Point de départ · 1

Deux segments $[AB]$ et $[CD]$ ont la même longueur ( $3\text{ cm}$ ), mais les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles. Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont-ils égaux ?

Remarque

Pour que deux vecteurs soient égaux, la même longueur ne suffit pas : ils doivent aussi avoir la même direction (droites parallèles) et le même sens.

Définition · 2

Définition d'un vecteur

Deux points $A$ et $B$ définissent le vecteur $\vec{AB}$ .

Vocabulaire

Origine — $A$
Extrémité — $B$

$\text{Direction : droite } (AB) \quad | \quad \text{Sens : de } A \text{ vers } B \quad | \quad \text{Longueur : } AB$

Remarque

Si $A = B$ , on obtient le vecteur nul, noté $\vec{0}$ : $\vec{AA} = \vec{0}$ .

Exemple travaillé · 3

Déterminer les trois caractéristiques du vecteur $\vec{AB}$ représenté sur la figure.

1

Direction : la droite $(AB)$ .

2

Sens : de $A$ vers $B$ .

3

Longueur : la distance $AB$ .

Piège classique · 4

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Quel est l'ensemble des points $M$ vérifiant $\vec{AM} = \vec{AB}$ ?

Attention

Penser que l'ensemble est un cercle de centre $A$ , en confondant l'égalité vectorielle avec l'égalité de distance $AM=AB$ .

À la place : $\vec{AM} = \vec{AB}$ impose la même origine $A$ , la même direction, le même sens et la même longueur. L'extrémité est unique : $M = B$ .

Vérification · 5

D'après la figure ci-dessus, quelle égalité vectorielle est correcte ?

Remarque

$\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ ont la même direction, le même sens et la même longueur. $\vec{EF}$ a la même direction et la même longueur, mais un sens opposé.

Point de départ · 6

On donne quatre points $A, B, C, D$ non alignés tels que $\vec{AB} = \vec{CD}$ . Quelle est la nature du quadrilatère formé par ces points ?

Remarque

$\vec{AB}=\vec{CD}$ signifie que les segments $[AB]$ et $[CD]$ ont même direction, même sens et même longueur : ils forment les côtés opposés d'un parallélogramme.

Définition · 7

Égalité vectorielle et parallélogramme

Soient $A, B, C, D$ quatre points non alignés.

$\vec{AB} = \vec{CD} \iff ABDC \text{ est un parallélogramme}$

\vec{AB} = \vec{CD} \iff [AD] \text{ et } [BC] \text{ ont le même milieu}

$\vec{AB} = \vec{CD} \iff \vec{AC} = \vec{BD}$

Piège classique · 8

Si $\vec{AB} = \vec{CD}$ avec $A, B, C$ non alignés, quel est le nom exact du parallélogramme formé ?

Attention

Nommer le quadrilatère $ABCD$ par automatisme alphabétique.

À la place : $\vec{AB}=\vec{CD}$ signifie que les segments opposés sont $[AB]$ et $[CD]$ . Les sommets consécutifs forment le parallélogramme $ABDC$ .

Exemple travaillé · 9

Soient $A, B, C, D, E, F$ six points tels que $\vec{BE} = \vec{DA}$ et $\vec{CB} = \vec{FD}$ . Montrer que $\vec{CE} = \vec{FA}$ .

1

$\vec{BE} = \vec{DA}$ caractérise le parallélogramme $BEDA$ , donc $\vec{AE} = \vec{DB}$ .

2

$\vec{CB} = \vec{FD}$ caractérise le parallélogramme $CBDF$ , donc $\vec{CF} = \vec{DB}$ .

3

Par transitivité avec le vecteur pivot $\vec{DB}$ : $\vec{AE} = \vec{CF}$ .

4

$\vec{AE} = \vec{CF}$ caractérise le parallélogramme $AECF$ , donc $\vec{CE} = \vec{FA}$ .

Vérification · 10

$MNPQ$ est un parallélogramme. Quelle égalité vectorielle est vraie ?

Remarque

Dans le parallélogramme $MNPQ$ , les côtés opposés $[MN]$ et $[QP]$ sont parallèles et de même longueur, dans le même sens : $\vec{MN} = \vec{QP}$ .

Point de départ · 11

Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ . Quelle égalité vectorielle est correcte ?

Remarque

De $A$ vers $I$ et de $I$ vers $B$ , le déplacement s'effectue dans la même direction, le même sens et avec la même longueur : $\vec{AI} = \vec{IB}$ .

Définition · 12

Caractérisation vectorielle du milieu

Soient $A$ et $B$ deux points distincts et $I$ un point du plan.

$I \text{ est le milieu de } [AB] \iff \vec{AI} = \vec{IB}$

\vec{IA} = \vec{BI}

Remarque

$\vec{AI}$ et $\vec{IB}$ ont la même direction (droite $(AB)$ ), le même sens et la même longueur ( $AI=IB$ ).

Piège classique · 13

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{MB} = \vec{MA}$ ?

Attention

Penser que l'ensemble est la médiatrice de $[AB]$ , en confondant l'égalité vectorielle avec l'égalité de distances $MB=MA$ .

À la place : Deux vecteurs ayant la même origine $M$ sont égaux si et seulement si leurs extrémités sont confondues ( $A=B$ ). Comme $A \neq B$ , aucun point $M$ ne convient : l'ensemble est vide.

Exemple travaillé · 14

Soit $ABC$ un triangle. On pose $\vec{BA} = \vec{CE}$ et $\vec{AC} = \vec{BF}$ . Montrer que $C$ est le milieu du segment $[EF]$ .

1

Par hypothèse : $\vec{BA} = \vec{CE}$ .

2

$\vec{AC} = \vec{BF}$ équivaut à $\vec{AB} = \vec{CF}$ .

3

En inversant le sens des vecteurs opposés : $\vec{BA} = \vec{FC}$ .

4

Par transitivité : $\vec{FC} = \vec{CE}$ .

5

L'égalité $\vec{FC} = \vec{CE}$ prouve que $C$ est le milieu du segment $[EF]$ .

Vérification · 15

$B$ est le milieu du segment $[AC]$ . Quelle égalité vectorielle est vraie ?

Remarque

$B$ est le milieu de $[AC]$ équivaut à $\vec{AB} = \vec{BC}$ (même sens, de $A$ vers $C$ ).

Point de départ · 16

On fait glisser un point $M$ selon le vecteur $\vec{u}$ pour obtenir un point $M'$ . Quelle égalité vectorielle traduit ce déplacement ?

Remarque

Le vecteur du déplacement a pour origine le point de départ $M$ et pour extrémité le point d'arrivée $M'$ : on a $\vec{MM'} = \vec{u}$ .

Définition · 17

Définition de la translation

Soit $\vec{u}$ un vecteur et $M$ un point du plan.

$M' = t_{\vec{u}}(M) \iff \vec{MM'} = \vec{u}$

t_{\vec{AB}}(A) = B

Remarque

La translation de vecteur nul $\vec{0}$ est l'identité du plan : $t_{\vec{0}}(M) = M$ .

Exemple travaillé · 18

Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Construire le point $M' = t_{\vec{AB}}(M)$ selon la position du point $M$ .

1

Par définition de la translation : $\vec{MM'} = \vec{AB}$ .

2

Si $M \notin (AB)$ : l'égalité $\vec{MM'} = \vec{AB}$ caractérise le parallélogramme $ABM'M$ . On construit donc le quatrième sommet $M'$ de ce parallélogramme.

3

Si $M \in (AB)$ : $M'$ est le point de la droite $(AB)$ tel que $MM' = AB$ , dans le même sens que le vecteur $\vec{AB}$ .

Vérification · 19

$ABCD$ est un parallélogramme. Quelle est l'image du point $D$ par la translation de vecteur $\vec{AB}$ ?

Remarque

Dans le parallélogramme $ABCD$ , on a l'égalité $\vec{DC} = \vec{AB}$ . L'image de $D$ par la translation de vecteur $\vec{AB}$ est donc le point $C$ car $\vec{DC} = \vec{AB}$ .

Point de départ · 20

On applique à une droite $\Delta$ une translation de vecteur $\vec{u}$ . Si $\vec{u}$ est parallèle à $\Delta$ , que devient la droite ?

Remarque

Chaque point de $\Delta$ se déplace sur la droite $\Delta$ elle-même : l'ensemble des points obtenus redonne exactement la droite $\Delta$ .

Définition · 21

Image d'une droite par une translation

Soit $\Delta$ une droite et $\vec{u}$ un vecteur.

$t_{\vec{u}}(\Delta) = \Delta' \quad \text{avec} \quad \Delta' // \Delta$

\text{Si } \vec{u} // \Delta, \text{ alors } t_{\vec{u}}(\Delta) = \Delta

Piège classique · 22

Quelle est l'image de la droite $(AB)$ par la translation de vecteur $\vec{AB}$ ?

Attention

Tracer une droite parallèle distincte de $(AB)$ .

À la place : Le vecteur $\vec{AB}$ est porté par $(AB)$ . La droite glisse sur elle-même : $t_{\vec{AB}}((AB)) = (AB)$ .

Exemple travaillé · 23

$ABCD$ est un parallélogramme. Déterminer $t_{\vec{AD}}((AB))$ et $t_{\vec{DC}}((AB))$ .

1

L'image de $A$ par $t_{\vec{AD}}$ est $D$ . L'image de $(AB)$ est la droite parallèle à $(AB)$ passant par $D$ , c'est-à-dire $(DC)$ .

2

t_{\vec{AD}}((AB)) = (DC)

3

Comme $ABCD$ est un parallélogramme, $\vec{DC} = \vec{AB}$ : le vecteur $\vec{DC}$ est directeur de $(AB)$ .

4

t_{\vec{DC}}((AB)) = (AB)

Vérification · 24

$ABCD$ est un parallélogramme. Quelle est l'image de la droite $(BC)$ par la translation de vecteur $\vec{AD}$ ?

Remarque

Dans le parallélogramme $ABCD$ , on a $\vec{AD} = \vec{BC}$ . Le vecteur de translation est porté par $(BC)$ , donc $t_{\vec{AD}}((BC)) = (BC)$ .

Point de départ · 25

Pour construire l'image d'un cercle $\zeta$ de centre $O$ et de rayon $r$ par une translation, que suffit-il de faire ?

Remarque

La translation conserve les distances : le rayon ne change pas. Il suffit de translater le centre $O$ et de tracer le cercle de même rayon.

Définition · 26

Propriétés de conservation par translation

$t_{\vec{u}}(\zeta_{(O,r)}) = \zeta'_{(O',r)} \quad \text{avec} \quad \vec{OO'} = \vec{u}$

Toute translation conserve les distances, l'alignement, les milieux, les angles géométriques, le parallélisme et l'orthogonalité.

$t_{\vec{u}}(D_1 \cap D_2) = t_{\vec{u}}(D_1) \cap t_{\vec{u}}(D_2)$

Piège classique · 27

Soit $\zeta$ un cercle de centre $A$ et de rayon $3\text{ cm}$ . Quelle est l'image de $\zeta$ par la translation de vecteur $\vec{AB}$ ?

Attention

Modifier le rayon du cercle ou remplacer le rayon par la longueur $AB$ .

À la place : La translation conserve les distances : le nouveau centre est $t_{\vec{AB}}(A) = B$ et le rayon reste strictement égal à $3\text{ cm}$ .

Exemple travaillé · 28

Soit $ABC$ un triangle d'orthocentre $H$ . On pose $t = t_{\vec{u}}$ . On note $A', B', C'$ et $H'$ les images respectives de $A, B, C$ et $H$ par $t$ . Montrer que $H'$ est l'orthocentre du triangle $A'B'C'$ .

1

Dans le triangle $ABC$ , $(AH)$ est perpendiculaire à $(BC)$ et $(BH)$ est perpendiculaire à $(AC)$ .

2

La translation conserve l'orthogonalité : $t((AH)) = (A'H')$ est perpendiculaire à $t((BC)) = (B'C')$ , donc $(A'H')$ est une hauteur de $A'B'C'$ .

3

De même, $t((BH)) = (B'H')$ est perpendiculaire à $t((AC)) = (A'C')$ , donc $(B'H')$ est une autre hauteur de $A'B'C'$ .

4

La translation conserve l'intersection : $H' = t((AH) \cap (BH)) = (A'H') \cap (B'H')$ . Le point $H'$ est donc l'orthocentre du triangle $A'B'C'$ .

Vérification · 29

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ avec $AB = 3$ et $AC = 4$ . On pose $A' = t_{\vec{u}}(A)$ , $B' = t_{\vec{u}}(B)$ et $C' = t_{\vec{u}}(C)$ . Compléter les mesures du triangle transformé $A'B'C'$ .

Remarque

La translation conserve les distances et l'orthogonalité : $A'B' = AB = 3$ et l'angle en $A'$ reste égal à $90^{\circ}$ .

Vecteurs et translations — cours

Le cours

Définition d'un vecteur

Égalité vectorielle et parallélogramme

Caractérisation vectorielle du milieu

Définition de la translation

Image d'une droite par une translation

Propriétés de conservation par translation

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