Rappel · 1

Complète la définition vectorielle de la translation :

Remarque

L'image de $M$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ est l'unique point $M'$ vérifiant $\vec{MM'} = \vec{u}$ .

Point de départ · 2

Un mobile se déplace de $A$ vers $B$ , puis de $B$ vers $C$ . Quel vecteur représente le déplacement direct de départ à arrivée ?

Partir de $A$ pour aller en $B$ , puis enchaîner de $B$ vers $C$ , revient directement à aller de $A$ vers $C$ : c'est le vecteur $\vec{AC}$ .

Définition · 3

Relation de Chasles

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Pour tous points $A, B$ et $C$ du plan, l'extrémité du premier vecteur coïncide avec l'origine du second.

Vecteur nul et vecteur opposé

$\vec{AA} = \vec{0} \quad \text{et} \quad -\vec{AB} = \vec{BA}$

Exemple travaillé · 4

Soit $A, B, C$ trois points. Simplifie l'expression vectorielle : $\vec{u} = \vec{AC} + \vec{BA} + 2\vec{CB}$ .

1

On réordonne les termes pour faire apparaître l'extrémité commune $A$ :

2

\vec{u} = (\vec{BA} + \vec{AC}) + 2\vec{CB}

3

On applique la relation de Chasles sur la première parenthèse :

4

\vec{u} = \vec{BC} + 2\vec{CB}

5

On remplace $\vec{BC}$ par son opposé $-\vec{CB}$ puis on réduit :

6

\vec{u} = -\vec{CB} + 2\vec{CB} = \vec{CB}

Piège classique · 5

Que vaut la différence vectorielle $\vec{AB} - \vec{AC}$ ?

Attention

Écrire $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{BC}$ en lisant les lettres de gauche à droite.

À la place : On transforme la soustraction en somme : $-\vec{AC} = \vec{CA}$ , d'où $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$ .

Vérification · 6

Simplifie le vecteur : $\vec{w} = \vec{DA} + \vec{BD} + \vec{AB}$ .

Remarque

En réorganisant : $(\vec{BD} + \vec{DA}) + \vec{AB} = \vec{BA} + \vec{AB} = \vec{AA} = \vec{0}$ .

Point de départ · 7

Deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ partent de la même origine $A$ . Quel vecteur représente leur somme $\vec{AB} + \vec{AC}$ ?

En reportant $\vec{AC}$ à partir de $B$ , on atteint le point $D$ : la somme $\vec{AB} + \vec{AC}$ est le vecteur diagonale $\vec{AD}$ .

Définition · 8

Règle du parallélogramme

$\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD} \iff ABDC \text{ est un parallélogramme}$

Le vecteur somme $\vec{AD}$ est la diagonale issue de $A$ . L'ordre des sommets du parallélogramme est $A-B-D-C$ .

Piège classique · 9

On pose $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}$ . Quel est le nom du parallélogramme formé ?

Attention

Écrire $ABCD$ par automatisme alphabétique.

À la place : Le segment $[AD]$ est une diagonale issue de $A$ . Le tour des sommets donne $ABDC$ (et non $ABCD$ ).

Exemple travaillé · 10

Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$ . Simplifie le vecteur : $\vec{w} = \vec{DA} + \vec{DC} + \vec{BO}$ .

1

Dans le parallélogramme $ABCD$ , on applique la règle du parallélogramme en $D$ :

2

\vec{DA} + \vec{DC} = \vec{DB}

3

On remplace dans l'expression de $\vec{w}$ :

4

\vec{w} = \vec{DB} + \vec{BO}

5

On applique la relation de Chasles :

6

\vec{w} = \vec{DO}

Vérification · 11

Soit $EFGH$ un parallélogramme de centre $I$ . Complète les égalités :

Remarque

Dans $EFGH$ , la diagonale issue de $E$ est $[EG]$ , donc $\vec{EF} + \vec{EH} = \vec{EG}$ . De plus, $I$ étant le milieu de $[EG]$ , $\vec{IE} + \vec{IG} = \vec{0}$ .

Point de départ · 12

Si $\vec{u} = \vec{AB}$ , que représente le vecteur $-2\vec{u}$ par rapport à $\vec{u}$ ?

Remarque

Le signe $-$ inverse le sens du vecteur, et le facteur $2$ double sa longueur.

Définition · 13

Multiplication d'un vecteur par un réel

$\alpha\vec{u} = \vec{0} \iff \alpha = 0 \quad \text{ou} \quad \vec{u} = \vec{0}$

Pour tout vecteur $\vec{u} \neq \vec{0}$ et tout réel $\alpha \neq 0$ :

\alpha > 0 \implies \alpha\vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ ont même sens, et } \Vert\alpha\vec{u}\Vert = \alpha\Vert\vec{u}\Vert

\alpha < 0 \implies \alpha\vec{u} \text{ et } \vec{u} \text{ ont des sens contraires, et } \Vert\alpha\vec{u}\Vert = |\alpha|\Vert\vec{u}\Vert

Repère d'une droite

$\vec{AM} = x\vec{AB} \iff M \text{ a pour abscisse } x \text{ dans le repère } (A, \vec{AB})$

Piège classique · 14

On donne $\vec{EF} = -3\vec{GH}$ avec $GH = 4\text{ cm}$ . Quelle est la longueur $EF$ ?

Attention

Calculer $EF = -3 \times 4 = -12\text{ cm}$ en oubliant qu'une distance est toujours positive.

À la place : On prend la valeur absolue du coefficient : $EF = |-3| \times GH = 3 \times 4 = 12\text{ cm}$ .

Exemple travaillé · 15

Soit un axe muni du repère $(A, \vec{AB})$ avec $AB = 3\text{ cm}$ . Place le point $M$ d'abscisse $-2$ et calcule la distance $AM$ .

1

On traduit l'abscisse en égalité vectorielle :

2

\vec{AM} = -2\vec{AB}

3

Le coefficient $-2$ est négatif : $\vec{AM}$ et $\vec{AB}$ sont de sens contraires. On place $M$ sur la demi-droite opposée à $[AB)$ .

4

On calcule la distance $AM$ en utilisant la valeur absolue :

5

AM = |-2| \times AB = 2 \times 3 = 6\text{ cm}

Vérification · 16

Sur une droite munie du repère $(A, \vec{AB})$ , on donne $\vec{AC} = 3\vec{AB}$ et $\vec{AD} = -2\vec{AB}$ . Complète :

Remarque

L'abscisse de $C$ est $3$ . La distance $AD$ est positive : $AD = |-2|AB = 2AB$ .

Point de départ · 17

Si deux vecteurs non nuls vérifient $\vec{AB} = 3\vec{CD}$ , quelle est la position relative des droites $(AB)$ et $(CD)$ ?

Remarque

Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ ont la même direction, donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Définition · 18

Vecteurs colinéaires

$\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires} \iff \vec{u} = \vec{0} \quad \text{ou} \quad \vec{v} = \vec{0} \quad \text{ou} \quad \exists \alpha \in \mathbb{R}^*, \vec{u} = \alpha\vec{v}$

Applications géométriques

$\vec{AB} = \alpha\vec{CD} \implies (AB) \parallel (CD)$

$\vec{AB} = \alpha\vec{AC} \iff A, B, C \text{ sont alignés}$

Exemple travaillé · 19

Soit $ABC$ un triangle. On pose $\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AC}$ , $\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}$ et $\vec{AF} = 2\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$ . Montre que $(EF) \parallel (AD)$ .

1

On applique la relation de Chasles pour exprimer $\vec{EF}$ :

2

\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE}

3

On remplace par les expressions de l'énoncé :

4

\vec{EF} = \left(2\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}\right) - \left(\frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}\right) = \frac{3}{2}\vec{AB} + \frac{3}{2}\vec{AC}

5

On factorise par $\frac{3}{2}$ :

6

\vec{EF} = \frac{3}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{3}{2}\vec{AD}

7

Les vecteurs $\vec{EF}$ et $\vec{AD}$ sont colinéaires, donc $(EF) \parallel (AD)$ .

Piège classique · 20

On a $\vec{AB} = 2\vec{CD}$ avec $A, B, C, D$ distincts. Que peut-on affirmer avec certitude ?

Attention

Conclure que les quatre points $A, B, C, D$ sont alignés.

À la place : $\vec{AB} = 2\vec{CD}$ prouve seulement que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. Pour prouver un alignement, il faut un point commun, comme dans $\vec{AB} = k\vec{AC}$ .

Vérification · 21

On donne $\vec{AM} = 3\vec{AB} + 3\vec{AC}$ et $\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$ . Que peut-on déduire pour les points $A, I, M$ ?

Remarque

$\vec{AM} = 3(\vec{AB}+\vec{AC}) = 6\left(\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}\right) = 6\vec{AI}$ . Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AI}$ ont le point $A$ en commun et sont colinéaires, donc $A, I, M$ sont alignés.

Point de départ · 22

$I$ est le milieu du segment $[AB]$ . Quelle égalité vectorielle traduit exactement cette position ?

Remarque

$I$ étant situé entre $A$ et $B$ , les vecteurs $\vec{AI}$ et $\vec{IB}$ ont la même direction, le même sens et la même longueur : $\vec{AI} = \vec{IB}$ .

Définition · 23

Caractérisations vectorielles du milieu

$I \text{ milieu de } [AB] \iff \vec{AI} = \vec{IB} \iff \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0} \iff \vec{AB} = 2\vec{AI}$

Formule de la médiane vectorielle

$\forall M \text{ du plan}, \quad \vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}$

Cette réduction s'applique pour tout point $M$ du plan, qu'il soit ou non situé sur la droite $(AB)$ .

Piège classique · 24

Soit $A, B$ et $I$ trois points distincts du plan. Si $IA = IB$ , peut-on affirmer que $I$ est le milieu de $[AB]$ ?

Attention

Conclure que $I$ est le milieu de $[AB]$ à partir de la seule égalité de distances $IA = IB$ .

À la place : $IA = IB$ signifie seulement que $I$ appartient à la médiatrice de $[AB]$ . Pour caractériser le milieu, il faut l'égalité vectorielle $\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}$ (qui impose l'alignement et le sens opposé).

Exemple travaillé · 25

Soit $ABC$ un triangle et $I$ le milieu de $[BC]$ . Soit $M$ le point tel que $5\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}$ . Démontre que $A, I, M$ sont alignés.

1

On applique la formule de la médiane sur la somme $\vec{MB} + \vec{MC}$ :

2

\vec{MB} + \vec{MC} = 2\vec{MI}

3

On substitue dans l'égalité de départ :

4

5\vec{MA} + 2\vec{MI} = \vec{0}

5

On décompose $\vec{MI}$ par la relation de Chasles avec le point $A$ :

6

5\vec{MA} + 2(\vec{MA} + \vec{AI}) = \vec{0} \iff 7\vec{MA} + 2\vec{AI} = \vec{0} \iff 7\vec{AM} = 2\vec{AI}

7

\vec{AM} = \frac{2}{7}\vec{AI}

8

Les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{AI}$ sont colinéaires avec l'origine commune $A$ , donc les points $A, I, M$ sont alignés.

Vérification · 26

Soit $ABC$ un triangle et $I$ le milieu de $[BC]$ . Réduis le vecteur : $\vec{u} = \vec{AB} + \vec{AC} - 2\vec{AI}$ .

Remarque

D'après la formule de la médiane appliquée au sommet $A$ , $\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AI}$ . Donc $\vec{u} = 2\vec{AI} - 2\vec{AI} = \vec{0}$ .

Point de départ · 27

Dans un triangle $ABC$ , si $G$ est le centre de gravité (point d'équilibre), que vaut la somme vectorielle $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}$ des forces dirigées vers les trois sommets ?

Remarque

Les forces issues du centre d'équilibre vers les sommets se compensent exactement : leur somme est le vecteur nul $\vec{0}$ .

Définition · 28

Caractérisation vectorielle du centre de gravité

$G \text{ centre de gravité de } ABC \iff \vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$

Position sur la médiane

$A' \text{ milieu de } [BC] \implies \vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AA'} \quad \text{et} \quad \vec{A'G} = \frac{1}{3}\vec{A'A}$

Réduction pour tout point du plan

$\forall M \text{ du plan}, \quad \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}$

Exemple travaillé · 29

Soit $ABC$ un triangle de centre de gravité $G$ . Détermine le vecteur $\vec{MG}$ pour le point $M$ défini par : $2\vec{MA} - \vec{MB} + 2\vec{MC} = \vec{0}$ .

1

On introduit le point $G$ dans chaque vecteur par la relation de Chasles :

2

2(\vec{MG} + \vec{GA}) - (\vec{MG} + \vec{GB}) + 2(\vec{MG} + \vec{GC}) = \vec{0}

3

On regroupe les termes en $\vec{MG}$ et les vecteurs issus de $G$ :

4

3\vec{MG} + 2(\vec{GA} + \vec{GC}) - \vec{GB} = \vec{0}

5

Comme $G$ est le centre de gravité, $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$ , soit $\vec{GA} + \vec{GC} = -\vec{GB}$ :

6

3\vec{MG} + 2(-\vec{GB}) - \vec{GB} = \vec{0} \iff 3\vec{MG} - 3\vec{GB} = \vec{0}

7

On simplifie pour isoler $\vec{MG}$ :

8

\vec{MG} = \vec{GB}

Piège classique · 30

Soit $ABC$ un triangle, $A'$ le milieu de $[BC]$ et $G$ son centre de gravité. Quelle est l'égalité vectorielle correcte ?

Attention

Écrire $\vec{A'G} = \frac{2}{3}\vec{AA'}$ en mesurant les deux tiers à partir du milieu au lieu du sommet.

À la place : Le centre de gravité est situé aux deux tiers à partir du sommet $A$ : $\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AA'}$ . À partir du milieu $A'$ , la distance est d'un tiers : $\vec{A'G} = \frac{1}{3}\vec{A'A}$ .

Vérification · 31

Soit $G$ le centre de gravité d'un triangle $ABC$ . Pour tout point $M$ du plan, que vaut la somme $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}$ ?

Remarque

Par la relation de Chasles avec le point $G$ : $(\vec{MG}+\vec{GA}) + (\vec{MG}+\vec{GB}) + (\vec{MG}+\vec{GC}) = 3\vec{MG} + (\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}) = 3\vec{MG} + \vec{0} = 3\vec{MG}$ .

Somme de deux vecteurs - Vecteurs colinéaires — cours

Le cours

Relation de Chasles

Vecteur nul et vecteur opposé

Règle du parallélogramme

Multiplication d'un vecteur par un réel

Repère d'une droite

Vecteurs colinéaires

Applications géométriques

Caractérisations vectorielles du milieu

Formule de la médiane vectorielle

Caractérisation vectorielle du centre de gravité

Position sur la médiane

Réduction pour tout point du plan

Chapitres liés

Continuer sur Lumio