Fonctions Affines — exercices corrigés

Dans un repère $(O, I, J)$ du plan, on considère, pour tout réel $m$, la fonction affine $f_m$ définie par :
$$f_m(x) = (m^2 - 3m + 2)x + (m^2 - 4)$$
On note $D_m$ sa représentation graphique.

1. 1. Déterminer les valeurs du paramètre réel $m$ pour lesquelles la fonction $f_m$ est constante.

   Correction

   Une fonction affine $f_m(x) = ax + b$ est constante si et seulement si son coefficient directeur est nul, soit $m^2 - 3m + 2 = 0$. En résolvant cette équation du second degré, on trouve deux solutions : $m = 1$ et $m = 2$. Ainsi, la fonction $f_m$ est constante pour $m \in \{1, 2\}$.

2. 2. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles la droite $D_m$ passe par l'origine $O$ du repère.

   Correction

   La droite $D_m$ passe par l'origine $O(0,0)$ si et seulement si l'ordonnée à l'origine de la fonction est nulle, c'est-à-dire $f_m(0) = 0$. Cela se traduit par l'équation $m^2 - 4 = 0$, dont les solutions sont $m = 2$ et $m = -2$. Les valeurs recherchées sont donc $m \in \{-2, 2\}$.

3. 3. Montrer, par un raisonnement par l'absurde, qu'il n'existe aucun point du plan commun à toutes les droites $D_m$ lorsque $m$ décrit $\mathbb{R}$.

   Correction

   Supposons par l'absurde qu'il existe un point $P(x_0, y_0)$ commun à toutes les droites $D_m$. Ses coordonnées doivent vérifier $y_0 = (m^2 - 3m + 2)x_0 + m^2 - 4$ pour tout réel $m$. En réordonnant cette égalité selon les puissances de $m$, on obtient : $m^2(x_0 + 1) - 3m x_0 + (2x_0 - 4 - y_0) = 0$. Pour que ce polynôme en $m$ soit nul pour tout réel $m$, tous ses coefficients doivent être nuls. On doit donc avoir simultanément $x_0 + 1 = 0$ (soit $x_0 = -1$) et $-3x_0 = 0$ (soit $x_0 = 0$), ce qui est contradictoire. Il n'existe donc aucun point commun à toutes les droites.

4. 4. On suppose désormais $m \neq 2$. Déterminer les coordonnées du point $A_m$, intersection de $D_m$ avec l'axe des ordonnées, en fonction de $m$.

   Correction

   Le point $A_m$ est l'intersection de la droite $D_m$ avec l'axe des ordonnées, ce qui correspond à l'abscisse $x = 0$. Ses coordonnées sont donc de la forme $(0, f_m(0))$. En calculant l'image de $0$, on trouve $f_m(0) = m^2 - 4$. Ainsi, pour tout $m \neq 2$, les coordonnées du point $A_m$ sont $(0, m^2 - 4)$.

5. 5. On suppose de plus $m \neq 1$. Déterminer les coordonnées du point $B_m$, intersection de $D_m$ avec l'axe des abscisses, en fonction de $m$.

   Correction

   Le point $B_m$ est l'intersection de la droite $D_m$ avec l'axe des abscisses, ses coordonnées sont donc de la forme $(x, 0)$ où $x$ est solution de l'équation $f_m(x) = 0$.

   On résout l'équation :
   $$(m^2 - 3m + 2)x + m^2 - 4 = 0 \iff (m-1)(m-2)x = -(m-2)(m+2)$$

   - Si $m \neq 2$ (et comme $m \neq 1$), on peut diviser par $(m-1)(m-2)$, ce qui donne une unique solution :
   $$x = -\frac{m+2}{m-1}$$
   Le point d'intersection est alors $B_m\left(-\frac{m+2}{m-1}, 0\right)$.

   - Si $m = 2$, l'équation devient $0x = 0$, ce qui signifie que la droite $D_2$ est confondue avec l'axe des abscisses (une infinité de points d'intersection).

6. 6. Montrer que pour tout $m \in \mathbb{R} \setminus \{1\,;\,2\}$, l'abscisse $x_{B_m}$ du point $B_m$ s'écrit sous la forme :
   $$x_{B_m} = -1 - \frac{3}{m-1}$$

   Correction

   Pour tout $m \in \mathbb{R} \setminus \{1\,;\,2\}$, l'abscisse du point $B_m$ est $x_{B_m} = -\frac{m+2}{m-1}$.

   En décomposant le numérateur pour faire apparaître le dénominateur, on obtient :
   $$x_{B_m} = -\frac{(m-1) + 3}{m-1} = -\left(\frac{m-1}{m-1} + \frac{3}{m-1}\right) = -1 - \frac{3}{m-1}$$

   La relation est ainsi démontrée.

7. 7. Déterminer l'ensemble des valeurs de $m$ pour lesquelles l'abscisse du point $B_m$ est un entier relatif.

   Correction

   D'après la question précédente, pour $m \neq 2$, l'abscisse est $x_{B_m} = -1 - \frac{3}{m-1}$.

   Cette abscisse est un entier relatif si et seulement si $\frac{3}{m-1}$ est un entier relatif, ce qui signifie que $m-1$ doit être un diviseur entier de $3$.

   Les diviseurs de $3$ dans $\mathbb{Z}$ sont $\{-3, -1, 1, 3\}$. On résout ainsi :
   - $m - 1 = -3 \iff m = -2$
   - $m - 1 = -1 \iff m = 0$
   - $m - 1 = 1 \iff m = 2$ (valeur exclue car $m \neq 2$ pour que $B_m$ soit unique)
   - $m - 1 = 3 \iff m = 4$

   L'ensemble des valeurs de $m$ recherchées est donc $\{-2\,;\,0\,;\,4\}$.

8. 8. Soit $g$ la fonction affine définie par $g(x) = 2x + 3$. Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles la droite $D_m$ est parallèle à la droite $D_g$ représentant $g$.

   Correction

   Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.

   Le coefficient directeur de $D_m$ est $m^2 - 3m + 2$ et celui de $D_g$ est $2$. On résout donc l'équation :
   $$m^2 - 3m + 2 = 2 \iff m^2 - 3m = 0 \iff m(m-3) = 0$$

   Les valeurs de $m$ pour lesquelles les droites sont parallèles sont $m = 0$ et $m = 3$.

9. 9. Pour la plus grande valeur de $m$ obtenue à la question précédente, on considère la droite $D'$ image de $D_m$ par la translation de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$. Déterminer l'expression de la fonction affine $h$ représentée par $D'$.

   Correction

   La plus grande valeur de $m$ obtenue précédemment est $m = 2$.

   Pour $m = 2$, la fonction est $f_2(x) = 0$, dont la représentation graphique $D_2$ est l'axe des abscisses d'équation $y = 0$.

   Par la translation de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, l'image de la droite d'équation $y = 0$ est la droite $D'$ d'équation $y = -4$.

   L'expression de la fonction affine $h$ représentée par $D'$ est donc :
   $$h(x) = -4$$

10. 10. Pour $m = 4$, on considère le point $C(1\,;\,-3)$. Justifier, par le calcul des taux d'accroissement, si les points $A_4$, $B_4$ et $C$ sont alignés.

    Correction

    Pour $m = 4$, la fonction est définie par $f_4(x) = 6x + 12$. Les points associés sont $A_4(0\,;\,12)$ (intersection avec l'axe des ordonnées) et $B_4(-2\,;\,0)$ (intersection avec l'axe des abscisses).

    Pour déterminer si les points $A_4$, $B_4$ et $C(1\,;\,-3)$ sont alignés, on compare les taux d'accroissement :
    - Le taux d'accroissement entre $B_4$ et $A_4$ correspond au coefficient directeur de la droite $D_4$, soit $t_1 = 6$.
    - Le taux d'accroissement entre $B_4$ and $C$ est :
    $$t_2 = \frac{y_C - y_{B_4}}{x_C - x_{B_4}} = \frac{-3 - 0}{1 - (-2)} = -1$$

    Puisque $t_1 \neq t_2$, les taux d'accroissement sont différents. On en déduit que les points $A_4$, $B_4$ et $C$ ne sont pas alignés.

On considère la famille d'applications $f_m$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$f_m(x) = (m^2 - 4)x^2 + (2 - m)x + 3m - 1$$
où $m$ est un paramètre réel.

1. 1. Déterminer les valeurs du paramètre réel $m$ pour lesquelles l'application $f_m$ est une fonction affine.

   Correction

   Une fonction de la forme $x \mapsto ax^2 + bx + c$ est affine si et seulement si le coefficient du terme du second degré est nul. On pose donc l'équation $m^2 - 4 = 0$, ce qui donne immédiatement $m = 2$ ou $m = -2$. L'application $f_m$ est donc une fonction affine pour $m \in \{-2, 2\}$.

2. 2)a). On suppose dans cette question que $m = -2$. On note $f = f_{-2}$. Déterminer l'expression de $f(x)$ et préciser son sens de variation sur $\mathbb{R}$.

   Correction

   En remplaçant $m$ par $-2$ dans l'expression générale, le terme en $x^2$ s'annule. On obtient l'expression $f(x) = 4x - 7$. C'est une fonction affine de la forme $ax + b$ avec un coefficient directeur $a = 4$. Puisque ce coefficient est strictement positif, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3. 2)b). Calculer l'image de $-1$ par $f$.

   Correction

   En utilisant l'expression de $f(x)$ établie à la question précédente, on calcule directement l'image de $-1$ : $f(-1) = 4(-1) - 7 = -11$.

4. 3)a). On suppose désormais que $m = 2$. On note $g = f_2$. Déterminer l'expression de $g(x)$ et préciser sa nature.

   Correction

   En substituant $m = 2$ dans l'expression de $f_m(x)$, les coefficients de $x^2$ et de $x$ s'annulent simultanément. Il reste $g(x) = 3(2) - 1 = 5$. L'application $g$ est donc une fonction constante.

5. 3)b). En déduire l'image de $0$ par $g$.

   Correction

   La fonction $g$ étant définie par $g(x) = 4x - 7$, on calcule l'image de $0$ en remplaçant $x$ par $0$ :
   $$g(0) = 4(0) - 7 = -7$$

6. 4)a). Soit $h$ une fonction affine non constante dont le taux d'accroissement est égal à $f(-1)$ et dont la représentation graphique $\Delta_h$ coupe l'axe des ordonnées au point $E$ d'ordonnée égale à $g(0)$. Déterminer l'expression de $h(x)$.

   Correction

   La fonction $h$ est affine, son expression est de la forme $h(x) = ax + b$.
   Le taux d'accroissement $a$ est égal à $f(-1) = -2$.
   La droite $\Delta_h$ coupe l'axe des ordonnées au point $E(0 ; g(0))$, ce qui signifie que l'ordonnée à l'origine $b$ est égale à $g(0) = -7$.
   On en déduit l'expression de $h$ :
   $$h(x) = -2x - 7$$

7. 4)b). Déterminer les coordonnées du point d'intersection $G$ de la droite $\Delta_h$ avec l'axe des abscisses.

   Correction

   Le point $G$ appartient à l'axe des abscisses, son ordonnée est donc nulle ($y_G = 0$).
   On détermine son abscisse en résolvant l'équation $h(x) = 0$ :
   $$-2x - 7 = 0 \iff x = -\frac{7}{2}$$
   Les coordonnées du point d'intersection sont $G\left(-\frac{7}{2} ; 0\right)$.

8. 5)a). Soit $k$ une fonction affine vérifiant pour tout réel $x$ la relation $k(x+2) - k(x) = -6$, et dont la courbe représentative $\Delta_k$ passe par le point $A(1\,;\,2)$. Déterminer le coefficient directeur de $k$, puis en déduire l'expression de $k(x)$.

   Correction

   Soit $k(x) = ax + b$ l'expression de la fonction affine $k$.
   Pour tout réel $x$, on a $k(x+2) - k(x) = a(x+2) + b - (ax + b) = 2a$.
   Par identification avec la relation donnée, on obtient $2a = -6$, soit un coefficient directeur $a = -3$.

   La courbe $\Delta_k$ passe par $A(1 ; 2)$, donc $k(1) = 2$.
   On résout $-3(1) + b = 2$, ce qui donne $b = 5$.
   L'expression de la fonction est donc $k(x) = -3x + 5$.

9. 5)b). Déterminer les coordonnées du point d'intersection $I$ de la droite $\Delta_h$ et de la droite $\Delta_k$.

   Correction

   Pour trouver les coordonnées du point d'intersection $I$, on résout le système formé par les équations des deux droites $\Delta_h : y = 5$ et $\Delta_k : y = 4x - 7$. On égalise les ordonnées : $4x - 7 = 5$, ce qui donne directement $x = 3$. L'intersection est donc le point $I(3 \,;\, 5)$.

10. 6)a). Soit $u$ la fonction affine dont la représentation graphique $D$ est parallèle à la droite $\Delta_k$ et passe par le point $B(2\,;\, -3)$. Déterminer l'expression de $u(x)$.

    Correction

    Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. La droite $\Delta_k$ ayant pour coefficient directeur $4$, la droite $D$ a également pour coefficient directeur $4$. L'expression de $u$ est donc de la forme $u(x) = 4x + b$. En utilisant le point $B(2 \,;\, -3)$, on résout $u(2) = -3 \implies 8 + b = -3$, ce qui donne $b = -11$. Ainsi, $u(x) = 4x - 11$.

11. 6)b). Démontrer que pour tout réel $x$, la différence $u(x) - k(x)$ est constante.

    Correction

    On exprime la différence pour tout réel $x$ en utilisant l'expression de $u(x)$ obtenue précédemment : $u(x) - k(x) = (4x - 11) - (4x - 7) = -4$. La différence est bien constante et égale à $-4$.

On considère une fonction affine $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont deux réels. On note $D$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

1. 1. Sachant que l'ordonnée à l'origine de la fonction $f$ est $-3$, déterminer la valeur de $b$ et exprimer $f(x)$ en fonction de $a$ et $x$.

   Correction

   Par définition, l'ordonnée à l'origine d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ est égale à $f(0) = b$. Ainsi, $b = -3$, et l'expression générale s'écrit $f(x) = ax - 3$.

2. 2. Sachant que l'image de $2$ par $f$ est $1$, déterminer par le calcul la valeur du coefficient $a$.

   Correction

   Traduire que l'image de $2$ est $1$ revient à écrire $f(2) = 1$. En utilisant l'expression $f(x) = ax - 3$, on obtient l'équation $2a - 3 = 1$, dont la résolution donne $a = 2$.

3. 3. En déduire l'expression de $f(x)$ pour tout réel $x$, puis calculer l'image de $-1$ par $f$.

   Correction

   En injectant la valeur de $a$, la fonction est définie pour tout réel $x$ par $f(x) = 2x - 3$. Pour calculer l'image de $-1$, on évalue $f(-1) = 2(-1) - 3 = -5$.

4. 4. Déterminer par le calcul l'antécédent de $5$ par la fonction $f$.

   Correction

   Rechercher l'antécédent de $5$ revient à résoudre l'équation $f(x) = 5$, soit $2x - 3 = 5$. On obtient immédiatement $x = 4$. L'antécédent de $5$ par $f$ est donc $4$.

5. 5. Soit le point $A(3\,;\,3)$. Justifier par le calcul si le point $A$ appartient à la droite $D$.

   Correction

   Un point $A(x_A\,;\,y_A)$ appartient à la droite $D$ si et seulement si $f(x_A) = y_A$. On calcule l'image de $3$ par $f$ en remplaçant $x$ par $3$ dans l'expression de $f(x)$. Si le résultat obtenu $f(3)$ est égal à $3$, alors le point $A(3\,;\,3)$ appartient à la droite $D$ ; sinon, il n'y appartient pas.

6. 6. Construire la droite $D$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ en plaçant précisément les points d'abscisses $0$ et $2$ étudiés précédemment.

   Correction

   Pour construire la droite $D$, on place précisément dans le repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ les deux points d'abscisses $0$ et $2$ déterminés précédemment, de coordonnées respectives $(0\,;\,f(0))$ et $(2\,;\,f(2))$. Il suffit ensuite de tracer la droite passant par ces deux points.