Point de départ · 1

Un tissu coûte $4$ dinars le mètre. Pour une longueur $x$ (en mètres), on note $f(x)$ le prix total à payer.
Quelle est l'expression de $f(x)$ ?

Remarque

Le prix total s'obtient en multipliant la longueur $x$ par le prix unitaire $4$ , soit $f(x) = 4x$ .

Définition · 2

Définition d'une fonction linéaire

$f : x \mapsto ax$

a \in \mathbb{R}

$a$ est le coefficient de $f$ .

$f(x)$ est l'image de $x$ par $f$ , et $x$ est un antécédent de $f(x)$ .

$f(0) = 0$ et $f(1) = a$ .

Exemple travaillé · 3

Soit $f$ la fonction linéaire définie par $f(x) = -3x$ .
1. Calculer l'image de $-2$ par $f$ .
2. Déterminer l'antécédent de $9$ par $f$ .

1

1. Pour calculer l'image de $-2$ , on remplace $x$ par $-2$ :

2

f(-2) = -3 \times (-2) = 6

3

2. Pour déterminer l'antécédent de $9$ , on résout l'équation $f(x) = 9$ :

4

-3x = 9

5

x = \frac{9}{-3} = -3

6

L'image de $-2$ par $f$ est $6$ . L'antécédent de $9$ par $f$ est $-3$ .

Piège classique · 4

Soit $g$ une fonction linéaire telle que $g(2) = 6$ . Quel est le coefficient $a$ de $g$ ?

Attention

Calculer $a = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ en divisant l'antécédent par l'image.

À la place : Le coefficient est $a = \frac{g(x)}{x} = \frac{6}{2} = 3$ , car $g(x) = ax$ donne $a \times 2 = 6$ .

Vérification · 5

Soit $h$ une fonction linéaire telle que $h(3) = -12$ .

Remarque

Le coefficient est $a = \frac{-12}{3} = -4$ , donc $h(x) = -4x$ . L'image de $5$ est $h(5) = -4 \times 5 = -20$ .

Définition · 6

Représentation graphique

$y = ax$

a \in \mathbb{R}

Dans un repère $(O, I, J)$ , la représentation graphique d'une fonction linéaire $f : x \mapsto ax$ est la droite passant par l'origine $O(0 ; 0)$ et par le point $A(1 ; a)$ .

$a$ est le coefficient directeur de la droite.

Exemple travaillé · 7

Soit $f$ la fonction linéaire définie par $f(x) = \frac{3}{2}x$ .
1. Déterminer un point $B$ à coordonnées entières pour tracer la droite $D$ .
2. Déterminer graphiquement l'antécédent de $3$ par $f$ .

1

1. La droite passe par $O(0 ; 0)$ . Pour $x = 2$ :

2

f(2) = \frac{3}{2} \times 2 = 3

3

La droite passe par le point $B(2 ; 3)$ .

4

2. Pour l'antécédent de $3$ : on repère $y = 3$ sur l'axe des ordonnées $(OJ)$ , on rejoint la droite $D$ , puis on lit l'abscisse $x = 2$ sur l'axe $(OI)$ .

Piège classique · 8

Sur la droite représentative d'une fonction linéaire $f$ , on cherche le nombre qui a pour image $6$ .
Sur quel axe repère-t-on d'abord la valeur $6$ ?

Attention

Placer 6 sur l'axe horizontal des abscisses en confondant image et antécédent.

À la place : Une image correspond à l'ordonnée $y$ . On repère d'abord $6$ sur l'axe vertical $(OJ)$ , on rejoint la droite, puis on lit l'antécédent sur l'axe horizontal $(OI)$ .

Piège classique · 9

Laquelle de ces deux droites représente une fonction linéaire ?

Attention

Choisir D1 en croyant que toute droite représente une fonction linéaire.

À la place : La représentation d'une fonction linéaire doit impérativement passer par l'origine O(0 ; 0). Seule la droite D2 passe par O.

Vérification · 10

La droite $D$ passe par $O(0 ; 0)$ et $A(2 ; -2)$ . Elle représente la fonction linéaire $g$ .

Remarque

Le coefficient est $a = \frac{y_A}{x_A} = \frac{-2}{2} = -1$ , donc $g(x) = -x$ . Pour l'antécédent de $3$ , on résout $-x = 3$ , d'où $x = -3$ .

Définition · 11

Pourcentages d'évolution

Appliquer une variation en pourcentage à une grandeur $x$ revient à la multiplier par un coefficient fixe.

$f(x) = \left(1 + \frac{t}{100}\right)x$

Pour une augmentation de $t\%$ .

$f(x) = \left(1 - \frac{t}{100}\right)x$

Pour une diminution de $t\%$ .

Exemple travaillé · 12

Un article coûte initialement $60$ dinars. Son prix subit une réduction de $30\%$ .
1. Exprimer le prix final $p(x)$ en fonction du prix initial $x$ .
2. Calculer le prix de cet article après la réduction.

1

1. Une diminution de $30\%$ correspond au coefficient multiplicateur :

2

a = 1 - \frac{30}{100} = 0,7

3

L'expression de la fonction linéaire est $p(x) = 0,7x$ .

4

2. Pour $x = 60$ dinars, on calcule l'image :

5

p(60) = 0,7 \times 60 = 42

6

Le prix après réduction est de $42$ dinars.

Piège classique · 13

Un magasin accorde une remise de $40\%$ sur tous ses articles. Soit $x$ le prix initial.
Quelle fonction $p(x)$ donne le prix payé après réduction ?

Attention

Choisir $p(x) = 0,4x$ (montant de la réduction seule) ou $p(x) = x - 40$ (soustraction d'une constante).

À la place : Le prix final est $x - 0,40x = (1 - 0,40)x = 0,60x$ . La fonction associée est $p(x) = 0,6x$ .

Piège classique · 14

Un article subit deux réductions successives de $20\%$ .
Quel est le coefficient multiplicateur global appliqué au prix initial ?

Attention

Additionner les pourcentages ( $20\% + 20\% = 40\%$ ) pour obtenir un coefficient de $0,60$ .

À la place : Chaque réduction applique un coefficient de $1 - 0,20 = 0,80$ . Pour des réductions successives, on multiplie les coefficients : $0,80 \times 0,80 = 0,64$ (soit une baisse globale de $36\%$ , pas $40\%$ ).

Vérification · 15

Un prix initial $x$ subit une baisse de $10\%$ suivie d'une augmentation de $10\%$ .
La fonction linéaire associant le prix initial au prix final est $f(x) = ax$ .

Remarque

La baisse correspond au coefficient $0,90$ et la hausse au coefficient $1,10$ . Le coefficient global est $0,90 \times 1,10 = 0,99$ (le prix final baisse de $1\%$ ).

Définition · 16

Propriété d'additivité

$f(x + x') = f(x) + f(x')$

x \in \mathbb{R}, \; x' \in \mathbb{R}

Pour toute fonction linéaire $f$ , l'image d'une somme est égale à la somme des images.

Exemple travaillé · 17

Soit $g$ une fonction linéaire telle que $g(8) = 2,4$ et $g(10) = 3$ .
Calculer $g(18)$ et $g(2)$ sans déterminer le coefficient de $g$ .

1

Pour $g(18)$ , on remarque que $18 = 10 + 8$ . Par additivité :

2

g(18) = g(10) + g(8) = 3 + 2,4 = 5,4

3

Pour $g(2)$ , on remarque que $2 = 10 - 8$ . Par linéarité :

4

g(2) = g(10) - g(8) = 3 - 2,4 = 0,6

Piège classique · 18

Le périmètre $P(R) = 2\pi R$ et l'aire $A(R) = \pi R^2$ d'un disque varient-ils tous les deux linéairement en fonction du rayon $R$ ?

Attention

Croire que l'aire d'un disque est linéaire car sa formule contient une multiplication par $\pi$ .

À la place : Seul le périmètre $P(R) = 2\pi R$ est linéaire (degré 1). L'aire $A(R) = \pi R^2$ dépend de $R^2$ , elle n'est donc pas linéaire.

Piège classique · 19

Un motard roule à vitesse constante pendant $2\text{h } 40\text{min}$ .
Quelle valeur de temps $t$ (en heures) utilise-t-on dans la formule $d = v \times t$ ?

Attention

Écrire directement $t = 2,40$ h en gardant la notation en minutes sous forme décimale.

À la place : Les minutes se convertissent en fraction d'heure : $2\text{h } 40\text{min} = 2 + \frac{40}{60} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ h.

Vérification · 20

Soit $f$ une fonction linéaire telle que $f(4) = 14$ .

Remarque

$12 = 3 \times 4$ , donc par proportionnalité $f(12) = 3 \times 14 = 42$ . L'aire $S(x) = x^2$ dépend de $x^2$ , ce n'est donc pas une fonction linéaire.

Fonctions linéaires — cours

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Représentation graphique

Pourcentages d'évolution

Propriété d'additivité

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