Les angles — exercices corrigés

Soit $\mathscr{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R = 4\text{ cm}$. On considère deux points distincts $A$ et $B$ situés sur ce cercle.

Tracer une figure sur votre copie en plaçant les points $A$ et $B$ de sorte que l'angle au centre $\widehat{AOB}$ soit un angle obtus.

1. 1). On suppose dans cette question que $\widehat{AOB} = 100^\circ$. Déterminer, en justifiant soigneusement la démarche, les mesures des angles $\widehat{OAB}$ et $\widehat{OBA}$.

   Indice — Que peut-on dire des longueurs $OA$ et $OB$ ? Utilise ensuite la relation $\widehat{AOB} + \widehat{OAB} + \widehat{OBA} = 180^\circ$.

   Correction

   Le triangle $OAB$ est isocèle en $O$ car $OA = OB = R$. Ses angles à la base sont donc égaux : $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$. La somme des angles du triangle $OAB$ valant $180^\circ$, on a $2\widehat{OAB} + 100^\circ = 180^\circ$, ce qui donne $\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = 40^\circ$.

2. 2). On suppose maintenant que $\widehat{AOB} = 130^\circ$. Calculer les mesures des angles $\widehat{OAB}$ et $\widehat{OBA}$ dans ce cas.

   Indice — Applique la même démarche que précédemment en remplaçant la valeur $100^\circ$ par $130^\circ$.

   Correction

   De façon analogue dans le triangle isocèle $OAB$, on a $2\widehat{OAB} + 130^\circ = 180^\circ$. On en déduit $\widehat{OAB} = \widehat{OBA} = 25^\circ$.

3. 3). Comparer les mesures de $\widehat{OAB}$ et $\widehat{OBA}$ obtenues dans les questions précédentes. Quelle relation arithmétique relie la mesure de $\widehat{OAB}$ à celle de $\widehat{AOB}$ dans chacun des deux cas ?

   Indice — Examine le lien entre la valeur de $\widehat{OAB}$ et la quantité $\dfrac{180^\circ - \widehat{AOB}}{2}$ pour chacun des deux cas.

   Correction

   Dans les deux cas, les angles $\widehat{OAB}$ et $\widehat{OBA}$ ont la même mesure. La relation arithmétique qui lie $\widehat{OAB}$ à $\widehat{AOB}$ s'écrit : $\widehat{OAB} = \dfrac{180^\circ - \widehat{AOB}}{2}$.

4. 4). On pose désormais $\widehat{AOB} = \theta$ avec $\theta \in ]0^\circ\,;\,180^\circ[$. Exprimer la mesure de l'angle $\widehat{OAB}$ en fonction de $\theta$.

   Indice — Remplace la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$ par la variable $\theta$ dans la relation observée à la question précédente.

   Correction

   En remplaçant $\widehat{AOB}$ par $\theta$, la propriété du triangle isocèle $OAB$ donne directement : $\widehat{OAB} = \dfrac{180^\circ - \theta}{2} = 90^\circ - \dfrac{\theta}{2}$.

5. 5). Démontrer que pour tout $\theta \in ]0^\circ\,;\,180^\circ[$, on a :
   $$\widehat{OAB} = 90^\circ - \dfrac{\theta}{2}$$

   Indice — Justifie que le triangle $AOB$ est isocèle de sommet principal $O$ pour établir que $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$, puis traduis l'égalité de la somme des angles.

   Correction

   Les points $A$ et $B$ appartiennent au cercle de centre $O$, donc $OA = OB = R$. Le triangle $AOB$ est donc isocèle en $O$, ce qui donne $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$.

   D'après la propriété de la somme des angles d'un triangle :
   $$\widehat{AOB} + \widehat{OAB} + \widehat{OBA} = 180^\circ \iff \theta + 2\widehat{OAB} = 180^\circ$$

   En isolant $\widehat{OAB}$, on obtient :
   $$\widehat{OAB} = \dfrac{180^\circ - \theta}{2} = 90^\circ - \dfrac{\theta}{2}$$

Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R > 0$. Soit $[AB]$ un diamètre de $\mathcal{C}$. On considère un point $C$ de $\mathcal{C}$ tel que $\widehat{AOC} = 60^\circ$. Soit $D$ le point de $\mathcal{C}$ diamétralement opposé à $C$. Soit $M$ un point de l'arc $AD$ ne contenant pas $C$. On note $\theta = \widehat{AOM}$ (avec $0^\circ < \theta < 120^\circ$).

1. 1. Tracer la figure sur votre copie en prenant un rayon de $4\text{ cm}$ et en choisissant $\theta = 40^\circ$. Placer tous les points mentionnés dans l'énoncé.

   Indice — Utilise un rapporteur pour placer précisément le point $C$ tel que $\widehat{AOC} = 60^\circ$ et le point $M$ tel que $\widehat{AOM} = 40^\circ$. Le point $D$ est le symétrique de $C$ par rapport à $O$.

   Correction

   La réalisation de la figure suit ces étapes : tracer un cercle de centre $O$ et de rayon $4\text{ cm}$, placer le diamètre $[AB]$, mesurer un angle au centre $\widehat{AOC} = 60^\circ$ pour placer $C$, tracer la droite $(CO)$ pour obtenir son symétrique $D$, puis mesurer $\widehat{AOM} = 40^\circ$ sur l'arc opposé à $C$ pour placer $M$.

2. 2. Déterminer la nature du triangle $AOC$ et en déduire la mesure de l'angle inscrit $\widehat{ADC}$.

   Indice — Pense aux segments reliant le centre $O$ aux points du cercle pour identifier les longueurs égales, puis relie l'angle inscrit $\widehat{ADC}$ à l'angle au centre correspondant.

   Correction

   Comme $OA = OC = R$, le triangle $AOC$ est isocèle en $O$. Ayant un angle au sommet $\widehat{AOC} = 60^\circ$, c'est un triangle équilatéral.
   Par le théorème de l'angle inscrit, $\widehat{ADC} = \frac{1}{2} \widehat{AOC} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

3. 3. Exprimer la mesure de l'angle inscrit $\widehat{AMC}$ en fonction de la mesure de l'angle au centre associé. Cet angle est-il aigu ou obtus ?

   Indice — Identifie l'arc intercepté par l'angle $\widehat{AMC}$ et trouve l'angle au centre qui intercepte le même arc. Rappelle-toi de la définition d'un angle aigu et d'un angle obtus.

   Correction

   L'angle inscrit $\widehat{AMC}$ intercepte le même arc $AC$ que l'angle au centre $\widehat{AOC}$. D'après le théorème de l'angle inscrit, $\widehat{AMC} = \frac{1}{2} \widehat{AOC} = 30^\circ$. Comme $30^\circ < 90^\circ$, cet angle est aigu.

4. 4. Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{AMD}$ et préciser si elle dépend de la valeur de $\theta$.

   Indice — Détermine d'abord la mesure de l'angle au centre $\widehat{AOD}$ en utilisant le fait que $C, O, D$ sont alignés, puis relie-le à l'angle inscrit $\widehat{AMD}$.

   Correction

   Les points $C, O, D$ étant alignés, l'angle au centre est $\widehat{AOD} = 180^\circ - \widehat{AOC} = 120^\circ$. Par le théorème de l'angle inscrit, $\widehat{AMD} = \frac{1}{2} \widehat{AOD} = 60^\circ$. Cette mesure est constante et ne dépend pas de $\theta$.

5. 5. Soit $I$ le point d'intersection des droites $(AM)$ et $(CD)$. Exprimer la somme des angles $\widehat{MAI} + \widehat{AMI}$ en fonction de $\theta$.

   Indice — Exprime l'angle inscrit $\widehat{MAD}$ en fonction de l'angle au centre $\widehat{MOD}$, puis utilise la valeur de $\widehat{AMD}$ obtenue à la question précédente.

   Correction

   L'angle au centre vaut $\widehat{MOD} = \widehat{AOD} - \widehat{AOM} = 120^\circ - \theta$.
   Par le théorème de l'angle inscrit, $\widehat{MAD} = \frac{1}{2}\widehat{MOD} = 60^\circ - \frac{\theta}{2}$ et $\widehat{AMD} = \frac{1}{2}\widehat{AOD} = 60^\circ$.
   Comme $I$ est le point d'intersection de $(AM)$ et $(CD)$, la somme cherchée correspond à $\widehat{MAD} + \widehat{AMD}$, soit $\widehat{MAI} + \widehat{AMI} = 120^\circ - \frac{\theta}{2}$.

6. 6. On suppose désormais que $\theta = 90^\circ$. Déterminer la nature du triangle $AOM$ et en déduire la mesure de l'angle $\widehat{ADM}$.

   Indice — Utilise le fait que $OA = OM$ (rayons du cercle) et que l'angle au centre $\widehat{AOM} = 90^\circ$. Relie ensuite l'angle inscrit $\widehat{ADM}$ à son angle au centre associé.

   Correction

   Comme $OA = OM = R$ et $\widehat{AOM} = 90^\circ$, le triangle $AOM$ est rectangle isocèle en $O$.
   Par le théorème de l'angle inscrit associé à l'angle au centre $\widehat{AOM}$, on en déduit que $\widehat{ADM} = \frac{1}{2}\widehat{AOM} = 45^\circ$.

7. 7. Pour cette même valeur de $\theta = 90^\circ$, montrer que les droites $(AD)$ et $(OM)$ ne sont pas parallèles mais qu'il existe une relation simple entre les angles $\widehat{OAD}$, $\widehat{AOM}$ et $\widehat{AOD}$.

   Indice — Calcule les angles du triangle isocèle $OAD$ en utilisant le fait que $\widehat{AOD} = 120^\circ$. Compare ensuite la somme $\widehat{OAD} + \widehat{AOM}$ avec l'angle $\widehat{AOD}$.

   Correction

   Le triangle $OAD$ est isocèle en $O$ avec $OA = OD = R$ et $\widehat{AOD} = 120^\circ$, d'où $\widehat{OAD} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.
   Comme $\widehat{OAD} \neq \widehat{AOM}$ ($30^\circ \neq 90^\circ$), les droites $(AD)$ et $(OM)$ ne sont pas parallèles.
   On constate en revanche la relation directe : $\widehat{OAD} + \widehat{AOM} = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ = \widehat{AOD}$.

8. 8. Soit $E$ le symétrique de $O$ par rapport à la droite $(AD)$. Déterminer la nature exacte du quadrilatère $AODE$.

   Indice — Pense aux propriétés de la symétrie axiale concernant la conservation des distances, et utilise la nature du triangle $OAD$.

   Correction

   La symétrie axiale par rapport à $(AD)$ conserve les distances, donc $EA = OA = R$ et $ED = OD = R$.
   Puisque $OA = OD = R$, les quatre côtés du quadrilatère $AODE$ sont égaux ($OA = A E = ED = DO = R$).
   Comme $\widehat{AOD} = 120^\circ \neq 90^\circ$, $AODE$ n'est pas un carré : c'est un losange.

9. 9. Soit $P$ un point du cercle $\mathcal{C}$ situé sur l'arc mineur $AM$ (de sorte que l'angle inscrit $\widehat{APM}$ soit obtus). Exprimer la mesure de l'angle au centre rentrant associé à l'angle inscrit $\widehat{APM}$ en fonction de $\theta$. En déduire la mesure de $\widehat{APM}$ pour $\theta = 90^\circ$.

   Indice — Attention à ne pas utiliser l'angle au centre saillant $\widehat{AOM}$. Utilise la relation entre un angle inscrit obtus et l'angle au centre rentrant, sachant que la somme des angles autour de $O$ est de $360^\circ$.

   Correction

   L'angle au centre rentrant associé à l'arc majeur $AM$ a pour mesure $360^\circ - \theta$.

   D'après le théorème de l'angle au centre, l'angle inscrit $\widehat{APM}$ vaut la moitié de cet angle au centre rentrant, soit :
   $$\widehat{APM} = \frac{360^\circ - \theta}{2} = 180^\circ - \frac{\theta}{2}$$

   Pour $\theta = 90^\circ$, on calcule directement : $\widehat{APM} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

10. 10. En utilisant les résultats des questions précédentes, établir une relation générale entre les angles inscrits $\widehat{ADM}$ et $\widehat{APM}$ qui interceptent la même corde $[AM]$ mais de part et d'autre de celle-ci.

    Indice — Fais la somme des deux angles exprimés en fonction de $\theta$ et simplifie l'expression pour obtenir une constante remarquable.

    Correction

    L'angle inscrit $\widehat{ADM}$ interceptant l'arc mineur $AM$ a pour mesure $\widehat{ADM} = \frac{\theta}{2}$.

    En effectuant la somme des deux angles inscrits, on obtient :
    $$\widehat{ADM} + \widehat{APM} = \frac{\theta}{2} + \left(180^\circ - \frac{\theta}{2}\right) = 180^\circ$$

    Deux angles inscrits interceptant la même corde mais situés de part et d'autre de celle-ci sont supplémentaires (leur somme est égale à $180^\circ$).

On considère un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $3\text{ cm}$. On place deux points $A$ et $B$ sur ce cercle tels que l'angle au centre $\widehat{AOB} = 110^\circ$.

Tracer la figure sur votre copie en plaçant un point $C$ sur le grand arc $\widehat{AB}$ et un point $D$ sur le petit arc $\widehat{AB}$.

1. 1. Calculer la mesure de l'angle inscrit $\widehat{ACB}$.

   Indice — Pense au théorème de l'angle inscrit : la mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de celle de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

   Correction

   D'après le théorème de l'angle inscrit, la mesure de l'angle inscrit $\widehat{ACB}$ est égale à la moitié de celle de l'angle au centre $\widehat{AOB}$ qui intercepte le même arc $\widehat{AB}$. On a donc : $\widehat{ACB} = \frac{\widehat{AOB}}{2} = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$.

2. 2. Justifier que le triangle $AOB$ est un triangle isocèle en $O$, puis en déduire la mesure de l'angle $\widehat{OAB}$.

   Indice — Utilise le fait que les segments $[OA]$ et $[OB]$ sont des rayons du cercle, puis applique la règle de la somme des angles dans un triangle.

   Correction

   Les segments $[OA]$ et $[OB]$ sont des rayons du cercle $\mathcal{C}$, donc $OA = OB = 3\text{ cm}$. Le triangle $AOB$ possède deux côtés de même longueur, il est donc isocèle en $O$.

   Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux, soit $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$. Comme la somme des angles d'un triangle est égale à $180^\circ$, on a : $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$ pour la somme des deux angles à la base. On en déduit : $\widehat{OAB} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$.

3. 3. On trace la demi-droite $[Ax)$ perpendiculaire à $[OA)$ en $A$ telle que $[AB)$ soit située à l'intérieur de l'angle droit $\widehat{OAx}$. Les angles $\widehat{OAB}$ et $\widehat{BAx}$ sont donc complémentaires. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAx}$.

   Indice — Rappelle-toi de la définition de deux angles complémentaires : leur somme doit être égale à $90^\circ$.

   Correction

   Par définition, deux angles complémentaires ont une somme égale à $90^\circ$. Puisque $[Ax)$ est perpendiculaire à $[OA)$, l'angle $\widehat{OAx}$ est droit. On a donc : $\widehat{OAB} + \widehat{BAx} = 90^\circ$.

   En utilisant le résultat de la question précédente ($\widehat{OAB} = 35^\circ$), on obtient : $\widehat{BAx} = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

4. 4. Déterminer la mesure de l'angle au centre rentrant $\widehat{AOB}$ associé au grand arc $\widehat{AB}$.

   Indice — L'angle au centre complet fait $360^\circ$. Soustrais l'angle saillant $\widehat{AOB}$ pour obtenir l'angle rentrant.

   Correction

   Un angle au centre complet mesure $360^\circ$. L'angle au centre rentrant $\widehat{AOB}$ associé au grand arc $\widehat{AB}$ s'obtient en soustrayant l'angle saillant de l'angle plein : $360^\circ - 110^\circ = 250^\circ$.

5. 5. En utilisant le résultat de la question précédente, calculer la mesure de l'angle inscrit $\widehat{ADB}$.

   Indice — L'angle inscrit $\widehat{ADB}$ intercepte le grand arc $\widehat{AB}$. Sa mesure est la moitié de l'angle au centre rentrant associé.

   Correction

   D'après le théorème de l'angle inscrit, la mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de celle de l'angle au centre qui intercepte le même arc.
   L'angle au centre rentrant vaut $360^\circ - 110^\circ = 250^\circ$.
   On obtient donc : $\widehat{ADB} = \frac{250^\circ}{2} = 125^\circ$.

6. 6. Calculer la somme des angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ADB}$. Ces deux angles sont-ils complémentaires ou supplémentaires ?

   Indice — Fais la somme des valeurs trouvées aux questions 1 et 5, puis conclus en utilisant les définitions de cours sur les sommes d'angles remarquables.

   Correction

   En effectuant la somme des mesures obtenues, on a : $\widehat{ACB} + \widehat{ADB} = 55^\circ + 125^\circ = 180^\circ$.
   Leur somme étant égale à $180^\circ$, les angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ADB}$ sont supplémentaires.

On considère un cercle $\mathscr{C}$ de centre $O$ et de rayon $3\text{ cm}$.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du cercle $\mathscr{C}$ placés dans cet ordre tels que $\widehat{AOB} = 100^\circ$ et $\widehat{AOC} = 140^\circ$.

1. 1. Faire une figure soignée en respectant les mesures données dans l'énoncé.

   Indice — Utilise un compas pour tracer le cercle et un rapporteur pour placer précisément les points $A$, $B$ et $C$ à partir du centre $O$.

   Correction

   Tracer un cercle de centre $O$ et de rayon $3\text{ cm}$. Placer $A$ sur le cercle, puis reporter au rapporteur les angles au centre $\widehat{AOB} = 100^\circ$ et $\widehat{AOC} = 140^\circ$ pour placer $B$ puis $C$ dans l'ordre indiqué.

2. 2. Calculer la mesure de l'angle au centre $\widehat{BOC}$.

   Indice — Remarque que la demi-droite $[OB)$ partage le secteur angulaire $[OA, OC)$ en deux parties adjacentes.

   Correction

   Les points $A$, $B$ et $C$ étant placés dans cet ordre sur le cercle, les angles au centre $\widehat{AOB}$ et $\widehat{BOC}$ sont adjacents. On a donc $\widehat{BOC} = \widehat{AOC} - \widehat{AOB} = 140^\circ - 100^\circ = 40^\circ$.

3. 3. Justifier que le triangle $OBC$ est isocèle en $O$, puis en déduire la mesure de l'angle $\widehat{OBC}$.

   Indice — Pense à la définition des points d'un cercle par rapport à son centre pour identifier la nature des segments $[OB]$ and $[OC]$.

   Correction

   Les points $B$ et $C$ appartiennent au cercle de centre $O$, donc $OB = OC = 3\text{ cm}$. Le triangle $OBC$ possède deux côtés de même longueur, il est donc isocèle en $O$.

   La somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$ et les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. On en déduit : $\widehat{OBC} = \frac{180^\circ - \widehat{BOC}}{2} = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$.

4. 4. Déterminer la mesure de l'angle au centre rentrant associé à l'angle inscrit $\widehat{ABC}$.

   Indice — L'angle inscrit $\widehat{ABC}$ intercepte le grand arc $AC$. L'angle au centre associé est donc l'angle rentrant $\widehat{AOC}_{\text{rentrant}}$.

   Correction

   L'angle au centre saillant $\widehat{AOC}$ mesure $140^\circ$. L'angle au centre rentrant associé se calcule en complétant à un tour complet ($360^\circ$) : $\widehat{AOC}_{\text{rentrant}} = 360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$.

5. 5. En déduire la mesure de l'angle inscrit $\widehat{ABC}$.

   Indice — Applique la relation entre un angle inscrit et son angle au centre associé. Attention à bien utiliser l'angle rentrant trouvé à la question précédente.

   Correction

   D'après le théorème de l'angle inscrit, la mesure de l'angle inscrit $\widehat{ABC}$ est égale à la moitié de celle de l'angle au centre associé interceptant le même arc (le grand arc $AC$). Cet angle au centre est l'angle rentrant $\widehat{AOC} = 360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$. On a donc : $\widehat{ABC} = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$.

6. 6. À l'aide des résultats des questions 3) et 5), calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABO}$.

   Indice — Utilise la décomposition de l'angle $\widehat{ABC}$ en deux angles adjacents $\widehat{ABO}$ et $\widehat{OBC}$.

   Correction

   Par adjacence des angles, on a la relation $\widehat{ABC} = \widehat{ABO} + \widehat{OBC}$. En utilisant la valeur $\widehat{OBC} = 70^\circ$ obtenue précédemment et $\widehat{ABC} = 110^\circ$, on en déduit par soustraction : $\widehat{ABO} = 110^\circ - 70^\circ = 40^\circ$.

7. 7. On trace la tangente $(T)$ au cercle $\mathscr{C}$ en $A$. Soit $(d)$ la droite parallèle à $(OA)$ passant par $B$. La droite $(d)$ coupe la tangente $(T)$ en un point $E$. Déterminer la mesure de l'angle $\widehat{AEB}$.

   Indice — Rappelle-toi de la propriété géométrique de la tangente en un point du cercle avec le rayon issu de ce point, puis utilise le parallélisme des droites $(OA)$ et $(d)$.

   Correction

   La droite $(T)$ étant la tangente au cercle en $A$, elle est perpendiculaire au rayon $(OA)$ en ce point, soit $(T) \perp (OA)$. De plus, les droites $(OA)$ et $(d)$ sont parallèles. Or, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. On en déduit que $(T) \perp (d)$, ce qui donne $\widehat{AEB} = 90^\circ$.

Dans un plan, on s'intéresse aux relations métriques et angulaires au sein d'un cercle, en combinant les propriétés des angles inscrits, des angles au centre associés et des droites remarquables.

1. 1. Tracer un cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $4\text{ cm}$. Placer un diamètre $[AB]$. Placer un point $M$ sur le cercle $\mathcal{C}$ tel que $\widehat{BOM} = 60^\circ$. Placer le point $N$ diamétralement opposé à $M$. Placer enfin un point $P$ sur le cercle $\mathcal{C}$, du côté opposé à $B$ par rapport à la droite $(MN)$, tel que l'angle inscrit $\widehat{PMN} = 110^\circ$.

   Indice — Utilise ton compas pour tracer le cercle de rayon $4\text{ cm}$, puis ton rapporteur pour mesurer précisément les angles $\widehat{BOM} = 60^\circ$ et $\widehat{PMN} = 110^\circ$.

   Correction

   Tracer le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $4\text{ cm}$, puis placer un diamètre $[AB]$. À l'aide d'un rapporteur, mesurer un angle au centre $\widehat{BOM} = 60^\circ$ pour placer le point $M$ sur le cercle. Placer le point $N$ en traçant la droite $(MO)$ passant par le centre. Enfin, mesurer un angle de $110^\circ$ au sommet $M$ par rapport au segment $[MN]$, du côté opposé à $B$, pour positionner le point $P$ sur le cercle.

2. 2. Justifier que le triangle $AMB$ est rectangle en $M$.

   Indice — Pense à la propriété d'un triangle inscrit dans un cercle dont l'un des côtés est un diamètre du cercle.

   Correction

   Le triangle $AMB$ est inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ et son côté $[AB]$ est un diamètre de ce cercle. D'après la propriété du triangle inscrit dans un demi-cercle, le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ (c'est-à-dire $\widehat{AMB} = 90^\circ$).

3. 3. Déterminer la mesure de l'angle inscrit $\widehat{MAB}$.

   Indice — Utilise la relation entre l'angle inscrit $\widehat{MAB}$ et l'angle au centre associé $\widehat{MOB}$ que tu connais.

   Correction

   L'angle inscrit $\widehat{MAB}$ et l'angle au centre $\widehat{BOM}$ interceptent le même arc $MB$. D'après le théorème de l'angle inscrit, la mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de celle de l'angle au centre associé. On a donc : $\widehat{MAB} = \frac{1}{2} \widehat{BOM} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

4. 4. Déterminer la mesure de l'angle au centre saillant $\widehat{PON}$ associé à l'angle inscrit $\widehat{PMN}$.

   Indice — Attention, l'angle inscrit $\widehat{PMN}$ est obtus. L'angle au centre associé est donc un angle rentrant. Pense à la relation entre cet angle rentrant et l'angle saillant $\widehat{PON}$.

   Correction

   L'angle inscrit $\widehat{PMN} = 110^\circ$ étant obtus, il intercepte le grand arc $PN$. L'angle au centre associé est l'angle rentrant $\widehat{PON}$, qui mesure le double de l'angle inscrit : $2 \times 110^\circ = 220^\circ$. L'angle au centre saillant $\widehat{PON}$ est le complémentaire à $360^\circ$, soit : $\widehat{PON} = 360^\circ - 220^\circ = 140^\circ$.

5. 5. Justifier que le quadrilatère $MPNB$ est inscriptible dans le cercle $\mathcal{C}$, puis en déduire la mesure de l'angle $\widehat{PBN}$.

   Indice — Rappelle-toi de la définition d'un quadrilatère inscriptible et de la propriété fondamentale concernant la somme de ses angles opposés.

   Correction

   Les points $M$, $P$, $N$ et $B$ appartiennent tous au même cercle $\mathcal{C}$, ce qui montre directement que le quadrilatère $MPNB$ est inscriptible dans $\mathcal{C}$. Dans tout quadrilatère inscriptible, la somme des angles opposés vaut $180^\circ$. On a donc $\widehat{PBN} + \widehat{PMN} = 180^\circ$, d'où $\widehat{PBN} = 180^\circ - \widehat{PMN}$.

6. 6. Justifier que le triangle $MBN$ est rectangle en $B$, puis en déduire la mesure de l'angle $\widehat{MBP}$.

   Indice — Utilise le fait que $[MN]$ est un diamètre du cercle pour trouver la nature de $MBN$, puis décompose l'angle droit ainsi obtenu.

   Correction

   Le triangle $MBN$ est inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ et son côté $[MN]$ est un diamètre de ce cercle. D'après le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle, le triangle $MBN$ est rectangle en $B$, donc $\widehat{MBN} = 90^\circ$. Par décomposition de l'angle droit, on obtient $\widehat{MBP} = \widehat{MBN} - \widehat{PBN} = 90^\circ - \widehat{PBN}$.

7. 7. Montrer que le triangle $OPN$ est isocèle en $O$, puis calculer la mesure de l'angle $\widehat{PNM}$.

   Indice — Identifie la nature des segments $[OP]$ et $[ON]$ en tant que rayons du cercle, puis utilise la somme des angles du triangle $OPN$.

   Correction

   Les segments $[OP]$ et $[ON]$ sont deux rayons du cercle $\mathcal{C}$, d'où $OP = ON$. Le triangle $OPN$ possède deux côtés de même longueur, il est donc isocèle en $O$. Il en résulte que les angles à la base $\widehat{OPN}$ et $\widehat{ONP}$ sont égaux. Comme le centre $O$ appartient au diamètre $[MN]$, l'angle $\widehat{PNM}$ correspond à l'angle $\widehat{PNO}$, qui se calcule par $\widehat{PNM} = \frac{180^\circ - \widehat{PON}}{2}$.

8. 8. Soit $(d)$ la tangente au cercle $\mathcal{C}$ en $N$. Soit $T$ le point d'intersection de la droite $(d)$ avec la parallèle à la droite $(MN)$ passant par $P$. Justifier que la droite $(PT)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$.

   Indice — Pense aux positions relatives de la tangente $(d)$ et du rayon $[ON]$, puis utilise la propriété des droites perpendiculaires et parallèles.

   Correction

   La droite $(d)$ étant la tangente au cercle $\mathcal{C}$ en $N$, elle est perpendiculaire au rayon $(ON)$, et donc à la droite $(MN)$. Par construction, la droite $(PT)$ est parallèle à la droite $(MN)$. D'après la propriété des droites parallèles et perpendiculaires, si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre. Par conséquent, la droite $(PT)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$.

9. 9. En utilisant les angles alternes-internes, déterminer la mesure de l'angle $\widehat{TPN}$, puis en déduire la mesure de l'angle $\widehat{PNT}$.

   Indice — Repère les droites parallèles coupées par la sécante $(PN)$ pour trouver $\widehat{TPN}$, puis utilise le fait que le triangle $PTN$ est rectangle en $T$.

   Correction

   Les droites parallèles coupées par la sécante $(PN)$ forment des angles alternes-internes de même mesure, ce qui donne directement la mesure de $\widehat{TPN}$. Le triangle $PTN$ étant rectangle en $T$, ses deux angles aigus sont complémentaires. On calcule donc $\widehat{PNT} = 90^\circ - \widehat{TPN}$.