Rappel · 1

Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ , noté $I = A*B$ . Complète les égalités de longueurs :

Remarque

La notation $I = A*B$ signifie que $I \in [AB]$ et $AI = IB = \frac{AB}{2}$ .

Définition · 2

Théorème de la droite des milieux

I = A*B \quad \text{et} \quad J = A*C

$(IJ) \parallel (BC) \quad \text{et} \quad IJ = \frac{BC}{2}$

Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et mesure sa moitié.

Exemple travaillé · 3

Soit un triangle $ABC$ tel que $BC = 8$ . On pose $I = A*B$ et $J = A*C$ . Montrer que $(IJ) \parallel (BC)$ et calculer $IJ$ .

1

Dans le triangle $ABC$ , on a $I = A*B$ et $J = A*C$ .

2

D'après le théorème de la droite des milieux :

(IJ) \parallel (BC)

3

On calcule la longueur $IJ$ :

IJ = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4

Définition · 4

Deuxième théorème des milieux

I = A*B, \quad K \in [AC] \quad \text{et} \quad (IK) \parallel (BC)

$K = A*C$

Dans un triangle, la droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.

Vérification · 5

Dans un triangle $RST$ , on donne $RS = 7$ , $RT = 9$ et $ST = 11$ . Soient $M = R*S$ et $N = R*T$ .
Quelle est la longueur du segment $[MN]$ ?

Remarque

$M$ et $N$ sont les milieux respectifs de $[RS]$ et $[RT]$ . Le segment $[MN]$ est parallèle au troisième côté $[ST]$ , donc $MN = \frac{ST}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$ .

Point de départ · 6

Sur la figure, $(MN) \parallel (BC)$ . On donne $AM = 2$ , $AB = 6$ et $AN = 3$ , $AC = 9$ .
Que vaut le rapport $\frac{AM}{AB}$ comparé à $\frac{AN}{AC}$ ?

Remarque

On a $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ et $\frac{AN}{AC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ . Les côtés du triangle $AMN$ sont proportionnels à ceux de $ABC$ .

Définition · 7

Théorème de Thalès dans un triangle

M \in [AB], \quad N \in [AC] \quad \text{et} \quad (MN) \parallel (BC)

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$

Les longueurs des côtés du triangle $AMN$ sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle $ABC$ .

Exemple travaillé · 8

Dans le triangle $ABC$ , $M \in [AB]$ , $N \in [AC]$ et $(MN) \parallel (BC)$ . On donne $AB = 10$ , $AC = 8$ , $BC = 6$ et $AM = 7$ . Calculer $AN$ et $MN$ .

1

D'après le théorème de Thalès :

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}

2

On remplace par les valeurs connues :

\frac{7}{10} = \frac{AN}{8} = \frac{MN}{6}

3

Calcul de $AN$ par produit en croix :

AN = \frac{7 \times 8}{10} = \frac{56}{10} = \frac{28}{5}

4

Calcul de $MN$ par produit en croix :

MN = \frac{7 \times 6}{10} = \frac{42}{10} = \frac{21}{5}

Piège classique · 9

Sur la figure, $(MN) \parallel (BC)$ . On donne $AM = 2$ , $MB = 6$ et $AC = 5$ .
Quelle équation permet de calculer $AN$ ?

Attention

Écrire $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{AC}$ en utilisant le segment partiel $MB$ au dénominateur.

À la place : Le dénominateur doit être le côté total du grand triangle : $AB = AM + MB = 2 + 6 = 8$ . L'égalité correcte est $\frac{2}{8} = \frac{AN}{5}$ .

Vérification · 10

Dans le triangle $STM$ , $(AB) \parallel (TM)$ . On donne $AS = 4$ , $AT = 1$ et $AB = 7$ .
Déterminer la longueur de la base $TM$ .

Remarque

La longueur totale est $ST = AS + AT = 4 + 1 = 5$ . Par le théorème de Thalès : $\frac{AS}{ST} = \frac{AB}{TM} \implies \frac{4}{5} = \frac{7}{TM}$ , d'où $TM = \frac{5 \times 7}{4} = \frac{35}{4}$ .

Définition · 11

Théorème de Thalès (configuration croisée)

(AC) \cap (BD) = \{O\} \quad \text{et} \quad (AB) \parallel (CD)

$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}$

Dans une configuration croisée (papillon), les rapports de longueurs sur chaque droite sécante passant par le sommet $O$ sont égaux.

Piège classique · 12

Sur la figure, $(AB) \parallel (EF)$ . Quel rapport est égal à $\frac{OA}{OF}$ ?

Attention

Associer des segments de droites différentes, par exemple écrire $\frac{OA}{OE}$ .

À la place : Chaque rapport compare deux segments portés par la même droite sécante : les points $A, O, F$ sont alignés, donc $\frac{OA}{OF} = \frac{OB}{OE}$ .

Exemple travaillé · 13

Les droites $(AF)$ et $(BE)$ sont sécantes en $O$ , et $(AB) \parallel (EF)$ . On donne $OA = 2$ , $OF = 5$ , $OE = 10$ et $EF = 8$ . Calculer $OB$ et $AB$ .

1

Les droites $(AF)$ et $(BE)$ sont sécantes en $O$ avec $(AB) \parallel (EF)$ .

2

D'après le théorème de Thalès :

\frac{OA}{OF} = \frac{OB}{OE} = \frac{AB}{EF}

3

On remplace par les valeurs :

\frac{2}{5} = \frac{OB}{10} = \frac{AB}{8}

4

Calcul de $OB$ :

OB = \frac{2 \times 10}{5} = 4

5

Calcul de $AB$ :

AB = \frac{2 \times 8}{5} = \frac{16}{5}

Exemple travaillé · 14

Les droites $(AC)$ et $(BJ)$ se coupent en $I$ avec $(AJ) \parallel (BC)$ . On donne $AJ = 3$ , $BC = 4$ et $JB = 5$ . On pose $IJ = x$ . Exprimer $IB$ en fonction de $x$ , puis calculer $x$ .

1

Le point $I$ appartient à $[JB]$ , donc :

IB = JB - IJ = 5 - x

2

D'après le théorème de Thalès :

\frac{IJ}{IB} = \frac{AJ}{BC}

3

On remplace :

\frac{x}{5 - x} = \frac{3}{4}

4

Produit en croix :

4x = 3(5 - x) \implies 4x = 15 - 3x \implies 7x = 15

5

On en déduit :

x = \frac{15}{7}

Vérification · 15

Sur la figure, les droites $(DH)$ et $(CT)$ sont sécantes en $G$ , et $(CD) \parallel (HT)$ . On donne $GD = 25$ , $GH = 45$ , $GC = 20$ et $HT = 27$ .
Quelle est la longueur de $[GT]$ ?

Remarque

D'après le théorème de Thalès : $\frac{GC}{GT} = \frac{GD}{GH} \implies \frac{20}{GT} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9}$ , d'où $GT = \frac{20 \times 9}{5} = 36$ .

Point de départ · 16

Pour tester si deux droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles à partir des longueurs $AM, AB, AN, AC$ , quelle démarche adopte-t-on ?

Remarque

On ne pose pas d'emblée l'égalité : on calcule séparément $\frac{AM}{AB}$ et $\frac{AN}{AC}$ , puis on compare les deux résultats.

Définition · 17

Réciproque du théorème de Thalès

A, M, B \text{ et } A, N, C \text{ alignés dans le même ordre}

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}

$(MN) \parallel (BC)$

Si les points sont alignés dans le même ordre et que les rapports sont égaux, alors les droites sont parallèles.

Piège classique · 18

On trouve $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{2}{3}$ . Cette égalité numérique suffit-elle pour affirmer que $(MN) \parallel (BC)$ ?

Attention

Conclure au parallélisme uniquement grâce à l'égalité numérique des fractions.

À la place : Il faut vérifier et mentionner que les points $A, M, B$ et $A, N, C$ sont alignés dans le même ordre sur les deux sécantes.

Définition · 19

Contraposée du théorème de Thalès

M \in (AB) \quad \text{et} \quad N \in (AC)

\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}

$(MN) \text{ et } (BC) \text{ ne sont pas parallèles}$

Si les deux rapports calculés à partir du point d'intersection sont différents, alors les droites ne sont pas parallèles.

Exemple travaillé · 20

Soit $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ avec $AM = 1.000001$ , $AB = 1.000002$ , $AN = 1$ et $AC = 1.000001$ . Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

1

On calcule séparément les deux rapports :

\frac{AM}{AB} = \frac{1.000001}{1.000002} \quad \text{et} \quad \frac{AN}{AC} = \frac{1}{1.000001}

2

On compare les produits en croix :

AM \times AC = 1.000001^2 = 1.000002000001

3

AN \times AB = 1 \times 1.000002 = 1.000002

4

Comme $AM \times AC \neq AN \times AB$ , on a :

\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}

5

D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Vérification · 21

Dans un triangle $ABC$ , on a $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ avec $AM = 3$ , $AB = 7$ , $AN = 4.5$ et $AC = 10.5$ .
Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?

Remarque

D'une part $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{7}$ . D'autre part $\frac{AN}{AC} = \frac{4.5}{10.5} = \frac{45}{105} = \frac{3}{7}$ . Les points $A, M, B$ et $A, N, C$ sont alignés dans le même ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN) \parallel (BC)$ .

Définition · 22

Agrandissement et réduction

$L' = K \times L \quad (K > 0)$

Si $K > 1$ , la figure est agrandie. Si $0 < K < 1$ , la figure est réduite. Les mesures d'angles, le parallélisme et la perpendicularité sont conservés.

Piège classique · 23

On agrandit un triangle avec un rapport $K = 3$ . Son aire initiale est de $5\text{ cm}^2$ .
Quelle est sa nouvelle aire ?

Attention

Multiplier l'aire par $K$ au lieu de $K^2$ (calculer $5 \times 3 = 15$ ).

À la place : Les longueurs sont multipliées par $K$ , mais les aires sont multipliées par $K^2$ : $\text{Aire}' = 3^2 \times 5 = 9 \times 5 = 45\text{ cm}^2$ .

Exemple travaillé · 24

Dans un triangle $ABC$ d'aire $18\text{ cm}^2$ , les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles avec $M \in [AB]$ , $N \in [AC]$ et $\frac{AM}{AB} = \frac{1}{3}$ . Calculer l'aire du triangle $AMN$ .

1

Puisque $(MN) \parallel (BC)$ , le triangle $AMN$ est une réduction du triangle $ABC$ de rapport :

K = \frac{AM}{AB} = \frac{1}{3}

2

L'aire est multipliée par $K^2$ :

\text{Aire}(AMN) = K^2 \times \text{Aire}(ABC) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times 18

3

On calcule :

\text{Aire}(AMN) = \frac{1}{9} \times 18 = 2\text{ cm}^2

Exemple travaillé · 25

Soit un segment $[AB]$ . Donner un procédé de construction à la règle non graduée et au compas pour placer le point $M \in [AB]$ tel que $\frac{AM}{AB} = \frac{2}{5}$ .

1

Tracer une demi-droite $[Ax)$ distincte de $(AB)$ .

2

À l'aide du compas, reporter 5 graduations régulières à partir de $A$ pour obtenir $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ .

3

Tracer la droite $(A_5B)$ reliant la 5ème graduation à $B$ .

4

Tracer la droite parallèle à $(A_5B)$ passant par $A_2$ . Elle coupe $[AB]$ en $M$ .

5

D'après le théorème de Thalès :

\frac{AM}{AB} = \frac{AA_2}{AA_5} = \frac{2}{5}

Vérification · 26

Un polygone $F'$ est un agrandissement d'un polygone $F$ à l'échelle $K = \frac{5}{2}$ .
Quelle est la proportion de l'aire de $F'$ par rapport à l'aire de $F$ ?

Remarque

Lors d'un agrandissement d'échelle $K = \frac{5}{2}$ , les aires sont multipliées par $K^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$ .

Théorème de Thalès et sa réciproque — cours

Le cours

Théorème de la droite des milieux

Deuxième théorème des milieux

Théorème de Thalès dans un triangle

Théorème de Thalès (configuration croisée)

Réciproque du théorème de Thalès

Contraposée du théorème de Thalès

Agrandissement et réduction

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