ACTIVITÉS NUMÉRIQUES II — exercices corrigés

On étudie l'effet de la position des parenthèses et de la parité des exposants sur le signe des puissances de réels, puis on applique ces règles à la simplification d'un quotient.

1. 1). Calculer les nombres $(-2)^4$ et $-2^4$.

   Indice — Quelle est la différence de structure entre $(-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2)$ et $-(2^4)$ ?

   Correction

   Pour $(-2)^4$, les parenthèses indiquent que la base est $-2$. L'exposant $4$ étant pair, le produit comporte un nombre pair de facteurs négatifs, d'où $(-2)^4 = 2^4 = 16$.
   Pour $-2^4$, le signe est extérieur à la puissance : $-2^4 = -(2^4) = -16$.

2. 2). Calculer les nombres $(-3)^3$ et $-3^2$.

   Indice — Quelle est la différence de structure entre $(-3) \times (-3) \times (-3)$ et $-(3 \times 3)$ ?

   Correction

   Pour $(-3)^3$, la base est $-3$ et l'exposant $3$ est impair, donc le résultat reste négatif : $(-3)^3 = -(3^3) = -27$.
   Pour $-3^2$, le signe n'est pas affecté par le carré : $-3^2 = -(3^2) = -9$.

3. 3). Calculer les nombres $(-5)^{-2}$ et $-5^{-2}$.

   Indice — Que vaut $\dfrac{1}{(-5)^2}$ comparé à $-\dfrac{1}{5^2}$ ?

   Correction

   On utilise la règle des exposants négatifs $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ :
   - Pour $(-5)^{-2}$, la base est $-5$. L'exposant $2$ étant pair, $(-5)^{-2} = \dfrac{1}{(-5)^2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}$ (ou $5^{-2}$).
   - Pour $-5^{-2}$, le signe est devant le calcul : $-5^{-2} = -\dfrac{1}{5^2} = -\dfrac{1}{25}$ (ou $-5^{-2}$).

4. 4). On considère les expressions $N$ et $D$ définies par :

   $$N = (-2)^4 \times (-3)^3 \times (-5)^{-2} \quad \text{et} \quad D = -2^4 \times (-3)^2 \times 5^{-2}$$

   En utilisant les résultats des questions 1, 2 et 3, écrire $N$ et $D$ sous la forme d'un produit d'un signe ( $+$ ou $-$ ) et de puissances des entiers $2$, $3$ et $5$.

   Indice — Réécris chaque facteur de $N$ et $D$ à l'aide de son signe global et de sa puissance de base positive.

   Correction

   En isolant le signe de chaque facteur à l'aide des règles précédentes :
   - Pour $N$ : $(-2)^4 = +2^4$, $(-3)^3 = -3^3$ et $(-5)^{-2} = +5^{-2}$. Il y a un seul signe $-$, donc $N = -(2^4 \times 3^3 \times 5^{-2})$.
   - Pour $D$ : $-2^4 = -2^4$, $(-3)^2 = +3^2$ et $5^{-2} = +5^{-2}$. Il y a un seul signe $-$, donc $D = -(2^4 \times 3^2 \times 5^{-2})$.

5. 5). En déduire la valeur exacte sous la forme d'un nombre entier du quotient :

   $$E = \frac{N}{D}$$

   Indice — Que devient le quotient $\dfrac{- 2^4 \times 3^3 \times 5^{-2}}{- 2^4 \times 3^2 \times 5^{-2}}$ par simplification des puissances de même base ?

   Correction

   En simplifiant les facteurs communs au numérateur et au dénominateur ($-2^4$ et $5^{-2}$), l'expression se réduit à $E = \frac{3^3}{3^2}$. D'après la règle des quotients de puissances de même base $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$, on obtient $E = 3^{3-2} = 3$.

On considère deux réels $x$ et $y$ appartenant respectivement aux ensembles $x \in [-5\,;\,-2]$ et $y \in [-4\,;\,-1]$.

Pour tout entier naturel $n \ge 1$, on définit la suite d'expressions $A_n$ par $A_1 = -2x$ et la relation de récurrence :

$$A_{k+1} = -x \cdot A_k + y \quad \text{pour tout } k \ge 1$$

1. 1. Déterminer un encadrement du réel $-x$.

   Indice — Pour $a \le x \le b$, quelle est la position relative de $-b$, $-x$ et $-a$ ?

   Correction

   Comme $-5 \le x \le -2$, en multipliant par $-1$ et en inversant le sens des inégalités, on obtient $2 \le -x \le 5$.

2. 2. En déduire un encadrement du réel $A_1$.

   Indice — Rapproche l'expression de $A_1$ de la quantité $-x$ encadrée précédemment.

   Correction

   On sait que $A_1 = 2(-x)$. En multipliant l'encadrement $2 \le -x \le 5$ obtenu précédemment par $2 > 0$, on en déduit $4 \le A_1 \le 10$.

3. 3. Établir un encadrement du réel $-y$, puis en déduire un encadrement du produit $(-x)(-y)$.

   Indice — Vérifie le signe des bornes de $-x$ et de $-y$ avant d'effectuer la multiplication membre à membre.

   Correction

   De $-4 \le y \le -1$, on tire $1 \le -y \le 4$. Les quantités $-x$ et $-y$ étant toutes deux strictement positives, on multiplie les encadrements $2 \le -x \le 5$ et $1 \le -y \le 4$ membre à membre : $2 \times 1 \le (-x)(-y) \le 5 \times 4$, d'où $2 \le (-x)(-y) \le 20$.

4. 4. En déduire l'encadrement du produit $x \cdot y$.

   Indice — Que vaut l'expression $(-x)(-y)$ une fois développée ?

   Correction

   Par simplification du produit de deux nombres négatifs, $(-x)(-y) = x \cdot y$. L'encadrement de la question précédente donne directement $2 \le x \cdot y \le 20$.

5. 5. Soit $k \ge 1$. On suppose qu'il existe deux réels strictement positifs $m_k$ et $M_k$ tels que $m_k \le A_k \le M_k$. Déterminer le signe du réel $A_k$.

   Indice — Observe la position de $A_k$ par rapport au réel strictement positif $m_k$.

   Correction

   Puisque $m_k > 0$ et $A_k \ge m_k$, on en déduit directement que $A_k > 0$. Le réel $A_k$ est donc strictement positif.

6. 6. Établir un encadrement du produit $-x \cdot A_k$ en fonction de $m_k$ et $M_k$.

   Indice — Rapproche les encadrements à bornes positives $2 \le -x \le 5$ et $m_k \le A_k \le M_k$.

   Correction

   De $x \in [-5\,;\,-2]$, on tire $2 \le -x \le 5$. Les termes des encadrements $2 \le -x \le 5$ et $m_k \le A_k \le M_k$ étant tous strictement positifs, le produit membre à membre donne : $2m_k \le -x \cdot A_k \le 5M_k$.

7. 7. En déduire un encadrement de $A_{k+1}$ sous la forme $m_{k+1} \le A_{k+1} \le M_{k+1}$ où $m_{k+1}$ et $M_{k+1}$ sont exprimés en fonction de $m_k$ et $M_k$.

   Indice — Considère la somme de l'encadrement de $-x \cdot A_k$ et de l'encadrement initial de $y$.

   Correction

   En somme membre à membre de l'encadrement précédent avec $-4 \le y \le -1$, on obtient $2m_k - 4 \le -x \cdot A_k + y \le 5M_k - 1$. D'où $m_{k+1} \le A_{k+1} \le M_{k+1}$ avec $m_{k+1} = 2m_k - 4$ et $M_{k+1} = 5M_k - 1$.

8. 8. Déterminer un encadrement du quotient $\dfrac{A_1}{-y}$.

   Indice — Écris $\dfrac{A_1}{-y}$ sous la forme $A_1 \times \dfrac{1}{-y}$ et détermine l'encadrement de l'inverse $\dfrac{1}{-y}$.

   Correction

   Comme $x \in [-5\,;\,-2]$, on a $4 \le A_1 \le 10$. De $y \in [-4\,;\,-1]$, on tire $1 \le -y \le 4$, soit $\frac{1}{4} \le \frac{1}{-y} \le 1$ par décroissance de la fonction inverse sur $]0\,;\,+\infty[$. Le produit membre à membre de ces deux encadrements à bornes positives donne $1 \le \dfrac{A_1}{-y} \le 10$.

On se propose d'étudier la validité de l'encadrement du produit de deux réels $x$ et $y$ lorsque $x$ est négatif et $y$ est positif.

**Partie A : Étude d'un cas particulier**
On considère deux réels $x$ et $y$ tels que $x \in [-5\,;\,-2]$ et $y \in [3\,;\,4]$.

**Partie B : Généralisation algébrique**
Soient $a, b, c$ et $d$ des réels fixés tels que $a \le x \le b < 0$ et $0 < c \le y \le d$.

1. 1)a). Calculer la valeur exacte du produit $xy$ et de l'expression $(-x)y$ pour les valeurs particulières $x = -5$ et $y = 4$.

   Indice — Calcule les deux produits $x \times y$ et $(-x) \times y$ pour $x = -5$ et $y = 4$.

   Correction

   Pour $x = -5$ et $y = 4$, on a :
   - $xy = (-5) \times 4 = -20$
   - $(-x)y = -(-5) \times 4 = 5 \times 4 = 20$

2. 1)b). Un élève propose d'encadrer le produit $xy$ en multipliant directement les bornes des deux intervalles, ce qui donne :
   $$-5 \times 3 \le xy \le -2 \times 4 \quad \text{soit} \quad xy \in [-15\,;\,-8]$$
   La valeur de $xy$ trouvée à la question 1)a) appartient-elle à cet intervalle ? Que peut-on en déduire concernant cette méthode directe ?

   Indice — Compare la valeur $-20$ aux bornes de l'intervalle $[-15\,;\,-8]$.

   Correction

   La valeur $xy = -20$ n'appartient pas à $[-15\,;\,-8]$ car $-20 < -15$. On en déduit que la méthode directe de multiplication borne à borne est incorrecte lorsque les nombres n'ont pas le même signe.

3. 1)c). Justifier que $2 \le -x \le 5$, puis en déduire un encadrement du produit $(-x)y$ lorsque $y \in [3\,;\,4]$.

   Indice — Que devient $-5 \le x \le -2$ en multipliant par $-1$ ? Multiplie ensuite par $3 \le y \le 4$.

   Correction

   En partant de $-5 \le x \le -2$, la multiplication par $-1$ change le sens des inégalités, d'où $2 \le -x \le 5$.

   Les quantités étant toutes positives ($2 \le -x \le 5$ et $3 \le y \le 4$), on multiplie les encadrements membre à membre : $2 \times 3 \le (-x)y \le 5 \times 4$, soit $6 \le (-x)y \le 20$.

4. 1)d). En déduire le véritable encadrement du produit $xy$. Comparer ses bornes à celles de l'intervalle candidate $[-15\,;\,-8]$ proposé à la question 1)b).

   Indice — Regarde la relation entre $xy$ et $(-x)y$ lors de la multiplication par $-1$.

   Correction

   Comme $xy = -((-x)y)$, on multiplie l'encadrement $6 \le (-x)y \le 20$ par $-1$ en inversant les bornes : $-20 \le xy \le -6$, soit $xy \in [-20\,;\,-6]$.

   Cet intervalle exact $[-20\,;\,-6]$ s'avère plus étendu et décalé par rapport à l'intervalle incorrect $[-15\,;\,-8]$.

5. 2)a). On considère désormais le cas général. Soient $a, b, c, d$ des réels tels que $a \le x \le b < 0$ et $0 < c \le y \le d$. Déterminer l'encadrement du réel strictement positif $-x$ en fonction de $a$ et $b$.

   Indice — Que provoque la multiplication par $-1$ sur le sens de la double inégalité $a \le x \le b$ ?

   Correction

   On utilise la règle de multiplication d'un encadrement par un nombre strictement négatif (ici $-1$), ce qui inverse le sens des inégalités. À partir de $a \le x \le b$, on obtient $-b \le -x \le -a$, où $-b$ et $-a$ sont deux réels strictement positifs.

6. 2)b). En déduire l'encadrement du produit $(-x)y$, puis établir l'encadrement exact de $xy$ en fonction des réels $a, b, c$ et $d$.

   Indice — Multiplie membre à membre les deux encadrements de nombres strictement positifs, puis prends l'opposé.

   Correction

   Les termes des encadrements $-b \le -x \le -a$ et $c \le y \le d$ étant tous strictement positifs, on les multiplie membre à membre pour obtenir $-bc \le -xy \le -ad$. En multipliant cet encadrement par $-1$ et en inversant à nouveau le sens des inégalités, on trouve $ad \le xy \le bc$.

7. 2)c). Démontrer que la borne supérieure naïve $b \times d$ est strictement inférieure à la vraie borne supérieure de $xy$ établie à la question 2)b).

   Indice — Que donne la multiplication de l'inégalité $c < d$ par le réel strictement négatif $b$ ?

   Correction

   La vraie borne supérieure de $xy$ obtenue en 2)b) est $bc$. On sait que $c < d$ et $b < 0$. En multipliant l'inégalité stricte $c < d$ par le réel négatif $b$, l'inégalité change de sens, ce qui donne $bc > bd$. La borne naïve $bd$ est donc bien strictement inférieure à la vraie borne supérieure $bc$.

On considère les expressions réelles suivantes $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ que l'on se propose de simplifier étape par étape.

1. 1. Calculer le nombre $A$ et l'écrire sous la forme d'une fraction irréductible :

   $$A = \frac{2 - \frac{3}{4}}{\frac{5}{4} \times 2}$$

   Indice — Commence par simplifier le numérateur et le dénominateur séparément avant d'effectuer la division des deux fractions. Attention à la priorité de la multiplication au dénominateur.

   Correction

   On simplifie d'abord séparément le numérateur et le dénominateur :
   - Numérateur : $2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$
   - Dénominateur : \frac{5}{4} \times 2 = \frac{5}{2}

   On divise ensuite la fraction du numérateur par celle du dénominateur :
   $$A = \frac{5}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{2}$$

2. 2. On considère le nombre $B = 32 \times A \times 10^{-3}$, où $A$ est le nombre obtenu à la question précédente. Donner l'écriture scientifique de $B$.

   Indice — Remplace $A$ par sa valeur simplifiée de la question 1, effectue le produit, puis écris le résultat sous la forme $a \times 10^k$ avec $1 \le a < 10$ et $k \in \mathbb{Z}$.

   Correction

   En remplaçant $A$ par sa valeur $\frac{1}{2}$, on obtient :
   $$B = 32 \times \frac{1}{2} \times 10^{-3} = 16 \times 10^{-3}$$

   Pour la forme scientifique $a \times 10^k$ avec $1 \le a < 10$, on écrit $16 = 1{,}6 \times 10^1$, d'où :
   $$B = 1{,}6 \times 10^{-2}$$

3. 3. Soit le nombre $C = \sqrt{75} - \sqrt{12} + \sqrt{48}$. Écrire $C$ sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un entier relatif.

   Indice — Attention, il est interdit d'additionner directement les nombres sous les racines ($\sqrt{x} + \sqrt{y} \neq \sqrt{x+y}$). Décompose chaque nombre sous la racine sous la forme $b^2 \times 3$ pour faire apparaître $\sqrt{3}$.

   Correction

   On extrait les carrés parfaits de chaque radical sous la forme $\sqrt{b^2 \times 3} = b\sqrt{3}$ :
   - $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$
   - $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$
   - $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$

   On effectue la somme :
   $$C = 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$$

4. 4. En utilisant la valeur de $C$ obtenue à la question 3), calculer le carré de $C$, noté $C^2$.

   Indice — Utilise la règle de calcul des puissances d'un produit : $(x \times y)^2 = x^2 \times y^2$ avec $x = a$ et $y = \sqrt{3}$.

   Correction

   En utilisant $C = 7\sqrt{3}$ et la propriété de la puissance d'un produit $(a \times b)^2 = a^2 \times b^2$ :
   $$C^2 = (7\sqrt{3})^2 = 7^2 \times (\sqrt{3})^2 = 49 \times 3 = 147$$

5. 5. On pose $D = \frac{C^2 + 3}{150}$. En utilisant le résultat de la question 4), montrer que $D$ est un nombre entier.

   Indice — Remplace $C^2$ par sa valeur numérique trouvée à la question 4, effectue l'addition au numérateur, puis simplifie la fraction obtenue.

   Correction

   D'après la question 4, $C^2 = 147$. En injectant cette valeur dans l'expression de $D$, on a $D = \frac{147 + 3}{150} = \frac{150}{150} = 1$. Le résultat $D = 1$ est bien un nombre entier.

6. 6. Soit le nombre $E = (D + 1)^{-3} \times 2^4$. En utilisant la valeur de $D$ trouvée à la question 5), calculer $E$ et montrer qu'il s'agit d'un nombre entier.

   Indice — Remplace $D$ par sa valeur de la question 5, puis applique la règle des puissances sur une même base : $x^n \times x^m = x^{n+m}$.

   Correction

   En utilisant $D = 1$ obtenu à la question 5, l'expression de $E$ devient $E = (1 + 1)^{-3} \times 2^4 = 2^{-3} \times 2^4$. En appliquant la règle d'addition des exposants pour des puissances de même base ($a^n \times a^m = a^{n+m}$), on obtient $E = 2^{-3+4} = 2^1 = 2$. Le nombre $E = 2$ est bien un entier.

On considère deux réels $x$ et $y$ tels que $x \in [3\,;\,7]$ et $y \in [2\,;\,5]$.

1. 1). Calculer la valeur exacte de $x - y$ dans chacun des deux cas suivants : d'une part pour $x = 3$ et $y = 5$, et d'autre part pour $x = 7$ et $y = 2$.

   Indice — Que valent $3 - 5$ et $7 - 2$ ?

   Correction

   Pour $x = 3$ et $y = 5$, on a $x - y = 3 - 5 = -2$.
   Pour $x = 7$ et $y = 2$, on a $x - y = 7 - 2 = 5$.

2. 2). Les valeurs obtenues à la question 1) appartiennent-elles à l'intervalle $[1\,;\,2]$ ? Que peut-on en déduire quant à la validité de la formule $3-2 \le x - y \le 7-5$ ?

   Indice — Est-ce que $-2 \in [1\,;\,2]$ et $5 \in [1\,;\,2]$ ?

   Correction

   Les valeurs $-2$ et $5$ n'appartiennent pas à l'intervalle $[1\,;\,2]$.
   On en déduit que la formule $3-2 \le x - y \le 7-5$ (soit $1 \le x - y \le 2$) est fausse : il est interdit de soustraire membre à membre deux inégalités.

3. 3). Sachant que $2 \le y \le 5$, déterminer un encadrement du réel $-y$.

   Indice — Si $2 \le y \le 5$, quel est l'ordre des réels après multiplication par $-1$ ?

   Correction

   En multipliant l'encadrement $2 \le y \le 5$ par $-1$, le sens des inégalités s'inverse. On obtient ainsi $-5 \le -y \le -2$.

4. 4). En écrivant $x - y = x + (-y)$, déduire l'encadrement exact de $x - y$ pour $x \in [3\,;\,7]$ et $y \in [2\,;\,5]$.

   Indice — Additionne membre à membre les deux encadrements $3 \le x \le 7$ et $-5 \le -y \le -2$.

   Correction

   En additionnant membre à membre les encadrements $3 \le x \le 7$ et $-5 \le -y \le -2$, on obtient $3 + (-5) \le x + (-y) \le 7 + (-2)$, c'est-à-dire $-2 \le x - y \le 5$.

5. 5). Soient $a, b, c, d$ des réels tels que $a \le x \le b$ et $c \le y \le d$. Déterminer l'encadrement général de $x - y$ en fonction de $a, b, c$ et $d$.

   Indice — Encadre d'abord $-y$ à partir de $c \le y \le d$, puis ajoute cet encadrement à $a \le x \le b$.

   Correction

   Pour encadrer la différence $x - y$, on transforme la soustraction en addition de l'opposé : $x - y = x + (-y)$.

   1. En multipliant $c \le y \le d$ par $-1$, on inverse le sens de l'inégalité : $-d \le -y \le -c$.
   2. En sommant membre à membre avec $a \le x \le b$, on obtient l'encadrement général : $a - d \le x - y \le b - c$.