Rappel · 1

Vocabulaire du triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est le plus grand côté.

$[BC] \text{ est l'hypoténuse. } [AB] \text{ et } [AC] \text{ sont les côtés de l'angle droit.}$

Point de départ · 2

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , quel est le côté opposé à l'angle $\widehat{ABC}$ ?

Remarque

Pour l'angle $\widehat{ABC}$ , $[AC]$ est le côté opposé, $[AB]$ est le côté adjacent et $[BC]$ est l'hypoténuse.

Définition · 3

Rapports trigonométriques

ABC \text{ rectangle en } A

$\sin(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{BC} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$

$\cos(\widehat{ABC}) = \frac{AB}{BC} = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

$\tan(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{AB} = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

Exemple travaillé · 4

Soit $DEF$ un triangle rectangle en $D$ tel que $\widehat{DEF} = 30^\circ$ et $EF = 8$ . Calculer $DF$ .

1

Dans le triangle $DEF$ rectangle en $D$ , $[DF]$ est le côté opposé à $\widehat{DEF}$ et $[EF]$ est l'hypoténuse :

2

\sin(\widehat{DEF}) = \frac{DF}{EF}

3

\sin(30^\circ) = \frac{DF}{8}

4

Comme $\sin(30^\circ) = 0{,}5$ :

5

DF = 8 \times 0{,}5 = 4

Piège classique · 5

Dans un triangle rectangle, on a $\sin(30^\circ) = \frac{5}{x}$ . Sachant que $\sin(30^\circ) = 0{,}5$ , que vaut $x$ ?

Attention

Multiplier par $0{,}5$ en écrivant $x = 5 \times \sin(30^\circ)$ .

À la place : L'inconnue $x$ est au dénominateur : $x = \frac{5}{\sin(30^\circ)} = \frac{5}{0{,}5} = 10$ .

Vérification · 6

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ avec $AB = 6$ et $\tan(\widehat{ABC}) = 0{,}5$ . Calculer $AC$ .

Remarque

Dans le triangle rectangle en $A$ , $\tan(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{AB}$ , donc $AC = 6 \times 0{,}5 = 3$ .

Définition · 7

Propriétés et encadrement

Pour tout angle aigu $x$ :

$0 < \cos(x) < 1 \quad \text{et} \quad 0 < \sin(x) < 1$

Le sinus, le cosinus et la tangente sont des nombres sans unité.

Définition · 8

Calcul d'un angle à la calculatrice

Pour déterminer la mesure d'un angle aigu connaissant son sinus, cosinus ou tangente, on utilise les touches inverses :

$\sin^{-1} \text{ (ou } \arcsin\text{)}, \quad \cos^{-1} \text{ (ou } \arccos\text{)}, \quad \tan^{-1} \text{ (ou } \arctan\text{)}$

\text{La calculatrice doit être réglée en mode degrés (DEG).}

Exemple travaillé · 9

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 5$ et $AC = 7$ . Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ arrondie à $0{,}01^\circ$ près.

1

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$ , $[AC]$ est le côté opposé à $\widehat{ABC}$ et $[AB]$ est le côté adjacent :

2

\tan(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{AB} = \frac{7}{5} = 1{,}4

3

À la calculatrice en mode degrés, avec la touche inverse de la tangente :

4

\widehat{ABC} = \arctan(1{,}4) \approx 54{,}46^\circ

Piège classique · 10

Une route descend de $15\text{ m}$ sur un trajet de $100\text{ m}$ parcouru. Pour calculer l'angle d'inclinaison $\widehat{B}$ , quelle égalité utilise-t-on ?

Attention

Écrire $\tan(\widehat{B}) = \frac{15}{100}$ en confondant la distance parcourue sur la route avec la distance horizontale au sol $[AB]$ .

À la place : La route parcourue est l'hypoténuse $[BC]$ . Le rapport du côté opposé sur l'hypoténuse est le sinus : $\sin(\widehat{B}) = \frac{15}{100} = 0{,}15$ .

Vérification · 11

Une échelle de $6\text{ m}$ est posée contre un mur vertical. L'angle entre l'échelle et le sol est de $75^\circ$ . Quelle expression donne la distance au sol $d$ entre le pied de l'échelle et le mur ?

Remarque

L'échelle est l'hypoténuse ( $6\text{ m}$ ) et la distance au sol est le côté adjacent à l'angle de $75^\circ$ . On a $\cos(75^\circ) = \frac{d}{6}$ , donc $d = 6 \cos(75^\circ) \approx 1{,}55\text{ m}$ .

Point de départ · 12

Dans un triangle rectangle, on a $\cos(\alpha) = 0{,}8$ et $\sin(\alpha) = 0{,}6$ . Que vaut la somme de leurs carrés $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)$ ?

Remarque

$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 0{,}8^2 + 0{,}6^2 = 0{,}64 + 0{,}36 = 1$ .

Définition · 13

Relations fondamentales

x \text{ est la mesure d'un angle aigu}

$\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

Exemple travaillé · 14

Soit $x$ un angle aigu tel que $\cos(x) = 0{,}4$ . Calculer la valeur exacte de $\sin(x)$ puis de $\tan(x)$ .

1

D'après la relation fondamentale :

2

\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1

3

0{,}4^2 + \sin^2(x) = 1 \implies 0{,}16 + \sin^2(x) = 1

4

\sin^2(x) = 1 - 0{,}16 = 0{,}84

5

Comme $x$ est un angle aigu, $\sin(x) > 0$ :

6

\sin(x) = \sqrt{0{,}84}

7

On en déduit la tangente :

8

\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\sqrt{0{,}84}}{0{,}4}

Piège classique · 15

On sait que $\sin(a) = 2\cos(a)$ . En injectant cette égalité dans $\cos^2(a) + \sin^2(a) = 1$ , quelle équation obtient-on ?

Attention

Écrire $\cos^2(a) + 2\cos^2(a) = 1$ en oubliant d'élever le coefficient $2$ au carré.

À la place : $(2\cos(a))^2 = 4\cos^2(a)$ . L'égalité devient $\cos^2(a) + 4\cos^2(a) = 1$ , soit $5\cos^2(a) = 1$ .

Exemple travaillé · 16

Pour tout angle aigu $\alpha$ , simplifier l'expression $A = (\cos\alpha + \sin\alpha)^2 + (\cos\alpha - \sin\alpha)^2$ .

1

On développe les deux identités remarquables :

2

(\cos\alpha + \sin\alpha)^2 = \cos^2\alpha + 2\cos\alpha\sin\alpha + \sin^2\alpha

3

(\cos\alpha - \sin\alpha)^2 = \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\sin\alpha + \sin^2\alpha

4

On regroupe et on simplifie les termes croisés opposés :

5

A = 2\cos^2\alpha + 2\sin^2\alpha = 2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)

6

Comme $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ :

7

A = 2 \times 1 = 2

Vérification · 17

Soit $x$ un angle aigu tel que $\cos(x) = \frac{3}{5}$ . Calculer les valeurs exactes de $\sin(x)$ et $\tan(x)$ .

Remarque

$\sin^2(x) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , donc $\sin(x) = \frac{4}{5}$ . Par suite, $\tan(x) = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ .

Définition · 18

Angles complémentaires

x \text{ est la mesure d'un angle aigu}

$\cos(90^\circ - x) = \sin(x)$

$\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$

Le cosinus d'un angle est égal au sinus de son angle complémentaire.

Définition · 19

Valeurs remarquables

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}, \quad \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

$\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \tan(45^\circ) = 1, \quad \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$

Exemple travaillé · 20

$ABC$ est un triangle rectangle et isocèle en $A$ tel que $AB = 3$ . Calculer la valeur exacte de l'hypoténuse $BC$ .

1

Dans le triangle $ABC$ rectangle et isocèle en $A$ , l'angle aigu vaut $\widehat{ABC} = 45^\circ$ .

2

\cos(45^\circ) = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{BC}

3

D'après les valeurs remarquables, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ :

4

BC = \frac{3}{\cos(45^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}

Vérification · 21

Sachant que $\sin(70^\circ) \approx 0{,}94$ , que vaut $\cos(20^\circ)$ ?

Remarque

Les angles $70^\circ$ et $20^\circ$ sont complémentaires ( $70^\circ + 20^\circ = 90^\circ$ ), donc $\cos(20^\circ) = \sin(70^\circ) \approx 0{,}94$ .

Point de départ · 22

Dans un triangle $ABC$ quelconque (non rectangle), avec $AB = 5$ et $BC = 8$ , peut-on écrire $\cos(\widehat{B}) = \frac{5}{8}$ ?

Remarque

Non. Les rapports $\cos$ , $\sin$ et $\tan$ ne sont définis que dans un triangle rectangle.

Piège classique · 23

$ABC$ est un triangle isocèle en $A$ avec $AB = 5$ et $BC = 6$ . Comment calculer $\cos(\widehat{B})$ ?

Attention

Calculer directement $\cos(\widehat{B}) = \frac{6}{5}$ ou $\frac{5}{6}$ dans le triangle $ABC$ .

À la place : Tracer la hauteur $[AH]$ issue de $A$ . Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$ , on a $BH = 3$ et $\cos(\widehat{B}) = \frac{BH}{AB} = \frac{3}{5}$ .

Définition · 24

Hauteur auxiliaire

Pour utiliser la trigonométrie dans une figure non rectangle, on trace une hauteur afin de créer des triangles rectangles.

H \text{ est le projeté orthogonal de } A \text{ sur } (BC)

$\text{Dans } ABH \text{ rectangle en } H : \quad \cos(\widehat{B}) = \frac{BH}{AB}, \quad \sin(\widehat{B}) = \frac{AH}{AB}$

Exemple travaillé · 25

Soit $ABC$ un triangle tel que $\widehat{B} = 45^\circ$ , $\widehat{C} = 60^\circ$ et $AH = 6$ avec $H \in [BC]$ . Calculer les valeurs exactes de $AB$ et $AC$ .

1

Dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$ :

2

\sin(45^\circ) = \frac{AH}{AB} \implies AB = \frac{6}{\sin(45^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{2}

3

Dans le triangle $ACH$ rectangle en $H$ :

4

\sin(60^\circ) = \frac{AH}{AC} \implies AC = \frac{6}{\sin(60^\circ)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}

Vérification · 26

Dans un triangle $ABC$ avec $\widehat{B} = 45^\circ$ et $\widehat{C} = 60^\circ$ , depuis quel sommet doit-on tracer la hauteur pour préserver intacts les angles connus de $45^\circ$ et $60^\circ$ ?

Remarque

En traçant la hauteur issue de $A$ sur $[BC]$ , les angles en $B$ ( $45^\circ$ ) et en $C$ ( $60^\circ$ ) ne sont pas coupés et restent exploitables.

Définition · 27

Relations métriques dans le triangle rectangle

ABC \text{ rectangle en } A \text{ et } H \text{ projeté orthogonal de } A \text{ sur } (BC)

$AB^2 = BH \times BC \quad \text{et} \quad AC^2 = CH \times BC$

$AH^2 = HB \times HC$

$AB \times AC = AH \times BC$

Exemple travaillé · 28

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 3$ , $AC = 4$ et $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$ . Calculer $BC$ , $AH$ et $BH$ .

1

D'après le théorème de Pythagore dans $ABC$ rectangle en $A$ :

2

BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \implies BC = 5

3

D'après la relation métrique $AB \times AC = AH \times BC$ :

4

3 \times 4 = AH \times 5 \implies AH = \frac{12}{5} = 2{,}4

5

D'après la relation métrique $AB^2 = BH \times BC$ :

6

3^2 = BH \times 5 \implies BH = \frac{9}{5} = 1{,}8

Vérification · 29

Dans un triangle $EFG$ rectangle en $E$ , avec $H$ le projeté orthogonal de $E$ sur $[FG]$ , quelle relation donne la longueur $EF^2$ ?

Remarque

Dans le triangle $EFG$ rectangle en $E$ , le carré du côté de l'angle droit $[EF]$ est égal au produit de sa projection $[FH]$ par l'hypoténuse $[FG]$ : $EF^2 = FH \times FG$ .

Rapports trigonométriques d’un angle aigu — cours

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