Point de départ · 1

Observe la figure ci-dessus. Où se trouvent les sommets des angles $\widehat{AMB}$ et $\widehat{AOB}$ ?

Remarque

Le sommet $M$ est sur le cercle : $\widehat{AMB}$ est un **angle inscrit**.
Le sommet $O$ est le centre du cercle : $\widehat{AOB}$ est un **angle au centre**.

Définition · 2

Angle inscrit et angle au centre

$\text{Soit } (C) \text{ un cercle de centre } O \text{ et } A, B, M \text{ trois points distincts de } (C).$

- L'angle $\widehat{AMB}$ a son sommet sur le cercle et ses côtés recoupent le cercle en $A$ et $B$ : c'est un **angle inscrit** qui intercepte l'arc $\widehat{AB}$ .
- L'angle $\widehat{AOB}$ a pour sommet le centre du cercle : c'est l'**angle au centre** associé qui intercepte le même arc $\widehat{AB}$ .

Vocabulaire

Angle inscrit — $\widehat{AMB}$
Angle au centre — $\widehat{AOB}$
Arc intercepté — $\widehat{AB}$

Définition · 3

Théorème de l'angle au centre et angle inscrit

$\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{AMB} \quad \Longleftrightarrow \quad \widehat{AMB} = \frac{\widehat{AOB}}{2}$

\widehat{AMB} \text{ et } \widehat{AOB} \text{ interceptent le même arc } \widehat{AB}.

Conséquence : Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.

$\text{Si } \widehat{AMB} \text{ et } \widehat{ANB} \text{ interceptent l'arc } \widehat{AB}, \text{ alors } \widehat{AMB} = \widehat{ANB}.$

Exemple travaillé · 4

Sur un cercle de centre $O$ , on donne l'angle inscrit $\widehat{AMB} = 35^\circ$ .
1. Calculer la mesure de l'angle au centre $\widehat{AOB}$ .
2. Soit $N$ un point du cercle tel que $\widehat{ANB}$ intercepte le même arc $\widehat{AB}$ . Déterminer $\widehat{ANB}$ .

1

$\widehat{AOB}$ est l'angle au centre qui intercepte le même arc $\widehat{AB}$ que l'angle inscrit $\widehat{AMB}$ .

2

\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{AMB} = 2 \times 35^\circ = 70^\circ

3

$\widehat{ANB}$ et $\widehat{AMB}$ sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc $\widehat{AB}$ , donc ils sont égaux.

4

\widehat{ANB} = \widehat{AMB} = 35^\circ

Piège classique · 5

Le point $I$ est situé à l'intérieur du cercle $(C)$ , mais $I \neq O$ . L'angle $\widehat{AIB}$ est-il un angle au centre ?

Attention

Croire qu'un angle dont le sommet est à l'intérieur du cercle est un angle au centre.

À la place : Pour être un angle au centre, le sommet doit être exactement le centre $O$ du cercle.

Vérification · 6

Dans un cercle de centre $O$ , l'angle au centre $\widehat{EOF}$ mesure $110^\circ$ . L'angle inscrit $\widehat{EGF}$ intercepte le même arc $\widehat{EF}$ . Détermine $\widehat{EGF}$ .

Remarque

L'angle inscrit mesure la moitié de l'angle au centre associé :
$\widehat{EGF} = \frac{\widehat{EOF}}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$

Point de départ · 7

Sur la figure, l'angle inscrit $\widehat{AMB} = 130^\circ$ est obtus. En calculant $2 \times 130^\circ = 260^\circ$ , à quel angle au centre cela correspond-il ?

Remarque

L'angle inscrit obtus intercepte le grand arc $\widehat{AB}$ . Son double ( $260^\circ$ ) donne l'**angle au centre rentrant** (supérieur à $180^\circ$ ).

Définition · 8

Angle inscrit obtus et angle au centre rentrant

$\widehat{AOB}_{\text{rentrant}} = 2 \times \widehat{AMB}$

\widehat{AMB} \text{ est un angle inscrit obtus interceptant le grand arc } \widehat{AB}.

L'angle au centre saillant (intérieur au secteur angulaire habituel) se calcule en complétant à $360^\circ$ :

$\widehat{AOB}_{\text{saillant}} = 360^\circ - \widehat{AOB}_{\text{rentrant}} = 360^\circ - (2 \times \widehat{AMB})$

Exemple travaillé · 9

Soit un cercle de centre $O$ . On donne l'angle inscrit obtus $\widehat{AMB} = 120^\circ$ .
Calculer l'angle rentrant $\widehat{AOB}_{\text{rentrant}}$ , puis l'angle saillant $\widehat{AOB}_{\text{saillant}}$ .

1

On calcule l'angle au centre rentrant associé au grand arc $\widehat{AB}$ :

2

\widehat{AOB}_{\text{rentrant}} = 2 \times 120^\circ = 240^\circ

3

On déduit l'angle au centre saillant :

4

\widehat{AOB}_{\text{saillant}} = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ

Piège classique · 10

Dans un cercle de centre $O$ , l'angle inscrit $\widehat{ABC}$ mesure $130^\circ$ . Quelle est la mesure de l'angle au centre saillant $\widehat{AOC}$ ?

Attention

Écrire directement $\widehat{AOC} = 2 \times 130^\circ = 260^\circ$ pour l'angle saillant.

À la place : $260^\circ$ est la mesure de l'angle rentrant. L'angle saillant vaut $360^\circ - 260^\circ = 100^\circ$ .

Vérification · 11

Un angle inscrit obtus $\widehat{AMB}$ mesure $140^\circ$ . Calcule la mesure de l'angle au centre saillant $\widehat{AOB}$ .

Remarque

L'angle rentrant vaut $2 \times 140^\circ = 280^\circ$ .
L'angle saillant vaut $360^\circ - 280^\circ = 80^\circ$ .

Point de départ · 12

Sur la figure, $A$ et $B$ sont deux points du cercle de centre $O$ . Sans aucun codage de longueur, que peut-on affirmer sur le triangle $OAB$ ?

Remarque

$[OA]$ et $[OB]$ sont des rayons du cercle, donc $OA = OB$ . Le triangle $OAB$ est **isocèle en $O$ **.

Définition · 13

Triangles formés par les rayons du cercle

$OA = OB = R \implies OAB \text{ est isocèle en } O$

A \text{ et } B \text{ sont deux points du cercle de centre } O.

Les angles à la base sont égaux :

$\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = \frac{180^\circ - \widehat{AOB}}{2}$

Exemple travaillé · 14

Soit un cercle de centre $O$ . L'angle au centre $\widehat{AOB}$ mesure $70^\circ$ .
Calculer la mesure des angles $\widehat{OAB}$ et $\widehat{OBA}$ .

1

$A$ et $B$ sont sur le cercle, donc $OA = OB = R$ . Le triangle $OAB$ est isocèle en $O$ , d'où $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$ .

2

La somme des angles dans le triangle $OAB$ vaut $180^\circ$ :

3

\widehat{OAB} + \widehat{OBA} + \widehat{AOB} = 180^\circ

4

2 \times \widehat{OAB} + 70^\circ = 180^\circ

5

\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ

Piège classique · 15

Dans un cercle de centre $O$ , on a $\widehat{AOB} = 80^\circ$ . Un élève affirme qu'il est impossible de déterminer $\widehat{OAB}$ car la longueur du rayon n'est pas précisée. A-t-il raison ?

Attention

Penser qu'il manque une donnée numérique sur les longueurs $OA$ et $OB$ .

À la place : $OA$ et $OB$ sont toujours égaux comme rayons d'un même cercle. La mesure de $\widehat{OAB}$ dépend uniquement de $\widehat{AOB}$ :

$\widehat{OAB} = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ$

Vérification · 16

Dans un cercle de centre $O$ , l'angle au centre $\widehat{AOB}$ mesure $100^\circ$ . Détermine la mesure de $\widehat{OAB}$ .

Remarque

$OAB$ est isocèle en $O$ ( $OA=OB$ ).
$\widehat{OAB} = \frac{180^\circ - 100^\circ}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$

Point de départ · 17

Les droites $(D_1)$ et $(D_2)$ sont parallèles. Deux angles situés entre les droites et du même côté de la sécante $\Delta$ (angles intérieurs d'un même côté) sont-ils égaux ou supplémentaires ?

Remarque

L'un des angles est aigu et l'autre est obtus : ils ne sont pas égaux, mais **supplémentaires** (leur somme vaut $180^\circ$ ).

Définition · 18

Angles et droites parallèles

$(D_1) \parallel (D_2) \text{ coupées par une sécante } \Delta$

- Deux angles **alternes-internes** sont égaux.
- Deux angles **correspondants** sont égaux.
- Deux angles **intérieurs d'un même côté** sont supplémentaires :

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Réciproquement : si deux droites forment avec une sécante deux angles alternes-internes égaux (ou intérieurs d'un même côté supplémentaires), alors elles sont parallèles.

Exemple travaillé · 19

Deux droites parallèles $(D_1)$ et $(D_2)$ sont coupées par une sécante $\Delta$ . Un angle formé mesure $126^\circ$ .
1. Déterminer la mesure de l'angle alterne-interne associé $\alpha$ .
2. Déterminer la mesure de l'angle intérieur du même côté $\beta$ .

1

Les droites $(D_1)$ et $(D_2)$ sont parallèles, donc deux angles alternes-internes sont égaux :

2

\alpha = 126^\circ

3

Deux angles intérieurs d'un même côté formés par des parallèles sont supplémentaires :

4

\beta = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ

Piège classique · 20

Sur la figure ci-dessus, $(D_1) \parallel (D_2)$ . Les deux angles indiqués sont intérieurs d'un même côté. Que vaut $x$ ?

Attention

Écrire $x = 130^\circ$ en croyant que toutes les paires d'angles entre parallèles sont égales.

À la place : Les angles intérieurs situés d'un même côté de la sécante sont supplémentaires : $x = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$ .

Vérification · 21

Deux droites coupées par une sécante forment deux angles intérieurs d'un même côté de mesures $131{,}2^\circ$ et $48{,}8^\circ$ . Les deux droites sont-elles parallèles ?

Remarque

On calcule la somme des deux angles :
$131{,}2^\circ + 48{,}8^\circ = 180^\circ$
La somme vaut $180^\circ$ , donc les angles sont supplémentaires et les droites sont **parallèles**.

Point de départ · 22

Dans le cercle de centre $O$ , le segment $[AB]$ est un diamètre. Quelle est la mesure de l'angle inscrit $\widehat{ACB}$ ?

Remarque

$[AB]$ est un diamètre, donc l'angle au centre plat $\widehat{AOB}$ mesure $180^\circ$ .
L'angle inscrit vaut :
$\widehat{ACB} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Définition · 23

Triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle

$\text{Si } [AB] \text{ est un diamètre de } (C) \text{ et } C \in (C), \text{ alors } \widehat{ACB} = 90^\circ.$

C \text{ est distinct de } A \text{ et } B.

Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ .
Réciproquement : si $ABC$ est rectangle en $C$ , alors son hypoténuse $[AB]$ est un diamètre de son cercle circonscrit.

Exemple travaillé · 24

Soit $(C)$ un cercle de diamètre $[AB]$ et de centre $O$ . Soit $E$ un point de $(C)$ tel que $\widehat{BAE} = 52^\circ$ .
1. Justifier que le triangle $AEB$ est rectangle.
2. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABE}$ .

1

$E$ appartient au cercle $(C)$ de diamètre $[AB]$ , donc le triangle $AEB$ est rectangle en $E$ :

2

\widehat{AEB} = 90^\circ

3

Dans le triangle rectangle $AEB$ , les deux angles aigus sont complémentaires :

4

\widehat{ABE} = 90^\circ - \widehat{BAE} = 90^\circ - 52^\circ = 38^\circ

Piège classique · 25

Dans un cercle de centre $O$ , $M, C, D$ sont trois points du cercle. Un élève affirme que $\widehat{CMD} = 90^\circ$ . Quelle condition indispensable manque-t-il ?

Attention

Penser que tout triangle inscrit dans un cercle est rectangle.

À la place : L'angle inscrit n'est droit que si la corde opposée $[CD]$ est un **diamètre** (passe par le centre $O$ ).

Vérification · 26

Soit $[AB]$ un diamètre d'un cercle de centre $O$ . Le point $K$ appartient au cercle et $\widehat{KAB} = 30^\circ$ . Détermine la mesure de l'angle $\widehat{AKB}$ .

Remarque

$[AB]$ est un diamètre du cercle circonscrit à $AKB$ , donc le triangle est rectangle en $K$ :
$\widehat{AKB} = 90^\circ$

Les angles — cours

Le cours

Angle inscrit et angle au centre

Théorème de l'angle au centre et angle inscrit

Angle inscrit obtus et angle au centre rentrant

Triangles formés par les rayons du cercle

Angles et droites parallèles

Triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle

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