Fonctions linéaires — exercices corrigés

On considère une fonction linéaire $f$ définie sur $\mathbb{R}$.

1. 1. Soit $f$ une fonction linéaire telle que $2f(3) - 5f(1) = \frac{1}{2}$. Déterminer le coefficient directeur $a$ de $f$ et expliciter son expression algébrique.

   Indice — Exprime $f(3)$ et $f(1)$ en fonction de $a$ en utilisant la définition d'une fonction linéaire.

   Correction

   Comme $f$ est une fonction linéaire, elle s'écrit sous la forme $f(x) = ax$ où $a$ est le coefficient directeur. On exprime les images de $3$ et $1$ en fonction de $a$ : $f(3) = 3a$ et $f(1) = a$. En substituant ces expressions dans l'égalité donnée, on obtient l'équation $2(3a) - 5a = \frac{1}{2}$, qui se simplifie en $a = \frac{1}{2}$. L'expression algébrique de la fonction est donc $f(x) = \frac{1}{2}x$.

2. 2. Dans le plan muni d'un repère cartésien usuel $(O, I, J)$, on considère le point $A_0(2 \,;\, 1)$. Vérifier que $A_0$ appartient à la droite représentative $D$ de $f$.

   Indice — Calcule l'image de l'abscisse de ce point par la fonction $f$.

   Correction

   Un point appartient à la droite représentative $D$ de la fonction $f$ si et seulement si son ordonnée est l'image de son abscisse par $f$. On calcule l'image de l'abscisse de $A_0$ : $f(2) = \frac{1}{2} \times 2 = 1$. L'ordonnée de $A_0$ étant bien égale à $1$, le point $A_0(2 \,;\, 1)$ appartient à la droite $D$.

3. 3. Soit un point arbitraire $A_n(x_n \,;\, y_n)$ du plan. Exprimer les coordonnées du point suivant $A_{n+1}(x_{n+1} \,;\, y_{n+1})$ sachant que $x_{n+1} = 3x_n$ et $y_{n+1} = 3y_n$.

   Indice — Traduis algébriquement la relation de passage entre un point $A_n$ et son successeur $A_{n+1}$.

   Correction

   En utilisant directement les relations de récurrence fournies pour les coordonnées, le point suivant $A_{n+1}$ a pour coordonnées : $A_{n+1}(3x_n \,;\, 3y_n)$.

4. 4. Démontrer que si le point $A_n(x_n \,;\, y_n)$ appartient à la droite $D$, alors le point $A_{n+1}$ appartient également à la droite $D$.

   Indice — Utilise l'hypothèse que $A_n$ est sur $D$ pour lier $y_n$ à $x_n$, puis évalue $y_{n+1}$.

   Correction

   Si le point $A_n(x_n \,;\, y_n)$ appartient à la droite $D$, alors ses coordonnées vérifient la relation $y_n = \frac{1}{2}x_n$. Pour le point $A_{n+1}$, on exprime son ordonnée en utilisant l'hypothèse de récurrence : $y_{n+1} = 3y_n = 3\left(\frac{1}{2}x_n\right) = \frac{1}{2}(3x_n)$. Comme $3x_n = x_{n+1}$, on en déduit que $y_{n+1} = \frac{1}{2}x_{n+1}$. Les coordonnées de $A_{n+1}$ vérifient l'équation de la droite, donc $A_{n+1}$ appartient également à $D$.

5. 5. En déduire que l'origine $O$ et l'ensemble des points de la suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont tous alignés sur la même droite $D$.

   Indice — Observe le lien entre le coefficient directeur de la droite passant par l'origine et les coordonnées de la suite de points.

   Correction

   La fonction $f$ étant linéaire, sa représentation graphique est une droite $D$ passant par l'origine $O(0,0)$ d'équation $y = \frac{1}{2}x$. Tous les points $A_n$ vérifiant $y_n = f(x_n)$, ils appartiennent par définition à cette droite. L'origine $O$ et les points $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont donc tous alignés sur la droite $D$.

6. 6. On considère le point $F\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \,;\, \sqrt{2}+\frac{3}{2}\right)$. Déterminer si ce point appartient à la droite $D$.

   Indice — Multiplicateur conjugué au dénominateur de l'abscisse.

   Correction

   En multipliant le numérateur et le dénominateur de l'abscisse par la quantité conjuguée $(\sqrt{2}+1)$, on obtient $x_F = 3 + 2\sqrt{2}$. En calculant son image par $f$, $f(x_F) = \frac{1}{2}(3 + 2\sqrt{2}) = \frac{3}{2} + \sqrt{2} = y_F$. Les coordonnées de $F$ vérifient l'équation de la droite $D$, donc $F \in D$.

7. 7. Soit le point paramétré $G_t(t^3 + 4t \,;\, t^2 + 4)$ où $t \in \mathbb{R}$. Traduire algébriquement la condition d'appartenance de $G_t$ à la droite $D$ sous la forme d'une équation en $t$.

   Indice — Écris l'égalité traduisant que l'ordonnée du point est l'image de son abscisse par $f$.

   Correction

   Le point $G_t$ appartient à la droite $D$ si et seulement si son ordonnée est l'image de son abscisse par $f$, c'est-à-dire $y_{G_t} = \frac{1}{2} x_{G_t}$. La condition s'écrit donc $t^2 + 4 = \frac{1}{2}(t^3 + 4t)$, ou de manière équivalente $2(t^2 + 4) = t^3 + 4t$.

8. 8. Déterminer l'ensemble de tous les réels $t$ pour lesquels le point $G_t$ appartient à la droite $D$.

   Indice — Regarde le signe de l'expression $t^2 + 4$ avant de diviser les deux membres de l'équation.

   Correction

   En factorisant le membre de droite, l'équation devient $2(t^2 + 4) = t(t^2 + 4)$. Pour tout $t \in \mathbb{R}$, $t^2 + 4 \neq 0$ (car $t^2 + 4 \ge 4$). On peut donc diviser les deux membres par $t^2 + 4$, ce qui donne directement $t = 2$. L'unique réel répondant à la condition est $t = 2$.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$, on considère une fonction linéaire $f$ de coefficient $a$ vérifiant la relation :
$$3f(4) - 7f(2) = -1$$

1. 1. En posant $f(x) = ax$ pour tout réel $x$, exprimer la quantité $3f(4) - 7f(2)$ en fonction de $a$.

   Indice — Utilise la définition d'une fonction linéaire $f(x) = ax$ pour exprimer chaque image en fonction de $a$.

   Correction

   En utilisant la définition d'une fonction linéaire $f(x) = ax$, on exprime les images de $4$ et $2$ : $f(4) = 4a$ et $f(2) = 2a$. En substituant ces expressions dans la quantité demandée, on obtient : $3(4a) - 7(2a) = 12a - 14a = -2a$.

2. 2. Déterminer la valeur exacte du coefficient $a$.

   Indice — Remplace l'expression trouvée dans l'égalité de l'énoncé pour obtenir une équation d'inconnue $a$.

   Correction

   D'après l'égalité de l'énoncé et le résultat de la question précédente, on pose l'équation $-2a = -1$. En résolvant cette équation, on trouve $a = \frac{1}{2}$ (ou $0{,}5$).

3. 3. Établir l'expression de $f(x)$ pour tout réel $x$.

   Indice — Utilise la valeur du coefficient $a$ obtenue précédemment pour écrire la formule générale de la fonction.

   Correction

   En substituant la valeur de $a$ trouvée précédemment dans la forme générale $f(x) = ax$, on obtient l'expression de la fonction : $f(x) = \frac{1}{2}x$ (ou $f(x) = 0{,}5x$) pour tout réel $x$.

4. 4. Représenter graphiquement la droite $D$ associée à la fonction $f$ dans le repère $(O, I, J)$ en précisant les coordonnées d'un point remarquable de cette droite distinct de l'origine.

   Indice — Pense qu'une droite représentant une fonction linéaire passe toujours par l'origine du repère ; il te suffit de placer un second point.

   Correction

   La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère $O(0,0)$. Pour tracer la droite $D$, on place un second point remarquable en calculant par exemple l'image de $2$ : $f(2) = 1$. La droite passe donc par le point de coordonnées $(2, 1)$, comme le montre la figure.

5. 5. Déterminer si le point $E\left(\frac{5}{3} \,;\, \frac{5}{6}\right)$ appartient à la droite $D$.

   Indice — Calcule l'image de l'abscisse de $E$ par la fonction $f$ et compare-la à son ordonnée.

   Correction

   La fonction $f$ est définie par $f(x) = \frac{1}{2}x$. Pour savoir si $E$ appartient à la droite $D$, on calcule l'image de son abscisse : $f\left(\frac{5}{3}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{6}$. Comme cette valeur est égale à l'ordonnée de $E$, le point $E$ appartient bien à la droite $D$.

6. 6. Exprimer l'image de $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$ par la fonction $f$ sous la forme d'une fraction contenant des radicaux.

   Indice — Applique la formule de la fonction $f$ à la valeur donnée en conservant l'écriture fractionnaire.

   Correction

   On applique la formule de la fonction linéaire $f(x) = \frac{1}{2}x$ à la valeur donnée : $f\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{2(\sqrt{3}-1)}$.

7. 7. Établir une écriture simplifiée de cette image sans radical au dénominateur.

   Indice — Pense à multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur pour éliminer la racine carrée.

   Correction

   Pour éliminer le radical au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée $\sqrt{3}+1$ : $\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2(3-1)}$. Après développement et simplification, on obtient : $\frac{4+2\sqrt{3}}{4} = \frac{2+\sqrt{3}}{2}$.

8. 8. En déduire si le point $F\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \,;\, \frac{\sqrt{3}+2}{2}\right)$ appartient à la droite $D$.

   Indice — Compare le résultat simplifié obtenu à la question précédente avec l'ordonnée du point $F$.

   Correction

   D'après la question précédente, l'image de l'abscisse de $F$ par $f$ est $\frac{2+\sqrt{3}}{2}$, ce qui correspond exactement à l'ordonnée de $F$. L'image de l'abscisse étant égale à l'ordonnée, le point $F$ appartient à la droite $D$.

9. 9. Établir l'équation que doit vérifier le réel $t$ pour que le point $G\left(t^3 + 9t \,;\, t^2 + 9\right)$ appartienne à la droite $D$.

   Indice — Traduis la condition d'appartenance du point $G$ à la droite $D$ par l'égalité $f(x_G) = y_G$.

   Correction

   La fonction linéaire $f$ est de la forme $f(x) = ax$. À partir de la relation $3f(4) - 7f(2) = -1$, on détermine le coefficient : $3(4a) - 7(2a) = -1$, ce qui donne $-2a = -1$ soit $a = 0,5$. La droite $D$ a donc pour équation $y = 0,5x$.

   Le point $G(t^3 + 9t \,;\, t^2 + 9)$ appartient à la droite $D$ si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation, soit $y_G = 0,5 x_G$. On obtient l'équation :
   $$t^2 + 9 = 0,5(t^3 + 9t)$$
   En multipliant par $2$, cela équivaut à $t^3 - 2t^2 + 9t - 18 = 0$.

10. 10. Déterminer toutes les valeurs possibles du réel $t$ pour lesquelles le point $G$ appartient à la droite $D$.

    Indice — Recherche un facteur commun remarquable dans ton équation pour éviter de développer un polynôme de degré 3.

    Correction

    Pour résoudre l'équation $t^3 - 2t^2 + 9t - 18 = 0$ établie à la question précédente, on factorise par regroupement de termes :
    $$t(t^2 + 9) - 2(t^2 + 9) = 0 \iff (t - 2)(t^2 + 9) = 0$$

    Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Comme $t^2 + 9 > 0$ pour tout réel $t$, l'équation admet pour unique solution réelle :
    $$t = 2$$

Dans le plan muni d'un repère cartésien $(O, I, J)$, on considère une fonction linéaire $f$ de coefficient $a = 4$. On désigne par $D$ sa représentation graphique. Soient les points $A(2\,;\,8)$ et $B(5\,;\,20)$ appartenant à la droite $D$.

1. 1). Calculer l'image de $2$ par la fonction $f$, puis évaluer le rapport :
   $$\dfrac{y_A}{x_A}$$
   pour le point $A(2\,;\,8)$.

   Indice — Calcule $f(2) = 4 \times 2$ puis évalue le quotient $\dfrac{8}{2}$.

   Correction

   La fonction $f$ étant linéaire de coefficient $a = 4$, son expression est $f(x) = 4x$. L'image de $2$ est donc $f(2) = 4 \times 2 = 8$.
   Pour le point $A(2\,;\,8)$, le rapport des coordonnées est : $$\dfrac{y_A}{x_A} = \dfrac{8}{2} = 4$$

2. 2). Calculer le rapport :
   $$\dfrac{y_B}{x_B}$$
   pour le point $B(5\,;\,20)$.

   Indice — Calcule le quotient $\dfrac{20}{5}$.

   Correction

   Pour le point $B(5\,;\,20)$, le rapport des coordonnées est : $$\dfrac{y_B}{x_B} = \dfrac{20}{5} = 4$$

3. 3). Comparer les rapports obtenus aux questions 1) et 2), puis identifier à quelle caractéristique de la fonction $f$ correspond cette valeur commune.

   Indice — Compare les deux valeurs obtenues et regarde le coefficient de $f(x) = 4x$.

   Correction

   On constate que les deux rapports sont égaux : $\dfrac{y_A}{x_A} = \dfrac{y_B}{x_B} = 4$. Cette valeur commune correspond au coefficient de proportionnalité de la fonction linéaire $f$, qui est également le coefficient directeur de sa droite représentative $D$.

4. 4). Soit $P(x_0\,;\,y_0)$ un point quelconque de la droite $D$ tel que $x_0 \neq 0$. Exprimer l'ordonnée $y_0$ en fonction de $x_0$ et du coefficient $a$, puis en déduire l'expression du rapport :
   $$\dfrac{y_0}{x_0}$$

   Indice — Utilise la relation $y_0 = f(x_0) = a x_0$ pour simplifier le rapport $\dfrac{y_0}{x_0}$.

   Correction

   Puisque le point $P(x_0\,;\,y_0)$ appartient à la droite $D$, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite, soit $y_0 = f(x_0) = a x_0$.
   Pour $x_0 \neq 0$, on obtient le rapport : $$\dfrac{y_0}{x_0} = \dfrac{a x_0}{x_0} = a$$

5. 5). En déduire la formule générale exprimant le coefficient $a$ d'une fonction linéaire en fonction des coordonnées $(x_0\,;\,y_0)$ d'un point non nul de sa représentation graphique.

   Indice — Isole $a$ dans l'égalité $y_0 = a x_0$.

   Correction

   Par définition, si un point $P(x_0\,;\,y_0)$ appartient à la représentation graphique d'une fonction linéaire $f(x) = ax$, ses coordonnées vérifient l'égalité $y_0 = a x_0$. Comme le point est non nul, on a $x_0 \neq 0$. En isolant $a$, on obtient la formule générale :
   $$a = \frac{y_0}{x_0}$$

6. 6). Déterminer le coefficient d'une fonction linéaire $g$ dont la représentation graphique passe par le point $M(4\,;\,-12)$.

   Indice — Calcule le rapport $\dfrac{y_M}{x_M}$ avec $x_M = 4$ et $y_M = -12$.

   Correction

   En appliquant la formule établie à la question précédente avec les coordonnées du point $M(4\,;\,-12)$, le coefficient $a$ de la fonction $g$ est donné par le rapport de l'ordonnée par l'abscisse :
   $$a = \frac{y_M}{x_M} = \frac{-12}{4} = -3$$

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$, on étudie les propriétés géométriques et algébriques des fonctions linéaires à travers différentes contraintes de points et d'images.

1. 1. On considère deux courbes $C_1$ et $C_2$ tracées dans le plan. $C_1$ est une parabole d'équation $y = x^2$ passant par l'origine $O$, et $C_2$ est une droite passant par $O$ et par le point $A(2\,;\,1)$. Laquelle de ces deux courbes représente graphiquement une fonction linéaire ? Justifier la réponse.

   Indice — Rappelle-toi la caractérisation géométrique d'une fonction linéaire : quelle est la forme de sa courbe représentative et par quel point particulier doit-elle obligatoirement passer ?

   Correction

   Par propriété, la courbe représentative d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. Ici, $C_1$ est une parabole, tandis que $C_2$ est une droite passant par l'origine $O$. C'est donc la courbe $C_2$ qui représente une fonction linéaire.

2. 2. Soit $g$ une fonction linéaire. Peut-on trouver une telle fonction vérifiant simultanément les deux conditions $g(3) = 2$ et $g(-6) = -4$ ? Justifier soigneusement.

   Indice — Exprime la fonction sous la forme $g(x) = ax$. Détermine la valeur du coefficient $a$ à l'aide de la première image, puis vérifie si ce même coefficient est compatible avec la seconde image.

   Correction

   Une fonction linéaire $g$ est de la forme $g(x) = ax$. La condition $g(3) = 2$ impose $3a = 2$, soit $a = \frac{2}{3}$. On teste ce coefficient avec la seconde condition : $g(-6) = \frac{2}{3} \times (-6) = -4$. Les deux conditions sont compatibles, il existe donc bien une telle fonction, définie par $g(x) = \frac{2}{3}x$.

3. 3. On considère maintenant une fonction linéaire $f$ de coefficient $a$ dont les images vérifient la relation suivante :
   $$2f(3) - 5f(1) = \frac{1}{2}$$
   Montrer que le coefficient de $f$ est $a = \frac{1}{2}$.

   Indice — Remplace $f(3)$ et $f(1)$ par leurs expressions en fonction de $a$ dans l'égalité proposée, puis résous l'équation d'inconnue $a$.

   Correction

   Puisque $f$ est une fonction linéaire de coefficient $a$, on a $f(x) = ax$. En substituant cette expression dans la relation donnée, on obtient l'équation $2(3a) - 5(1a) = \frac{1}{2}$. Sa résolution donne directement $a = \frac{1}{2}$.

4. 4. Tracer, dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$ (d'unité graphique $1\text{ cm}$), la droite $D$ représentant graphiquement la fonction $f$.

   Indice — Pour tracer la droite représentant $f$, place l'origine du repère et un autre point simple dont tu calculeras les coordonnées à l'aide de la formule $f(x) = \frac{1}{2}x$.

   Correction

   La représentation graphique de la fonction linéaire $f(x) = \frac{1}{2}x$ est la droite $D$ passant par l'origine du repère $O(0\,;\,0)$. Pour la tracer, on place un second point en calculant une image simple : par exemple, pour $x = 2$, $f(2) = 1$, ce qui donne le point de coordonnées $(2\,;\,1)$. La droite $D$ est la droite passant par ces deux points, comme le montre la figure.

5. 5. Le point $E\left(\frac{3}{2}\,;\,\frac{3}{4}\right)$ appartient-il à la droite $D$ ? Justifier par un calcul d'image.

   Indice — Un point $M(x_M\,;\,y_M)$ appartient à la droite $D$ si et seulement si son ordonnée est égale à l'image de son abscisse par $f$, c'est-à-dire si $f(x_M) = y_M$.

   Correction

   La droite $D$ est la représentation graphique de la fonction linéaire $f(x) = \frac{1}{2}x$. Calculons l'image de l'abscisse de $E$ par $f$ :
   $f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.
   Puisque $f(x_E) = y_E$, le point $E$ appartient bien à la droite $D$.

6. 6. On considère le point $F\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\,;\,\sqrt{2}+\frac{3}{2}\right)$. Montrer que le point $F$ appartient à la droite $D$.

   Indice — Calcule l'image de l'abscisse de $F$ par $f$. Pour simplifier l'écriture de cette abscisse, multiplie son numérateur et son dénominateur par son expression conjuguée $\sqrt{2}+1$.

   Correction

   Simplifions d'abord l'abscisse $x_F$ en multipliant le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée $\sqrt{2}+1$ :
   $x_F = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = 3 + 2\sqrt{2}$.
   Calculons ensuite son image par $f$ :
   $f(x_F) = \frac{1}{2}(3 + 2\sqrt{2}) = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$.
   On constate que $f(x_F) = y_F$. Ainsi, le point $F$ appartient à la droite $D$.

7. 7. Soit $t$ un nombre réel et $G$ le point de coordonnées $\left(t^3+4t\,;\,t^2+4\right)$. Écrire l'équation en $t$ traduisant le fait que le point $G$ appartient à la droite $D$.

   Indice — Traduis la condition d'appartenance $G \in D$ par l'égalité $f(x_G) = y_G$ en utilisant les coordonnées de $G$ exprimées en fonction de $t$.

   Correction

   Le point $G$ appartient à la droite $D$ d'équation $y = \frac{1}{2}x$ si et seulement si ses coordonnées vérifient cette relation, soit $y_G = \frac{1}{2}x_G$.
   En remplaçant par les expressions en fonction de $t$, on obtient l'équation :
   $t^2 + 4 = \frac{1}{2}(t^3 + 4t)$.

8. 8. Déterminer la valeur du réel $t$ pour laquelle le point $G$ appartient à la droite $D$.

   Indice — Ne développe surtout pas l'expression pour obtenir un polynôme de degré 3. Factorise plutôt l'équation en regroupant tous les termes d'un même côté, puis utilise le fait qu'un carré augmenté d'un nombre positif ne s'annule jamais.

   Correction

   Résolvons l'équation de la question précédente en regroupant les termes et en factorisant :
   $2(t^2 + 4) = t(t^3 + 4t) \iff (t^2 + 4)(2 - t) = 0$.
   Pour tout réel $t$, $t^2 + 4 \ge 4 > 0$, ce facteur ne s'annule donc jamais. L'unique solution est $2 - t = 0$, soit $t = 2$.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, I, J)$, on considère une fonction linéaire $f$ qui vérifie la relation suivante :
$$4f(2) - 3f(1) = \frac{5}{3}$$

1. 1. En posant $f(x) = ax$ où $a$ est un nombre réel, exprimer la relation $4f(2) - 3f(1) = \frac{5}{3}$ sous la forme d'une équation d'inconnue $a$.

   Indice — Remplace $f(2)$ et $f(1)$ par leurs expressions en fonction de $a$ dans l'égalité donnée.

   Correction

   Puisque $f$ est une fonction linéaire de la forme $f(x) = ax$, on exprime les images de $2$ et $1$ en fonction de $a$ : $f(2) = 2a$ et $f(1) = a$. En remplaçant ces expressions dans la relation de l'énoncé, on obtient l'équation : $4(2a) - 3(a) = \frac{5}{3}$, soit $8a - 3a = \frac{5}{3}$.

2. 2. Résoudre l'équation obtenue à la question précédente pour déterminer la valeur du coefficient $a$, puis donner l'expression de $f(x)$ pour tout réel $x$.

   Indice — Simplifie le membre de gauche de l'équation pour isoler $a$.

   Correction

   L'équation obtenue se simplifie sous la forme $5a = \frac{5}{3}$. En isolant $a$, on trouve $a = \frac{1}{3}$. L'expression de la fonction $f$ pour tout réel $x$ est donc $f(x) = \frac{1}{3}x$.

3. 3. Soit $D$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans le repère orthonormé $(O, I, J)$. Déterminer les coordonnées de deux points de $D$ (dont l'origine $O$), puis construire la droite $D$ dans ce repère.

   Indice — Rappelle-toi qu'une fonction linéaire passe toujours par l'origine. Choisis une valeur entière simple pour $x$ afin de trouver un second point à coordonnées entières.

   Correction

   La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère, soit le point $O(0, 0)$. Pour déterminer un second point, on calcule l'image d'une valeur entière pratique, par exemple $x = 3$, ce qui donne $f(3) = \frac{1}{3} \times 3 = 1$. La droite $D$ passe donc par le point de coordonnées $(3, 1)$, comme on peut le voir sur la figure.

4. 4. On considère le point $A\left(\frac{9}{4} \,;\, \frac{3}{4}\right)$. Le point $A$ appartient-il à la droite $D$ ? Justifier par un calcul d'image.

   Indice — Calcule l'image de l'abscisse de $A$ par la fonction $f$ et compare le résultat obtenu avec son ordonnée.

   Correction

   Pour vérifier si le point $A\left(\frac{9}{4} \,;\, \frac{3}{4}\right)$ appartient à la droite $D$, on calcule l'image de son abscisse par la fonction $f$ : $f\left(\frac{9}{4}\right) = \frac{1}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$. L'image de l'abscisse étant égale à l'ordonnée de $A$, le point $A$ appartient bien à la droite $D$.

5. 5. On considère le point $B\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \,;\, \frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)$. Montrer que le point $B$ appartient à la droite $D$.

   Indice — Simplifie d'abord l'abscisse de $B$ en multipliant son numérateur et son dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur avant de calculer son image par $f$.

   Correction

   On simplifie d'abord l'abscisse $x_B$ de $B$ en multipliant le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur $(\sqrt{3}+1)$ :
   $$x_B = \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$$

   On calcule ensuite l'image de $x_B$ par la fonction $f$ (définie par $f(x) = \frac{1}{3}x$) :
   $$f(x_B) = \frac{2+\sqrt{3}}{3}$$

   Comme $f(x_B) = y_B$, le point $B$ appartient bien à la droite $D$.

6. 6. Soit $M$ un point de coordonnées $\left(t^3 + 9t \,;\, 3t^2 + 27\right)$ où $t$ est un nombre réel. Écrire l'équation en $t$ traduisant la condition pour que le point $M$ appartienne à la droite $D$.

   Indice — Le point $M(x_M \,;\, y_M)$ appartient à la droite $D$ si et seulement si $f(x_M) = y_M$.

   Correction

   Le point $M(x_M \,;\, y_M)$ appartient à la droite $D$ si et seulement si ses coordonnées vérifient la relation $f(x_M) = y_M$.

   Avec $f(x) = \frac{1}{3}x$, on obtient :
   $$\frac{1}{3}(t^3 + 9t) = 3t^2 + 27$$

   En multipliant les deux membres par $3$, l'équation s'écrit :
   $$t^3 + 9t = 9t^2 + 81$$

7. 7. Résoudre cette équation en factorisant par un terme strictement positif pour déterminer la valeur du réel $t$ pour laquelle le point $M$ appartient à la droite $D$.

   Indice — Factorise chaque membre de l'équation pour faire apparaître un facteur commun de la forme $(t^2 + k)$ qui ne s'annule jamais.

   Correction

   On regroupe tous les termes du même côté de l'égalité :
   $$t^3 - 9t^2 + 9t - 81 = 0$$

   On factorise par regroupement de termes :
   $$t^2(t - 9) + 9(t - 9) = 0 \implies (t^2 + 9)(t - 9) = 0$$

   Le facteur $(t^2 + 9)$ étant strictement positif pour tout réel $t$, on peut diviser l'équation par ce terme, ce qui donne :
   $$t - 9 = 0 \implies t = 9$$

   Le point $M$ appartient donc à la droite $D$ pour $t = 9$.