Point de départ · 1

Quelle équation est du premier degré à une inconnue $x$ ?

Remarque

Dans $3x+5=0$ , l'exposant de l'inconnue $x$ est $1$ . Dans $x^2-4=0$ , l'exposant est $2$ (second degré).

Définition · 2

Équation du premier degré

$ax + b = 0$

a \in \mathbb{R}^* \text{ et } b \in \mathbb{R}

Cette équation admet une unique solution dans $\mathbb{R}$ :

$x = -\frac{b}{a}$

Remarque

L'ensemble des solutions est $S = \left\{-\frac{b}{a}\right\}$ .

Exemple travaillé · 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $2(3x - 1) - 2x = 7x + 3$

1

On développe le membre de gauche :

6x - 2 - 2x = 7x + 3

2

On réduit le membre de gauche :

4x - 2 = 7x + 3

3

On regroupe les termes en $x$ à gauche et les constantes à droite :

4x - 7x = 3 + 2

4

On réduit chaque membre :

-3x = 5

5

On divise par le coefficient de $x$ :

x = -\frac{5}{3}

6

On écrit l'ensemble des solutions :

S = \left\{-\frac{5}{3}\right\}

Piège classique · 4

Après réduction, une équation donne $0x = -14$ . Quel est l'ensemble des solutions $S$ ?

Attention

Écrire $S = \{0\}$ ou tenter de diviser par $0$ pour trouver $x = -14$ .

À la place : Pour tout réel $x$ , on a $0 \times x = 0$ . L'égalité $0 = -14$ est impossible, donc $S = \emptyset$ .

Vérification · 5

Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $2(x - 3) - 5x = -3x - 6$ ?

Remarque

En développant, on obtient $-3x - 6 = -3x - 6$ , soit $0x = 0$ . Cette égalité est vraie pour tout réel $x$ , donc $S = \mathbb{R}$ .

Définition · 6

Équation produit nul

$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

Remarque

Pour résoudre une équation de degré supérieur à $1$ , on transpose tous les termes dans un membre pour obtenir un produit nul.

Exemple travaillé · 7

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $(2x + 1)(3x - 4) - (2x + 1)(x - 1) = 0$

1

On factorise par le facteur commun $(2x + 1)$ :

(2x + 1)[(3x - 4) - (x - 1)] = 0

2

On réduit l'expression dans le second facteur :

(2x + 1)(3x - 4 - x + 1) = 0

3

(2x + 1)(2x - 3) = 0

4

Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul :

2x + 1 = 0 \quad \text{ou} \quad 2x - 3 = 0

5

On résout chaque équation :

x = -\frac{1}{2} \quad \text{ou} \quad x = \frac{3}{2}

6

L'ensemble des solutions est :

S = \left\{-\frac{1}{2} ; \frac{3}{2}\right\}

Piège classique · 8

Pour résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $3x^2 = 9x$ , quelle démarche est correcte ?

Attention

Diviser les deux membres par $x$ pour obtenir $3x = 9$ , d'où $x = 3$ . La solution $x = 0$ est alors perdue.

À la place : On transpose et on factorise : $3x^2 - 9x = 0 \iff 3x(x - 3) = 0$ , ce qui donne $x = 0$ ou $x = 3$ . L'ensemble des solutions est $S = \{0 ; 3\}$ .

Exemple travaillé · 9

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $(x - 1)^2 - 4 = 0$

1

On reconnaît l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = x - 1$ et $b = 2$ :

[(x - 1) - 2][(x - 1) + 2] = 0

2

On réduit chaque facteur :

(x - 3)(x + 1) = 0

3

On applique la règle du produit nul :

x - 3 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 1 = 0

4

On isole $x$ dans chaque équation :

x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -1

5

L'ensemble des solutions est :

S = \{-1 ; 3\}

Vérification · 10

Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $(3x - 6)(x + 4) = 0$ ?

Remarque

L'équation produit nul donne $3x - 6 = 0 \iff x = 2$ , ou $x + 4 = 0 \iff x = -4$ . L'ensemble des solutions est $S = \{-4 ; 2\}$ .

Point de départ · 11

Pour quelle valeur de $x$ l'expression $\frac{5}{x - 2}$ n'est-elle pas définie ?

Remarque

La division par zéro est impossible dans $\mathbb{R}$ . Le dénominateur ne doit jamais être nul : $x - 2 \neq 0 \iff x \neq 2$ .

Définition · 12

Équation quotient et valeur interdite

B(x) \neq 0

$\frac{A(x)}{B(x)} = 0 \iff A(x) = 0$

Toute valeur annulant le dénominateur $B(x)$ est une valeur interdite et ne peut pas être solution.

Exemple travaillé · 13

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\frac{3x - 6}{x + 1} = 0$

1

On pose la condition d'existence (valeur interdite) :

x + 1 \neq 0 \iff x \neq -1

2

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul :

3x - 6 = 0

3

On résout l'équation au numérateur :

3x = 6 \iff x = 2

4

On vérifie : $2 \neq -1$ , la solution est acceptée.

S = \{2\}

Piège classique · 14

On résout dans $\mathbb{R}$ l'équation $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$ . Quel est l'ensemble des solutions $S$ ?

Attention

Résoudre $x^2 - 9 = 0$ pour trouver $x = 3$ et $x = -3$ , et garder $S = \{-3 ; 3\}$ .

À la place : La valeur $x = 3$ annule le dénominateur ( $x - 3 \neq 0 \iff x \neq 3$ ). C'est une valeur interdite : elle est rejetée. Seule $x = -3$ est retenue, donc $S = \{-3\}$ .

Vérification · 15

Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $\frac{2x - 4}{x - 2} = 0$ ?

Remarque

Le numérateur s'annule en $x = 2$ , mais $x = 2$ est une valeur interdite ( $x - 2 \neq 0$ ). L'équation n'a donc aucune solution : $S = \emptyset$ .

Point de départ · 16

On sait que $3 < 5$ . Que devient l'inégalité si on multiplie chaque membre par $-2$ ?

Remarque

Multiplier par un nombre négatif inverse l'ordre : $-6 > -10$ .

Définition · 17

Inéquations et multiplication par un réel

$a < b \iff ac < bc \quad (\text{si } c > 0)$

$a < b \iff ac > bc \quad (\text{si } c < 0)$

Multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par un réel strictement négatif change le sens de l'inégalité.

Exemple travaillé · 18

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $5 - 2x > 3(1 + x)$

1

On développe le membre de droite :

5 - 2x > 3 + 3x

2

On regroupe les termes en $x$ à gauche :

-2x - 3x > 3 - 5

3

-5x > -2

4

On divise par $-5$ en inversant le sens de l'inégalité :

x < \frac{2}{5}

5

L'ensemble des solutions est :

S = \left]-\infty ; \frac{2}{5}\right[

Piège classique · 19

On résout l'inéquation $-6x < 12$ . Quel est l'ensemble des solutions $S$ ?

Attention

Diviser par $-6$ sans changer le sens : écrire $x < -2$ et donner $S = ]-\infty ; -2[$ .

À la place : Le coefficient $-6$ est strictement négatif. En divisant par $-6$ , le symbole $<$ devient $>$ : $x > -2$ , d'où $S = ]-2 ; +\infty[$ .

Vérification · 20

Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $12 - 6x < 0$ ?

Remarque

$-6x < -12 \iff x > \frac{-12}{-6} \iff x > 2$ . Donc $S = ]2 ; +\infty[$ .

Point de départ · 21

Calculer $\sqrt{(-5)^2}$ .

Remarque

On calcule d'abord le carré sous la racine : $(-5)^2 = 25$ . La racine carrée d'un nombre positif est toujours positive : $\sqrt{25} = 5$ (et non $-5$ ).

Définition · 22

Valeur absolue et radical d'un carré

$\sqrt{A^2} = |A|$

Pour tout réel $c > 0$ :

$|A| = c \iff A = c \quad \text{ou} \quad A = -c$

Si $c < 0$ , l'équation $|A| = c$ n'admet aucune solution ( $S = \emptyset$ ).

Exemple travaillé · 23

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sqrt{4x^2 - 28x + 49} = 9$

1

On reconnaît une identité remarquable sous le radical :

\sqrt{(2x - 7)^2} = 9

2

On applique la propriété $\sqrt{A^2} = |A|$ :

|2x - 7| = 9

3

On sépare en deux équations :

2x - 7 = 9 \quad \text{ou} \quad 2x - 7 = -9

4

On résout chaque équation :

2x = 16 \iff x = 8 \quad \text{ou} \quad 2x = -2 \iff x = -1

5

L'ensemble des solutions est :

S = \{-1 ; 8\}

Piège classique · 24

On résout l'équation $\sqrt{(x + 4)^2} = 3$ . Quel est l'ensemble des solutions $S$ ?

Attention

Simplifier directement en $x + 4 = 3$ , trouvant $x = -1$ et omettant la branche négative.

À la place : $\sqrt{(x + 4)^2} = |x + 4|$ . L'équation $|x + 4| = 3$ équivaut à $x + 4 = 3 \implies x = -1$ ou $x + 4 = -3 \implies x = -7$ . Donc $S = \{-7 ; -1\}$ .

Vérification · 25

Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $|3x - 2| = |x + 1|$ ?

Remarque

$|A| = |B| \iff A = B \text{ ou } A = -B$ . On a $3x - 2 = x + 1 \iff 2x = 3 \iff x = \frac{3}{2}$ , ou $3x - 2 = -(x + 1) \iff 4x = 1 \iff x = \frac{1}{4}$ . Donc $S = \left\{\frac{1}{4} ; \frac{3}{2}\right\}$ .

Définition · 26

Signe du binôme du premier degré

a \in \mathbb{R}^* \text{ et } b \in \mathbb{R}

$ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a}$

Pour $a > 0$ , le binôme est négatif avant sa racine et positif après :

x	$-\infty$	$-\frac{b}{a}$	$+\infty$
ax+b (a>0)		-	0	+

Pour $a < 0$ , le binôme est positif avant sa racine et négatif après :

x	$-\infty$	$-\frac{b}{a}$	$+\infty$
ax+b (a<0)		+	0	-

Exemple travaillé · 27

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $(x - 1)(2 - x) \ge 0$

1

On détermine les racines de chaque facteur :

x - 1 = 0 \iff x = 1 \quad \text{et} \quad 2 - x = 0 \iff x = 2

2

Pour $x - 1$ , le coefficient directeur est $1 > 0$ . Pour $2 - x$ , le coefficient directeur est $-1 < 0$ .

x	1	2	$+\infty$
x-1	-	0	+	+
2-x	+	+	0	-
Produit	-	0	+	-

3

On lit l'ensemble des solutions où le produit est positif ou nul :

S = [1 ; 2]

Piège classique · 28

Pour résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\frac{4}{x} > 1$ , quelle démarche est correcte ?

Attention

Multiplier les deux membres par $x$ pour écrire $4 > x$ .

À la place : Le signe de $x$ est inconnu : multiplier par $x$ sans précaution de signe fausse l'équivalence. Il faut transposer et réduire au même dénominateur : $\frac{4 - x}{x} > 0$ .

Exemple travaillé · 29

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\frac{4 - x}{x} > 0$

1

Condition d'existence (valeur interdite) :

x \neq 0

2

Racines du numérateur et du dénominateur :

4 - x = 0 \iff x = 4 \quad \text{et} \quad x = 0

x	0	4	$+\infty$
4-x	+	+	0	-
x	-	0	+	+
Quotient	-	‖	+	-

3

On retient l'intervalle où le quotient est strictement positif :

S = ]0 ; 4[

Vérification · 30

Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $(x + 2)(x - 3) < 0$ ?

Remarque

Les racines sont $-2$ et $3$ . Le produit est strictement négatif entre ses racines, d'où $S = ]-2 ; 3[$ .

Equations et inéquations du premier degré à une inconnue — cours

Le cours

Équation du premier degré

Équation produit nul

Équation quotient et valeur interdite

Inéquations et multiplication par un réel

Valeur absolue et radical d'un carré

Signe du binôme du premier degré

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