Point de départ · 1

Si l'on déplace un vecteur dans le plan sans modifier sa direction, son sens, ni sa longueur, que peut-on dire du vecteur obtenu ?

Remarque

Un vecteur n'est pas attaché à une position fixe : il est entièrement défini par sa direction, son sens et sa norme. Deux flèches de même direction, même sens et même longueur représentent le même vecteur.

Définition · 2

Caractéristiques et égalité vectorielle

$\text{Un vecteur } \vec{u} = \vec{AB} \text{ est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme } ||\vec{u}|| = AB.$

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

||\vec{u}|| = 0 \iff \vec{u} = \vec{0}

Définition · 3

Somme vectorielle et relation de Chasles

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

L'opposé du vecteur $\vec{AB}$ est le vecteur $-\vec{AB} = \vec{BA}$ , vérifiant $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AA} = \vec{0}$ .

$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{CA} = \vec{CB}$

Piège classique · 4

Pour tous vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , a-t-on l'égalité $||\vec{u} + \vec{v}|| = ||\vec{u}|| + ||\vec{v}||$ ?

Attention

Affirmer que la norme d'une somme est toujours égale à la somme des normes par fausse distributivité.

À la place : L'égalité $||\vec{u} + \vec{v}|| = ||\vec{u}|| + ||\vec{v}||$ n'est vraie que si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et de même sens. Dans tous les autres cas, on a l'inégalité stricte : $||\vec{u} + \vec{v}|| < ||\vec{u}|| + ||\vec{v}||$ .

Exemple travaillé · 5

Simplifier l'écriture vectorielle : $\vec{w} = 2(\vec{u} - 3\vec{v}) - (5\vec{u} - 6\vec{v})$ .

1

Développer les multiplications par les scalaires en distribuant le signe négatif sur toute la parenthèse.

2

\vec{w} = 2\vec{u} - 6\vec{v} - 5\vec{u} + 6\vec{v}

3

Regrouper les termes selon chaque vecteur.

4

\vec{w} = (2 - 5)\vec{u} + (-6 + 6)\vec{v} = -3\vec{u} + \vec{0} = -3\vec{u}

Vérification · 6

Quelle est la forme simplifiée de la somme $\vec{S} = \vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA}$ ?

Remarque

On transforme $-\vec{CB}$ en $+\vec{BC}$ . En appliquant la relation de Chasles : $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0}$ .

Point de départ · 7

Dans un quadrilatère $ABCD$ , si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ sont égaux ( $\vec{AB} = \vec{DC}$ ), que peut-on affirmer sur les droites $(AB)$ et $(CD)$ ?

Remarque

Deux vecteurs égaux ont la même direction et la même norme : les segments $[AB]$ et $[DC]$ sont donc parallèles et de même longueur, ce qui forme un parallélogramme.

Piège classique · 8

Quelle égalité vectorielle caractérise le fait que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme ?

Attention

Écrire $\vec{AB} = \vec{CD}$ en associant mécaniquement les lettres dans l'ordre alphabétique.

À la place : Dans le quadrilatère $ABCD$ , parcouru dans l'ordre des sommets, le côté opposé à $[AB]$ est $[DC]$ . Les vecteurs doivent avoir le même sens : $\vec{AB} = \vec{DC}$ . L'égalité $\vec{AB} = \vec{CD}$ caractérise le parallélogramme croisé $ABDC$ .

Définition · 9

Configurations géométriques usuelles

$ABCD \text{ est un parallélogramme} \iff \vec{AB} = \vec{DC} \iff \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

$I = A \ast B \iff \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0} \iff \vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI} \text{ (pour tout point } M)$

$G \text{ est le centre de gravité de } ABC \iff \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$

\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AI} \quad \text{avec } I = B \ast C

Exemple travaillé · 10

Soit $ABCD$ un quadrilatère, $I = A \ast D$ et $J = B \ast C$ . Montrer que $\vec{AB} + \vec{DC} = 2\vec{IJ}$ .

1

Décomposer chaque vecteur de la somme en introduisant les points $I$ et $J$ par la relation de Chasles.

2

\vec{AB} = \vec{AI} + \vec{IJ} + \vec{JB}

3

\vec{DC} = \vec{DI} + \vec{IJ} + \vec{JC}

4

Additionner membre à membre les deux égalités.

5

\vec{AB} + \vec{DC} = 2\vec{IJ} + (\vec{AI} + \vec{DI}) + (\vec{JB} + \vec{JC})

6

Utiliser la propriété du milieu : $I = A \ast D \implies \vec{AI} + \vec{DI} = \vec{0}$ , et $J = B \ast C \implies \vec{JB} + \vec{JC} = \vec{0}$ .

7

\vec{AB} + \vec{DC} = 2\vec{IJ} + \vec{0} + \vec{0} = 2\vec{IJ}

Vérification · 11

Soit $ABC$ un triangle et $I = B \ast C$ . Si un point $G$ vérifie $\vec{GA} + 2\vec{GI} = \vec{0}$ , que représente $G$ pour le triangle $ABC$ ?

Remarque

Comme $I = B \ast C$ , on a $2\vec{GI} = \vec{GB} + \vec{GC}$ . La relation devient $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$ , ce qui caractérise le centre de gravité de $ABC$ .

Point de départ · 12

Si deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont la même direction, par quelle opération algébrique passe-t-on de $\vec{u}$ à $\vec{v}$ ?

Remarque

Avoir la même direction signifie que les vecteurs sont portés par des droites parallèles ou confondues. L'un s'obtient donc en multipliant l'autre par un nombre réel $\alpha$ (positif si même sens, négatif si sens contraires).

Définition · 13

Colinéarité, alignement et parallélisme

$\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \iff \exists \alpha \in \mathbb{R} \text{ tel que } \vec{v} = \alpha\vec{u} \text{ (ou } \vec{u} = \alpha\vec{v}\text{)}$

Le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire à tout vecteur du plan.

$A, B, C \text{ sont alignés} \iff \vec{AB} \text{ et } \vec{AC} \text{ sont colinéaires}$

$(AB) \parallel (CD) \iff \vec{AB} \text{ et } \vec{CD} \text{ sont colinéaires}$

Exemple travaillé · 14

Soit $ABC$ un triangle. On définit les points $M$ et $N$ par $\vec{CM} = \frac{2}{3}\vec{BC}$ et $\vec{BN} = 2\vec{AB} + 5\vec{BC}$ . Montrer que les points $A$ , $M$ et $N$ sont alignés.

1

Exprimer $\vec{AM}$ en introduisant l'origine $A$ par la relation de Chasles.

2

\vec{AM} = \vec{AC} + \vec{CM} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + \frac{2}{3}\vec{BC} = \vec{AB} + \frac{5}{3}\vec{BC}

3

Exprimer $\vec{AN}$ en fonction des mêmes vecteurs de référence $\vec{AB}$ et $\vec{BC}$ .

4

\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BN} = \vec{AB} + (2\vec{AB} + 5\vec{BC}) = 3\vec{AB} + 5\vec{BC}

5

Établir le lien de proportionnalité entre $\vec{AN}$ et $\vec{AM}$ par factorisation.

6

\vec{AN} = 3\left(\vec{AB} + \frac{5}{3}\vec{BC}\right) = 3\vec{AM}

7

Puisque $\vec{AN} = 3\vec{AM}$ , les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AN}$ sont colinéaires et ont la même origine $A$ : les points $A$ , $M$ et $N$ sont alignés.

Vérification · 15

Quatre points vérifient l'égalité $5\vec{AD} = 3\vec{AB} + 2\vec{AC}$ . Quelle relation permet d'affirmer que $B$ , $C$ et $D$ sont alignés ?

Remarque

En introduisant le point $B$ par Chasles : $5(\vec{AB} + \vec{BD}) = 3\vec{AB} + 2\vec{AC} \implies 5\vec{BD} = -2\vec{AB} + 2\vec{AC} = 2(\vec{AC} - \vec{AB}) = 2\vec{BC}$ , d'où $\vec{BD} = \frac{2}{5}\vec{BC}$ .

Point de départ · 16

Soient deux vecteurs non colinéaires $\vec{i}$ et $\vec{j}$ . Tout vecteur $\vec{u}$ du plan peut-il s'écrire de manière unique sous la forme $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ ?

Remarque

Deux directions non parallèles suffisent à repérer et décomposer n'importe quel vecteur du plan de façon unique : c'est la définition d'une base. Les réels $x$ et $y$ constituent ses composantes.

Définition · 17

Base du plan et repère cartésien

$B = (\vec{i}, \vec{j}) \text{ est une base de l'ensemble des vecteurs du plan} \iff \vec{i} \text{ et } \vec{j} \text{ ne sont pas colinéaires.}$

$\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} \iff \vec{u}\binom{x}{y}$

Le couple $(x, y)$ est appelé le couple de composantes du vecteur $\vec{u}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$ .

(O, \vec{i}, \vec{j}) \text{ est un repère cartésien et } M(x, y) \iff \vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}

Piège classique · 18

Dans un repère cartésien $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , on donne $A(1, 2)$ et $B(-3, 4)$ . Quelles sont les composantes du vecteur $\vec{AB}$ ?

Attention

Calculer $x_A - x_B$ et $y_A - y_B$ en suivant l'ordre de lecture des lettres, ce qui donnerait $\vec{AB}\binom{4}{-2}$ .

À la place : On soustrait toujours les coordonnées de l'origine de celles de l'extrémité : $\vec{AB}\binom{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \binom{-3 - 1}{4 - 2} = \binom{-4}{2}$ .

Définition · 19

Opérations analytiques et coordonnées du milieu

$\text{Si } \vec{u}\binom{x}{y} \text{ et } \vec{v}\binom{x'}{y'}, \text{ alors } \vec{u} + \vec{v}\binom{x + x'}{y + y'} \text{ et } \alpha\vec{u}\binom{\alpha x}{\alpha y} \quad (\alpha \in \mathbb{R})$

$\vec{u} = \vec{v} \iff \begin{cases} x = x' \\ y = y' \end{cases} \quad \text{et} \quad \vec{u} = \vec{0} \iff \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases}$

I = A \ast B \iff I\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \; \frac{y_A + y_B}{2}\right)

Exemple travaillé · 20

Dans un repère cartésien $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , on donne $A(5, 4)$ , $B(-6, 1)$ et $C(2, 2)$ . Déterminer les coordonnées du point $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.

1

Traduire la nature du quadrilatère en égalité vectorielle.

2

ABCD \text{ est un parallélogramme} \iff \vec{AB} = \vec{DC}

3

Calculer les composantes du vecteur $\vec{AB}$ .

4

\vec{AB}\binom{-6 - 5}{1 - 4} = \binom{-11}{-3}

5

Exprimer les composantes de $\vec{DC}$ avec les coordonnées inconnues $(x_D, y_D)$ de $D$ .

6

\vec{DC}\binom{2 - x_D}{2 - y_D}

7

Identifier les composantes et résoudre pour $x_D$ et $y_D$ .

8

\begin{cases} 2 - x_D = -11 \\ 2 - y_D = -3 \end{cases} \iff \begin{cases} x_D = 2 + 11 = 13 \\ y_D = 2 + 3 = 5 \end{cases}

9

Conclure avec les coordonnées trouvées.

10

D(13, 5)

Vérification · 21

Soient $\vec{u}\binom{-3}{2}$ et $\vec{v}\binom{1}{4}$ . Déterminer les composantes du vecteur $\vec{w} = 2\vec{u} - 5\vec{v}$ .

Remarque

On applique les opérations composante par composante : $X = 2(-3) - 5(1) = -6 - 5 = -11$ et $Y = 2(2) - 5(4) = 4 - 20 = -16$ .

Point de départ · 22

Pour vérifier si $\vec{u}\binom{3}{-2}$ et $\vec{v}\binom{-6}{4}$ sont colinéaires sans risquer de division par zéro, quelle égalité de produits en croix teste-t-on ?

Remarque

On teste l'égalité des produits en croix : $3 \times 4 = (-2) \times (-6)$ (soit $12 = 12$ ). Cela revient à vérifier que la différence $3 \times 4 - (-2) \times (-6)$ est égale à $0$ .

Définition · 23

Déterminant et colinéarité

$\text{Dans une base } (\vec{i}, \vec{j}), \text{ le déterminant de } \vec{u}\binom{x}{y} \text{ et } \vec{v}\binom{x'}{y'} \text{ est :}$

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y$

\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \iff \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0

Exemple travaillé · 24

Soit $(\vec{i}, \vec{j})$ une base. Déterminer le réel $m$ pour que les vecteurs $\vec{u}\binom{m}{m-1}$ et $\vec{v}\binom{6}{1}$ soient colinéaires.

1

Écrire la condition de colinéarité sous forme de déterminant nul.

2

\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \iff \begin{vmatrix} m & 6 \\ m-1 & 1 \end{vmatrix} = 0

3

Développer le produit croisé en plaçant des parenthèses autour du binôme $(m-1)$ .

4

m(1) - 6(m - 1) = 0 \iff m - 6m + 6 = 0

5

Réduire et résoudre l'équation du premier degré.

6

-5m + 6 = 0 \iff 5m = 6 \iff m = \frac{6}{5}

Définition · 25

Vecteur directeur et parallélisme de droites

$\Delta : ax + by + c = 0 \implies \vec{u}\binom{-b}{a} \text{ est un vecteur directeur de } \Delta$

$\Delta : ax + by + c = 0 \text{ et } \Delta' : a'x + b'y + c' = 0 \text{ sont parallèles} \iff ab' - a'b = 0$

Vérification · 26

Dans un repère cartésien, on donne $A(-4, 2)$ , $B(-3, 5)$ et $C(-2, 8)$ . Les points $A$ , $B$ et $C$ sont-ils alignés ?

Remarque

On calcule $\vec{AB}\binom{-3 - (-4)}{5 - 2} = \binom{1}{3}$ et $\vec{AC}\binom{-2 - (-4)}{8 - 2} = \binom{2}{6}$ . On a $\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = 1(6) - 3(2) = 0$ , donc les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

Point de départ · 27

Dans une base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j})$ , les vecteurs directeurs sont perpendiculaires et de longueur 1. Si $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ , quelle formule donne la norme $||\vec{u}||$ ?

Remarque

Puisque les axes sont perpendiculaires, le théorème de Pythagore s'applique directement sur les composantes orthogonales : $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .

Définition · 28

Repère orthonormé, norme et distance

$(\vec{i}, \vec{j}) \text{ est une base orthonormée} \iff \vec{i} \perp \vec{j} \text{ et } ||\vec{i}|| = ||\vec{j}|| = 1$

$\left\|\vec{u}\binom{x}{y}\right\| = \sqrt{x^2 + y^2}$

AB = ||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Piège classique · 29

Dans un repère orthonormé, le vecteur $\vec{u}\binom{x-4}{0}$ est normé ( $||\vec{u}|| = 1$ ). Quelles sont toutes les valeurs possibles de $x$ ?

Attention

Simplifier $\sqrt{(x-4)^2} = 1$ en $x - 4 = 1$ et ne donner que la solution unique $x = 5$ .

À la place : $\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|$ . L'équation $|x-4| = 1$ donne deux équations : $x - 4 = 1 \implies x = 5$ ou $x - 4 = -1 \implies x = 3$ .

Définition · 30

Condition analytique d'orthogonalité

$\text{Dans une base orthonormée, } \vec{u}\binom{x}{y} \perp \vec{v}\binom{x'}{y'} \iff xx' + yy' = 0$

Par convention, le vecteur nul $\vec{0}$ est orthogonal à tout vecteur du plan.

(AB) \perp (CD) \iff \vec{AB} \perp \vec{CD} \iff (x_B - x_A)(x_D - x_C) + (y_B - y_A)(y_D - y_C) = 0

Piège classique · 31

Dans un repère cartésien oblique où $\vec{i}$ et $\vec{j}$ ne sont pas perpendiculaires, peut-on tester l'orthogonalité de deux vecteurs par la formule $xx' + yy' = 0$ ?

Attention

Appliquer $xx' + yy' = 0$ dès qu'il y a des coordonnées, sans vérifier la nature orthonormée du repère.

À la place : La condition $xx' + yy' = 0$ découle directement du repère orthonormé. Dans un repère oblique ou non normé, cette formule est fausse et inapplicable.

Exemple travaillé · 32

Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ , on donne $A(3, 0)$ , $B(-4, 1)$ et $C(0, 4)$ . Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $C$ .

1

Calculer les composantes des vecteurs $\vec{CA}$ et $\vec{CB}$ issus du sommet $C$ .

2

\vec{CA}\binom{3 - 0}{0 - 4} = \binom{3}{-4} \quad \text{et} \quad \vec{CB}\binom{-4 - 0}{1 - 4} = \binom{-4}{-3}

3

Tester l'orthogonalité en repère orthonormé par la somme des produits des composantes.

4

xx' + yy' = 3(-4) + (-4)(-3) = -12 + 12 = 0 \implies \vec{CA} \perp \vec{CB}

5

Calculer les longueurs $CA$ et $CB$ avec la formule de la norme.

6

CA = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5

7

CB = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5

8

Puisque $\vec{CA} \perp \vec{CB}$ et $CA = CB = 5$ , le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle en $C$ .

Vérification · 33

Dans une base orthonormée, on donne $\vec{u}\binom{3}{-1}$ et $\vec{v}\binom{2}{6}$ . Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires ou orthogonaux ?

Remarque

Déterminant : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3(6) - (-1)(2) = 18 + 2 = 20 \neq 0$ (non colinéaires). Orthogonalité : $xx' + yy' = 3(2) + (-1)(6) = 6 - 6 = 0$ . Les vecteurs sont donc orthogonaux.

Calcul vectoriel — cours

Le cours

Caractéristiques et égalité vectorielle

Somme vectorielle et relation de Chasles

Configurations géométriques usuelles

Colinéarité, alignement et parallélisme

Base du plan et repère cartésien

Opérations analytiques et coordonnées du milieu

Déterminant et colinéarité

Vecteur directeur et parallélisme de droites

Repère orthonormé, norme et distance

Condition analytique d'orthogonalité

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