Activités Algébriques — exercices corrigés

On considère l'expression algébrique $T(x)$ définie pour tout réel $x$ par :

$$T(x) = (3x-1)^2 - (3x-1)(x+2) - (4x-3)$$

1. 1. Développer et réduire l'expression $A(x) = (3x-1)^2$.

   Indice — Identifie la structure $(a-b)^2$ avec $a = 3x$ et $b = 1$, puis applique l'égalité remarquable correspondant au carré d'une différence.

   Correction

   On utilise l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = 3x$ et $b = 1$.

   $A(x) = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$

2. 2. Développer et réduire le produit $B(x) = (3x-1)(x+2)$.

   Indice — Applique la double distributivité en effectuant le produit terme à terme de $(3x-1)$ par $(x+2)$ avant toute réduction.

   Correction

   On développe par double distributivité :

   $B(x) = 3x \times x + 3x \times 2 - 1 \times x - 1 \times 2 = 3x^2 + 6x - x - 2$

   Après réduction des termes semblables, on obtient :
   $B(x) = 3x^2 + 5x - 2$

3. 3. À l'aide du résultat de la question 2, donner l'expression développée et réduite du bloc $-(3x-1)(x+2)$.

   Indice — Que devient l'expression $-B(x)$ lorsque l'on distribue le signe négatif sur chaque terme du polynôme de la question 2 ?

   Correction

   En réutilisant le résultat de la question 2, on distribue le signe $-$ sur chaque terme du polynôme $B(x) = 3x^2 + 5x - 2$ :

   $-(3x-1)(x+2) = -(3x^2 + 5x - 2) = -3x^2 - 5x + 2$

4. 4. Développer l'expression $C(x) = -(4x-3)$.

   Indice — Rappelle-toi la règle de suppression des parenthèses précédées d'un signe $-$ sur le binôme $(4x-3)$.

   Correction

   On applique la règle des signes lors de la suppression d'une parenthèse précédée du signe $-$ en inversant les signes de chaque terme de l'expression $(4x-3)$ :

   $C(x) = -(4x-3) = -4x + 3$

5. 5. En déduire la forme développée et réduite du polynôme $T(x)$.

   Indice — Regroupe les expressions réduites obtenues aux questions 1, 3 et 4, puis additionne les termes de même degré.

   Correction

   On réutilise les résultats des développements précédents : $(3x-1)^2 = 9x^2 - 6x + 1$ et $(3x-1)(x+2) = 3x^2 + 5x - 2$.

   En substituant ces expressions dans $T(x)$ :
   $$T(x) = (9x^2 - 6x + 1) - (3x^2 + 5x - 2) - (4x - 3)$$

   Après suppression des parenthèses et regroupement des termes de même degré, on obtient la forme réduite :
   $$T(x) = 6x^2 - 15x + 6$$

Soit l'expression algébrique $E(x) = (2x+3)(x-1) - (2x+3)(3x-4)$.

1. 1). Développer et réduire l'expression $E(x)$.

   Indice — Développez chaque produit séparément, puis faites attention au signe moins devant la deuxième parenthèse lors de la réduction des termes.

   Correction

   On développe chaque terme de l'expression par double distributivité :
   $(2x+3)(x-1) = 2x^2 - 2x + 3x - 3 = 2x^2 + x - 3$
   $(2x+3)(3x-4) = 6x^2 - 8x + 9x - 12 = 6x^2 + x - 12$

   On soustrait ensuite les deux résultats en faisant attention au signe moins devant la seconde parenthèse :
   $E(x) = (2x^2 + x - 3) - (6x^2 + x - 12) = 2x^2 + x - 3 - 6x^2 - x + 12$
   $E(x) = -4x^2 + 9$

2. 2). Factoriser l'expression $E(x)$.

   Indice — Identifiez le facteur commun $(2x+3)$ et mettez-le en évidence. N'oubliez pas les crochets pour gérer correctement la soustraction des termes restants.

   Correction

   On identifie le facteur commun $(2x+3)$ et on le met en évidence :
   $E(x) = (2x+3) \left[ (x-1) - (3x-4) \right]$

   On réduit l'expression à l'intérieur des crochets en supprimant les parenthèses :
   $E(x) = (2x+3)(x - 1 - 3x + 4)$
   $E(x) = (2x+3)(-2x+3)$

3. 3). Calculer la valeur de $E(x)$ pour $x=2$.

   Indice — Choisissez la forme de $E(x)$ (développée ou factorisée) qui simplifie le plus le calcul pour $x=2$.

   Correction

   Pour calculer la valeur de $E(2)$, il est plus rapide d'utiliser la forme développée obtenue à la question 1, $E(x) = -4x^2 + 9$ :
   $E(2) = -4 \times 2^2 + 9 = -4 \times 4 + 9 = -16 + 9 = -7$

4. 4). On considère maintenant l'expression $F(x) = (2x+3)^2 - 9$. Développer et réduire l'expression $F(x)$.

   Indice — Appliquez l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ pour développer $(2x+3)^2$.

   Correction

   On développe le terme $(2x+3)^2$ en utilisant l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :
   $(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$

   On soustrait ensuite $9$ pour obtenir la forme réduite de $F(x)$ :
   $F(x) = 4x^2 + 12x + 9 - 9 = 4x^2 + 12x$

5. 5). Factoriser l'expression $F(x)$.

   Indice — Remarquez que $9$ est un carré parfait. Utilisez l'identité remarquable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ et simplifiez les facteurs obtenus.

   Correction

   On reconnaît une différence de deux carrés de la forme $a^2 - b^2$ avec $a = 2x+3$ et $b = 3$ (puisque $9 = 3^2$). En appliquant l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, on obtient : $F(x) = ((2x+3) - 3)((2x+3) + 3)$. Après simplification des parenthèses, on trouve $F(x) = 2x(2x+6)$, soit sous forme totalement factorisée : $F(x) = 4x(x+3)$.

6. 6). En utilisant le résultat de la question 5), factoriser complètement l'expression $G(x) = 4x^2+12x$.

   Indice — Comparez l'expression $G(x)$ avec la forme développée de $F(x)$ ou la forme factorisée de $F(x)$ pour trouver un facteur commun. Assurez-vous que la factorisation est complète.

   Correction

   En développant l'expression initiale $F(x) = (2x+3)^2 - 9$, on constate que $F(x) = 4x^2 + 12x$, ce qui est exactement l'expression de $G(x)$. Ainsi, $G(x) = F(x)$. En utilisant directement le résultat de la question 5, on obtient la factorisation complète : $G(x) = 4x(x+3)$.

On considère les expressions algébriques $A(x) = (2x-3)^2 - (6x-9)(x+4)$ et $B(x) = 4x^2 - 9 + (2x-3)(x-1)$, où $x$ désigne un nombre réel.

1. 1. Montrer que $6x-9 = 3(2x-3)$, puis en déduire que l'expression $A(x)$ s'écrit sous la forme factorisée $A(x) = -(2x-3)(x+15)$.

   Indice — Factorise $6x-9$ par $3$ pour faire apparaître le terme $(2x-3)$, puis mets-le en facteur commun dans toute l'expression $A(x)$.

   Correction

   En factorisant par $3$, on obtient directement $6x-9 = 3(2x-3)$. On réécrit alors $A(x) = (2x-3)^2 - 3(2x-3)(x+4)$. En mettant $(2x-3)$ en facteur commun, il vient $A(x) = (2x-3)[(2x-3) - 3(x+4)]$. Après simplification du second facteur $((2x-3) - 3x - 12 = -x-15)$, on conclut $A(x) = -(2x-3)(x+15)$.

2. 2. Développer, réduire et ordonner l'expression $A(x)$.

   Indice — Développe $(2x-3)^2$ avec une identité remarquable et fais attention au signe négatif lors du développement du produit $(6x-9)(x+4)$.

   Correction

   En utilisant la forme factorisée obtenue à la question précédente, on développe le produit : $A(x) = -(2x^2 + 30x - 3x - 45) = -(2x^2 + 27x - 45)$. En distribuant le signe moins, on obtient la forme développée et réduite $A(x) = -2x^2 - 27x + 45$.

3. 3. Factoriser l'expression $4x^2 - 9$, puis en déduire que $B(x) = (2x-3)(3x+2)$.

   Indice — Reconnais l'identité remarquable $a^2-b^2$ pour factoriser $4x^2-9$, puis rassemble les termes de $B(x)$ en mettant $(2x-3)$ en facteur.

   Correction

   On reconnaît l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, d'où $4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3)$. En substituant dans $B(x)$, on a $B(x) = (2x-3)(2x+3) + (2x-3)(x-1)$. On factorise par le terme commun $(2x-3)$ : $B(x) = (2x-3)[(2x+3) + (x-1)]$, ce qui donne $B(x) = (2x-3)(3x+2)$.

4. 4. En utilisant les formes factorisées de $A(x)$ et $B(x)$, montrer que $B(x) - A(x) = (2x-3)(4x+17)$.

   Indice — Utilise les formes factorisées de $A(x)$ et $B(x)$ trouvées aux questions précédentes et mets en évidence le facteur commun $(2x-3)$.

   Correction

   D'après les questions précédentes, $B(x) - A(x) = (2x-3)(3x+2) - [-(2x-3)(x+15)] = (2x-3)(3x+2) + (2x-3)(x+15)$. En mettant $(2x-3)$ en facteur commun, on a $B(x) - A(x) = (2x-3)[(3x+2) + (x+15)] = (2x-3)(4x+17)$.

5. 5. Calculer la valeur exacte de $B(x)$ pour $x = \frac{3}{2}$.

   Indice — Choisis la forme factorisée de $B(x)$ pour effectuer un calcul simple et rapide sans développement inutile.

   Correction

   On utilise la forme factorisée $B(x) = (2x-3)(3x+2)$. En remplaçant $x$ par $\frac{3}{2}$, le premier facteur s'annule car $2\left(\frac{3}{2}\right) - 3 = 0$. On obtient directement $B\left(\frac{3}{2}\right) = 0$.

6. 6. Calculer la valeur exacte de $A(x)$ pour $x = \sqrt{3}$.

   Indice — Remplace $x$ par $\sqrt{3}$ dans la forme développée de $A(x)$ en utilisant la propriété $(\sqrt{3})^2 = 3$.

   Correction

   On remplace $x$ par $\sqrt{3}$ dans la forme développée $A(x) = -2x^2 - 27x + 45$. Sachant que $(\sqrt{3})^2 = 3$, le calcul donne $A(\sqrt{3}) = -2(3) - 27\sqrt{3} + 45 = 39 - 27\sqrt{3}$.

7. 7. On pose $C(x) = B(x) + (3-2x)(x+5)$. Montrer que $C(x) = (2x-3)^2$.

   Indice — Remarque la relation de comparaison entre $(3-2x)$ et $(2x-3)$ pour faire apparaître le facteur commun $(2x-3)$ dans $C(x)$.

   Correction

   En utilisant la forme factorisée $B(x) = (2x-3)(3x+2)$ et la relation $(3-2x) = -(2x-3)$, on réécrit $C(x) = (2x-3)(3x+2) - (2x-3)(x+5)$. En factorisant par $(2x-3)$, on trouve $C(x) = (2x-3)[(3x+2) - (x+5)] = (2x-3)^2$.

Soit l'expression algébrique $E(x) = (2x-3)(x+1) - (x+1)^2$.

1. 1). Développer et réduire le produit $(2x-3)(x+1)$.

   Indice — Applique la double distributivité pour multiplier les deux binômes.

   Correction

   En appliquant la double distributivité, on développe le produit :
   $(2x-3)(x+1) = 2x^2 + 2x - 3x - 3 = 2x^2 - x - 3$.

2. 2). Développer et réduire l'expression $(x+1)^2$.

   Indice — Utilise l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

   Correction

   En utilisant l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, on obtient :
   $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.

3. 3). En utilisant les résultats précédents, développer et réduire l'expression $E(x)$.

   Indice — Fais attention au signe négatif devant le développement de $(x+1)^2$ et distribue-le correctement.

   Correction

   En substituant les expressions développées aux questions 1 et 2, on a :
   $E(x) = (2x^2 - x - 3) - (x^2 + 2x + 1)$
   En distribuant le signe négatif dans la seconde parenthèse, on obtient :
   $E(x) = 2x^2 - x - 3 - x^2 - 2x - 1 = x^2 - 3x - 4$.

4. 4). Factoriser l'expression $E(x)$.

   Indice — Identifie le facteur commun $(x+1)$ et n'oublie pas les crochets pour gérer la soustraction des termes restants.

   Correction

   On identifie le facteur commun $(x+1)$ dans l'expression $E(x) = (2x-3)(x+1) - (x+1)^2$. En le mettant en facteur, on obtient :
   $E(x) = (x+1)[(2x-3) - (x+1)] = (x+1)(x-4)$.

5. 5). Calculer la valeur de $E(x)$ pour $x=-1$.

   Indice — Choisis la forme de $E(x)$ (développée ou factorisée) qui simplifie le plus le calcul pour cette valeur de $x$.

   Correction

   On utilise la forme initiale de l'expression : $E(x) = (2x-3)(x+1) - (x+1)^2$. En remplaçant $x$ par $-1$, le facteur $(x+1)$ s'annule, ce qui simplifie immédiatement le calcul : $E(-1) = 0$.

6. 6). Calculer la valeur de $E(x)$ pour $x=4$.

   Indice — Applique la même stratégie que pour la question précédente en choisissant la forme la plus adaptée.

   Correction

   On utilise la forme factorisée $E(x) = (x+1)(x-4)$. En remplaçant $x$ par $4$, le facteur $(x-4)$ devient nul, ce qui donne directement : $E(4) = 5 \times 0 = 0$.

On considère le polynôme $P(x) = (x^2-1)^2$.

1. 1. Développer et réduire l'expression $P(x) = (x^2-1)^2$.

   Correction

   On utilise l'identité remarquable \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) avec \(a = x^2\) et \(b = 1\). On obtient : \(P(x) = (x^2)^2 - 2 \times x^2 \times 1 + 1^2\), ce qui donne après réduction : \(P(x) = x^4 - 2x^2 + 1\).

2. 2. Factoriser $P(x)$ en un produit de quatre facteurs du premier degré.

   Correction

   On applique l'identité remarquable de la différence de deux carrés \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) à l'expression interne : \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\). En élevant au carré, on obtient : \(P(x) = [(x-1)(x+1)]^2 = (x-1)^2(x+1)^2\). Sous forme de produit de quatre facteurs du premier degré, on a : \(P(x) = (x-1)(x-1)(x+1)(x+1)\).

3. 3. Soit $Q(x) = P(x) - (x-1)^2$. Factoriser $Q(x)$ en utilisant le résultat de la question précédente.

   Correction

   En substituant la forme factorisée de \(P(x)\) obtenue à la question précédente, on a : \(Q(x) = (x-1)^2(x+1)^2 - (x-1)^2\). On factorise par le terme commun \((x-1)^2\), ce qui donne : \(Q(x) = (x-1)^2 [(x+1)^2 - 1]\).

4. 4. Réduire l'expression obtenue pour $Q(x)$ afin d'obtenir un produit de facteurs du premier degré.

   Correction

   On factorise le terme entre crochets \((x+1)^2 - 1^2\) en utilisant l'identité remarquable \(A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)\) avec \(A = x+1\) et \(B = 1\). On obtient \((x+1-1)(x+1+1) = x(x+2)\). En remplaçant dans l'expression de \(Q(x)\), on obtient le produit de facteurs du premier degré : \(Q(x) = x(x+2)(x-1)^2\).

5. 5. Déterminer l'ensemble des solutions réelles de l'équation $Q(x) = 0$.

   Correction

   On utilise la forme factorisée $Q(x) = x(x+2)(x-1)^2$. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. On résout les équations de premier degré associées : $x = 0$, $x+2 = 0$ (soit $x = -2$) et $x-1 = 0$ (soit $x = 1$). L'ensemble des solutions est $S = \{-2; 0; 1\}$.

6. 6. Soit $R(x) = Q(x) + (x-1)^2$. Factoriser $R(x)$ en utilisant le facteur commun $(x-1)^2$.

   Correction

   En remplaçant $Q(x)$ par son expression $(x-1)^2[(x+1)^2 - 1]$, on obtient $R(x) = (x-1)^2[(x+1)^2 - 1] + (x-1)^2$. En factorisant par le facteur commun $(x-1)^2$, on obtient $R(x) = (x-1)^2[(x+1)^2 - 1 + 1]$, ce qui se simplifie immédiatement en $R(x) = (x-1)^2(x+1)^2$.

7. 7. Montrer que $R(x) = P(x)$.

   Correction

   Par identité remarquable, on sait que $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. En élevant au carré, on obtient $P(x) = (x^2-1)^2 = ((x-1)(x+1))^2 = (x-1)^2(x+1)^2$. D'après la question précédente, on a également $R(x) = (x-1)^2(x+1)^2$. On a donc bien $R(x) = P(x)$.

8. 8. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x) = 2$.

   Correction

   L'équation $P(x) = 2$ s'écrit $(x^2-1)^2 = 2$. Par passage à la racine carrée, cela équivaut à $x^2-1 = \sqrt{2}$ ou $x^2-1 = -\sqrt{2}$.
   - L'équation $x^2 = 1+\sqrt{2}$ admet deux solutions réelles car $1+\sqrt{2} > 0$ : $x = \sqrt{1+\sqrt{2}}$ et $x = -\sqrt{1+\sqrt{2}}$.
   - L'équation $x^2 = 1-\sqrt{2}$ n'admet aucune solution réelle car $1-\sqrt{2} < 0$.
   L'ensemble des solutions est donc $S = \{-\sqrt{1+\sqrt{2}}; \sqrt{1+\sqrt{2}}\}$.

9. 9. Donner les valeurs exactes des solutions trouvées à la question précédente.

   Correction

   L'équation $(x^2-1)^2 = 0$ équivaut à $x^2 - 1 = 0$, soit $x^2 = 1$. En passant à la racine carrée, on obtient immédiatement les deux solutions réelles exactes : $x = 1$ et $x = -1$.