Rappel · 1

Complète l'expression générale d'une fonction linéaire de coefficient $a$ définie sur $\mathbb{R}$ :

Remarque

Une fonction linéaire s'écrit $f(x) = ax$ . Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine $O(0, 0)$ .

Point de départ · 2

Un abonnement de transport coûte 50 D de frais fixes plus 3 D par trajet. Pour $x$ trajets effectués, quelle est la dépense totale ?

Remarque

La dépense totale est composée d'une part variable proportionnelle aux trajets ( $3x$ ) et d'une part fixe ( $50$ ) qui s'ajoute.

Définition · 3

Définition d'une fonction affine

$f : x \mapsto ax + b$

a \in \mathbb{R} \quad \text{et} \quad b \in \mathbb{R}

$a$ est le coefficient de $f$ . $b$ est l'ordonnée à l'origine, avec $f(0) = b$ .

Remarque

Cas particuliers : si $b = 0$ , $f(x) = ax$ est linéaire ; si $a = 0$ , $f(x) = b$ est constante.

Exemple travaillé · 4

Montrer que la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = (3x - 1)^2 - 9x^2$ est une fonction affine et déterminer ses coefficients $a$ et $b$ .

1

On développe l'identité remarquable $(3x - 1)^2$ :

2

(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1

3

On remplace et on réduit l'expression de $h(x)$ :

4

h(x) = 9x^2 - 6x + 1 - 9x^2 = -6x + 1

5

$h(x)$ s'écrit sous la forme $ax + b$ avec $a = -6$ et $b = 1$ . C'est donc une fonction affine.

Vérification · 5

Soit $g(x) = (4x - 4) - 4x$ . Quelle est la nature de la fonction $g$ ?

Remarque

En réduisant : $g(x) = 4x - 4 - 4x = -4$ . C'est une fonction constante, cas particulier de fonction affine avec $a = 0$ et $b = -4$ .

Point de départ · 6

Soit $f(x) = 3x - 4$ . Pour déterminer l'antécédent de $5$ par $f$ , quelle démarche adopte-t-on ?

Remarque

Chercher l'antécédent de $5$ revient à trouver $x$ tel que $f(x) = 5$ , soit $3x - 4 = 5$ . Calculer $f(5)$ donnerait l'image de $5$ .

Définition · 7

Image et antécédent

Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax + b$ .

$y = f(x)$

$f(x)$ est l'image de $x$ par $f$ . Le réel $x$ est un antécédent de $y$ par $f$ .

Remarque

L'image de $x_0$ se calcule par $f(x_0)$ . L'antécédent de $y_0$ est la solution de l'équation $ax + b = y_0$ .

Piège classique · 8

Soit $f(x) = -2x + 3$ . Quel est le nombre qui a pour image $27$ par $f$ ?

Attention

Calculer directement $f(27) = -2(27) + 3 = -51$ en voyant le mot « image ».

À la place : La formulation demande l'antécédent de $27$ . On résout l'équation $-2x + 3 = 27$ , ce qui donne $-2x = 24$ soit $x = -12$ .

Exemple travaillé · 9

Soit $f(x) = 5x + 1$ . Déterminer l'antécédent de $\frac{5}{2}$ par $f$ .

1

On pose l'équation $f(x) = \frac{5}{2}$ :

2

5x + 1 = \frac{5}{2}

3

On soustrait $1$ :

4

5x = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}

5

On divise par $5$ :

6

x = \frac{3}{2 \times 5} = \frac{3}{10}

7

L'antécédent de $\frac{5}{2}$ par $f$ est $\frac{3}{10}$ .

Vérification · 10

Soit la fonction affine $f$ définie par $f(x) = -5x + 7$ . Complète :

Remarque

Image de $2$ : $f(2) = -5(2) + 7 = -3$ . Antécédent de $17$ : $-5x + 7 = 17 \iff -5x = 10 \iff x = -2$ .

Définition · 11

Taux d'accroissement

Soit $f$ une fonction affine définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax + b$ .

x_1 \neq x_2

$a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Remarque

Le taux d'accroissement est constant : il est égal au coefficient $a$ , quels que soient les réels distincts $x_1$ et $x_2$ .

Piège classique · 12

Soit $f$ une fonction affine telle que $f(2) = 3$ et $f(3) = -2$ . Quelle est la valeur du coefficient $a$ ?

Attention

Inverser le quotient en écrivant $\frac{3 - 2}{-2 - 3} = -\frac{1}{5}$ , ou commettre une erreur de signe.

À la place : Les images se placent au numérateur et les antécédents au dénominateur : $a = \frac{f(3) - f(2)}{3 - 2} = \frac{-2 - 3}{1} = -5$ .

Exemple travaillé · 13

Déterminer l'expression de la fonction affine $f$ telle que $f(3) = 1$ et $f(-2) = 6$ .

1

On calcule le coefficient $a$ avec la formule du taux d'accroissement :

2

a = \frac{f(-2) - f(3)}{-2 - 3} = \frac{6 - 1}{-5} = \frac{5}{-5} = -1

3

L'expression s'écrit alors $f(x) = -x + b$ . On utilise $f(3) = 1$ pour trouver $b$ :

4

-3 + b = 1 \iff b = 1 + 3 = 4

5

La fonction affine cherchée est $f(x) = -x + 4$ .

Exemple travaillé · 14

Déterminer la fonction affine $g$ vérifiant $g(0) = 4$ et $g(3) = 6$ .

1

Puisque $g(0) = 4$ , l'ordonnée à l'origine est directement $b = 4$ .

2

L'expression s'écrit $g(x) = ax + 4$ . On utilise la condition $g(3) = 6$ :

3

3a + 4 = 6

4

3a = 2 \iff a = \frac{2}{3}

5

La fonction affine cherchée est $g(x) = \frac{2}{3}x + 4$ .

Vérification · 15

Soit $h$ une fonction affine telle que $h(4) = 5$ et $h(-1) = -5$ . Complète :

Remarque

Coefficient : $a = \frac{5 - (-5)}{4 - (-1)} = \frac{10}{5} = 2$ . Ordonnée à l'origine : $2(4) + b = 5 \iff b = -3$ .

Définition · 16

Représentation graphique d'une fonction affine

Dans un repère $(O, I, J)$ , la représentation graphique d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ est une droite $D$ d'équation $y = ax + b$ .

$M(x, y) \in D \iff y = f(x)$

Remarque

Le réel $a$ est le coefficient directeur de la droite $D$ . Le point $(0, b)$ est l'intersection de $D$ avec l'axe des ordonnées.

Exemple travaillé · 17

Tracer dans un repère $(O, I, J)$ la droite $D$ représentant la fonction affine $f(x) = \frac{1}{3}x - 2$ .

1

On choisit deux abscisses simples (multiples de $3$ ) pour calculer les coordonnées de deux points de $D$ :

2

Pour $x = 0$ : $f(0) = -2$ , la droite passe par $A(0, -2)$ .

3

Pour $x = 3$ : $f(3) = \frac{1}{3}(3) - 2 = 1 - 2 = -1$ , la droite passe par $B(3, -1)$ .

4

On place les points $A(0, -2)$ et $B(3, -1)$ , puis on trace la droite passant par ces deux points.

Exemple travaillé · 18

Soit la fonction affine $f(x) = 2x - 3$ et sa droite représentative $\Delta_f$ . Les points $A(4, 5)$ et $B(2, 6)$ appartiennent-ils à $\Delta_f$ ?

1

Pour tester $A(4, 5)$ , on calcule l'image de son abscisse $x_A = 4$ :

2

f(4) = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5

3

Comme $f(4) = y_A$ , le point $A(4, 5)$ appartient à $\Delta_f$ .

4

Pour tester $B(2, 6)$ , on calcule l'image de son abscisse $x_B = 2$ :

5

f(2) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1

6

Comme $f(2) = 1 \neq 6$ , le point $B(2, 6)$ n'appartient pas à $\Delta_f$ .

Piège classique · 19

Soit $f(x) = -2x + 3$ . Le point $C(-2, 7)$ appartient-il à la droite représentative de $f$ ?

Attention

Substituer l'ordonnée $7$ à la place de $x$ , ou commettre une erreur de signe lors du calcul de $f(-2)$ .

À la place : On calcule l'image de l'abscisse $x = -2$ : $f(-2) = -2(-2) + 3 = 4 + 3 = 7$ . Le résultat est égal à l'ordonnée, donc $C \in \Delta_f$ .

Vérification · 20

Soit $f(x) = 2x + 5$ de droite représentative $\Delta_f$ . Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte ?

Remarque

On calcule : $f(-3) = 2(-3) + 5 = -1$ , donc $A(-3, -1) \in \Delta_f$ . Pour $B(4, -10)$ , $f(4) = 2(4) + 5 = 13 \neq -10$ , donc $B \notin \Delta_f$ .

Point de départ · 21

Sur le graphique ci-dessus, au quel point la droite $D$ coupe-t-elle l'axe des abscisses (axe horizontal) ?

Remarque

L'axe des abscisses est la droite horizontale d'équation $y = 0$ . Le point d'intersection est $A(2, 0)$ .

Définition · 22

Intersections d'une droite avec les axes du repère

Soit $f(x) = ax + b$ avec $a \neq 0$ et $D$ sa droite représentative dans un repère $(O, I, J)$ .

$D \cap (OJ) = \{ (0, b) \} \quad \text{et} \quad D \cap (OI) = \left\{ \left(-\frac{b}{a}, 0\right) \right\}$

Remarque

Avec l'axe des ordonnées : $x = 0$ , donc $y = f(0) = b$ . Avec l'axe des abscisses : $y = 0$ , donc on résout $f(x) = 0$ .

Piège classique · 23

Soit $f(x) = 4 - \frac{2}{3}x$ . Pour déterminer l'intersection de la droite représentative avec l'axe des abscisses, que fait-on ?

Attention

Calculer $f(0) = 4$ et conclure que le point cherché est $(4, 0)$ .

À la place : Sur l'axe des abscisses, l'ordonnée est nulle ( $y = 0$ ). On résout l'équation $f(x) = 0$ , soit $4 - \frac{2}{3}x = 0 \iff x = 6$ . Le point est $(6, 0)$ .

Exemple travaillé · 24

Soit $f(x) = 2x - 5$ . Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\Delta_f$ avec l'axe des ordonnées et avec l'axe des abscisses.

1

Intersection avec l'axe des ordonnées : on pose $x = 0$ et on calcule $f(0)$ :

2

f(0) = 2(0) - 5 = -5

3

Le point d'intersection avec l'axe des ordonnées est $(0, -5)$ .

4

Intersection avec l'axe des abscisses : on pose $y = 0$ et on résout $f(x) = 0$ :

5

2x - 5 = 0 \iff 2x = 5 \iff x = \frac{5}{2}

6

Le point d'intersection avec l'axe des abscisses est $\left(\frac{5}{2}, 0\right)$ .

Vérification · 25

Soit $g(x) = -3x + 6$ . Complète les coordonnées des points d'intersection de $\Delta_g$ avec les axes :

Remarque

Axe des ordonnées : $g(0) = 6 \implies (0, 6)$ . Axe des abscisses : $-3x + 6 = 0 \iff -3x = -6 \iff x = 2 \implies (2, 0)$ .

Définition · 26

Positions relatives de deux droites

Soit deux droites $D : y = ax + b$ et $D' : y = a'x + b'$ dans un repère $(O, I, J)$ .

$D \parallel D' \iff a = a'$

$D \text{ et } \Delta \text{ sont s\'{e}cantes} \iff a \neq a_{\Delta}$

Remarque

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Piège classique · 27

Soit la droite $D : y = 4x - 1$ . La droite $\Delta$ est parallèle à $D$ et passe par le point $A(2, -3)$ . Quelle est l'équation de $\Delta$ ?

Attention

Conserver l'ordonnée à l'origine $-1$ de la droite $D$ en écrivant $y = 4x - 1$ .

À la place : Le parallélisme donne uniquement $a = 4$ . On calcule la nouvelle ordonnée à l'origine $b$ avec le point $A$ : $4(2) + b = -3 \iff 8 + b = -3 \iff b = -11$ , donc $y = 4x - 11$ .

Exemple travaillé · 28

On donne les points $A(2, 4)$ , $B(5, -2)$ et $C(5, 1)$ . Déterminer l'expression de la fonction affine $f$ dont la droite représentative passe par $C$ et est parallèle à $(AB)$ .

1

On calcule le coefficient directeur de la droite $(AB)$ :

2

a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 4}{5 - 2} = \frac{-6}{3} = -2

3

Comme $\Delta_f \parallel (AB)$ , $f$ a le même coefficient directeur : $f(x) = -2x + b$ .

4

La droite passe par $C(5, 1)$ , donc $f(5) = 1$ :

5

-2(5) + b = 1 \iff -10 + b = 1 \iff b = 11

6

L'expression cherchée est $f(x) = -2x + 11$ .

Exemple travaillé · 29

Soit $f(x) = 3x - 4$ et $g(x) = -x + 4$ . Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection $K$ de $\Delta_f$ et $\Delta_g$ .

1

Les droites sont sécantes car leurs coefficients directeurs sont distincts ( $3 \neq -1$ ).

2

L'abscisse du point $K$ vérifie l'équation $f(x) = g(x)$ :

3

3x - 4 = -x + 4

4

3x + x = 4 + 4 \iff 4x = 8 \iff x = 2

5

On calcule son ordonnée en évaluant $f(2)$ :

6

y = f(2) = 3(2) - 4 = 2

7

Les coordonnées du point d'intersection sont $K(2, 2)$ .

Vérification · 30

Soit $f(x) = (2m - 2)x + 5$ et $g(x) = -4x + 4$ . Pour quelle valeur du réel $m$ les droites $\Delta_f$ et $\Delta_g$ sont-elles parallèles ?

Remarque

$\Delta_f \parallel \Delta_g \iff 2m - 2 = -4 \iff 2m = -2 \iff m = -1$ .

Point de départ · 31

Sur quel ensemble de réels la droite $D_f$ est-elle située en dessous de la droite $D_g$ ?

Remarque

La droite $D_f$ est en dessous de $D_g$ pour tous les points dont l'abscisse est inférieure ou égale à $2$ . L'ensemble des solutions se lit sur l'axe des abscisses : $]-\infty ; 2]$ .

Définition · 32

Inéquations graphiques et restriction

Soit $f$ et $g$ deux fonctions affines de droites représentatives respectives $\Delta_f$ et $\Delta_g$ .

$f(x) \le g(x) \iff \Delta_f \text{ est en dessous de (ou coupe) } \Delta_g$

La restriction d'une fonction affine $f$ à un intervalle $[c ; d]$ est la fonction définie uniquement sur cet intervalle. Sa représentation graphique est le segment de $\Delta_f$ compris entre les abscisses $c$ et $d$ .

Exemple travaillé · 33

Soit $f(x) = 2x - 2$ et $g(x) = -x + 10$ . Résoudre graphiquement puis par le calcul l'inéquation $f(x) \le g(x)$ .

1

Graphiquement : les deux droites se coupent au point $I(4, 6)$ . $\Delta_f$ est en dessous de $\Delta_g$ pour toutes les abscisses $x \le 4$ . L'ensemble des solutions est $S_{\mathbb{R}} = ]-\infty ; 4]$ .

2

Par le calcul : on résout l'inéquation $2x - 2 \le -x + 10$ :

3

2x + x \le 10 + 2 \iff 3x \le 12 \iff x \le 4

4

On retrouve bien l'ensemble des solutions $S_{\mathbb{R}} = ]-\infty ; 4]$ .

Exemple travaillé · 34

Un cinéma propose deux formules : Formule A à 8 D par spectacle, et Formule B avec une carte d'abonnement de 20 D plus 4 D par spectacle. À partir de combien de spectacles la formule B est-elle plus avantageuse ?

1

Soit $x$ le nombre de spectacles. La dépense est $f(x) = 8x$ pour la formule A et $g(x) = 4x + 20$ pour la formule B.

2

La formule B est plus avantageuse si son coût est strictement inférieur : $g(x) < f(x)$ .

3

4x + 20 < 8x \iff 20 < 4x \iff x > 5

4

Comme $x$ est un nombre entier de spectacles, la formule B est plus avantageuse à partir de 6 spectacles.

Vérification · 35

À l'aide du graphique ci-dessus, quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $-2x + 1 < -3x$ ?

Remarque

La droite $D_f$ est strictement en dessous de la droite $D_g$ pour les points situés à gauche de l'intersection ( $x < -1$ ). L'ensemble des solutions est $S_{\mathbb{R}} = ]-\infty ; -1[$ .

Fonctions Affines — cours

Le cours

Définition d'une fonction affine

Image et antécédent

Taux d'accroissement

Représentation graphique d'une fonction affine

Intersections d'une droite avec les axes du repère

Positions relatives de deux droites

Inéquations graphiques et restriction

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