Point de départ · 1

Sur une droite graduée, quelle est la distance entre le point d'abscisse $-3$ et l'origine $0$ ?

Remarque

Une distance est toujours positive ou nulle. La distance de $-3$ à $0$ vaut $3$ , notée $|-3| = 3$ .

Définition · 2

Définition de la valeur absolue

La valeur absolue d'un réel $a$ , notée $|a|$ , est la distance de ce réel à $0$ sur la droite graduée.

$|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \ge 0 \\ -a & \text{si } a \le 0 \end{cases}$

Remarque

Pour tout réel $a$ , $|a| \ge 0$ et $|-a| = |a|$ .

Définition · 3

Racine carrée d'un carré

$\sqrt{x^2} = |x| \quad \text{pour tout réel } x$

Remarque

Une racine carrée est toujours positive : $\sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5$ .

Piège classique · 4

Quelle est l'écriture simplifiée de $\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}$ ?

Attention

Écrire $\sqrt{(1-\sqrt{3})^2} = 1-\sqrt{3}$ en supprimant directement le radical et le carré.

À la place : Puisque $1 < \sqrt{3}$ , on a $1-\sqrt{3} < 0$ . Ainsi : $\sqrt{(1-\sqrt{3})^2} = |1-\sqrt{3}| = -(1-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-1$ .

Exemple travaillé · 5

Écrire $f(x) = |x+4|$ sans les barres de valeur absolue selon les valeurs de $x$ .

1

On étudie le signe de $x+4$ : $x+4 = 0$ pour $x = -4$ .

2

Si $x \in [-4 ; +\infty[$ , alors $x+4 \ge 0$ , donc :

f(x) = x+4

3

Si $x \in ]-\infty ; -4]$ , alors $x+4 \le 0$ , donc :

f(x) = -(x+4) = -x-4

Vérification · 6

Simplifier sans radical : $\sqrt{(-7)^2}$ et $\sqrt{(\pi-4)^2}$ .

Remarque

$\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7$ . Comme $\pi \approx 3,14 < 4$ , la différence $\pi-4$ est négative, donc $\sqrt{(\pi-4)^2} = |\pi-4| = 4-\pi$ .

Rappel · 7

Traduire la double inégalité $-2 \le x < 5$ sous forme d'intervalle.

Remarque

L'inégalité large ( $\le$ ) impose un crochet fermé et l'inégalité stricte ( $<$ ) un crochet ouvert : $x \in [-2 ; 5[$ .

Définition · 8

Valeur absolue et encadrement

Soit $c \in \mathbb{R}$ et $r \ge 0$ . L'inéquation $|x-c| \le r$ exprime que la distance entre $x$ et $c$ est inférieure ou égale à $r$ .

$|x-c| \le r \iff c-r \le x \le c+r \iff x \in [c-r ; c+r]$

Remarque

Pour $c=0$ : $|x| \le r \iff -r \le x \le r \iff x \in [-r ; r]$ .

Définition · 9

Inéquations d'éloignement

Soit $c \in \mathbb{R}$ et $r > 0$ . L'inéquation $|x-c| \ge r$ traduit que la distance entre $x$ et $c$ est supérieure ou égale à $r$ .

$|x-c| \ge r \iff x \le c-r \quad \text{ou} \quad x \ge c+r$

Remarque

L'ensemble des solutions est la réunion de deux demi-droites : $x \in ]-\infty ; c-r] \cup [c+r ; +\infty[$ .

Piège classique · 10

Quelle écriture traduit l'inéquation $|2x+1| > 5$ ?

Attention

Écrire un double encadrement impossible comme $-5 > 2x+1 > 5$ .

À la place : Une condition en « $>$ » sépare deux branches disjointes : $2x+1 > 5$ ou $2x+1 < -5$ , soit $x \in ]-\infty ; -3[ \cup ]2 ; +\infty[$ .

Exemple travaillé · 11

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $|2x-5| \le 7$ .

1

On applique la définition sous forme de double inégalité :

-7 \le 2x-5 \le 7

2

On ajoute $5$ à tous les membres :

-7+5 \le 2x \le 7+5 \iff -2 \le 2x \le 12

3

On divise par $2$ (positif) :

-1 \le x \le 6

4

L'ensemble des solutions est :

S = [-1 ; 6]

Vérification · 12

Déterminer l'ensemble des solutions de l'inéquation $|x-2| < \frac{1}{2}$ .

Remarque

$|x-2| < \frac{1}{2} \iff -\frac{1}{2} < x-2 < \frac{1}{2} \iff \frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}$ , soit $S = ]\frac{3}{2} ; \frac{5}{2}[$ .

Rappel · 13

Quelle égalité est vraie pour tous réels $a \ge 0$ et $b \ge 0$ ?

Remarque

La racine carrée est multiplicative : $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ . En revanche, elle ne se distribue pas sur l'addition : $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ .

Définition · 14

Forme réduite a√b

Pour écrire un radical sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ entier le plus petit possible, on extrait les carrés parfaits sous la racine.

$\sqrt{k^2 \times b} = k\sqrt{b} \quad (k > 0, \; b > 0)$

Remarque

Exemple : $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{6^2 \times 2} = 6\sqrt{2}$ .

Définition · 15

Expression conjuguée

Pour éliminer un radical au dénominateur d'une fraction, on multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée.

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a - b \quad (a \ge 0, \; b \ge 0)$

Remarque

L'identité remarquable $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$ fait disparaître les racines.

Exemple travaillé · 16

Écrire sans radical au dénominateur : $B = \frac{1}{\sqrt{3}-3}$ .

1

L'expression conjuguée de $(\sqrt{3}-3)$ est $(\sqrt{3}+3)$ .

2

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $(\sqrt{3}+3)$ :

B = \frac{1 \times (\sqrt{3}+3)}{(\sqrt{3}-3)(\sqrt{3}+3)}

3

On applique l'identité $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$ au dénominateur :

B = \frac{\sqrt{3}+3}{(\sqrt{3})^2 - 3^2} = \frac{\sqrt{3}+3}{3 - 9} = \frac{\sqrt{3}+3}{-6} = -\frac{\sqrt{3}+3}{6}

Exemple travaillé · 17

Calculer sans calculatrice : $S = \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$ .

1

On transforme le premier terme à l'aide de son expression conjuguée :

\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1

2

De même pour les deux autres termes :

\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \sqrt{3}-\sqrt{2} \quad \text{et} \quad \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} = \sqrt{4}-\sqrt{3}

3

On réécrit la somme $S$ :

S = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (\sqrt{4}-\sqrt{3})

4

Par simplification télescopique, les termes intermédiaires s'annulent :

S = -1 + \sqrt{4} = -1 + 2 = 1

Vérification · 18

Écrire sans radical au dénominateur : $\frac{2}{\sqrt{5}-1}$ .

Remarque

$\frac{2}{\sqrt{5}-1} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{2(\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ .

Définition · 19

Méthodes de comparaison

Pour comparer deux réels $a$ et $b$ :

$a \le b \iff a - b \le 0$

Pour deux réels strictement positifs $a > 0$ et $b > 0$ :

$a \le b \iff a^2 \le b^2 \iff \sqrt{a} \le \sqrt{b}$

Remarque

L'élévation au carré conserve l'ordre pour des nombres positifs.

Exemple travaillé · 20

Comparer les deux réels positifs $a = 12\sqrt{5}$ et $b = 5\sqrt{12}$ .

1

On calcule le carré de chaque terme :

a^2 = (12\sqrt{5})^2 = 144 \times 5 = 720

2

b^2 = (5\sqrt{12})^2 = 25 \times 12 = 300

3

On compare les carrés :

720 > 300 \iff a^2 > b^2

4

Comme $a$ et $b$ sont strictement positifs :

12\sqrt{5} > 5\sqrt{12}

Définition · 21

Comparaison de x, x² et √x

Soit $x$ un réel strictement positif :

$\begin{aligned} &\text{Si } x > 1, \quad \sqrt{x} < x < x^2 \\ &\text{Si } 0 < x < 1, \quad x^2 < x < \sqrt{x} \end{aligned}$

Remarque

Pour un réel compris entre $0$ et $1$ , l'élévation au carré diminue la valeur.

Piège classique · 22

Soit $y = 1-10^{-10}$ . Quel est le bon classement dans l'ordre croissant entre $y$ , $y^2$ et $\sqrt{y}$ ?

Attention

Penser que le carré est toujours supérieur à la base et écrire $y < y^2$ .

À la place : Comme $10^{-10} > 0$ , on a $0 < y < 1$ . Sur l'intervalle $]0 ; 1[$ , on a $y^2 < y < \sqrt{y}$ .

Vérification · 23

Soit $A = 1+10^{-10}$ . Ranger $A$ , $A^2$ et $\sqrt{A}$ dans l'ordre croissant.

Remarque

Comme $10^{-10} > 0$ , on a $A > 1$ . Pour tout réel $A > 1$ , la propriété donne $\sqrt{A} < A < A^2$ .

Définition · 24

Somme et différence d'encadrements

Pour additionner deux encadrements, on ajoute membre à membre :

$x_1 \le a \le x_2 \quad \text{et} \quad y_1 \le b \le y_2 \implies x_1 + y_1 \le a + b \le x_2 + y_2$

Pour soustraire, on ajoute l'opposé : $a - b = a + (-b)$ .

$-y_2 \le -b \le -y_1 \implies x_1 - y_2 \le a - b \le x_2 - y_1$

Remarque

La soustraction directe membre à membre est interdite.

Définition · 25

Encadrement du produit

Pour des réels strictement positifs, on multiplie membre à membre :

$0 < x_1 \le a \le x_2 \quad \text{et} \quad 0 < y_1 \le b \le y_2 \implies x_1 y_1 \le ab \le x_2 y_2$

Remarque

Si une variable est négative, on encadre d'abord son opposé positif avant de multiplier.

Définition · 26

Inverse et quotient

Pour des réels strictement positifs, le passage à l'inverse renverse l'ordre :

$0 < y_1 \le b \le y_2 \implies \frac{1}{y_2} \le \frac{1}{b} \le \frac{1}{y_1}$

Le quotient s'obtient par le produit :

$\frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}$

Piège classique · 27

On donne $\frac{1}{2} \le a \le \frac{3}{2}$ et $2 \le b \le 3$ . Quel est l'encadrement de $a - b$ ?

Attention

Soustraire membre à membre : $(\frac{1}{2}-2) \le a-b \le (\frac{3}{2}-3)$ , ce qui donnerait $-\frac{3}{2} \le a-b \le -\frac{3}{2}$ .

À la place : On encadre $-b$ : $-3 \le -b \le -2$ . On additionne avec $a$ : $\frac{1}{2} + (-3) \le a + (-b) \le \frac{3}{2} + (-2)$ , d'où $-\frac{5}{2} \le a-b \le -\frac{1}{2}$ .

Exemple travaillé · 28

On donne $\frac{1}{2} \le a \le \frac{3}{2}$ et $-3 \le b \le -2$ . Encadrer le produit $ab$ et le quotient $\frac{a}{b}$ .

1

On encadre $-b$ pour obtenir des bornes positives :

2 \le -b \le 3

2

On multiplie les encadrements positifs membre à membre :

\frac{1}{2} \times 2 \le a(-b) \le \frac{3}{2} \times 3 \iff 1 \le -ab \le \frac{9}{2}

3

On multiplie par $-1$ en inversant l'ordre :

-\frac{9}{2} \le ab \le -1

4

Pour le quotient, on encadre $-\frac{1}{b}$ :

\frac{1}{3} \le -\frac{1}{b} \le \frac{1}{2}

5

On multiplie $a$ par $-\frac{1}{b}$ puis par $-1$ :

\frac{1}{6} \le -\frac{a}{b} \le \frac{3}{4} \iff -\frac{3}{4} \le \frac{a}{b} \le -\frac{1}{6}

Vérification · 29

Sachant que $3,5 < x < 3,6$ , déterminer un encadrement de $5-2x$ .

Remarque

On multiplie par $-2$ (l'ordre s'inverse) : $-7,2 < -2x < -7,0$ . On ajoute $5$ : $-2,2 < 5-2x < -2,0$ .

Rappel · 30

Quelle est la valeur de $-3^2$ et celle de $(-3)^2$ ?

Remarque

Dans $-3^2$ , le carré ne porte que sur le $3$ : $-3^2 = -(3^2) = -9$ . Dans $(-3)^2$ , le signe $-$ est dans la parenthèse : $(-3)^2 = 9$ .

Définition · 31

Règles sur les puissances

Pour tous réels non nuls $a, b$ et tous entiers relatifs $n, m, p$ :

$a^n \times a^m = a^{n+m} \quad ; \quad \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \quad ; \quad (a^n)^p = a^{n \times p}$

$(a \times b)^n = a^n \times b^n \quad ; \quad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \quad ; \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Remarque

Pour simplifier des bases différentes, on décompose en facteurs premiers : $4 = 2^2$ , $8 = 2^3$ , $10 = 2 \times 5$ .

Définition · 32

Écriture scientifique et ordre de grandeur

Tout nombre décimal strictement positif s'écrit de manière unique sous la forme :

$a \times 10^n \quad \text{avec } 1 \le a < 10 \text{ et } n \in \mathbb{Z}$

Remarque

L'ordre de grandeur s'obtient en arrondissant $a$ à l'entier le plus proche.

Exemple travaillé · 33

Écrire sous la forme d'une puissance de $2$ : $E = \frac{(-2)^4 \times 4^{-5}}{8^{-3}}$ .

1

On décompose chaque base en puissance de $2$ : $(-2)^4 = 2^4$ , $4 = 2^2$ et $8 = 2^3$ .

2

E = \frac{2^4 \times (2^2)^{-5}}{(2^3)^{-3}}

3

E = \frac{2^4 \times 2^{-10}}{2^{-9}}

4

E = 2^{4 + (-10) - (-9)} = 2^{4 - 10 + 9} = 2^3

Vérification · 34

Donner l'écriture scientifique et l'ordre de grandeur de $X = 0,000345 \times 10^6$ .

Remarque

$X = 0,000345 \times 10^6 = 345 = 3,45 \times 10^2$ . En arrondissant $3,45$ à l'entier le plus proche ( $3$ ), l'ordre de grandeur est $3 \times 10^2$ .

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES II — cours

Le cours

Définition de la valeur absolue

Racine carrée d'un carré

Valeur absolue et encadrement

Inéquations d'éloignement

Forme réduite a√b

Expression conjuguée

Méthodes de comparaison

Comparaison de x, x² et √x

Somme et différence d'encadrements

Encadrement du produit

Inverse et quotient

Règles sur les puissances

Écriture scientifique et ordre de grandeur

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