{2x+3}$ et l'inéquation irrationnelle $\sqrt{4x+1} \leq 2$.

1. 1. Déterminer l'ensemble de définition $D$ de l'équation rationnelle $\frac{x-3}{2x} = \frac{x}{2x+3}$.

   Indice — Pense à poser les conditions pour que les dénominateurs soient non nuls.

   Correction

   Pour que l'équation soit définie, les deux dénominateurs doivent être non nuls. On pose les conditions $2x \neq 0$ (soit $x \neq 0$) et $2x+3 \neq 0$ (soit $x \neq -\frac{3}{2}$). L'ensemble de définition est donc $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{3}{2}, 0\right\}$.

2. 2. Appliquer la méthode des produits en croix pour éliminer les dénominateurs de cette équation.

   Indice — Utilise l'égalité des produits en croix pour transformer l'équation en une égalité sans dénominateur sur $D$.

   Correction

   Sur le domaine $D$, l'égalité de deux fractions est équivalente à l'égalité de leurs produits en croix. On obtient l'équation $(x-3)(2x+3) = 2x \cdot x$, qui se développe sous la forme $2x^2 - 3x - 9 = 2x^2$.

3. 3. Résoudre l'équation ainsi transformée et déterminer l'ensemble de ses solutions $S_{\mathbb{R}}$.

   Indice — Résous l'équation du premier degré obtenue, puis vérifie l'appartenance de la valeur trouvée au domaine $D$.

   Correction

   En simplifiant l'équation $2x^2 - 3x - 9 = 2x^2$, on élimine les termes en $x^2$ pour obtenir l'équation du premier degré $-3x - 9 = 0$. Sa résolution donne $x = -3$. Comme cette valeur appartient bien au domaine $D$, l'ensemble des solutions est $S_{\mathbb{R}} = \{-3\}$.

4. 4. Déterminer le domaine de validité $D'$ de l'inéquation irrationnelle $\sqrt{4x+1} \leq 2$.

   Indice — Le radicande d'une racine carrée doit être supérieur ou égal à zéro.

   Correction

   L'expression sous la racine carrée doit être supérieure ou égale à zéro. On résout l'inéquation $4x+1 \geq 0$, ce qui donne $x \geq -\frac{1}{4}$. Le domaine de validité de l'inéquation est donc $D' = \left[-\frac{1}{4}, +\infty\right[$.

5. 5. Justifier la légitimité de l'élévation au carré des deux membres de cette inéquation.

   Indice — Vérifie que les deux membres de l'inéquation sont positifs sur le domaine de validité avant d'élever au carré.

   Correction

   Pour élever au carré les deux membres d'une inégalité tout en conservant le sens de l'inéquation, il faut s'assurer que ces deux membres sont positifs. Le domaine de validité de l'inéquation impose $4x+1 \geq 0$, soit $x \geq -1/4$. Sur cet intervalle, le membre de gauche $\sqrt{4x+1}$ est positif par définition d'une racine carrée, et le membre de droite $2$ est strictement positif. L'élévation au carré est donc légitime car la fonction carré est strictement croissante sur $[0, +\infty[$.

6. 6. Résoudre l'inéquation obtenue après l'élévation au carré.

   Indice — Élève les deux membres au carré pour obtenir une inéquation simple du premier degré.

   Correction

   En élevant au carré les deux membres de l'inéquation $\sqrt{4x+1} \leq 2$, on obtient l'inéquation du premier degré $4x+1 \leq 4$. En résolvant cette inéquation, on trouve $4x \leq 3$, soit $x \leq \frac{3}{4}$. L'ensemble des solutions de cette inéquation intermédiaire est donc $]-\infty, \frac{3}{4}]$.

7. 7. Déterminer l'ensemble final des solutions $S_{\mathbb{R}}$ de l'inéquation irrationnelle.

   Indice — L'ensemble final est l'intersection de l'intervalle obtenu avec le domaine de validité initial $D'$.

   Correction

   L'ensemble final des solutions $S_{\mathbb{R}}$ est l'intersection entre le domaine de validité de l'inéquation, soit $D' = [-\frac{1}{4}, +\infty[$, et l'ensemble des solutions de l'inéquation élevée au carré, soit $]-\infty, \frac{3}{4}]$. On obtient ainsi $S_{\mathbb{R}} = [-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}]$.

On considère dans l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ l'équation irrationnelle $\sqrt{x+1} = 2x-1$ et l'inéquation avec valeurs absolues $|x-3| < |3x+1|$.

1. 1. Déterminer le domaine de validité de l'équation $\sqrt{x+1} = 2x-1$.

   Indice — Pense à écrire la condition pour que le radicande d'une racine carrée soit positif, ainsi que la condition de positivité imposée par le second membre.

   Correction

   Pour que l'équation soit définie et admette des solutions réelles, deux conditions de positivité doivent être respectées simultanément :
   1. Le radicande sous la racine carrée doit être non négatif : $x + 1 \ge 0 \iff x \ge -1$.
   2. Le second membre doit également être non négatif, car il est égal à une racine carrée : $2x - 1 \ge 0 \iff x \ge \frac{1}{2}$.

   En prenant l'intersection de ces deux conditions, on obtient le domaine de validité de l'équation : $D = [\frac{1}{2}, +\infty[$.

2. 2. Élever au carré les deux membres de l'équation sur ce domaine pour éliminer la racine carrée et obtenir une équation sans radical.

   Indice — Vérifie que les deux membres de l'équation sont positifs sur le domaine de validité avant d'appliquer l'opération d'élévation au carré.

   Correction

   Sur le domaine de validité $D = [\frac{1}{2}, +\infty[$, les deux membres de l'équation sont positifs. On peut donc élever au carré de chaque côté de l'égalité sans introduire de fausse équivalence :
   $(\sqrt{x+1})^2 = (2x-1)^2 \iff x + 1 = 4x^2 - 4x + 1$.

3. 3. Résoudre l'équation polynomiale obtenue pour trouver les solutions algébriques candidates.

   Indice — Rappelle-toi de regrouper tous les termes du même côté pour obtenir une équation polynomiale du second degré sous forme canonique ou factorisable.

   Correction

   On regroupe tous les termes du même côté pour obtenir une équation polynomiale du second degré :
   $4x^2 - 5x = 0$

   En factorisant par $x$, on obtient l'équation produit nul $x(4x - 5) = 0$. Les solutions algébriques candidates sont donc $x = 0$ et $x = \frac{5}{4}$.

4. 4. Confronter les solutions trouvées au domaine de validité pour déterminer l'ensemble des solutions $S_{\mathbb{R}}$ de l'équation.

   Indice — Compare chaque solution obtenue avec les contraintes du domaine de validité établi à la première question afin de rejeter les éventuels faux positifs.

   Correction

   On compare les solutions candidates obtenues à la question précédente avec le domaine de validité $D = [\frac{1}{2}, +\infty[$ :
   - $0 \notin D$, cette valeur est donc rejetée.
   - $\frac{5}{4} \in D$, cette valeur est conservée.

   L'ensemble des solutions de l'équation est donc $S_{\mathbb{R}} = \left\{\frac{5}{4}\right\}$.

5. 5. Considérer l'inéquation avec valeurs absolues $|x-3| < |3x+1|$ et justifier l'inégalité équivalente obtenue en élevant les deux membres au carré.

   Indice — Observe les deux membres de l'inéquation $|x-3| < |3x+1|$ et justifie que leur positivité permet d'élever les deux membres au carré sans changer l'ordre.

   Correction

   Les deux membres de l'inéquation $|x-3| < |3x+1|$ sont des valeurs absolues, donc strictement positifs ou nuls pour tout réel $x$. Comme la fonction carré $t \mapsto t^2$ est strictement croissante sur $[0, +\infty[$, elle conserve l'ordre des inégalités sur cet intervalle. On peut donc élever les deux membres au carré de manière équivalente, ce qui donne : $(x-3)^2 < (3x+1)^2$.

6. 6. Résoudre l'inéquation du second degré associée pour déterminer l'ensemble final des solutions de l'inéquation.

   Indice — Développe les carrés, simplifie l'expression pour aboutir à un trinôme du second degré, puis étudie son signe en calculant le discriminant.

   Correction

   En développant et en simplifiant l'inégalité $(x-3)^2 < (3x+1)^2$, on obtient l'inéquation du second degré équivalente : $2x^2 + 3x - 2 > 0$. Le discriminant de ce trinôme est $\Delta = 25$, ce qui donne les deux racines réelles $x_1 = -2$ et $x_2 = \frac{1}{2}$. Le coefficient du terme en $x^2$ étant positif, le trinôme est strictement positif à l'extérieur des racines. L'ensemble des solutions est donc $S = ]-\infty, -2[ \cup ]\frac{1}{2}, +\infty[$.