Point de départ · 1

Dans l'égalité $45 = 6 \times 6 + 9$ , le nombre $9$ est-il le reste de la division euclidienne de $45$ par $6$ ?

Non. Dans une division euclidienne par $6$ , le reste doit être strictement inférieur à $6$ . Ici : $45 = 6 \times 7 + 3$ Le reste est $3$ et le quotient est $7$ .

Définition · 2

Division euclidienne dans $\mathbb{N}$

$a = bq + r \quad \text{avec} \quad 0 \le r < b$

Pour tout entier naturel $a$ et tout entier naturel non nul $b$ , il existe un unique couple d'entiers naturels $(q, r)$ vérifiant cette relation.

Vocabulaire

Dividende — $a$
Diviseur — $b$
Quotient — $q$
Reste — $r$

Remarque

Si $r = 0$ , alors $a = bq$ : $b$ est un diviseur de $a$ , et $a$ est un multiple de $b$ .

Exemple travaillé · 3

Soit $n$ un entier naturel tel que $n \ge 4$ . Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $2n + 9$ par $n + 2$ .

1

Faire apparaître le diviseur $(n + 2)$ dans le dividende :

2n + 9 = 2(n + 2) + 5

2

Identifier les candidats pour le quotient et le reste :

q = 2 \quad \text{et} \quad r = 5

3

Vérifier la condition $0 \le r < n + 2$ avec l'hypothèse $n \ge 4$ :

n \ge 4 \implies n + 2 \ge 6 > 5

4

Conclusion : le quotient est $2$ et le reste est $5$ .

Piège classique · 4

Soit $x$ et $y$ deux entiers naturels vérifiant $x = 11y + 17$ . Quel est le quotient de la division euclidienne de $x$ par $11$ ?

Attention

Prendre $y$ comme quotient et $17$ comme reste, en oubliant que $17 \ge 11$ .

À la place : Il faut extraire le multiple de $11$ contenu dans $17$ : $x = 11y + 11 + 6 = 11(y + 1) + 6$ Comme $0 \le 6 < 11$ , le quotient est $y + 1$ et le reste est $6$ .

Vérification · 5

Soit $n \in \mathbb{N}$ et $x = 8n + 13$ . Compléter pour la division euclidienne de $x$ par $4$ sous la forme $x = 4q + r$ avec $0 \le r < 4$ .

Remarque

On décompose : $x = 8n + 12 + 1 = 4(2n + 3) + 1$ . Avec $0 \le 1 < 4$ , le quotient est $2n + 3$ et le reste est $1$ .

Point de départ · 6

Pour quelle valeur de $k$ l'égalité suivante est-elle vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ ? $\frac{5n+11}{n+1} = 5 + \frac{k}{n+1}$

Remarque

On réduit au même dénominateur : $5 + \frac{6}{n+1} = \frac{5(n+1)+6}{n+1} = \frac{5n+11}{n+1}$ Donc $k = 6$ .

Définition · 7

Fractions rationnelles et entiers naturels

Pour trouver les entiers $n \in \mathbb{N}$ tels que $\frac{A(n)}{B(n)} \in \mathbb{N}$ :

1

Décomposer la fraction pour isoler un numérateur constant $k$ :

\frac{A(n)}{B(n)} = q + \frac{k}{B(n)}

2

Traduire la condition d'appartenance à $\mathbb{N}$ :

B(n) \text{ est un diviseur positif de } k

q + \frac{k}{B(n)} \ge 0

Exemple travaillé · 8

Déterminer tous les entiers naturels $n$ tels que $\frac{5n+11}{n+1} \in \mathbb{N}$ .

1

Décomposer le numérateur :

\frac{5n+11}{n+1} = \frac{5(n+1)+6}{n+1} = 5 + \frac{6}{n+1}

2

Écrire la condition de divisibilité :

(n+1) \text{ divise } 6

3

Lister les diviseurs positifs de $6$ :

D_6 = \{1 ; 2 ; 3 ; 6\}

4

Résoudre pour chaque diviseur :

\begin{aligned} n+1=1 &\implies n=0 \\ n+1=2 &\implies n=1 \\ n+1=3 &\implies n=2 \\ n+1=6 &\implies n=5 \end{aligned}

5

Conclusion :

n \in \{0 ; 1 ; 2 ; 5\}

Piège classique · 9

Soit $n > 2$ . On a $\frac{4n-16}{n-2} = 4 - \frac{8}{n-2}$ . La valeur $n = 3$ convient-elle pour que $\frac{4n-16}{n-2} \in \mathbb{N}$ ?

Attention

Accepter $n = 3$ au motif que $(3 - 2) = 1$ est un diviseur de $8$ .

À la place : Pour $n = 3$ , l'expression vaut $4 - \frac{8}{1} = -4$ . Comme $-4 \notin \mathbb{N}$ , cette valeur est rejetée. Il faut toujours vérifier la positivité du résultat final.

Vérification · 10

Sachant que $\frac{7n+12}{n+1} = 7 + \frac{5}{n+1}$ , déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $\frac{7n+12}{n+1} \in \mathbb{N}$ .

Remarque

Les diviseurs de $5$ sont $1$ et $5$ . $n+1 = 1 \implies n = 0$ et $n+1 = 5 \implies n = 4$ . D'où $n \in \{0 ; 4\}$ .

Point de départ · 11

On veut paver un sol rectangulaire de $336\text{ m}$ sur $180\text{ m}$ avec des dalles carrées identiques de côté entier, sans découpe. Pour utiliser le plus petit nombre possible de dalles, comment choisir le côté $c$ ?

Remarque

Moins on utilise de dalles, plus chaque dalle doit être grande. Le côté $c$ doit donc être le plus grand diviseur commun à $336$ et $180$ .

Définition · 12

PGCD et problème de pavage

$c = \text{PGCD}(a, b)$

Pour partager ou paver sans reste un rectangle de dimensions $a$ et $b$ avec un nombre minimal de carrés identiques, le côté $c$ de chaque carré est le PGCD de $a$ et $b$ .

1

Calcul du PGCD par décomposition en facteurs premiers :

\text{Produit des facteurs premiers communs affectés de leur plus petit exposant.}

Exemple travaillé · 13

Un terrain rectangulaire mesure $336\text{ m}$ de longueur et $180\text{ m}$ de largeur. On le recouvre de dalles carrées identiques de côté entier $c$ sans découpe. Déterminer $c$ pour utiliser le minimum de dalles, puis calculer le nombre total de dalles.

1

Identifier la grandeur à calculer :

c = \text{PGCD}(336, 180)

2

Décomposer en produit de facteurs premiers :

336 = 2^4 \times 3 \times 7 \quad \text{et} \quad 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5

3

Calculer le PGCD :

c = 2^2 \times 3 = 12\text{ m}

4

Calculer le nombre total de dalles :

\frac{336}{12} \times \frac{180}{12} = 28 \times 15 = 420\text{ dalles}

Piège classique · 14

Dans une plaque de $110\text{ cm} \times 88\text{ cm}$ , on découpe des carrés identiques les plus grands possibles sans perte. Pour trouver la dimension du carré, quelle opération effectue-t-on ?

Attention

Calculer le PPCM à cause de l'expression « nombre minimal de pièces ».

À la place : Le côté du carré doit diviser les dimensions : on cherche un diviseur commun. Pour maximiser la taille, on calcule $\text{PGCD}(110, 88)$ .

Vérification · 15

Pour des plaques de $110\text{ cm} \times 88\text{ cm}$ découpées en carrés identiques de côté maximal sans perte, quel est le nombre de carrés obtenus ?

Remarque

Le côté vaut $\text{PGCD}(110, 88) = 22\text{ cm}$ . Le nombre de carrés est $\frac{110}{22} \times \frac{88}{22} = 5 \times 4 = 20\text{ carrés}$ .

Point de départ · 16

Pour déterminer les chiffres $x$ et $y$ tels que le nombre $5x6y$ soit divisible par $2$ et par $9$ , par quelle condition commence-t-on ?

Remarque

On commence par la condition sur le chiffre des unités $y$ (divisibilité par $2$ ), car $y \in \{0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8\}$ . Cela limite immédiatement la recherche à $5$ cas pour tester la somme des chiffres.

Définition · 17

Critères de divisibilité croisés

$N \text{ est divisible par } 15 \iff N \text{ est divisible par } 3 \text{ et par } 5$

$N \text{ est divisible par } 12 \iff N \text{ est divisible par } 3 \text{ et par } 4$

$N \text{ est divisible par } 6 \iff N \text{ est divisible par } 2 \text{ et par } 3$

Méthode par arbre de choix :

1

1. Déterminer les valeurs possibles du chiffre des unités avec le critère de position (parité, $0$ ou $5$ ).

2

2. Pour chaque valeur de l'unité, déterminer l'autre chiffre avec le critère de la somme des chiffres.

Exemple travaillé · 18

Déterminer tous les couples de chiffres $(x, y)$ pour que le nombre $5x3y$ soit divisible par $15$ .

1

Traduire la divisibilité par $15$ : le nombre doit être divisible par $5$ et par $3$ .

2

Appliquer le critère par $5$ sur le chiffre des unités :

y \in \{0 ; 5\}

3

Cas 1 ( $y = 0$ ) : la somme des chiffres est $5 + x + 3 + 0 = 8 + x$ . Pour être divisible par $3$ , $x \in \{1 ; 4 ; 7\}$ , d'où les couples :

(1, 0) ; (4, 0) ; (7, 0)

4

Cas 2 ( $y = 5$ ) : la somme des chiffres est $5 + x + 3 + 5 = 13 + x$ . Pour être divisible par $3$ , $x \in \{2 ; 5 ; 8\}$ , d'où les couples :

(2, 5) ; (5, 5) ; (8, 5)

5

Conclusion : l'ensemble des solutions est :

S = \{(1, 0) ; (4, 0) ; (7, 0) ; (2, 5) ; (5, 5) ; (8, 5)\}

Piège classique · 19

Pour vérifier qu'un nombre est divisible par $12$ , quelle décomposition en facteurs doit-on utiliser ?

Attention

Utiliser $2$ et $6$ ( $12 = 2 \times 6$ ). Un nombre divisible par $2$ et par $6$ n'est pas forcément divisible par $12$ (exemple : $18$ est divisible par $2$ et par $6$ , mais pas par $12$ ).

À la place : Il faut choisir deux facteurs premiers entre eux : $3$ et $4$ (car $\text{PGCD}(3, 4) = 1$ et $3 \times 4 = 12$ ).

Vérification · 20

Déterminer le chiffre $a$ pour que l'entier $596a$ soit divisible par $6$ .

Remarque

Divisible par $6$ signifie divisible par $2$ ( $a \in \{0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8\}$ ) et par $3$ (somme $20 + a$ multiple de $3$ ). Parmi les valeurs paires, seule $a = 4$ donne $20 + 4 = 24$ (multiple de $3$ ).

Activités numériques I — cours

Le cours

Division euclidienne dans $\mathbb{N}$

Fractions rationnelles et entiers naturels

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