Activités numériques I — exercices corrigés

Pour tout entier naturel $n$, on considère le nombre entier :
$$A(n) = 3(4n + 5) + 2(3n + 8)$$

1. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $A(n) = 18n + 31$.

   Indice — Que vaut $3 \times 4n + 2 \times 3n$ ?

   Correction

   En développant et réduisant l'expression : $A(n) = 12n + 15 + 6n + 16 = 18n + 31$.

2. 2. Vérifier que pour tout entier naturel $n$, on a $A(n) = 9(2n + 2) + 13$.

   Indice — Développe l'expression $9(2n + 2) + 13$.

   Correction

   En développant le membre de droite : $9(2n + 2) + 13 = 18n + 18 + 13 = 18n + 31 = A(n)$.

3. 3. Expliquer pourquoi l'égalité précédente ne représente pas la division euclidienne de $A(n)$ par $9$.

   Indice — Compare $13$ et $9$ selon la condition $0 \le r < b$.

   Correction

   Dans la division euclidienne d'un entier par $9$, le reste $r$ doit vérifier $0 \le r < 9$. Or ici, le candidat au reste vaut $13$, ce qui est strictement supérieur à $9$.

4. 4. En déduire la division euclidienne de $A(n)$ par $9$, en précisant le quotient et le reste en fonction de $n$.

   Indice — Écris $13 = 9 \times 1 + 4$ pour factoriser par $9$.

   Correction

   En décomposant $13 = 9 \times 1 + 4$, on a $A(n) = 9(2n + 2) + 9 \times 1 + 4 = 9(2n + 3) + 4$. Comme $0 \le 4 < 9$, la division euclidienne de $A(n)$ par $9$ donne un quotient égal à $2n + 3$ et un reste égal à $4$.

5. 5. Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $A(n) = 9(2n + 3) + 4$.

   Indice — Regarde le résultat obtenu à la question précédente.

   Correction

   En développant et réduisant l'expression initiale, on obtient $A(n) = 18n + 31$. En isolant le multiple de $2n + 3$, on écrit $18n + 31 = 18n + 27 + 4 = 9(2n + 3) + 4$.

6. 6)a. Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ pour lesquels l'égalité $A(n) = (2n + 3) \times 9 + 4$ représente la division euclidienne de $A(n)$ par $2n + 3$.

   Indice — Résous l'inégalité $4 < 2n + 3$ pour $n \in \mathbb{N}$.

   Correction

   Pour que cette égalité soit la division euclidienne de $A(n)$ par $2n + 3$, le reste $4$ doit respecter la condition $0 \le 4 < 2n + 3$. L'inégalité $4 < 2n + 3$ équivaut à $2n > 1$, soit $n \ge 1$. L'ensemble des entiers recherché est donc tous les entiers naturels non nuls ($n \in \mathbb{N}^*$).

7. 6)b. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $A(n)$ par $2n + 3$ dans le cas restant.

   Indice — Calcule $A(0)$ et le diviseur $2(0) + 3$.

   Correction

   Le seul cas restant est $n = 0$. Pour $n = 0$, $A(0) = 31$ et le diviseur vaut $2(0) + 3 = 3$. La division euclidienne de $31$ par $3$ donne $31 = 3 \times 10 + 1$. Le quotient est donc $10$ et le reste est $1$.

On considère les entiers naturels $4662$ et $450$.

Pour tout entier naturel non nul $k$, on définit le nombre réel $u_k$ par :
$$u_k = \frac{1}{k(k+1)}$$

1. 1). Décomposer les entiers $4662$ et $450$ en produits de facteurs premiers, puis déterminer leur $\text{PGCD}$.

   Indice — Détermine les facteurs premiers de chaque nombre en commençant par les plus petits diviseurs : $2, 3, 5, \dots$ puis identifie le produit de leurs facteurs communs munis de leur plus petit exposant.

   Correction

   On décompose chaque nombre en facteurs premiers :
   $4662 = 2 \times 3^2 \times 7 \times 37$
   $450 = 2 \times 3^2 \times 5^2$

   Le $\text{PGCD}$ est le produit des facteurs premiers communs avec leurs plus petits exposants : $\text{PGCD}(4662, 450) = 2 \times 3^2 = 18$.

2. 2)a). Déterminer les valeurs exactes de $u_1$ and $u_2$.

   Indice — Remplace la variable $k$ par $1$ puis par $2$ dans l'expression de $u_k$.

   Correction

   En calculant directement pour $k = 1$ et $k = 2$ :
   $u_1 = \frac{1}{1(1+1)} = \frac{1}{2}$
   $u_2 = \frac{1}{2(2+1)} = \frac{1}{6}$

3. 2)b). Montrer que pour tout entier naturel non nul $k$, on a :
   $$u_k = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$$

   Indice — Effectue la différence des deux fractions $\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k+1}$ en les réduisant au même dénominateur.

   Correction

   En réduisant au même dénominateur :
   $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} = \frac{(k+1) - k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)} = u_k$
   L'égalité est donc bien vérifiée pour tout $k \ge 1$.

4. 2)c). Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$. Écrire le développement de $S_n$ sous forme d'une somme étendue en utilisant l'égalité obtenue à la question 2)b).

   Indice — Écris explicitement la somme $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ en remplaçant chaque terme par la différence établie à la question précédente.

   Correction

   En utilisant le résultat de la question 2)b), on remplace chaque terme $u_k$ par $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ :
   $S_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

5. 2)d). En déduire que pour tout entier naturel non nul $n$, on a :
   $$S_n = \frac{n}{n+1}$$

   Indice — Observe la simplification mutuelle des termes consécutifs opposés au sein de la somme développée.

   Correction

   Par simplification télescopique des termes consécutifs, la somme développée se réduit au premier et au dernier terme : $S_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

6. 3)a). Déterminer la valeur de $S_{74}$ sous forme de fraction irréductible, puis préciser si $S_{74}$ appartient à l'ensemble des nombres décimaux $\mathbb{D}$.

   Indice — Exprime $S_{74}$ sous forme de fraction, vérifie son irréductibilité, puis analyse les facteurs premiers de son dénominateur.

   Correction

   En appliquant la formule précédente pour $n = 74$, on obtient $S_{74} = \frac{74}{75}$.

   $74$ et $75$ sont deux entiers consécutifs, ils sont donc premiers entre eux et la fraction est irréductible. La décomposition en facteurs premiers du dénominateur est $75 = 3 \times 5^2$. Il contient le facteur $3$ (autre que $2$ et $5$), donc $S_{74} \notin \mathbb{D}$.

7. 3)b). On considère le nombre $Z$ défini par :
   $$Z = \frac{63}{6} \times S_{74}$$
   Exprimer $Z$ sous la forme d'une fraction unique $\dfrac{P}{Q}$ où $P$ et $Q$ sont des entiers naturels à déterminer.

   Indice — Calcule le produit des deux fractions sans chercher à simplifier les termes au numérateur et au dénominateur.

   Correction

   On calcule directement le produit des fractions :
   $$Z = \frac{63}{6} \times \frac{74}{75} = \frac{63 \times 74}{6 \times 75} = \frac{4662}{450}$$

   D'où $P = 4662$ et $Q = 450$.

8. 3)c). Le nombre $Z$ appartient-il à l'ensemble des nombres décimaux $\mathbb{D}$ ? Justifier rigoureusement la réponse.

   Indice — Pense à simplifier la fraction $\dfrac{P}{Q}$ à l'aide du résultat de la question 1) avant d'étudier la nature de son dénominateur.

   Correction

   On simplifie la fraction $Z = \frac{4662}{450}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD $18$ :
   $$Z = \frac{259}{25}$$

   Le dénominateur simplifié s'écrit $25 = 5^2$. Sa décomposition ne comporte que le facteur premier $5$, donc $Z \in \mathbb{D}$ (on a d'ailleurs $Z = 10{,}36$).

On considère les trois nombres réels $A$, $B$ et $C$ définis par :

$$A = \frac{\frac{5}{4} - \frac{2}{3}}{\frac{7}{6} \times 5}$$

$$B = \sqrt{180} - 3\sqrt{45} + 2\sqrt{20}$$

$$C = \frac{3 \times (10^2)^4 \times 7 \times 10^{-12}}{35 \times 10^{-3}}$$

1. 1. Calculer le numérateur de $A$, noté $N_A = \frac{5}{4} - \frac{2}{3}$, en le mettant sous la forme d'une fraction irréductible.

   Indice — Pense à trouver un dénominateur commun pour les fractions $\frac{5}{4}$ et $\frac{2}{3}$.

   Correction

   Pour soustraire $\frac{5}{4}$ et $\frac{2}{3}$, on les réduit au même dénominateur $12$ :
   $N_A = \frac{5 \times 3}{4 \times 3} - \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{15}{12} - \frac{8}{12} = \frac{7}{12}$.

2. 2. Simplifier le dénominateur de $A$, noté $D_A = \frac{7}{6} \times 5$, sous la forme d'une fraction irréductible.

   Indice — Rappelle-toi que multiplier une fraction par un entier revient à multiplier uniquement son numérateur par cet entier.

   Correction

   Pour multiplier une fraction par un entier, on multiplie le numérateur par cet entier :
   $D_A = \frac{7 \times 5}{6} = \frac{35}{6}$.

3. 3. En déduire l'écriture du nombre $A$ sous la forme d'une fraction irréductible.

   Indice — Pour diviser deux fractions, multiplie la première fraction par l'inverse de la seconde.

   Correction

   On calcule $A = \frac{N_A}{D_A}$ en multipliant $N_A$ par l'inverse de $D_A$ :
   $A = \frac{7}{12} \times \frac{6}{35} = \frac{7 \times 6}{12 \times 35} = \frac{7 \times 6}{(2 \times 6) \times (5 \times 7)} = \frac{1}{10}$.

4. 4. Pour le nombre $B$, écrire chacun des termes $\sqrt{180}$, $3\sqrt{45}$ et $2\sqrt{20}$ sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier.

   Indice — Décompose chaque nombre sous la racine en un produit contenant le carré parfait le plus grand possible (comme $4$, $9$ ou $36$).

   Correction

   On extrait les carrés parfaits sous les radicaux :
   • $\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}$
   • $3\sqrt{45} = 3\sqrt{9 \times 5} = 3 \times 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$
   • $2\sqrt{20} = 2\sqrt{4 \times 5} = 2 \times 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.

5. 5. En déduire une écriture simplifiée de $B$ sous la forme $b\sqrt{5}$ où $b$ est un entier relatif.

   Indice — Utilise la distributivité pour regrouper les coefficients devant $\sqrt{5}$ et simplifier l'expression.

   Correction

   En factorisant par $\sqrt{5}$, on obtient $B = (6 - 9 + 4)\sqrt{5} = 1\sqrt{5} = \sqrt{5}$ (soit $b = 1$).

6. 6. Pour le nombre $C$, exprimer sa formule sous la forme d'un produit de deux fractions : une fraction contenant uniquement les facteurs numériques et une fraction contenant uniquement les puissances de dix.

   Indice — Regroupe d'un côté les nombres entiers $3$, $7$ et $35$, et de l'autre les puissances de $10$ sous forme de deux fractions distinctes.

   Correction

   En regroupant les facteurs, l'expression de $C$ se sépare ainsi : $C = \left(\frac{3 \times 7}{35}\right) \times \left(\frac{(10^2)^4 \times 10^{-12}}{10^{-3}}\right)$.

7. 7. Simplifier la fraction numérique obtenue à la question précédente, puis calculer le produit des puissances de dix en appliquant les règles sur les exposants.

   Indice — Fais attention à la priorité de la puissance de puissance $(10^a)^b = 10^{a \times b}$ et applique rigoureusement les règles de produit et de quotient des puissances de dix.

   Correction

   – Fraction numérique : $\frac{3 \times 7}{35} = \frac{21}{35} = \frac{3}{5} = 0,6$.
   – Puissances de dix : $\frac{(10^2)^4 \times 10^{-12}}{10^{-3}} = \frac{10^8 \times 10^{-12}}{10^{-3}} = \frac{10^{-4}}{10^{-3}} = 10^{-1}$.
   Ainsi, $C = 0,6 \times 10^{-1}$.

8. 8. En déduire l'écriture scientifique du nombre $C$ sous la forme $d \times 10^k$ où $1 \le d < 10$ et $k \in \mathbb{Z}$.

   Indice — L'écriture scientifique exige un coefficient décimal compris entre $1$ (inclus) et $10$ (exclu). Ajuste l'exposant de la puissance de $10$ après avoir déplacé la virgule.

   Correction

   Comme $0,6 = 6 \times 10^{-1}$, on en déduit : $C = (6 \times 10^{-1}) \times 10^{-1} = 6 \times 10^{-2}$.

Dans le cadre de l'étude des enchaînements d'opérations et des propriétés arithmétiques, on considère les trois nombres réels $X$, $Y$ et $Z$ définis par :

$$X = \frac{2 - \frac{3}{4}}{\frac{5}{6} \times 3}$$

$$Y = \sqrt{180} - 3\sqrt{45} + X\sqrt{80}$$

$$Z = \frac{Y^2 \times (10^2)^4 \times 48 \times 10^{-6}}{0,15 \times 10^{-3}}$$

1. 1. Calculer séparément le numérateur $N = 2 - \frac{3}{4}$ et le dénominateur $D = \frac{5}{6} \times 3$ de l'expression de $X$.

   Indice — Calcule séparément le numérateur en mettant au même dénominateur, puis simplifie le produit au dénominateur avant d'effectuer la division.

   Correction

   Pour le numérateur $N$, on met au même dénominateur :
   $$N = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$$

   Pour le dénominateur $D$, on simplifie le produit de fractions en simplifiant par $3$ :
   $$D = \frac{5 \times 3}{6} = \frac{5}{2}$$

2. 2. En déduire que le nombre $X$ est égal à la fraction irréductible $\frac{1}{2}$.

   Indice — Rappelle-toi que diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. Simplifie ensuite la fraction obtenue.

   Correction

   On utilise la règle de division des fractions : diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
   $$X = \frac{N}{D} = \frac{5}{4} \times \frac{2}{5}$$

   En simplifiant par $5$ au numérateur et au dénominateur, on obtient :
   $$X = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

3. 3. Décomposer les nombres $180$, $45$ et $80$ sous les radicaux de l'expression de $Y$ sous la forme $k^2 \times 5$, où $k$ est un entier naturel.

   Indice — Cherche le plus grand carré parfait (comme 9, 16, 36...) qui divise chacun des nombres sous la racine.

   Correction

   On décompose chaque nombre sous la racine en identifiant le plus grand carré parfait multiple de $5$ :
   - Pour $180$ : $180 = 36 \times 5 = 6^2 \times 5$
   - Pour $45$ : $45 = 9 \times 5 = 3^2 \times 5$
   - Pour $80$ : $80 = 16 \times 5 = 4^2 \times 5$

4. 4. En utilisant la valeur de $X$ obtenue à la question 2, simplifier l'expression de $Y$ pour l'écrire sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier relatif.

   Indice — Remplace $X$ par la valeur trouvée à la question 2, puis utilise la règle $\sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b}$ pour réduire l'expression.

   Correction

   En utilisant la propriété des radicaux $\sqrt{a^2 \times b} = a\sqrt{b}$ et en remplaçant $X$ par $\frac{1}{2}$, on réécrit $Y$ :
   $$Y = 6\sqrt{5} - 3 \times 3\sqrt{5} + \frac{1}{2} \times 4\sqrt{5}$$
   $$Y = 6\sqrt{5} - 9\sqrt{5} + 2\sqrt{5}$$

   En factorisant par $\sqrt{5}$, on obtient :
   $$Y = (6 - 9 + 2)\sqrt{5} = -\sqrt{5}$$

   L'expression est de la forme $a\sqrt{5}$ avec $a = -1$.

5. 5. Montrer que $Y^2 = 5$, puis réécrire l'expression de $Z$ en séparant les facteurs entiers et les puissances de $10$, en remplaçant notamment $0,15$ par $15 \times 10^{-2}$.

   Indice — Calcule d'abord le carré de $Y$ en faisant attention au signe, puis écris le nombre décimal $0,15$ sous la forme $15 \times 10^p$ avec $p$ un entier négatif.

   Correction

   En utilisant le résultat des questions précédentes, on a $Y = -\sqrt{5}$. Ainsi, son carré vaut $Y^2 = (-\sqrt{5})^2 = 5$.

   En substituant cette valeur et en remplaçant $0,15$ par $15 \times 10^{-2}$ dans l'expression de $Z$, on sépare les facteurs entiers et les puissances de $10$ :
   $$Z = \frac{5 \times 48}{15} \times \frac{(10^2)^4 \times 10^{-6}}{10^{-2} \times 10^{-3}}$$

6. 6. Simplifier le quotient des nombres entiers de l'expression de $Z$, puis regrouper toutes les puissances de $10$ du numérateur et du dénominateur.

   Indice — Applique la règle de priorité $(10^n)^m = 10^{n \times m}$ pour simplifier le terme piégé, puis regroupe toutes les puissances de 10 en utilisant la formule $\frac{10^a \times 10^b}{10^c \times 10^d}$.

   Correction

   On simplifie d'une part le quotient des nombres entiers :
   $$\frac{5 \times 48}{15} = \frac{48}{3} = 16$$

   On regroupe d'autre part les puissances de $10$ en appliquant les règles de calcul sur les exposants :
   - Au numérateur : $(10^2)^4 \times 10^{-6} = 10^8 \times 10^{-6} = 10^2$
   - Au dénominateur : $10^{-2} \times 10^{-3} = 10^{-5}$

   Le quotient des puissances de $10$ est donc :
   $$\frac{10^2}{10^{-5}} = 10^{2 - (-5)} = 10^7$$

7. 7. En déduire que $Z$ s'écrit sous la forme $16 \times 10^7$, puis donner son écriture scientifique.

   Indice — Déplace la virgule pour obtenir un nombre compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu), puis ajuste l'exposant de la puissance de 10 pour compenser ce déplacement.

   Correction

   En associant les résultats de la simplification précédente, on obtient immédiatement la forme demandée :
   $$Z = 16 \times 10^7$$

   Pour obtenir l'écriture scientifique, on transforme le facteur $16$ en un nombre compris entre $1$ et $10$ exclu :
   $$Z = 1,6 \times 10^1 \times 10^7 = 1,6 \times 10^8$$

8. 8. Déterminer la nature du nombre $Z$ (entier, décimal non entier, ou rationnel non décimal) en justifiant soigneusement votre réponse.

   Indice — Écris le nombre $Z$ sous sa forme décimale complète (sans puissance de 10) pour déterminer à quel ensemble de nombres le plus restreint il appartient.

   Correction

   En développant l'écriture de $Z$, on obtient :
   $$Z = 1,6 \times 10^8 = 160\,000\,000$$

   Ce nombre ne comporte aucune partie décimale non nulle après la virgule. $Z$ est donc un nombre entier naturel.

Pour tout entier naturel $n$, on considère le nombre rationnel $A(n)$ défini par :
$$A(n) = \frac{2n+17}{n+1}$$

1. 1). Déterminer les valeurs de $A(n)$ pour $n \in \{0, 1, 2, 3\}$ et préciser, pour chacune d'elles, si elle appartient à $\mathbb{N}$.

   Indice — Calcule $A(n)$ pour chaque valeur proposée et vérifie si le résultat est un entier naturel.

   Correction

   On calcule $A(n)$ pour chaque valeur :
   - Pour $n = 0$ : $A(0) = \dfrac{17}{1} = 17 \in \mathbb{N}$.
   - Pour $n = 1$ : $A(1) = \dfrac{19}{2} \notin \mathbb{N}$.
   - Pour $n = 2$ : $A(2) = \dfrac{21}{3} = 7 \in \mathbb{N}$.
   - Pour $n = 3$ : $A(3) = \dfrac{23}{4} \notin \mathbb{N}$.

2. 2). Écrire $A(100)$ sous forme de fraction irréductible. Expliquer pourquoi la recherche de toutes les valeurs de $n$ telles que $A(n) \in \mathbb{N}$ ne peut pas se faire uniquement par des tests successifs.

   Indice — Pense à la nature de l'ensemble $\mathbb{N}$ : est-il possible de tester toutes ses valeurs une par une ?

   Correction

   Pour $n = 100$, $A(100) = \dfrac{217}{101}$. Le nombre $101$ est premier et ne divise pas $217$, la fraction $\dfrac{217}{101}$ est donc irréductible.

   L'ensemble $\mathbb{N}$ est infini : il est donc impossible de tester toutes les valeurs une par une pour vérifier si $A(n)$ est un entier.

3. 3). Identifier l'obstacle algébrique présent dans l'expression de $A(n)$ qui empêche d'appliquer directement les critères de divisibilité usuels pour déterminer si $A(n)$ est un entier.

   Indice — Observe la position de la variable $n$ dans la fraction $\dfrac{2n+17}{n+1}$.

   Correction

   L'obstacle vient du fait que la variable $n$ apparaît à la fois au numérateur ($2n+17$) et au dénominateur ($n+1$). La valeur par laquelle on divise dépend elle-même de $n$, ce qui empêche l'application directe des critères de divisibilité classiques.

4. 4). Déterminer deux entiers $q$ et $r$ tels que, pour tout entier naturel $n$, on ait :
   $$2n+17 = q(n+1) + r$$

   Indice — Essaie d'exprimer le numérateur $2n+17$ en faisant apparaître le bloc du dénominateur $(n+1)$.

   Correction

   On cherche à faire apparaître le terme $(n+1)$ au numérateur :
   $$2n+17 = 2(n+1) + 15$$

   Par identification avec $q(n+1) + r$, on obtient les entiers $q = 2$ et $r = 15$.

5. 5). En déduire une nouvelle écriture de $A(n)$ sous la forme :
   $$A(n) = q + \frac{r}{n+1}$$

   Indice — Utilise la propriété de simplification des fractions : $\dfrac{a+b}{c} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}$.

   Correction

   On décompose le numérateur en faisant apparaître le dénominateur : $2n+17 = 2(n+1) + 15$. On en déduit $A(n) = \frac{2(n+1)}{n+1} + \frac{15}{n+1} = 2 + \frac{15}{n+1}$. Ainsi, $q = 2$ et $r = 15$.

6. 6). Justifier que la condition $A(n) \in \mathbb{N}$ équivaut à ce que $n+1$ appartienne à un ensemble de diviseurs que l'on précisera.

   Indice — Sachant que $q$ est un entier, à quelle condition sur le terme $\dfrac{r}{n+1}$ le nombre $A(n)$ est-il un entier ?

   Correction

   Puisque $2$ est un entier naturel, $A(n) = 2 + \frac{15}{n+1}$ appartient à $\mathbb{N}$ si et seulement si $\frac{15}{n+1}$ est un entier. Cela équivaut à ce que $n+1$ soit un diviseur positif de $15$ ($n+1 \in \mathcal{D}_{15}$).

7. 7). Déterminer alors l'ensemble de tous les entiers naturels $n$ pour lesquels $A(n)$ est un entier naturel.

   Indice — Détermine l'ensemble $D_{15}$ des diviseurs de $15$ dans $\mathbb{N}$, puis résous les équations associées pour trouver $n$.

   Correction

   L'ensemble des diviseurs de $15$ dans $\mathbb{N}$ est $\mathcal{D}_{15} = \{1, 3, 5, 15\}$. La condition $n+1 \in \mathcal{D}_{15}$ donne $n+1 \in \{1, 3, 5, 15\}$, ce qui équivaut à $n \in \{0, 2, 4, 14\}$.

8. 8). En s'inspirant de la démarche précédente, déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ pour lesquels le nombre $B(n) = \frac{4n+11}{2n+1}$ appartient à $\mathbb{N}$.

   Indice — Écris le numérateur $4n+11$ sous la forme $a(2n+1) + b$ en adaptant la méthode de la question 4.

   Correction

   On décompose $B(n)$ sous la forme $B(n) = \frac{2(2n+1) + 9}{2n+1} = 2 + \frac{9}{2n+1}$. Ainsi, $B(n) \in \mathbb{N} \iff 2n+1 \in \mathcal{D}_9 = \{1, 3, 9\}$. La résolution des équations $2n+1 = d$ donne $n \in \{0, 1, 4\}$.