Activités Algébriques — cours

1ère année · section Tronc commun · mathématiques, programme officiel tunisien.

Exercices corrigés : Activités Algébriques Maths 1ère année Tronc commun

Le cours

Rappel · 1

Calculer $(3x)^2$ .

Remarque

La puissance s'applique à chaque facteur du produit : $(3x)^2 = 3^2 \times x^2 = 9x^2$ .

Point de départ · 2

Développer $6 - 4(3+x)$ .

Remarque

La multiplication par $-4$ est prioritaire sur la soustraction : $6 - 4(3+x) = 6 - 12 - 4x = -6 - 4x$ .

Définition · 3

Double distributivité et parenthèses

$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

Pour soustraire un produit, conserver les parenthèses de protection avant de distribuer le signe moins :

$-(a+b)(c+d) = -(ac + ad + bc + bd) = -ac - ad - bc - bd$

Piège classique · 4

Développer $-(2x+5)^2$ .

Attention

Écrire $-(2x+5)^2 = -4x^2 + 20x + 25$ en n'appliquant le signe moins qu'au premier terme.

À la place : Conserver les parenthèses : $-(2x+5)^2 = -(4x^2 + 20x + 25) = -4x^2 - 20x - 25$ .

Exemple travaillé · 5

Développer et réduire $A = (3x+1)(4x-3) - (2x+5)^2$ .

Développer le premier produit :

(3x+1)(4x-3) = 12x^2 - 9x + 4x - 3 = 12x^2 - 5x - 3

Développer le carré en conservant les parenthèses de protection :

(2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25

Distribuer le signe moins à chaque terme :

A = (12x^2 - 5x - 3) - (4x^2 + 20x + 25) = 12x^2 - 5x - 3 - 4x^2 - 20x - 25

Réduire les termes de même degré :

A = 8x^2 - 25x - 28

Vérification · 6

Développer et réduire $(x+2)(x-3) - (x-1)(x+3)$ .

Remarque

$(x^2 - x - 6) - (x^2 + 2x - 3) = x^2 - x - 6 - x^2 - 2x + 3 = -3x - 3$ .

Point de départ · 7

Calculer mentalement $101^2$ .

Remarque

$101^2 = (100+1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$ .

Définition · 8

Identités remarquables du second degré

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Remarque

Le terme $2ab$ est le double produit.

Exemple travaillé · 9

Compléter $4x^2 - 20xy + \dots$ pour obtenir un carré parfait.

Identifier le premier carré :

4x^2 = (2x)^2 \implies a = 2x

Identifier le double produit pour trouver $b$ :

2ab = 20xy \implies 2(2x)b = 20xy \implies 4xb = 20xy \implies b = 5y

Ajouter $b^2$ et écrire le carré parfait :

b^2 = (5y)^2 = 25y^2

4x^2 - 20xy + 25y^2 = (2x - 5y)^2

Exemple travaillé · 10

Calculer sans calculatrice : $A = 1000006^2 - 999994^2$ .

Reconnaître l'identité $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ :

A = (1000006 - 999994)(1000006 + 999994)

Calculer chaque facteur :

1000006 - 999994 = 12

1000006 + 999994 = 2000000

Multiplier les deux résultats :

A = 12 \times 2000000 = 24000000

Vérification · 11

Compléter pour former un carré parfait : $9x^2 - 12xy + \dots$ .

Remarque

$9x^2 = (3x)^2$ et le double produit est $2 \times 3x \times 2y = 12xy$ . Le terme manquant est $(2y)^2 = 4y^2$ .

Point de départ · 12

Quelle relation relie les expressions $(x-1)$ et $(1-x)$ ?

Remarque

$1-x = -(x-1)$ . Deux expressions opposées permettent de faire apparaître un facteur commun en factorisant par $-1$ .

Définition · 13

Facteur commun et opposé

$ka + kb = k(a+b)$

$ka - kb = k(a-b)$

Pour transformer $(b-a)$ en $(a-b)$ :

$b-a = -(a-b)$

Piège classique · 14

Dans l'expression $A(x) = (x-1)(x+2) + (3-x)(1-x)$ , comment faire apparaître un facteur commun sans développer ?

Attention

Développer toute l'expression en pensant qu'il n'y a aucun facteur commun.

À la place : Écrire $(1-x) = -(x-1)$ pour obtenir le facteur commun $(x-1)$ : $A(x) = (x-1)(x+2) - (3-x)(x-1)$ .

Piège classique · 15

Pour factoriser $E = (x+3)^2 - 25(3x+4)^2$ sous la forme $A^2 - B^2$ , quelle est l'expression exacte de $B$ ?

Attention

Poser $B = 3x+4$ en laissant le coefficient 25 en dehors du carré.

À la place : Écrire $25(3x+4)^2 = [5(3x+4)]^2$ , d'où $B = 5(3x+4) = 15x+20$ .

Exemple travaillé · 16

Factoriser $A = 4x^2 - 9 + (2x+3)(x-5)$ .

Factoriser la différence de deux carrés $4x^2 - 9$ :

4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3)

Réécrire l'expression complète avec le facteur commun $(2x+3)$ :

A = (2x-3)(2x+3) + (2x+3)(x-5)

Mettre $(2x+3)$ en facteur et réduire le second facteur :

A = (2x+3)[(2x-3) + (x-5)] = (2x+3)(3x-8)

Vérification · 17

Factoriser $B = x^2 - 16 + (x+4)^2$ .

Remarque

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$ . Donc $B = (x+4)(x-4) + (x+4)^2 = (x+4)[(x-4) + (x+4)] = 2x(x+4)$ .

Point de départ · 18

L'expression $(x+1)^3$ est-elle égale à $x^3 + 1$ ?

Remarque

Non. De même que $(x+1)^2 \neq x^2+1$ , le cube d'une somme génère des termes intermédiaires : $(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ .

Définition · 19

Identités remarquables de degré 3

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Factorisations de somme et différence de cubes :

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Exemple travaillé · 20

Factoriser $G(x) = (x-2)^3 - 8$ .

Identifier la forme $A^3 - B^3$ avec $A = x-2$ et $B = 2$ (car $8 = 2^3$ ) :

G(x) = [(x-2) - 2][(x-2)^2 + (x-2)(2) + 2^2]

Réduire le premier facteur linéaire :

(x-2) - 2 = x - 4

Développer et réduire le second facteur :

(x-2)^2 + 2(x-2) + 4 = x^2 - 4x + 4 + 2x - 4 + 4 = x^2 - 2x + 4

Écrire la forme factorisée finale :

G(x) = (x-4)(x^2 - 2x + 4)

Exemple travaillé · 21

Factoriser $E(x) = x^3 + 8 - x - 2$ .

Regrouper le bloc cubique et le bloc linéaire :

E(x) = (x^3 + 8) - (x + 2)

Factoriser la somme de cubes $x^3 + 8 = x^3 + 2^3$ :

x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)

Mettre en évidence le facteur commun $(x+2)$ :

E(x) = (x+2)(x^2 - 2x + 4) - 1(x+2)

Factoriser par $(x+2)$ et réduire :

E(x) = (x+2)[(x^2 - 2x + 4) - 1] = (x+2)(x^2 - 2x + 3)

Vérification · 22

Factoriser $x^3 - 27$ .

Remarque

$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + 3x + 3^2) = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$ .

Point de départ · 23

Soit $A(x) = (2x-1)(x+3)$ . Pour calculer $A(\frac{1}{2})$ , quelle méthode est la plus directe ?

Remarque

Dans la forme factorisée, le facteur $(2x-1)$ s'annule immédiatement pour $x = \frac{1}{2}$ , ce qui donne $A(\frac{1}{2}) = 0 \times \frac{7}{2} = 0$ sans aucun calcul lourd.

Définition · 24

Règle du produit nul

$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$

Pour résoudre une équation de degré supérieur ou égal à 2, se ramener à un produit nul à l'aide de la forme factorisée.

Piège classique · 25

Soit $P(x) = 14x^2 - 9x - 18 = (2x-3)(7x+6)$ . Pour résoudre $P(x) = 0$ , quelle forme choisit-on ?

Attention

Choisir la forme développée $14x^2 - 9x - 18 = 0$ , qui mène à une impasse sans outil de résolution du second degré.

À la place : Choisir la forme factorisée $(2x-3)(7x+6) = 0$ pour appliquer la règle du produit nul : $2x-3=0$ ou $7x+6=0$ .

Exemple travaillé · 26

Exprimer l'aire de la surface non colorée en fonction de $a$ .

Calculer l'aire totale du grand rectangle :

\mathcal{A}_{\text{total}} = 13 \times 10 = 130 \text{ cm}^2

Calculer l'aire du triangle rectangle coloré :

\mathcal{A}_{\text{triangle}} = \frac{a \times 10}{2} = 5a

Soustraire l'aire du triangle de l'aire totale :

\mathcal{A}_{\text{restante}} = 130 - 5a

Vérification · 27

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(3x-1)(x+2) = 0$ .

Remarque

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul : $3x-1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$ ou $x+2 = 0 \implies x = -2$ .

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