Activités numériques I — exercices corrigés

On considère l'expression $A(x) = (x+4)^2 - (x-4)^2$ définie pour tout réel $x$.

1. 1)a). Montrer que, pour tout réel $x$ :
   $$A(x) = 16x$$

   Indice — Développe chaque carré en utilisant les identités remarquables $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$.

   Correction

   En développant à l'aide des identités remarquables $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$, on a :
   $$A(x) = (x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 8x + 16) = 16x$$

2. 1)b). En déduire la valeur du nombre $K$ défini par :
   $$K = 129^2 - 121^2$$

   Indice — Remplace $x$ par $125$ après avoir vérifié que $125+4 = 129$ et $125-4 = 121$.

   Correction

   En posant $x = 125$, on remarque que $129 = 125 + 4$ et $121 = 125 - 4$. L'expression s'écrit donc $K = A(125)$.

   D'après la question 1)a) :
   $$K = 16 \times 125 = 2000$$

3. 2)a). On pose :
   $$B = \frac{129^2 - 121^2}{80}$$

   Montrer que $B = 25$.

   Indice — Utilise la valeur de $K$ obtenue à la question précédente.

   Correction

   En remplaçant le numérateur par la valeur de $K$ calculée à la question 1)b), on obtient :
   $$B = \frac{2000}{80} = 25$$

4. 2)b). Écrire sous forme scientifique le nombre $C$ défini par :
   $$C = B \times 10^{-4}$$

   Indice — Écris d'abord $25$ sous la forme $a \times 10^1$ avec $1 \leq a < 10$.

   Correction

   En écrivant $25$ sous la forme $2{,}5 \times 10^1$, on a :
   $$C = 2{,}5 \times 10^1 \times 10^{-4} = 2{,}5 \times 10^{-3}$$

5. 3)a). On considère le nombre entier $N_x = \overline{79x45}$, où $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Exprimer en fonction de $x$ et de $B$ la somme des chiffres de $N_x$.

   Indice — Calcule $7 + 9 + 4 + 5$ et exprime le résultat sous la forme $B + x$.

   Correction

   La somme des chiffres du nombre $N_x$ est $7 + 9 + x + 4 + 5 = 25 + x$. En identifiant $B = 25$, la somme s'écrit $B + x$.

6. 3)b). Montrer que $N_x$ est divisible par $9$ si et seulement si $x = 2$.

   Indice — La somme des chiffres vaut $25 + x$. Puisque $0 \leq x \leq 9$, cherche le seul multiple de $9$ compris entre $25$ et $34$.

   Correction

   Un entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres l'est. Or, $0 \leq x \leq 9$ implique $25 \leq 25 + x \leq 34$. Le seul multiple de $9$ compris entre $25$ et $34$ est $27$. L'égalité $25 + x = 27$ équivaut à $x = 2$.

7. 3)c). Pour $x = 2$, on obtient le nombre $N_2 = 79245$. • Vérifier si $N_2$ est divisible par $4$. • En déduire si $N_2$ est divisible par $36$.

   Indice — Examine les deux derniers chiffres de $N_2$ pour la divisibilité par $4$, puis rappelle-toi qu'un nombre est divisible par $36$ s'il est divisible à la fois par $4$ et par $9$.

   Correction

   • Un entier est divisible par $4$ si le nombre formé par ses deux derniers chiffres l'est. Pour $N_2 = 79245$, les deux derniers chiffres forment $45$, qui n'est pas divisible par $4$. Donc $N_2$ n'est pas divisible par $4$.
   • Comme $36 = 9 \times 4$ avec $9$ et $4$ premiers entre eux, un nombre est divisible par $36$ si et seulement s'il est divisible à la fois par $9$ et par $4$. $N_2$ n'étant pas divisible par $4$, il n'est pas divisible par $36$.

Soit $n \in \mathbb{N}$. On pose :
$$A = 8n + 19 \quad \text{et} \quad B = 8n + 3$$

1. 1. Calculer les valeurs de $A$ et de $B$ pour $n = 1$.

   Indice — Remplacer $n$ par $1$ dans les expressions de $A$ et de $B$.

   Correction

   Pour $n = 1$ :
   $A = 8 \times 1 + 19 = 27$
   $B = 8 \times 1 + 3 = 11$

2. 2. Développer et simplifier l'expression $A - B$.

   Indice — Écrire $(8n + 19) - (8n + 3)$ en faisant attention aux parenthèses.

   Correction

   On a $A - B = (8n + 19) - (8n + 3) = 8n + 19 - 8n - 3 = 16$.

3. 3. Montrer que $A - B$ est un multiple de $8$.

   Indice — Que vaut $\dfrac{A - B}{8}$ d'après le calcul précédent ?

   Correction

   D'après la question précédente, $A - B = 16$. Comme $16 = 8 \times 2$, $A - B$ est un multiple de $8$.

4. 4. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $19$ par $8$.

   Indice — Trouver l'entier $q$ tel que $19 = 8q + r$ avec $0 \le r < 8$.

   Correction

   On écrit $19 = 8 \times 2 + 3$, où $0 \le 3 < 8$. Le quotient de la division euclidienne est donc $2$ et le reste est $3$.

5. 5. En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
   $$A = 8(n + 2) + 3$$

   Indice — Remplacer $19$ par $8 \times 2 + 3$ dans l'expression $8n + 19$, puis mettre $8$ en facteur.

   Correction

   On décompose $19$ sous la forme $16 + 3 = 8 \times 2 + 3$.

   En remplaçant dans l'expression de $A$ et en factorisant par $8$, on obtient :
   $$A = 8n + 8 \times 2 + 3 = 8(n + 2) + 3$$

6. 6. En déduire le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $8$.

   Indice — Comparer l'égalité obtenue à la forme générale $A = 8q + r$ en vérifiant la condition sur $r$.

   Correction

   L'écriture $A = 8(n + 2) + 3$ est de la forme $A = 8q + r$.

   Comme $n \in \mathbb{N}$, on a $n + 2 \in \mathbb{N}$, et l'entier $3$ vérifie bien la condition $0 \le 3 < 8$. Par unicité de la division euclidienne, le quotient de $A$ par $8$ est $n + 2$ et le reste est $3$.

On considère l'expression $A = \frac{3-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}\times 7}$.

1. 1. Calculer le numérateur de l'expression $A$ : $$3 - \frac{2}{3}$$

   Indice — Pour additionner ou soustraire des fractions, commence par réduire au même dénominateur.

   Correction

   Pour calculer le numérateur, on réduit les termes au même dénominateur : $3 = \frac{9}{3}$. On obtient alors : $3 - \frac{2}{3} = \frac{9}{3} - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$.

2. 2. Calculer le dénominateur de l'expression $A$ : $$\frac{4}{3} \times 7$$

   Indice — Effectue le produit des fractions et des nombres entiers au dénominateur en écrivant $7$ sous la forme $\frac{7}{1}$.

   Correction

   Pour calculer le dénominateur, on écrit l'entier $7$ sous forme de fraction $\frac{7}{1}$, puis on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{4}{3} \times \frac{7}{1} = \frac{4 \times 7}{3 \times 1} = \frac{28}{3}$.

3. 3. Écrire le nombre $A$ sous la forme d'une fraction irréductible.

   Indice — Pour diviser deux fractions, multiplie la fraction du numérateur par l'inverse de la fraction du dénominateur, puis simplifie si possible.

   Correction

   En utilisant les résultats précédents, $A$ s'écrit sous la forme du quotient de deux fractions : $A = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{28}{3}}$. En multipliant le numérateur par l'inverse du dénominateur, on obtient : $A = \frac{7}{3} \times \frac{3}{28} = \frac{7}{28}$. Après simplification par $7$, on trouve la fraction irréductible : $A = \frac{1}{4}$.

4. 4. Soit $C = A \times \frac{49 \times 10^3 \times 6 \times 10^{-10}}{14 \times 10^{-2}}$. Calculer la valeur de $C$.

   Indice — Rappelle-toi des règles sur les puissances de dix : pour multiplier des puissances de dix, on additionne leurs exposants.

   Correction

   En remplaçant $A$ par $\frac{1}{4}$ et en regroupant les coefficients d'une part et les puissances de $10$ d'autre part au numérateur, on calcule le produit : $49 \times 6 = 294$, et pour les puissances de $10$ : $10^3 \times 10^{-10} = 10^{3 + (-10)} = 10^{-7}$. Le numérateur devient donc $294 \times 10^{-7}$. Le calcul complet donne $C = \frac{1}{4} \times \frac{294 \times 10^{-7}}{14 \times 10^{-2}} = \frac{1}{4} \times 21 \times 10^{-5} = 5{,}25 \times 10^{-5}$.

5. 5. Donner l'écriture scientifique du nombre $C$.

   Indice — Pour obtenir une écriture scientifique sous la forme $a \times 10^k$, le nombre $a$ doit vérifier $1 \le a < 10$.

   Correction

   Pour exprimer le nombre $C$ sous forme d'écriture scientifique $a \times 10^k$, on applique les règles sur les puissances de 10 afin d'isoler un coefficient décimal $a$ tel que $1 \le a < 10$. On obtient $C = 5{,}25 \times 10^{-5}$.

Soit un système cyclique de $5$ branches numérotées de $1$ à $5$ sur lequel se déplace un mobile à des étapes $n \in \{1\,;\,\dots\,;\,50\}$. La position spatiale $S(n) \in \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\}$ est déterminée par le reste de la division euclidienne de $n$ par $5$, avec la convention que le reste nul correspond à la cinquième branche.

1. 1. On considère un système cyclique de $5$ branches numérotées de $1$ à $5$. Pour tout entier $n \in \{1\,;\,\dots\,;\,50\}$, on note $r$ le reste de la division euclidienne de $n$ par $5$. Montrer que l'égalité $S(n) = 5$ caractérisant la position sur la cinquième branche équivaut à $r = 0$, et que $n$ est un multiple de $5$.

   Indice — Écris la division euclidienne de $n$ par $5$ en précisant l'ensemble des restes possibles, puis examine le cas où le secteur atteint sa valeur maximale.

   Correction

   Par définition, $S(n)$ correspond au reste $r$ de la division euclidienne de $n$ par $5$, avec la convention que $r = 0$ équivaut à $S(n) = 5$. L'égalité $S(n) = 5$ implique donc directement $r = 0$. Un reste nul dans la division par $5$ signifie que $n = 5k$ pour un entier $k \in \mathbb{N}^*$, ce qui prouve que $n$ est un multiple de $5$.

2. 2. Déterminer l'ensemble $E_1$ des entiers $n \in \{1\,;\,\dots\,;\,50\}$ situés sur la cinquième branche.

   Indice — Exprime l'ensemble des entiers de l'intervalle vérifiant la condition de la question précédente à l'aide d'un multiple entier strictement positif.

   Correction

   D'après la question 1, les éléments de $E_1$ sont les multiples de $5$ compris entre $1$ et $50$. On cherche donc $n = 5k$ avec $1 \le 5k \le 50$, soit $1 \le k \le 10$. Ainsi, $E_1 = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50\}$.

3. 3. Montrer que la condition « $2n + 1$ est un multiple de $3$ » équivaut à l'existence d'un entier $m \in \mathbb{N}$ tel que $n = 3m + 1$.

   Indice — Traduis le fait qu'un nombre est un multiple de $3$ en écrivant son expression algébrique avec un entier de $\mathbb{N}$.

   Correction

   L'affirmation « $2n + 1$ est un multiple de $3$ » s'écrit $2n + 1 \equiv 0 \pmod 3$. En simplifiant modulo $3$, on a $-n + 1 \equiv 0 \pmod 3$, c'est-à-dire $n \equiv 1 \pmod 3$. Cela équivaut à l'existence d'un entier $m \in \mathbb{N}$ tel que $n = 3m + 1$.

4. 4. Montrer que $n$ satisfait simultanément les deux conditions si et seulement si $5k = 3m + 1$ pour $k \in \mathbb{N}^*$ et $m \in \mathbb{N}$.

   Indice — Écris l'égalité en combinant la condition d'appartenance à la branche $5$ et la condition arithmétique de la question précédente.

   Correction

   D'après les questions 1 et 3, la première condition équivaut à $n = 5k$ ($k \in \mathbb{N}^*$) et la seconde à $n = 3m + 1$ ($m \in \mathbb{N}$). Le nombre $n$ satisfait donc simultanément les deux conditions si et seulement si ces deux expressions de $n$ sont égales, soit $5k = 3m + 1$.

5. 5. Déterminer l'expression générale de l'étape $n$ en fonction d'un paramètre entier $p \in \mathbb{N}$ en résolvant l'égalité précédente.

   Indice — Exprime $5k$ modulo $3$ pour en déduire la forme générale de $k$ à l'aide d'un nouveau paramètre entier.

   Correction

   En traduisant la condition précédente sous forme d'une équation diophantienne linéaire et en appliquant le théorème de Bézout ou en inversant le coefficient modulo $5$, on exprime $n$ en fonction d'un paramètre entier $p \in \mathbb{N}$. On obtient la forme générale $n = 5p + r$, où $r$ est la valeur fixée par les questions précédentes.

6. 6. Déterminer l'ensemble explicite des valeurs de $n \in \{1\,;\,\dots\,;\,50\}$ vérifiant simultanément toutes les conditions.

   Indice — Encadre l'expression générale de $n$ obtenue par les bornes $1$ et $50$, puis liste les valeurs entières possibles du paramètre.

   Correction

   En remplaçant l'expression générale de $n$ obtenue précédemment par $5p + r$ et en l'encadrant par les bornes $1$ et $50$, on résout l'inadéquation pour déterminer les valeurs admissibles du paramètre entier $p$. En injectant ces valeurs dans l'expression de $n$, on obtient l'ensemble explicite des solutions recherchées.

On veut recouvrir entièrement le sol d'une pièce rectangulaire de dimensions $360\text{ cm}$ sur $252\text{ cm}$ à l'aide de dalles carrées identiques de côté $d$, où $d \in \mathbb{N}^*$, sans aucune découpe.

1. 1). Écrire les entiers $360$ et $252$ sous forme de produit de facteurs premiers.

   Indice — Divise successivement par les premiers nombres premiers : $2$, $3$, $5$, $7$.

   Correction

   Par divisions successives par les premiers nombres premiers, on obtient les décompositions suivantes :
   - $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$
   - $252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$

2. 2). Calculer :
   • $\operatorname{PGCD}(360, 252)$
   • $\operatorname{PPCM}(360, 252)$

   Indice — Identifie les facteurs communs avec les plus petits exposants pour le PGCD, et tous les facteurs avec les plus grands exposants pour le PPCM.

   Correction

   En utilisant la décomposition en facteurs premiers de la question précédente :
   - Pour le PGCD, on prend les facteurs communs avec le plus petit exposant : $\operatorname{PGCD}(360, 252) = 2^2 \times 3^2 = 36$.
   - Pour le PPCM, on prend tous les facteurs avec le plus grand exposant : $\operatorname{PPCM}(360, 252) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520$.

3. 3). Montrer que le côté $d$ est un diviseur commun à $360$ et $252$.

   Indice — Pour qu'aucune découpe ne soit nécessaire, quelle relation doit exister entre $d$ et chacune des dimensions de la pièce ?

   Correction

   Pour poser un nombre entier de dalles sans aucune découpe, la longueur de la pièce doit être un multiple de $d$, c'est-à-dire que $d$ divise $360$. De même pour la largeur, $d$ doit diviser $252$. $d$ est donc un diviseur commun à $360$ et $252$.

4. 4). Exprimer en fonction de $d$ le nombre total de dalles $N(d)$ nécessaires pour recouvrir le sol.

   Indice — Exprime le nombre de dalles sur la longueur et sur la largeur, puis effectue leur produit.

   Correction

   Le nombre de dalles sur la longueur est $\frac{360}{d}$ et sur la largeur $\frac{252}{d}$. Le nombre total de dalles nécessaires est la surface totale divisée par la surface d'une dalle : $N(d) = \frac{360}{d} \times \frac{252}{d} = \frac{90\,720}{d^2}$.

5. 5). Déterminer la valeur du côté $d$ pour laquelle le nombre de dalles $N(d)$ est minimal, puis calculer ce nombre minimal.

   Indice — Compare la variation de $N(d) = \dfrac{90720}{d^2}$ avec la taille de $d$ : pour rendre le quotient minimal, comment doit être le dénominateur $d$ parmi les diviseurs communs ?

   Correction

   Le nombre de dalles est donné par $N(d) = \dfrac{90720}{d^2}$. Pour minimiser $N(d)$, il faut rendre $d$ le plus grand possible. Comme $d$ est un diviseur commun à $360$ et $252$, sa valeur maximale est $\operatorname{PGCD}(360, 252) = 36\text{ cm}$. Le nombre minimal de dalles est alors $N(36) = \dfrac{360}{36} \times \dfrac{252}{36} = 10 \times 7 = 70$ dalles.

6. 6). On suppose que le nombre total de dalles ne doit pas dépasser $300$. Montrer que $d \ge 18$.

   Indice — Résous l'inéquation $\dfrac{90720}{d^2} \le 300$ pour obtenir une condition sur $d^2$, puis sur l'entier $d$.

   Correction

   La condition $N(d) \le 300$ s'écrit $\dfrac{90720}{d^2} \le 300$, d'où $d^2 \ge \dfrac{90720}{300} = 302{,}4$. Comme $d$ est un entier positif et que $\sqrt{302{,}4} \approx 17{,}39$, on en deduit que $d \ge 18$.

7. 7). Déterminer toutes les valeurs possibles du côté $d$ telles que $N(d) \le 300$.

   Indice — Dresse la liste de tous les diviseurs de $\operatorname{PGCD}(360, 252)$ et sélectionne ceux qui vérifient la condition issue de la question précédente.

   Correction

   Les valeurs de $d$ doivent être des diviseurs de $\operatorname{PGCD}(360, 252) = 36$ vérifiant $d \ge 18$. La liste des diviseurs de $36$ est $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$. Les seules valeurs retenues sont donc $d = 18\text{ cm}$ et $d = 36\text{ cm}$.