Activités Algébriques — exercices corrigés

Soit $x \in \mathbb{R}$.

1. 1)a). Développer et réduire $A(x) = 2x(3x-1) + (x+3)^2$.

   Indice — $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

   Correction

   On applique la simple distributivité pour le terme $2x(3x-1)$ ce qui donne $6x^2 - 2x$, puis on développe l'identité remarquable $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$. En regroupant les termes semblables, on obtient $A(x) = 7x^2 + 4x + 9$.

2. 1)b). Montrer que $A(x) - (2x-5)^2 = 3x^2 + 24x - 16$.

   Indice — $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

   Correction

   On développe l'expression $(2x-5)^2 = 4x^2 - 20x + 25$. On a $A(x) - (2x-5)^2 = (7x^2 + 4x + 9) - (4x^2 - 20x + 25) = 3x^2 + 24x - 16$.

3. 2)a). Factoriser $C(x) = 3x^2 - 27x$.

   Indice — Factoriser par $3x$.

   Correction

   On repère un facteur commun évident entre les termes $3x^2$ et $27x$. En mettant $3x$ en évidence, on obtient la forme factorisée : $C(x) = 3x(x - 9)$.

4. 2)b). Développer et réduire $D(x) = 7x^4 - x^2 - 5(x^2+7)^2$.

   Indice — $(-a-b)^2 = (a+b)^2$

   Correction

   On développe $(x^2+7)^2 = x^4 + 14x^2 + 49$. On a $D(x) = 7x^4 - x^2 - 5(x^4 + 14x^2 + 49) = 7x^4 - x^2 - 5x^4 - 70x^2 - 245 = 2x^4 - 71x^2 - 245$.

5. 3)a). Factoriser $E(x) = (2x+5)^2 - (2x+5)(x+3)$.

   Indice — Factoriser par $(2x+5)$.

   Correction

   On identifie un facteur commun dans l'expression $E(x) = (2x+5)^2 - (2x+5)(x+3)$, qui est $(2x+5)$. En factorisant par ce terme, on obtient $E(x) = (2x+5)[(2x+5) - (x+3)]$. En réduisant l'expression à l'intérieur des crochets, on arrive à la forme factorisée finale : $E(x) = (2x+5)(x+2)$.

6. 3)b). Calculer $E(1)$.

   Indice — Utiliser la forme factorisée.

   Correction

   En remplaçant $x$ par $1$ dans la forme factorisée obtenue précédemment, on a $E(1) = (2(1)+5)(1+2) = (7)(3) = 21$.

7. 4)a). Factoriser $F(x) = (2x-5)^2 - 4$.

   Indice — $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

   Correction

   On reconnaît une identité remarquable de type différence de deux carrés $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ avec $A = 2x-5$ et $B = 2$. L'expression devient $F(x) = (2x-5 - 2)(2x-5 + 2)$, ce qui donne la forme factorisée : $F(x) = (2x-7)(2x-3)$.

8. 4)b). Calculer $F\left(\frac{5}{2}\right)$.

   Indice — Utiliser la forme factorisée.

   Correction

   En substituant $x$ par $\frac{5}{2}$ dans la forme factorisée, on obtient $F\left(\frac{5}{2}\right) = \left(2\left(\frac{5}{2}\right)-7\right)\left(2\left(\frac{5}{2}\right)-3\right) = (5-7)(5-3) = (-2)(2) = -4$.

On considère différentes expressions algébriques permettant d'étudier les techniques de développement, de réduction et de factorisation dans $\mathbb{R}$.

1. 1. Développer et réduire $A(x) = (2x+1)(x-3)$.

   Indice — Pense à distribuer chaque terme en respectant les règles des signes et des puissances.

   Correction

   On applique la double distributivité : $A(x) = 2x \cdot x + 2x \cdot (-3) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-3)$. En développant et en regroupant les termes en $x$, on obtient $A(x) = 2x^2 - 5x - 3$.

2. 2. Développer et réduire $B(x) = (2x+5)^2 - (2x+5)(x+3)$.

   Indice — Identifie la forme d'un produit remarquable de type $(a+b)^2$ dans l'expression.

   Correction

   On développe d'abord le produit remarquable $(2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25$, puis on distribue le second terme $-(2x+5)(x+3) = -(2x^2 + 6x + 5x + 15) = -2x^2 - 11x - 15$. En regroupant l'ensemble, on obtient $B(x) = 2x^2 + 9x + 10$.

3. 3. Soit $C(x) = 4x^2 - 28x + 49 + (2x-7) - (3x+1)(7-2x)$. Écrire $7-2x$ sous la forme d'un opposé.

   Indice — Rappelle-toi que deux nombres opposés ont le même carré, ce qui permet de transformer un terme en l'opposé d'un binôme.

   Correction

   On remarque que $4x^2 - 28x + 49$ est le carré parfait $(2x-7)^2$. En réécrivant le terme $(7-2x)$ sous la forme $-(2x-7)$, l'expression devient $C(x) = (2x-7)^2 - (2x-7) - (3x+1)(-(2x-7))$. En simplifiant les signes, on fait apparaître le facteur commun $(2x-7)$ dans tous les termes : $C(x) = (2x-7)^2 - (2x-7) + (3x+1)(2x-7)$.

4. 4. Factoriser complètement $C(x)$.

   Indice — Utilise le facteur commun mis en évidence à la question précédente pour factoriser l'expression $C(x)$.

   Correction

   À l'aide du facteur commun $(2x-7)$ mis en évidence précédemment, on factorise l'expression : $C(x) = (2x-7) \big[(2x-7) - 1 + (3x+1)\big]$. En réduisant l'expression à l'intérieur des crochets, on obtient la factorisation complète : $C(x) = (2x-7)(5x - 7)$.

5. 5. Soit $D(x) = 4x^2 - 9 + (2x+3)^2$. Factoriser $4x^2 - 9$.

   Indice — Observe les deux premiers termes de l'expression pour repérer une différence de deux carrés ou une identité remarquable usuelle.

   Correction

   On reconnaît dans la première partie de l'expression $4x^2 - 9$ une identité remarquable de type différence de carrés : $(2x)^2 - 3^2 = (2x-3)(2x+3)$. L'expression devient ainsi $D(x) = (2x-3)(2x+3) + (2x+3)^2$.

6. 6. En déduire une factorisation complète de $D(x)$.

   Indice — Pense à extraire le facteur commun après avoir reconnu les formes factorisées.

   Correction

   En utilisant le résultat précédent, on remarque que $(2x+3)$ est un facteur commun aux deux termes. On factorise par $(2x+3)$ : $D(x) = (2x+3)[(2x-3) + (2x+3)]$. En réduisant l'expression entre crochets, on obtient la factorisation complète : $D(x) = (2x+3)(4x)$, soit $4x(2x+3)$.

7. 7. Calculer la valeur de $B(x)$ pour $x = \frac{1}{2}$.

   Indice — Choisis la forme la plus adaptée (développée ou factorisée) pour simplifier les calculs avec des fractions.

   Correction

   Pour calculer la valeur de l'expression pour $x = \frac{1}{2}$, il est plus pratique d'utiliser la forme développée $B(x) = 2x^2 + 9x + 10$. En remplaçant $x$ par $\frac{1}{2}$, on obtient $2\left(\frac{1}{4}\right) + 9\left(\frac{1}{2}\right) + 10 = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} + 10 = 5 + 10 = 15$.

Dans le cadre de l'étude des activités algébriques, on considère des expressions polynomiales à factoriser et à simplifier en combinant le repérage de facteurs communs cachés, l'utilisation d'identités remarquables et la gestion de coefficients externes aux carrés.

1. 1. Soit $B = (x+3)^2 - 25(3x+4)^2$. Écrire $25(3x+4)^2$ sous la forme d'un carré d'expression algébrique.

   Indice — Pense à l'identité remarquable de la différence de carrés $A^2 - B^2$. Attention au coefficient devant la seconde parenthèse : il doit être totalement intégré au carré pour former $B$.

   Correction

   On utilise les propriétés des puissances pour intégrer le coefficient $25$ dans le carré : $25(3x+4)^2 = 5^2(3x+4)^2 = [5(3x+4)]^2 = (15x+20)^2$.

2. 2. Écrire $B$ sous la forme d'une différence de deux carrés.

   Indice — Remplace le terme transformé pour réécrire l'expression $B$ sous la forme d'une différence de deux carrés parfaits $A^2 - B^2$.

   Correction

   En remplaçant le second terme par sa nouvelle forme, on obtient directement l'expression sous forme de différence de deux carrés : $B = (x+3)^2 - (15x+20)^2$.

3. 3. Factoriser $B$ en un produit de deux facteurs.

   Indice — Applique la formule de factorisation de la différence de carrés en respectant l'ordre des termes.

   Correction

   On applique l'identité remarquable de la différence de carrés $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ avec $A = x+3$ et $B = 15x+20$. On obtient : $B = [(x+3) - (15x+20)][(x+3) + (15x+20)]$

4. 4. Réduire chacun des facteurs de $B$.

   Indice — Utilise de grands crochets pour regrouper les termes et supprime les parenthèses intérieures en faisant attention aux signes.

   Correction

   En développant et réduisant l'intérieur de chaque facteur, on obtient : $B = (x + 3 - 15x - 20)(x + 3 + 15x + 20) = (-14x - 17)(16x + 23)$.

5. 5. Soit $C = x^2 - 9 - (2x+5)(x-3) + 5x - 15$. Écrire $x^2 - 9$ sous forme factorisée.

   Indice — Soit maintenant l'expression $C = x^2 - 9 - (2x+5)(x-3) + 5x - 15$. Repère le terme $x^2 - 9$ et réécris-le sous forme factorisée.

   Correction

   On reconnaît l'identité remarquable de la différence de deux carrés $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ appliquée au terme $x^2 - 9$, ce qui donne $(x-3)(x+3)$.

6. 6. Factoriser les derniers termes de $C$ par $5$.

   Indice — Observe la fin de l'expression $C$ : $5x - 15$. Peux-tu mettre un nombre en évidence pour faire apparaître le facteur $(x-3)$ ?

   Correction

   En factorisant les deux derniers termes $5x - 15$ par le facteur commun $5$, on obtient $5(x-3)$, ce qui fait apparaître le facteur commun $(x-3)$ recherché.

7. 7. Factoriser $C$ par $(x-3)$.

   Indice — Identifie le facteur commun présent dans tous les termes de l'expression $C$.

   Correction

   En remplaçant chaque partie de l'expression par ses formes factorisées, on obtient $(x-3)(x+3) - (2x+5)(x-3) + 5(x-3)$. Le facteur commun à tous les termes est $(x-3)$. En le mettant en évidence, on obtient le produit $(x-3)[(x+3) - (2x+5) + 5]$.

8. 8. Donner l'écriture de $C$ sous forme d'un produit de polynômes du premier degré.

   Indice — Place l'ensemble des restes dans un grand crochet et réduis l'expression obtenue à l'intérieur pour aboutir à l'expression irréductible.

   Correction

   On simplifie l'expression à l'intérieur du crochet : $(x + 3 - 2x - 5 + 5) = -x + 3$. L'écriture finale sous forme de produit de polynômes du premier degré est donc $(x-3)(-x+3)$ ou $-(x-3)^2$ selon la forme souhaitée.

On considère l'expression algébrique $C(x)$ définie pour tout réel $x$ par :
$$C(x) = (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 1)$$

1. 1. Calculer :
   • $C(0)$
   • $C(1)$
   • $C(4)$
   • $C\left(\dfrac{3}{2}\right)$

   Indice — Remplacer $x$ par la valeur donnée dans l'expression de $C(x)$.

   Correction

   On évalue l'expression en remplaçant $x$ par les valeurs données :
   • $C(0) = (2\times 0 - 3)^2 - (2\times 0 - 3)(0 + 1) = (-3)^2 - (-3)(1) = 9 + 3 = 12$
   • $C(1) = (2\times 1 - 3)^2 - (2\times 1 - 3)(1 + 1) = (-1)^2 - (-1)(2) = 1 + 2 = 3$
   • $C(4) = (2\times 4 - 3)^2 - (2\times 4 - 3)(4 + 1) = 5^2 - 5\times 5 = 25 - 25 = 0$
   • $C\left(\dfrac{3}{2}\right) = \left(2\times \dfrac{3}{2} - 3\right)^2 - \left(2\times \dfrac{3}{2} - 3\right)\left(\dfrac{3}{2} + 1\right) = 0^2 - 0\times \dfrac{5}{2} = 0$

2. 2. Montrer que, pour tout réel $x$ :
   $$C(x) = 2x^2 - 11x + 12$$

   Indice — $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

   Correction

   Pour tout réel $x$ :
   $(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$
   $(2x - 3)(x + 1) = 2x^2 + 2x - 3x - 3 = 2x^2 - x - 3$

   Par suite :
   $$C(x) = (4x^2 - 12x + 9) - (2x^2 - x - 3) = 4x^2 - 12x + 9 - 2x^2 + x + 3 = 2x^2 - 11x + 12$$

3. 3. Montrer que, pour tout réel $x$ :
   $$C(x) = (2x - 3)(x - 4)$$

   Indice — $C(x) = (2x - 3)(2x - 3) - (2x - 3)(x + 1)$

   Correction

   On factorise par $(2x - 3)$ :
   $$C(x) = (2x - 3)\big[(2x - 3) - (x + 1)\big] = (2x - 3)(2x - 3 - x - 1) = (2x - 3)(x - 4)$$

4. 4. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :
   $$C(x) = 0$$

   Indice — $A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$

   Correction

   En utilisant la forme factorisée de $C(x)$ :
   $$C(x) = 0 \iff (2x - 3)(x - 4) = 0$$
   $$\iff 2x - 3 = 0 \quad \text{ou} \quad x - 4 = 0$$
   $$\iff x = \dfrac{3}{2} \quad \text{ou} \quad x = 4$$

   L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ est :
   $$S_{\mathbb{R}} = \left\{\dfrac{3}{2}\,;\, 4\right\}$$

On considère l'expression $C(x)$ définie pour tout réel $x$ par :
$$C(x) = (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 1)$$

1. 1. Calculer :
   • $C(0)$
   • $C(1)$

   Indice — Que donne le calcul terme à terme pour $x = 0$ dans $(2x - 3)^2$ et $(2x - 3)(x + 1)$ ?

   Correction

   Pour $x = 0$, on remplace $x$ par $0$ dans l'expression : $C(0) = (0 - 3)^2 - (0 - 3)(0 + 1) = (-3)^2 - (-3)(1) = 9 - (-3) = 9 + 3 = 12$.
   Pour $x = 1$ : $C(1) = (2(1) - 3)^2 - (2(1) - 3)(1 + 1) = (-1)^2 - (-1)(2) = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$.

2. 2. Calculer :
   • $C(4)$
   • $C\left(\dfrac{3}{2}\right)$

   Indice — Que vaut la quantité $(2x - 3)$ lorsque $x = \dfrac{3}{2}$ ?

   Correction

   Pour $x = 4$ : $C(4) = (2(4) - 3)^2 - (2(4) - 3)(4 + 1) = (5)^2 - (5)(5) = 25 - 25 = 0$.
   Pour $x = \dfrac{3}{2}$ : la quantité $(2x - 3)$ s'annule car $2\left(\dfrac{3}{2}\right) - 3 = 0$. On a donc $C\left(\dfrac{3}{2}\right) = 0^2 - 0 \times \left(\dfrac{3}{2} + 1\right) = 0 - 0 = 0$.

3. 3. Développer et réduire $C(x)$.

   Indice — Attention aux parenthèses après le signe « $-$ » :
   $$-(2x - 3)(x + 1) = -\left( 2x^2 - x - 3 \right)$$

   Correction

   On développe chaque terme en respectant les priorités et les signes : $(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$ et $(2x - 3)(x + 1) = 2x^2 + 2x - 3x - 3 = 2x^2 - x - 3$. En soustrayant le second bloc au premier avec ses parenthèses : $C(x) = (4x^2 - 12x + 9) - (2x^2 - x - 3) = 4x^2 - 12x + 9 - 2x^2 + x + 3$. En réduisant les termes semblables, on obtient : $C(x) = 2x^2 - 11x + 12$.

4. 4. Montrer que, pour tout réel $x$ :
   $$C(x) = (2x - 3)(x - 4)$$

   Indice — Observer le terme commun aux deux blocs :
   $$(2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3)$$

   Correction

   On utilise la factorisation par le facteur commun $(2x - 3)$ présent dans les deux termes de l'expression initiale : $C(x) = (2x - 3)[(2x - 3) - (x + 1)]$. On simplifie l'expression à l'intérieur des crochets : $(2x - 3) - x - 1 = x - 4$. On obtient ainsi la forme factorisée attendue : $C(x) = (2x - 3)(x - 4)$.

5. 5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :
   $$C(x) = 0$$

   Indice — Quelle forme de $C(x)$ permet d'utiliser directement :
   $$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0 \text{ ?}$$

   Correction

   En utilisant la forme factorisée $C(x) = (2x - 3)(x - 4)$, l'équation $C(x) = 0$ s'écrit $(2x - 3)(x - 4) = 0$.

   D'après la propriété du produit nul, un produit est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul :
   $$2x - 3 = 0 \quad \text{ou} \quad x - 4 = 0$$

   En résolvant ces deux équations du premier degré, on obtient $x = \frac{3}{2}$ et $x = 4$.

   L'ensemble des solutions est $S = \left\{\frac{3}{2} ; 4\right\}$.