Point de départ · 1

L'équation $x + y = 6$ admet-elle une seule valeur comme solution ?

Remarque

Une solution d'une équation à deux inconnues n'est pas un nombre seul, mais un couple de réels $(x ; y)$ . Il existe une infinité de couples solutions, par exemple $(1 ; 5)$ , $(2 ; 4)$ ou $(0 ; 6)$ .

Définition · 2

Équation linéaire à deux inconnues

$ax + by = c \quad \text{avec } (a ; b) \neq (0 ; 0)$

Un couple de réels $(x_0 ; y_0)$ est solution si l'égalité $a x_0 + b y_0 = c$ est vérifiée.

$M(x ; y) \in D \iff ax + by = c$

Dans un repère $(O, I, J)$ , l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient cette équation est une droite affine.

Exemple travaillé · 3

Soit l'équation $2x - y = 3$ .
1. Le couple $(2 ; 1)$ est-il solution ?
2. Déterminer $y$ si $x = 0$ .

1

Pour $(2 ; 1)$ : on remplace $x$ par $2$ et $y$ par $1$ .

2

2(2) - 1 = 4 - 1 = 3

3

L'égalité est vérifiée, donc $(2 ; 1)$ est une solution.

4

Pour $x = 0$ : on remplace $x$ par $0$ dans l'équation.

5

2(0) - y = 3 \iff -y = 3 \iff y = -3

6

Le couple $(0 ; -3)$ est donc une solution.

Piège classique · 4

Soit l'équation $2x + y = 5$ . Le couple $(1 ; 3)$ est-il solution ?

Attention

Inverser l'ordre des coordonnées en calculant $2(3) + 1 = 7 \neq 5$ pour conclure que le couple n'est pas solution.

À la place : Dans le couple $(1 ; 3)$ , la première valeur est $x = 1$ et la seconde est $y = 3$ . On calcule $2(1) + 3 = 5$ : l'égalité est vérifiée, le couple est bien solution.

Vérification · 5

Déterminer la valeur de $t$ pour que le couple $(t ; 1)$ soit solution de l'équation $3x - 2y = 4$ .

Remarque

On remplace $x$ par $t$ et $y$ par $1$ : $3t - 2(1) = 4 \iff 3t - 2 = 4 \iff 3t = 6 \iff t = 2$ .

Point de départ · 6

Trouver un couple $(x ; y)$ qui vérifie simultanément $x + y = 3$ et $x - y = 1$ .

Remarque

Pour $x = 2$ et $y = 1$ : $2 + 1 = 3$ et $2 - 1 = 1$ . Le couple $(2 ; 1)$ est l'unique solution commune aux deux équations.

Définition · 7

Système de deux équations à deux inconnues

$\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}$

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ , c'est trouver les couples $(x ; y)$ vérifiant les deux équations simultanément.

Interprétation géométrique et déterminant

$\Delta = ab' - a'b$

Soient $D : ax + by = c$ et $D' : a'x + b'y = c'$ les droites associées :

$\Delta \neq 0 \iff D \text{ et } D' \text{ sécantes en } I(x_0 ; y_0) \iff S_{\mathbb{R}^2} = \{(x_0 ; y_0)\}$

$\Delta = 0 \text{ et } D \parallel D' \text{ disjointes} \iff S_{\mathbb{R}^2} = \emptyset$

$\Delta = 0 \text{ et } D = D' \text{ confondues} \iff \text{infinité de solutions}$

Exemple travaillé · 8

Résoudre graphiquement dans $\mathbb{R}^2$ le système :

$\begin{cases} 2x - y = -2 \\ x + y = 2 \end{cases}$

1

Écrire chaque équation sous forme réduite :

2

\begin{cases} y = 2x + 2 \quad (D_1) \\ y = -x + 2 \quad (D_2) \end{cases}

3

Tracer les deux droites dans un repère $(O, I, J)$ :

4

Lire les coordonnées du point d'intersection $I(0 ; 2)$ .

5

S_{\mathbb{R}^2} = \{(0 ; 2)\}

Piège classique · 9

Après combinaison, un système aboutit à $0x + 0y = 5$ . Quel est son ensemble de solutions ?

Attention

Conclure que $x = 0$ et $y = 0$ en écrivant $S_{\mathbb{R}^2} = \{(0 ; 0)\}$ .

À la place : L'égalité $0 = 5$ est fausse pour tous $x$ et $y$ . Le système est impossible : $S_{\mathbb{R}^2} = \emptyset$ (les droites associées sont strictement parallèles).

Vérification · 10

Deux droites ont le même coefficient directeur et des ordonnées à l'origine distinctes. Combien de solutions le système associé admet-il ?

Remarque

Deux droites de même pente et d'ordonnées à l'origine distinctes sont strictement parallèles : elles n'ont aucun point d'intersection, donc $S_{\mathbb{R}^2} = \emptyset$ .

Point de départ · 11

La lecture graphique suffit-elle toujours pour résoudre un système ?

Remarque

Si le point d'intersection a des coordonnées fractionnaires comme $(\frac{4}{3} ; -\frac{1}{3})$ , la lecture sur le graphique est imprécise. Les méthodes algébriques permettent de calculer les valeurs exactes.

Définition · 12

Méthodes algébriques de résolution

1. Méthode par substitution : on exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on la remplace dans la seconde.

2. Méthode par combinaison linéaire (addition) : on multiplie les équations pour rendre opposés les coefficients d'une même inconnue, puis on additionne membre à membre.

Exemple travaillé · 13

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ par substitution :

$\begin{cases} x - 2y = 3 \quad (E_1) \\ 4x + 5y = 12 \quad (E_2) \end{cases}$

1

Exprimer $x$ en fonction de $y$ dans $(E_1)$ :

2

x = 2y + 3

3

Remplacer $x$ dans $(E_2)$ :

4

4(2y + 3) + 5y = 12 \iff 8y + 12 + 5y = 12 \iff 13y = 0 \iff y = 0

5

Calculer $x$ :

6

x = 2(0) + 3 = 3

7

S_{\mathbb{R}^2} = \{(3 ; 0)\}

Exemple travaillé · 14

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ par combinaison linéaire :

$\begin{cases} 3x + 2y = 7 \quad (E_1) \\ 5x - 2y = 1 \quad (E_2) \end{cases}$

1

Les coefficients de $y$ sont directement opposés ( $+2$ et $-2$ ). On additionne $(E_1)$ et $(E_2)$ membre à membre :

2

(3x + 2y) + (5x - 2y) = 7 + 1 \iff 8x = 8 \iff x = 1

3

Remplacer $x = 1$ dans $(E_1)$ :

4

3(1) + 2y = 7 \iff 2y = 4 \iff y = 2

5

S_{\mathbb{R}^2} = \{(1 ; 2)\}

Piège classique · 15

Dans $\begin{cases} 3x + y = 5 \\ 2x - 3y = 7 \end{cases}$ , on isole $y = 5 - 3x$ . Quelle est l'équation obtenue après remplacement dans la deuxième ?

Attention

Écrire $2x - 15 - 9x = 7$ en oubliant la règle des signes lors de la distribution de $-3$ .

À la place : On distribue $-3$ à chaque terme : $-3 \times (5) = -15$ et $-3 \times (-3x) = +9x$ , ce qui donne $2x - 15 + 9x = 7$ .

Vérification · 16

On additionne membre à membre les équations de $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - 3y = 6 \end{cases}$ . Trouver la valeur de $x$ .

Remarque

Par addition membre à membre : $(2x + 5x) + (3y - 3y) = 8 + 6 \iff 7x = 14 \iff x = 2$ .

Point de départ · 17

Le système $\begin{cases} 2|x| + y = 4 \\ -|x| - 4y = 12 \end{cases}$ est-il linéaire en $x$ et $y$ ?

Remarque

La valeur absolue $|x|$ empêche le système d'être directement linéaire. En posant la variable auxiliaire $X = |x| \geq 0$ , on obtient un système linéaire simple en $X$ et $y$ .

Définition · 18

Systèmes réductibles au premier degré

1. Changement de variable : poser des variables auxiliaires ( $X = |x|$ , $Y = |y|$ ou $X = x^2$ ) avec la contrainte $X \geq 0$ .

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

2. Factorisation : transformer une différence de carrés en produit pour se ramener à un système linéaire de type somme-différence.

Exemple travaillé · 19

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système :

$\begin{cases} 2|x| + |y| = 4 \\ 3|x| - |y| = 1 \end{cases}$

1

Poser $X = |x| \geq 0$ et $Y = |y| \geq 0$ :

2

\begin{cases} 2X + Y = 4 \\ 3X - Y = 1 \end{cases}

3

Par addition membre à membre : $5X = 5 \iff X = 1$ , puis $Y = 4 - 2(1) = 2$ .

4

Retour aux inconnues initiales :

5

|x| = 1 \iff x \in \{-1 ; 1\} \quad \text{et} \quad |y| = 2 \iff y \in \{-2 ; 2\}

6

S_{\mathbb{R}^2} = \{(1 ; 2) ; (1 ; -2) ; (-1 ; 2) ; (-1 ; -2)\}

Exemple travaillé · 20

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système :

$\begin{cases} x + y = -6 \\ x^2 - y^2 = 24 \end{cases}$

1

Factoriser la deuxième équation :

2

(x - y)(x + y) = 24

3

Remplacer $(x + y)$ par $-6$ :

4

(x - y)(-6) = 24 \iff x - y = -4

5

Résoudre le système linéaire somme-différence :

6

\begin{cases} x + y = -6 \\ x - y = -4 \end{cases} \implies 2x = -10 \iff x = -5, \quad y = -1

7

S_{\mathbb{R}^2} = \{(-5 ; -1)\}

Piège classique · 21

Si un système en variables auxiliaires $X = |x|$ et $Y = |y|$ donne pour solution unique $X = 3$ et $Y = 5$ , combien de couples $(x ; y)$ sont solutions du système initial ?

Attention

Ne retenir que l'unique couple $(3 ; 5)$ en oubliant les solutions négatives de $|x| = 3$ et $|y| = 5$ .

À la place : $|x| = 3 \iff x \in \{-3 ; 3\}$ et $|y| = 5 \iff y \in \{-5 ; 5\}$ . En combinant tous les signes, on obtient 4 couples solutions : $(3 ; 5)$ , $(3 ; -5)$ , $(-3 ; 5)$ et $(-3 ; -5)$ .

Vérification · 22

Pour résoudre $\begin{cases} x^2 + y = -5 \\ 2x^2 - 4y = 14 \end{cases}$ , on pose $T = x^2$ . La résolution donne $T = -1$ et $y = -4$ . Que vaut $S_{\mathbb{R}^2}$ ?

Remarque

Pour tout réel $x$ , on a $x^2 \geq 0$ . L'égalité $x^2 = -1$ est impossible dans $\mathbb{R}$ , donc le système n'a aucune solution réelle : $S_{\mathbb{R}^2} = \emptyset$ .

Point de départ · 23

Au marché, 2 cahiers et 3 stylos coûtent 7 D. 3 cahiers et 1 stylo coûtent 7 D. Comment déterminer le prix d'un cahier et d'un stylo ?

Remarque

On pose $x$ le prix d'un cahier et $y$ le prix d'un stylo. La situation se traduit par le système $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x + y = 7 \end{cases}$ .

Définition · 24

Étapes de résolution d'un problème

1. Choix des inconnues : nommer précisément les grandeurs cherchées ( $x$ et $y$ ) avec leurs unités.

2. Mise en équations : traduire chaque condition du texte par une équation linéaire.

3. Résolution : résoudre le système obtenu par substitution ou combinaison.

4. Conclusion et validation : énoncer les résultats et vérifier qu'ils ont un sens réel ( $x > 0$ , entiers si dénombrement).

Exemple travaillé · 25

Pierre achète 3 cafés et 2 chocolats pour 42 D. Paul achète 2 cafés et 4 chocolats pour 56 D. Déterminer le prix d'un café et d'un chocolat.

1

Soit $x$ le prix d'un café et $y$ le prix d'un chocolat (en dinars) :

2

\begin{cases} 3x + 2y = 42 \quad (1) \\ 2x + 4y = 56 \quad (2) \end{cases}

3

Simplifier l'équation (2) par 2 : $x + 2y = 28 \iff x = 28 - 2y$ .

4

Remplacer $x$ dans (1) :

5

3(28 - 2y) + 2y = 42 \iff 84 - 4y = 42 \iff 4y = 42 \iff y = 10{,}5

6

Calculer $x$ :

7

x = 28 - 2(10{,}5) = 28 - 21 = 7

8

Un café coûte 7 D et un chocolat coûte 10,5 D.

Piège classique · 26

Le groupe A compte $x$ élèves et le groupe B compte $y$ élèves. Si 3 élèves passent du groupe A au groupe B, les deux groupes ont le même effectif. Quelle équation traduit cette information ?

Attention

N'ajuster qu'une seule variable en écrivant $x = y + 3$ ou $x - 3 = y$ .

À la place : Le transfert est bilatéral : le groupe A perd 3 élèves ( $x - 3$ ) et le groupe B gagne 3 élèves ( $y + 3$ ), d'où $x - 3 = y + 3$ .

Exemple travaillé · 27

Deux groupes A et B comptent $x$ et $y$ élèves.
- Si 3 élèves passent de A à B, les effectifs deviennent égaux.
- Si 3 élèves passent de B à A, l'effectif de A est le double de celui de B.
Déterminer $x$ et $y$ .

1

Mise en équations des deux échanges :

2

\begin{cases} x - 3 = y + 3 \\ x + 3 = 2(y - 3) \end{cases} \iff \begin{cases} x - y = 6 \quad (1) \\ x - 2y = -9 \quad (2) \end{cases}

3

Soustraire (2) de (1) :

4

(x - y) - (x - 2y) = 6 - (-9) \iff y = 15

5

Calculer $x$ :

6

x = 15 + 6 = 21

7

Le groupe A compte 21 élèves et le groupe B compte 15 élèves.

Vérification · 28

Un terrain rectangulaire a un périmètre de 750 m. La longueur $y$ mesure 15 m de plus que la largeur $x$ . Quel système modélise cette situation ?

Remarque

Le périmètre s'écrit $2x + 2y = 750$ . La relation de longueur s'écrit $y = x + 15$ .

Systèmes de deux équations à deux inconnues — cours

Le cours

Équation linéaire à deux inconnues

Système de deux équations à deux inconnues

Interprétation géométrique et déterminant

Méthodes algébriques de résolution

Systèmes réductibles au premier degré

Étapes de résolution d'un problème

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