Les angles — exercices corrigés

On considère une configuration géométrique dans le plan formée par plusieurs droites sécantes et des points alignés, mettant en jeu des notions d'angles adjacents, supplémentaires, opposés par le sommet et alternes-internes.

1. 1. Tracer une figure géométrique sur votre copie où deux droites $(D)$ et $(D')$ sont sécantes en un point $O$, et placer une demi-droite $[OC)$ telle que $\widehat{AOC}$ et $\widehat{COB}$ soient deux angles adjacents, où $A$ et $B$ sont deux points appartenant respectivement à $(D)$ et $(D')$. Nommer ces deux angles.

   Indice — Observe la position des demi-droites issues du même sommet pour repérer celles qui partagent un côté commun et sont situées de part et d'autre.

   Correction

   On trace les deux droites $(D)$ et $(D')$ sécantes en $O$, formant une ligne droite pour $\widehat{AOB}$ qui mesure donc $180^\circ$. La demi-droite $[OC)$ tracée entre les deux côtés de cet angle sépare $\widehat{AOB}$ en deux angles adjacents qui partagent le côté $[OC)$ et sont situés de part et d'autre : $\widehat{AOC}$ et $\widehat{COB}$.

2. 2. Sachant que la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$ est de $180^\circ$ et que l'angle $\widehat{AOC}$ mesure $65^\circ$, trouver la mesure de l'angle $\widehat{COB}$.

   Indice — Pense à la définition de la somme de mesures de deux angles adjacents.

   Correction

   Puisque les angles $\widehat{AOC}$ et $\widehat{COB}$ sont adjacents et forment ensemble l'angle plat $\widehat{AOB}$ de $180^\circ$, la somme de leurs mesures est égale à $180^\circ$. On en déduit que la mesure de $\widehat{COB}$ est $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.

3. 3. Déterminer la mesure d'un angle $\widehat{EOD}$ qui est supplémentaire à l'angle $\widehat{AOC}$.

   Indice — Rappelle-toi de la définition de deux angles supplémentaires.

   Correction

   Deux angles sont supplémentaires lorsque la somme de leurs mesures est égale à $180^\circ$. L'angle $\widehat{EOD}$ étant supplémentaire à $\widehat{AOC}$, sa mesure est $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.

4. 4. Identifier et nommer l'angle opposé par le sommet à l'angle $\widehat{AOC}$, puis donner sa mesure en justifiant brièvement à l'aide des propriétés du cours.

   Indice — Observe la configuration des droites sécantes pour repérer la position relative des sommets et des côtés opposés.

   Correction

   L'angle opposé par le sommet à $\widehat{AOC}$ est l'angle $\widehat{BOD}$ (ou $\widehat{DOB}$). D'après la propriété des angles opposés par le sommet formés par deux droites sécantes, ils ont la même mesure. L'angle $\widehat{BOD}$ mesure donc $65^\circ$.

5. 5. On considère deux nouvelles droites $(D_1)$ et $(D_2)$ parallèles, coupées par une sécante $(S)$. Énoncer la propriété liant les mesures de deux angles alternes-internes formés par cette configuration.

   Indice — Considère deux droites parallèles coupées par une sécante et observe la position des angles situés de part et d'autre de la sécante et à l'intérieur des parallèles.

   Correction

   Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes-internes ainsi formés ont la même mesure (ils sont égaux).

6. 6. Si l'un des angles alternes-internes formés par $(D_1)$ et $(D_2)$ avec $(S)$ mesure $65^\circ$, trouver la mesure de l'autre angle alterné-interne associé.

   Indice — Utilise la propriété des angles alternes-internes citée dans la question précédente.

   Correction

   D'après la propriété des angles alternes-internes entre deux droites parallèles, l'autre angle alterné-interne associé mesure également $65^\circ$.

7. 7. En combinant les résultats obtenus sur les angles adjacents et les angles alternes-internes, établir la relation globale et calculer la mesure d'un angle inconnu formé par la bissectrice de l'angle $\widehat{COB}$ et la sécante $(S)$.

   Indice — Combine la relation entre angles adjacents et la propriété des angles alternes-internes ou opposés par le sommet établies précédemment.

   Correction

   En utilisant la définition d'une bissectrice qui divise l'angle en deux mesures égales, combinée avec les propriétés des angles alternes-internes et adjacents, on obtient la relation globale menant à une mesure de l'angle recherché égale à $32,5^\circ$.

On considère un triangle $ABC$ non aplati tel que $\widehat{BAC} = 70^\circ$ et $\widehat{ABC} = 50^\circ$.
La demi-droite $[CD)$ prolonge le côté $[BC]$ au-delà de $C$, et la demi-droite $[AE)$ prolonge le côté $[BA]$ au-delà de $A$.
La bissectrice de l'angle extérieur $\widehat{ACD}$ et la bissectrice de l'angle extérieur $\widehat{CAE}$ se coupent en un point $I$.

1. 1. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$.

   Indice — Pense à la somme des angles d'un triangle pour compléter le calcul de $\widehat{ACB}$.

   Correction

   Dans le triangle $ABC$, la somme des angles est égale à $180^\circ$. On obtient $\widehat{ACB} = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 60^\circ$.

2. 2. Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{ACD}$.

   Indice — Observe l'alignement des points $B$, $C$ et $D$ sur la droite support.

   Correction

   Les points $B$, $C$ et $D$ sont alignés, donc les angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ACD}$ sont supplémentaires. Ainsi, $\widehat{ACD} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

3. 3. Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{CAE}$.

   Indice — Observe de même l'alignement des points $B$, $A$ et $E$.

   Correction

   Les points $B$, $A$ et $E$ sont alignés, donc les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{CAE}$ sont supplémentaires. On a donc $\widehat{CAE} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

4. 4. Calculer les mesures des angles $\widehat{ACI}$ et $\widehat{CAI}$.

   Indice — Rappelle-toi la définition géométrique d'une bissectrice.

   Correction

   Par définition de la bissectrice, $[CI)$ partage l'angle $\widehat{ACD}$ en deux angles égaux, d'où $\widehat{ACI} = \frac{1}{2} \widehat{ACD} = 60^\circ$. De même, $[AI)$ est la bissectrice de $\widehat{CAE}$, ce qui donne $\widehat{CAI} = \frac{1}{2} \widehat{CAE} = 55^\circ$.

5. 5. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{AIC}$.

   Indice — Applique la somme des angles du triangle $AIC$.

   Correction

   Dans le triangle $AIC$, la somme des angles est égale à $180^\circ$.
   Comme $CI$ et $AI$ sont les bissectrices des angles extérieurs $\widehat{ACD} = 120^\circ$ et $\widehat{CAE} = 110^\circ$, on a $\widehat{ACI} = 60^\circ$ et $\widehat{CAI} = 55^\circ$.
   On en déduit : $\widehat{AIC} = 180^\circ - (60^\circ + 55^\circ) = 65^\circ$.

6. 6. Exprimer la somme $\widehat{ACD} + \widehat{CAE}$ en fonction de $\widehat{ABC}$.

   Indice — Exprime chaque angle extérieur en fonction des deux angles intérieurs non adjacents, puis remplace leur somme par $180^\circ - \widehat{ABC}$.

   Correction

   Chaque angle extérieur est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents :
   $\widehat{ACD} = \widehat{BAC} + \widehat{ABC}$ et $\widehat{CAE} = \widehat{ACB} + \widehat{ABC}$.
   En additionnant ces deux égalités, la somme des trois angles du triangle $ABC$ donne $180^\circ$, d'où : $\widehat{ACD} + \widehat{CAE} = 180^\circ + \widehat{ABC}$.

7. 7. Montrer que $\widehat{AIC} = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\widehat{ABC}$, puis vérifier cette formule pour $\widehat{ABC} = 50^\circ$.

   Indice — Utilise le fait que les angles $\widehat{ACI}$ et $\widehat{CAI}$ sont les moitiés des angles extérieurs.

   Correction

   Les angles $\widehat{CAI}$ et $\widehat{ACI}$ étant les moitiés des angles extérieurs, leur somme vaut $\dfrac{1}{2}(\widehat{ACD} + \widehat{CAE}) = 90^\circ + \dfrac{1}{2}\widehat{ABC}$.
   Dans le triangle $AIC$, on a alors $\widehat{AIC} = 180^\circ - \left(90^\circ + \dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\right) = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\widehat{ABC}$.

   Pour $\widehat{ABC} = 50^\circ$, la formule donne $90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$, ce qui confirme le résultat trouvé à la question 5.

On considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et les angles inscrits et au centre associés.

1. 1). On considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et deux points $A$ et $B$ sur $\mathcal{C}$ tels que $\widehat{AOB} = 100^\circ$. Soit $M$ un point situé sur le grand arc $AB$. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{AMB}$.

   Indice — Quel est le type de l'angle $\widehat{AOB}$ formé par deux rayons du cercle ? Pense aux propriétés du triangle $OAB$.

   Correction

   D'après le théorème de l'angle inscrit, l'angle inscrit $\widehat{AMB}$ mesure la moitié de l'angle au centre saillant $\widehat{AOB}$ qui intercepte le même arc :
   $$\widehat{AMB} = \frac{\widehat{AOB}}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$$

2. 2). Soit $N$ un point situé sur le petit arc $AB$. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ANB}$.

   Indice — Quel est l'angle au centre rentrant qui intercepte le petit arc $AB$ ?

   Correction

   L'angle inscrit $\widehat{ANB}$ intercepte le grand arc $AB$. Il est associé à l'angle au centre rentrant, dont la mesure est $360^\circ - 100^\circ = 260^\circ$.

   Par le théorème de l'angle inscrit :
   $$\widehat{ANB} = \frac{260^\circ}{2} = 130^\circ$$

3. 3). Calculer la somme $\widehat{AMB} + \widehat{ANB}$.

   Indice — Additionne les mesures obtenues aux questions 1) et 2).

   Correction

   En utilisant les résultats des questions précédentes :
   $$\widehat{AMB} + \widehat{ANB} = 50^\circ + 130^\circ = 180^\circ$$

4. 4). Dans le cas général, soit $\alpha$ la mesure de l'angle au centre $\widehat{AOB}$, avec $\alpha \in ]0^\circ\,;\,180^\circ[$. Exprimer en fonction de $\alpha$ : • la mesure de l'angle $\widehat{AMB}$
   • la mesure de l'angle $\widehat{ANB}$
   Puis en déduire :
   $$\widehat{AMB} + \widehat{ANB} = 180^\circ$$

   Indice — Exprime l'angle au centre saillant, puis son angle inscrit associé.

   Correction

   • L'angle inscrit $\widehat{AMB}$ intercepte l'arc de mesure $\alpha$, d'où : $\widehat{AMB} = \frac{\alpha}{2}$.
   • L'angle inscrit $\widehat{ANB}$ intercepte l'autre arc, associé à l'angle au centre rentrant de mesure $360^\circ - \alpha$, d'où : $\widehat{ANB} = \frac{360^\circ - \alpha}{2} = 180^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

   En faisant la somme :
   $$\widehat{AMB} + \widehat{ANB} = \frac{\alpha}{2} + 180^\circ - \frac{\alpha}{2} = 180^\circ$$

5. 5). Soit $C$ un troisième point sur le cercle $\mathcal{C}$ tel que le triangle $ABC$ soit inscrit dans $\mathcal{C}$. Exprimer en fonction de la somme des angles au centre interceptant les arcs $\widehat{AB}$ et $\widehat{BC}$ la valeur de $\widehat{AMB} + \widehat{BMC}$.

   Indice — Utilise la relation établie à la question 4) pour exprimer cette nouvelle somme.

   Correction

   D'après le théorème de l'angle inscrit, la mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de celle de l'angle au centre interceptant le même arc. On a donc $\widehat{AMB} = \frac{1}{2}\widehat{AOB}$ et $\widehat{BMC} = \frac{1}{2}\widehat{BOC}$. En additionnant ces deux égalités, on obtient : $\widehat{AMB} + \widehat{BMC} = \frac{1}{2}(\widehat{AOB} + \widehat{BOC})$. La somme recherchée est égale à la moitié de la somme des angles au centre interceptant les arcs $\widehat{AB}$ et $\widehat{BC}$.

Soit une première configuration où un angle est partagé en deux angles adjacents mesurant respectivement $52^{\circ}$ et $a$, et une seconde configuration où un angle est partagé en deux angles adjacents mesurant respectivement $130^{\circ}$ et $k$.

1. 1. Donner la mesure de l'angle total formé par les deux angles adjacents de la première configuration.

   Indice — Observer le codage graphique à l'intersection des demi-droites.

   Correction

   Comme l'indique le codage graphique (le petit carré à l'intersection), l'angle total formé par les deux angles adjacents est un angle droit, soit une mesure de $90^{\circ}$.

2. 2. Écrire l'égalité : $52^{\circ} + a = 90^{\circ}$.

   Indice — Écrire la somme des deux angles adjacents complémentaires.

   Correction

   Puisque les deux angles sont adjacents et forment ensemble un angle droit, ils sont complémentaires. Leur somme est donc égale à $90^{\circ}$. On écrit l'égalité : $52^{\circ} + a = 90^{\circ}$.

3. 3. Calculer la valeur de l'angle $a$.

   Indice — Isole l'inconnue $a$ en effectuant une soustraction.

   Correction

   En isolant l'inconnue $a$ à partir de l'égalité précédente, on effectue la soustraction : $a = 90^{\circ} - 52^{\circ}$. On obtient la valeur exacte : $a = 38^{\circ}$.

4. 4. Donner la mesure de l'angle total formé par les deux angles adjacents de la seconde configuration.

   Indice — Observer l'alignement des points de la seconde configuration.

   Correction

   En observant l'alignement des demi-droites formant le support de la seconde configuration, on reconnaît un angle plat, dont la mesure est de $180^{\circ}$.

5. 5. Écrire l'égalité : $130^{\circ} + k = 180^{\circ}$.

   Indice — Écrire la somme des deux angles adjacents supplémentaires.

   Correction

   Dans la Configuration B, les deux angles adjacents forment un angle plat, ce qui signifie qu'ils sont supplémentaires et que leur somme vaut $180^{\circ}$. On écrit donc l'égalité : $130^{\circ} + k = 180^{\circ}$.

6. 6. Calculer la valeur de l'angle $k$.

   Indice — Effectuer la soustraction pour trouver la valeur de $k$.

   Correction

   En résolvant l'égalité précédente, on effectue la soustraction : $k = 180^{\circ} - 130^{\circ}$. On obtient la valeur exacte de l'angle : $k = 50^{\circ}$.

Dans le plan orienté, on considère une configuration géométrique formée par plusieurs droites concourantes et des points alignés. Suivre les consignes de construction et d'enchaînement des questions.

1. 1. Sur votre copie, tracer deux droites $(D)$ et $(D')$ parallèles, puis une sécante $(\Delta)$ coupant $(D)$ en un point $A$ et $(D')$ en un point $B$. Placer un point $C$ sur $(D)$ tel que l'angle $\widehat{BAC}$ soit aigu, et identifier la position relative de la droite $(AC)$ par rapport aux droites $(D)$ et $(D')$.

   Indice — Observe la disposition des droites sur la figure et rappelle-toi la définition des positions relatives de droites coupées par une sécante.

   Correction

   Puisque les points $A$ et $C$ appartiennent tous les deux à la droite $(D)$, la droite $(AC)$ est confondue avec la droite $(D)$. Par conséquent, elle est parallèle à la droite $(D')$, puisque les droites $(D)$ et $(D')$ sont initialement données comme parallèles.

2. 2. Sachant que la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ est égale à $55^\circ$, trouver la mesure de l'angle adjacent et supplémentaire à $\widehat{BAC}$ ayant un côté commun sur la droite $(D)$.

   Indice — Pense aux angles formés autour d'un même sommet sur une droite, ou aux propriétés d'un angle aigu donné dans la configuration.

   Correction

   Les angles adjacents et supplémentaires sur une même droite forment un angle plat de $180^\circ$. En posant le calcul avec la mesure donnée de $55^\circ$, l'angle recherché mesure $180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.

3. 3. En déduire la mesure de l'angle obtus formé sur la même droite par le prolongement de ce secteur angulaire.

   Indice — Rappelle-toi la relation liant les mesures de deux angles supplémentaires.

   Correction

   Par application de la propriété des angles supplémentaires, l'angle obtus recherché est directement lié au calcul précédent et mesure également $125^\circ$.

4. 4. Déterminer la mesure de l'angle alterno-interne correspondant à l'angle $\widehat{BAC}$ par rapport à la sécante $(\Delta)$ et aux droites $(D)$ et $(D')$.

   Indice — Observe les positions des angles situés entre les deux droites $(D)$ et $(D')$ de part et d'autre de la sécante $(\Delta)$.

   Correction

   En utilisant le théorème des angles alterno-internes formés par deux droites parallèles coupées par une sécante, ces angles ont la même mesure. L'angle alterno-interne correspondant à $\widehat{BAC}$ mesure donc $55^\circ$.

5. 5. Tracer une demi-droite $[Bx)$ issue de $B$ telle que l'angle formé avec l'une des demi-droites de la sécante partage le secteur en deux angles adjacents, et exprimer la relation entre ces angles.

   Indice — Considère un point supplémentaire placé sur la sécante ou autour du point d'intersection $B$ pour former une somme d'angles adjacents.

   Correction

   Par application de la relation de Chasles pour les angles géométriques, si la demi-droite $[Bx)$ partage un angle total en deux secteurs adjacents, la mesure de l'angle total est égale à la somme des mesures des deux angles adjacents ainsi formés.

6. 6. Calculer la mesure du second angle adjacent ainsi formé par la demi-droite $[Bx)$.

   Indice — Utilise la valeur de l'angle alterno-interne trouvée précédemment et soustrais la mesure partielle connue pour obtenir l'inconnue.

   Correction

   En utilisant la mesure de l'angle alterno-interne identifiée dans les questions précédentes et en soustrayant la mesure partielle connue de l'autre secteur, on obtient par simple différence que le second angle adjacent mesure $180^\circ - \text{valeur connue}$.

7. 7. Conclure en vérifiant la somme des angles du triangle ainsi délimité par les intersections et les points de construction sur la figure.

   Indice — Considère le triangle formé par les points d'intersection et les segments tracés, puis fais la somme des mesures des angles intérieurs de ce triangle.

   Correction

   En considérant le triangle formé par les points d'intersection, la somme des angles intérieurs est égale à $180^\circ$. En additionnant les mesures des trois angles du triangle ainsi délimité, on vérifie que cette somme est bien égale à $180^\circ$, ce qui conclut la vérification.