Point de départ · 1

Dans quel sens tourne-t-on pour effectuer un quart de tour direct ?

Remarque

Le sens direct (sens trigonométrique) est le sens inverse des aiguilles d'une montre. Le sens indirect (sens horaire) est le sens des aiguilles d'une montre.

Définition · 2

Définition du quart de tour direct

Soit $O$ un point du plan. L'image d'un point $M$ distinct de $O$ par le quart de tour direct de centre $O$ , noté $r$ , est le point $M'$ vérifiant :

$\begin{cases} OM = OM' \\ \widehat{MOM'} = 90^\circ \text{ (sens direct)} \end{cases}$

Le point $O$ est l'unique point invariant : $r(O) = O$ .

Piège classique · 3

Soit $r$ le quart de tour direct de centre $O$ . On sait que $r(A) = A'$ . Que vaut $r(A')$ ?

Attention

Penser que $r(A') = A$ en confondant la rotation avec une symétrie.

À la place : Pour aller de $A'$ à $A$ , l'angle est de $-90^\circ$ (sens indirect). Appliquer $r$ à $A'$ fait tourner de $+90^\circ$ supplémentaires, ce qui donne le symétrique de $A$ par rapport à $O$ .

Exemple travaillé · 4

Soit $ABC$ un triangle rectangle et isocèle en $A$ de sens direct. Déterminer l'image du point $B$ par le quart de tour direct $r$ de centre $A$ .

1

Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ , donc $AB = AC$ .

2

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et orienté dans le sens direct, donc $\widehat{BAC} = 90^\circ$ (sens direct).

3

Par définition du quart de tour direct de centre $A$ :

4

r(B) = C

Vérification · 5

Soit $EFGH$ un carré de centre $O$ orienté dans le sens direct. Quelle est l'image du point $E$ par le quart de tour indirect de centre $O$ , noté $J^-$ ?

Remarque

Le quart de tour indirect $J^-$ tourne de $90^\circ$ dans le sens des aiguilles d'une montre : $OE = OH$ et l'angle est orienté dans le sens horaire, donc $J^-(E) = H$ .

Définition · 6

Image d'un segment et conservation des distances

L'image d'un segment $[AB]$ par un quart de tour est le segment $[A'B']$ , où $A'$ et $B'$ sont les images respectives de $A$ et $B$ .

$A'B' = AB$

Le quart de tour est une isométrie : il conserve les distances.

Piège classique · 7

$ABCD$ et $AEFG$ sont deux carrés directs. Pour montrer que $EB = DG$ , quelle est la démarche la plus directe ?

Attention

Chercher à prouver que les triangles $AEB$ et $AGD$ sont isométriques.

À la place : Le quart de tour direct de centre $A$ transforme $E$ en $G$ et $B$ en $D$ . Il transforme donc le segment $[EB]$ en $[GD]$ et donne immédiatement $EB = DG$ par conservation des distances.

Exemple travaillé · 8

Soient $ABCD$ et $AEFG$ deux carrés directs de sommet commun $A$ . Montrer que $EB = DG$ .

1

On considère le quart de tour direct $r$ de centre $A$ .

2

Dans le carré direct $AEFG$ : $AE = AG$ et $\widehat{EAG} = 90^\circ$ (sens direct), donc $r(E) = G$ .

3

Dans le carré direct $ABCD$ : $AB = AD$ et $\widehat{BAD} = 90^\circ$ (sens direct), donc $r(B) = D$ .

4

L'image du segment $[EB]$ par $r$ est donc le segment $[GD]$ .

5

Le quart de tour conserve les distances, d'où :

6

EB = DG

Vérification · 9

Soit $r$ un quart de tour direct. On sait que $r(M) = M'$ et $r(N) = N'$ . Si $MN = 5\text{ cm}$ , quelle est la longueur $M'N'$ en cm ?

Remarque

Le quart de tour est une isométrie : l'image du segment $[MN]$ est $[M'N']$ , donc $M'N' = MN = 5\text{ cm}$ .

Définition · 10

Image d'une droite par un quart de tour

L'image d'une droite $(D)$ par un quart de tour est une droite $(D')$ perpendiculaire à $(D)$ .

$(D') \perp (D)$

Remarque

Si le centre $O$ appartient à $(D)$ , l'image $(D')$ est la perpendiculaire à $(D)$ en $O$ .

Piège classique · 11

Pour tracer l'image d'une droite $(D)$ par un quart de tour, combien d'images de points suffit-il de déterminer ?

Attention

Construire obligatoirement l'image de deux points distincts de $(D)$ .

À la place : Il suffit de déterminer l'image d'un seul point $A \in (D)$ , puis de tracer la droite perpendiculaire à $(D)$ passant par cette image.

Exemple travaillé · 12

Soit $ABCD$ un carré direct de centre $O$ . Soient $I = A*D$ et $J = C*D$ . Montrer que $(AJ) \perp (BI)$ .

1

On considère le quart de tour direct $r$ de centre $O$ .

2

Dans le carré direct $ABCD$ , on a $r(A) = B$ et $r(D) = A$ .

3

On a $J = C*D$ et $r(C) = D$ , $r(D) = A$ . Le quart de tour conservant le milieu, on obtient $r(J) = I$ .

4

L'image de la droite $(AJ)$ par $r$ est donc la droite $(BI)$ .

5

L'image d'une droite par un quart de tour est une droite perpendiculaire, d'où :

6

(AJ) \perp (BI)

Vérification · 13

Soit $(D)$ une droite et $r$ un quart de tour direct de centre $O$ . Si $(D') = r((D))$ , quelle est la position relative de $(D)$ et $(D')$ ?

Remarque

L'image d'une droite par un quart de tour est toujours une droite qui lui est perpendiculaire : $(D) \perp (D')$ .

Définition · 14

Conservation du milieu et de l'alignement

Le quart de tour conserve le milieu d'un segment et l'alignement des points.

$I = A*B \implies r(I) = r(A)*r(B)$

Remarque

Si trois points distincts $A, B, C$ sont alignés, leurs images $A', B', C'$ sont aussi alignées.

Exemple travaillé · 15

Soit $ABCD$ un carré direct de centre $O$ . On pose $I = A*D$ et $J = C*D$ . Déterminer l'image du point $J$ par le quart de tour direct $r$ de centre $O$ .

1

Dans le carré direct $ABCD$ , $r(C) = D$ et $r(D) = A$ .

2

L'image du segment $[CD]$ par $r$ est donc le segment $[DA]$ .

3

Le point $J$ est le milieu de $[CD]$ ( $J = C*D$ ).

4

Le quart de tour conserve le milieu : l'image de $J$ est le milieu du segment image $[DA]$ , c'est-à-dire $I$ :

5

r(J) = I

Exemple travaillé · 16

Soit $ACRS$ un carré direct. Soit $r$ le quart de tour direct de centre $A$ . On sait que $r(C) = S$ . On construit $S' = r(S)$ . Montrer que $A = C*S'$ .

1

$r(C) = S \implies AC = AS$ et $\widehat{CAS} = 90^\circ$ (sens direct).

2

$r(S) = S' \implies AS = AS'$ et $\widehat{SAS'} = 90^\circ$ (sens direct).

3

Somme des angles :

4

\widehat{CAS'} = \widehat{CAS} + \widehat{SAS'} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ

5

L'angle $\widehat{CAS'}$ est plat, donc les points $C, A, S'$ sont alignés. Comme $AC = AS'$ , on conclut :

6

A = C*S'

Vérification · 17

Soit un segment $[AB]$ et son milieu $M = A*B$ . Soit $r$ un quart de tour direct tel que $r(A) = A'$ et $r(B) = B'$ . Quelle est l'image $r(M)$ ?

Remarque

Le quart de tour conserve le milieu : l'image du milieu $M$ du segment $[AB]$ est le milieu du segment image $[A'B']$ , soit le point $A'*B'$ .

Point de départ · 18

Soit $(C)$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ . Que devient $(C)$ par un quart de tour de centre $I$ ?

Remarque

La rotation conserve les distances : le rayon ne change pas, et le cercle glisse autour du centre de rotation pour se centrer en $O' = r(O)$ .

Définition · 19

Image d'un cercle par un quart de tour

Soit $(C)$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ . L'image de $(C)$ par un quart de tour $r$ de centre $I$ est le cercle $(C')$ de même rayon $R$ , dont le centre $O'$ est l'image de $O$ par $r$ .

$\begin{cases} O' = r(O) \\ \text{Rayon de } (C') = R \end{cases}$

Piège classique · 20

On veut construire l'image d'un cercle $(C)$ de centre $O$ par un quart de tour de centre $I$ (avec $I \neq O$ ). Quel point fait-on tourner autour de $I$ ?

Attention

Faire tourner les points du cercle autour de son propre centre $O$ .

À la place : C'est le centre $O$ du cercle qui doit tourner autour du centre $I$ de la rotation pour déterminer le nouveau centre $O'$ .

Exemple travaillé · 21

Soit $(C)$ un cercle de centre $O$ et $A$ un point de $(C)$ . Soit $(C')$ l'image de $(C)$ par le quart de tour direct $r$ de centre $A$ . Montrer que la droite $(OA)$ est tangente à $(C')$ en $A$ .

1

$O'$ est l'image de $O$ par le quart de tour direct de centre $A$ , donc $AO = AO'$ et $\widehat{OAO'} = 90^\circ$ .

2

On en déduit que $(OA) \perp (O'A)$ .

3

Le point $A$ appartient à $(C')$ , et le segment $[O'A]$ est un rayon du cercle $(C')$ .

4

La droite $(OA)$ est perpendiculaire au rayon $[O'A]$ en son extrémité $A$ , d'où :

5

(OA) \text{ est tangente à } (C') \text{ en } A

Vérification · 22

Soit un cercle $(C)$ de centre $O$ et de rayon $4\text{ cm}$ . Soit $r$ un quart de tour de centre $I$ . Quel est le rayon en cm du cercle image $(C') = r((C))$ ?

Remarque

Le quart de tour conserve les distances : le rayon du cercle image est strictement égal à celui du cercle initial ( $4\text{ cm}$ ).

Définition · 23

Centre d'un quart de tour transformant A en A'

Soient $A$ et $A'$ deux points distincts. Le centre $O$ d'un quart de tour transformant $A$ en $A'$ vérifie :

$\begin{cases} OA = OA' \implies O \text{ appartient à la médiatrice de } [AA'] \\ \widehat{AOA'} = 90^\circ \implies O \text{ appartient au cercle de diamètre } [AA'] \end{cases}$

Remarque

L'intersection de la médiatrice $(D)$ et du cercle $(C)$ donne exactement deux centres : un centre direct $O$ et un centre indirect $O'$ .

Exemple travaillé · 24

Déterminer les centres des quarts de tour qui transforment un point $A$ en un point $A'$ .

1

Équidistance : $OA = OA'$ , donc $O$ appartient à la médiatrice $\Delta$ de $[AA']$ .

2

Orthogonalité : $\widehat{AOA'} = 90^\circ$ , donc $O$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre $[AA']$ .

3

On détermine les points d'intersection :

4

\Delta \cap (\mathcal{C}) = \{O, O'\}

5

$O$ est le centre du quart de tour direct et $O'$ est le centre du quart de tour indirect.

Exemple travaillé · 25

Soit $r$ le quart de tour direct de centre $O$ . Déterminer le lieu des points $M$ tels que $MM' = a$ , avec $M' = r(M)$ et $a > 0$ .

1

$M' = r(M) \implies OMM'$ est un triangle rectangle et isocèle en $O$ .

2

D'après le théorème de Pythagore :

3

OM^2 + OM'^2 = MM'^2

4

Comme $OM = OM'$ et $MM' = a$ , on obtient $2OM^2 = a^2$ :

5

OM = \frac{a\sqrt{2}}{2}

6

Le point $O$ est fixe et la distance $OM$ est constante. Le lieu de $M$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Vérification · 26

Combien existe-t-il de centres de quart de tour transformant un point $A$ en un point $A'$ distinct de $A$ , si le sens de rotation n'est pas imposé ?

Remarque

Il existe exactement 2 centres : l'intersection de la médiatrice de $[AA']$ et du cercle de diamètre $[AA']$ donne un centre pour le sens direct et un centre pour le sens indirect.

Quart de tour — cours

Le cours

Définition du quart de tour direct

Image d'un segment et conservation des distances

Image d'une droite par un quart de tour

Conservation du milieu et de l'alignement

Image d'un cercle par un quart de tour

Centre d'un quart de tour transformant A en A'

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