Point de départ · 1

Sur la droite $\Delta$ munie des points $O$ et $I$ , si $\vec{OM} = -2\vec{OI}$ , où se situe le point $M$ ?

Le coefficient $-2$ est négatif : le point $M$ se place à $2$ unités de $O$ dans le sens opposé au vecteur $\vec{OI}$ .

Définition · 2

Repère cartésien d'une droite et mesure algébrique

Soit $(O, \vec{OI})$ un repère d'une droite $\Delta$ . L'abscisse de $M$ est l'unique réel $x$ tel que :

$\vec{OM} = x\vec{OI}$

Pour deux points $A(x_A)$ et $B(x_B)$ de $\Delta$ , la mesure algébrique est le réel :

$\overline{AB} = x_B - x_A$

Remarque

On a $\vec{AB} = \overline{AB}\,\vec{OI}$ et $\overline{BA} = -\overline{AB}$ .

Piège classique · 3

Sur une droite graduée, on donne $x_A = 3$ et $x_B = -2$ . Que vaut la distance géométrique $AB$ ?

Attention

Écrire $AB = -2 - 3 = -5$ .

À la place : Une distance est toujours positive : $AB = |x_B - x_A| = |-2 - 3| = |-5| = 5$ . La mesure algébrique $\overline{AB} = -5$ a un signe, mais la distance géométrique $AB$ vaut $5$ .

Exemple travaillé · 4

Calcul d'abscisse et équation de distance

Soit $(O, \vec{OI})$ un repère d'une droite $\Delta$ .
1) On donne $x_A = -1$ et $\overline{AC} = 4$ . Déterminer $x_C$ .
2) Déterminer les abscisses des points $M$ tels que $AM = 3$ .

1

1) Par définition : $\overline{AC} = x_C - x_A$ .

2

4 = x_C - (-1) \iff 4 = x_C + 1 \iff x_C = 3

3

2) La distance $AM$ s'écrit avec une valeur absolue : $AM = |x_M - x_A| = |x_M + 1|$ .

4

|x_M + 1| = 3 \iff x_M + 1 = 3 \text{ ou } x_M + 1 = -3

5

On obtient deux solutions : $x_M = 2$ ou $x_M = -4$ .

Vérification · 5

Sur une droite munie du repère $(O, \vec{OI})$ , on donne $A(-4)$ et $B(2)$ . Calcule $\overline{AB}$ et la distance $AB$ .

Remarque

$\overline{AB} = x_B - x_A = 2 - (-4) = 6$ et la distance vaut $AB = |6| = 6$ .

Point de départ · 6

Pour atteindre le point $M$ depuis l'origine $O$ , on avance de $3$ unités selon $\vec{i}$ puis de $2$ unités selon $\vec{j}$ . Comment s'écrit $\vec{OM}$ ?

Le vecteur position s'obtient par la somme : $\vec{OM} = 3\vec{i} + 2\vec{j}$ .

Définition · 7

Repère cartésien du plan et coordonnées

Soit $O$ un point du plan et deux vecteurs non colinéaires $\vec{i}$ et $\vec{j}$ . Le triplet $(O; \vec{i}, \vec{j})$ forme un repère cartésien du plan.

$\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} \iff M(x, y)$

$x$ est l'abscisse de $M$ et $y$ est son ordonnée.

Remarque

Types de repères :
- Repère quelconque : $\vec{i}$ et $\vec{j}$ quelconques.
- Repère orthogonal : $\vec{i} \perp \vec{j}$ .
- Repère orthonormé : $\vec{i} \perp \vec{j}$ et $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1$ .

Exemple travaillé · 8

Coordonnées d'un point à partir du vecteur position

Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , on donne les points définis par :
$\vec{OA} = 2\vec{i} - 3\vec{j} \quad \text{et} \quad \vec{OB} = -\vec{i} + 4\vec{j}$
Déterminer les coordonnées des points $A$ et $B$ .

1

Pour le point $A$ , on identifie les composantes de $\vec{OA}$ sur la base $(\vec{i}, \vec{j})$ .

2

\vec{OA} = 2\vec{i} + (-3)\vec{j} \implies A(2, -3)

3

Pour le point $B$ , le coefficient de $\vec{i}$ est $-1$ et celui de $\vec{j}$ est $4$ .

4

\vec{OB} = -1\vec{i} + 4\vec{j} \implies B(-1, 4)

Vérification · 9

Dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , un point $N$ vérifie $\vec{ON} = -3\vec{j}$ . Quelles sont les coordonnées de $N$ ?

Remarque

$\vec{ON} = 0\vec{i} - 3\vec{j}$ : l'abscisse est $0$ et l'ordonnée est $-3$ , d'où $N(0, -3)$ .

Définition · 10

Composantes d'un vecteur et milieu d'un segment

Soient deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ .

$\vec{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A \\ y_B - y_A\end{pmatrix}$

Les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ sont données par la demi-somme :

$I\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$

Piège classique · 11

On donne $A(2, 1)$ et $B(-3, 3)$ . Quel est le calcul correct pour l'abscisse du vecteur $\vec{AB}$ ?

Attention

Calculer $x_A - x_B = 2 - (-3) = 5$ en inversant l'ordre des points, ou faire la demi-somme comme pour un milieu.

À la place : Pour un vecteur, on soustrait toujours l'origine de l'extrémité : $x_B - x_A = -3 - 2 = -5$ .

Exemple travaillé · 12

Calcul des composantes et du milieu

Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , on donne $A(1, 3)$ et $B(-3, -1)$ .
1) Déterminer les composantes de $\vec{AB}$ .
2) Déterminer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$ .

1

1) On applique la formule des composantes (extrémité moins origine) :

2

\vec{AB}\begin{pmatrix}x_B - x_A \\ y_B - y_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 - 1 \\ -1 - 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ -4\end{pmatrix}

3

2) On applique la formule de la demi-somme pour le milieu :

4

x_M = \frac{1 + (-3)}{2} = -1 \quad \text{et} \quad y_M = \frac{3 + (-1)}{2} = 1

5

M(-1, 1)

Exemple travaillé · 13

Coordonnées d'un symétrique par rapport à un point

Soient $A(-2, -1)$ et $B(2, 4)$ . Déterminer les coordonnées du point $C$ , symétrique de $B$ par rapport à $A$ .

1

$C$ est le symétrique de $B$ par rapport à $A$ signifie que $A$ est le milieu du segment $[BC]$ .

2

x_A = \frac{x_B + x_C}{2} \quad \text{et} \quad y_A = \frac{y_B + y_C}{2}

3

On isole les coordonnées inconnues $x_C$ et $y_C$ :

4

x_C = 2x_A - x_B = 2(-2) - 2 = -6

5

y_C = 2y_A - y_B = 2(-1) - 4 = -6 \implies C(-6, -6)

Vérification · 14

On donne $E(4, -3)$ et $F(-2, 1)$ . Détermine les coordonnées du milieu $K$ du segment $[EF]$ .

Remarque

$x_K = \frac{4 + (-2)}{2} = 1$ et $y_K = \frac{-3 + 1}{2} = -1$ , d'où $K(1, -1)$ .

Définition · 15

Colinéarité de deux vecteurs et déterminant

Soient $\vec{u}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x' \\ y'\end{pmatrix}$ deux vecteurs dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ .

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si :

$xy' - x'y = 0$

Remarque

Applications géométriques :
- $A$ , $B$ et $C$ sont alignés $\iff \vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
- $(AB) \parallel (CD) \iff \vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont colinéaires.

Piège classique · 16

On donne $\vec{u}\begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}1 \\ y\end{pmatrix}$ . Quelle équation permet de trouver $y$ pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires ?

Attention

Écrire $y = 4$ en cherchant une égalité directe entre les composantes.

À la place : Deux vecteurs colinéaires sont proportionnels, pas forcément égaux. On applique le déterminant nul : $2y - 4 \times 1 = 0 \implies 2y = 4 \implies y = 2$ .

Exemple travaillé · 17

Démontrer l'alignement de trois points

Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , on donne $A(2, 3)$ , $B(-2, 1)$ et $C(4, 4)$ . Les points $A$ , $B$ et $C$ sont-ils alignés ?

1

On calcule les composantes de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :

2

\vec{AB}\begin{pmatrix}-2 - 2 \\ 1 - 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ -2\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{AC}\begin{pmatrix}4 - 2 \\ 4 - 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}

3

On calcule le déterminant $xy' - x'y$ :

4

(-4) \times 1 - (-2) \times 2 = -4 - (-4) = 0

5

Le déterminant est nul : $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, donc $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

Exemple travaillé · 18

Parallélisme avec un point paramétré

On donne $A(2, 1)$ , $B(5, 4)$ , $C(-1, 2)$ et $M(0, x)$ . Déterminer $x$ pour que $(AB)$ soit parallèle à $(CM)$ .

1

On détermine les composantes des vecteurs directeurs :

2

\vec{AB}\begin{pmatrix}5 - 2 \\ 4 - 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 3\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{CM}\begin{pmatrix}0 - (-1) \\ x - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ x - 2\end{pmatrix}

3

$(AB) \parallel (CM)$ si et seulement si $\vec{AB}$ et $\vec{CM}$ sont colinéaires :

4

3(x - 2) - 3 \times 1 = 0

5

3x - 6 - 3 = 0 \iff 3x = 9 \iff x = 3

6

Pour $x = 3$ , les droites $(AB)$ et $(CM)$ sont parallèles.

Vérification · 19

Les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}-6 \\ -4\end{pmatrix}$ sont-ils colinéaires ?

Remarque

$3 \times (-4) - 2 \times (-6) = -12 - (-12) = 0$ : le déterminant est nul, donc les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Définition · 20

Caractérisation vectorielle d'un parallélogramme

Un quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si deux côtés opposés définissent des vecteurs égaux de même sens :

$ABCD \text{ est un parallélogramme} \iff \vec{AB} = \vec{DC}$

Remarque

L'égalité $\vec{AB} = \vec{DC}$ équivaut aussi à $\vec{AD} = \vec{BC}$ .

Piège classique · 21

Quelle égalité vectorielle caractérise le fait que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme ?

Attention

Écrire $\vec{AB} = \vec{CD}$ en suivant l'ordre alphabétique direct.

À la place : Pour tourner autour du quadrilatère dans l'ordre $A-B-C-D$ , les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ sont de sens opposés. L'égalité correcte est $\vec{AB} = \vec{DC}$ .

Exemple travaillé · 22

Déterminer le quatrième sommet d'un parallélogramme

Dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , on donne $A(1, -2)$ , $B(3, 2)$ et $C(7, 0)$ .
Déterminer les coordonnées du point $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.

1

$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\vec{AB} = \vec{DC}$ .

2

On calcule les composantes de $\vec{AB}$ :

3

\vec{AB}\begin{pmatrix}3 - 1 \\ 2 - (-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}

4

On exprime les composantes de $\vec{DC}$ avec $D(x_D, y_D)$ :

5

\vec{DC}\begin{pmatrix}7 - x_D \\ 0 - y_D\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 - x_D \\ -y_D\end{pmatrix}

6

On identifie composante par composante :

7

\begin{cases} 7 - x_D = 2 \\ -y_D = 4 \end{cases} \iff \begin{cases} x_D = 5 \\ y_D = -4 \end{cases} \implies D(5, -4)

Vérification · 23

On considère un quadrilatère nommé $ABDC$ . Quelle relation vectorielle caractérise le fait que $ABDC$ soit un parallélogramme ?

Remarque

Dans l'ordre des sommets $A-B-D-C$ , le côté opposé à $[AB]$ est $[CD]$ parcouru dans le même sens : $ABDC$ est un parallélogramme $\iff \vec{AB} = \vec{CD}$ .

Point de départ · 24

Soit $ABC$ un triangle quelconque. Peut-on repérer tous les points du plan en prenant $A$ comme origine et les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ comme base ?

Oui : comme les points $A$ , $B$ et $C$ ne sont pas alignés, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne sont pas colinéaires. Le triplet $(A; \vec{AB}, \vec{AC})$ constitue un repère cartésien du plan.

Définition · 25

Repère cartésien lié à un triangle

Dans le repère $(A; \vec{AB}, \vec{AC})$ , les sommets du triangle ont pour coordonnées canoniques :

$A(0, 0), \quad B(1, 0) \quad \text{et} \quad C(0, 1)$

Pour tout point $M$ du plan :

$\vec{AM} = x\vec{AB} + y\vec{AC} \iff M(x, y)$

Piège classique · 26

Dans le repère $(A; \vec{AB}, \vec{AC})$ , on donne $\vec{BG} = -\vec{AB} - \vec{AC}$ . Quelles sont les coordonnées du point $G$ ?

Attention

Lire directement les coefficients de $\vec{BG}$ pour écrire $G(-1, -1)$ .

À la place : L'origine du repère est $A$ . Il faut exprimer $\vec{AG}$ avec la relation de Chasles : $\vec{BA} + \vec{AG} = -\vec{AB} - \vec{AC} \implies \vec{AG} = -\vec{AC} = 0\vec{AB} - 1\vec{AC}$ , d'où $G(0, -1)$ .

Exemple travaillé · 27

Coordonnées et alignement dans un repère affine

Soit $ABC$ un triangle et le repère $(A; \vec{AB}, \vec{AC})$ . On donne $\vec{AH} = 2\vec{AB} - \vec{AC}$ et $\vec{BG} = -\vec{AB} - \vec{AC}$ .
1) Déterminer les coordonnées de $H$ et $G$ .
2) Les points $A$ , $G$ et $H$ sont-ils alignés ?

1

1) Pour $H$ , le vecteur part de l'origine $A$ : $\vec{AH} = 2\vec{AB} - 1\vec{AC} \implies H(2, -1)$ .

2

Pour $G$ , on utilise la relation de Chasles :

3

\vec{BA} + \vec{AG} = -\vec{AB} - \vec{AC} \implies \vec{AG} = -\vec{AB} - \vec{AC} - \vec{BA} = -\vec{AC}

4

\vec{AG} = 0\vec{AB} - 1\vec{AC} \implies G(0, -1)

5

2) On calcule le déterminant de $\vec{AG}\begin{pmatrix}0 \\ -1\end{pmatrix}$ et $\vec{AH}\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}$ :

6

0 \times (-1) - (-1) \times 2 = 2 \neq 0

7

Le déterminant est non nul : $\vec{AG}$ et $\vec{AH}$ ne sont pas colinéaires, donc $A$ , $G$ et $H$ ne sont pas alignés.

Vérification · 28

Dans le repère $(A; \vec{AB}, \vec{AC})$ , détermine les coordonnées du milieu $I$ du segment $[BC]$ .

Remarque

$B(1, 0)$ et $C(0, 1)$ , d'où $x_I = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}$ et $y_I = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2}$ , soit $I\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ .

Définition · 29

Distance dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , la distance entre deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ est :

$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

La distance d'un point $M(x, y)$ à l'origine $O$ est :

$OM = \sqrt{x^2 + y^2}$

Remarque

Cette formule découle du théorème de Pythagore. Elle exige un repère orthonormé.

Piège classique · 30

Soit $ABC$ un triangle quelconque. Dans le repère $(A; \vec{AB}, \vec{AC})$ , a-t-on $BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}$ ?

Attention

Appliquer la formule de la racine carrée des composantes dans n'importe quel repère.

À la place : La formule repose sur le théorème de Pythagore : elle est fausse si les axes ne sont pas perpendiculaires ou si les vecteurs unitaires n'ont pas la même longueur. Elle ne s'applique que dans un repère orthonormé.

Exemple travaillé · 31

Nature d'un triangle et cercle circonscrit

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , on donne $A(1, 2)$ , $B(2, 4)$ et $C(3, 1)$ .
1) Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle.
2) Déterminer le centre $E$ et le rayon $R$ de son cercle circonscrit.

1

1) On calcule les carrés des trois côtés :

2

AB^2 = (2 - 1)^2 + (4 - 2)^2 = 1^2 + 2^2 = 5 \implies AB = \sqrt{5}

3

AC^2 = (3 - 1)^2 + (1 - 2)^2 = 2^2 + (-1)^2 = 5 \implies AC = \sqrt{5}

4

BC^2 = (3 - 2)^2 + (1 - 4)^2 = 1^2 + (-3)^2 = 10 \implies BC = \sqrt{10}

5

$AB = AC = \sqrt{5}$ : le triangle est isocèle en $A$ . De plus, $AB^2 + AC^2 = 5 + 5 = 10 = BC^2$ : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle en $A$ .

6

2) $ABC$ étant rectangle en $A$ , son cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse $[BC]$ . Son centre $E$ est le milieu de $[BC]$ :

7

x_E = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2} \quad \text{et} \quad y_E = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2} \implies E\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)

8

R = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}

Exemple travaillé · 32

Démontrer qu'un quadrilatère est un carré

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , on donne $A(-2, -3)$ , $B(-4, 4)$ , $C(3, 6)$ et $D(5, -1)$ . Démontrer que $ABCD$ est un carré.

1

1) On prouve que $ABCD$ est un parallélogramme en montrant $\vec{AB} = \vec{DC}$ :

2

\vec{AB}\begin{pmatrix}-4 - (-2) \\ 4 - (-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 7\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vec{DC}\begin{pmatrix}3 - 5 \\ 6 - (-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 7\end{pmatrix}

3

$\vec{AB} = \vec{DC}$ , donc $ABCD$ est un parallélogramme.

4

2) On calcule les longueurs des côtés consécutifs et de la diagonale :

5

AB^2 = (-2)^2 + 7^2 = 53 \quad \text{et} \quad BC^2 = (3 - (-4))^2 + (6 - 4)^2 = 7^2 + 2^2 = 53

6

AC^2 = (3 - (-2))^2 + (6 - (-3))^2 = 5^2 + 9^2 = 25 + 81 = 106

7

3) On a $AB = BC = \sqrt{53}$ (côtés consécutifs égaux) et $AB^2 + BC^2 = 53 + 53 = 106 = AC^2$ (angle droit en $B$ ). Le parallélogramme $ABCD$ est donc un carré.

Vérification · 33

Dans un repère orthonormé, on donne $A(1, 3)$ et $B(4, -1)$ . Calcule la distance $AB$ .

Remarque

$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .

Activités dans un repère — cours

Le cours

Repère cartésien d'une droite et mesure algébrique

Calcul d'abscisse et équation de distance

Repère cartésien du plan et coordonnées

Coordonnées d'un point à partir du vecteur position

Composantes d'un vecteur et milieu d'un segment

Calcul des composantes et du milieu

Coordonnées d'un symétrique par rapport à un point

Colinéarité de deux vecteurs et déterminant

Démontrer l'alignement de trois points

Parallélisme avec un point paramétré

Caractérisation vectorielle d'un parallélogramme

Déterminer le quatrième sommet d'un parallélogramme

Repère cartésien lié à un triangle

Coordonnées et alignement dans un repère affine

Distance dans un repère orthonormé

Nature d'un triangle et cercle circonscrit

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