Théorème de Thalès et sa réciproque — exercices corrigés

On considère un triangle $ABC$ tel que $AB = 6$ cm et $AC = 9$ cm.

Pour tout réel $x \in ]0\,;\,6[$, on place un point $M$ sur le segment $[AB]$ tel que $AM = x$, et un point $N$ sur le segment $[AC]$ tel que $AN = x + 1$.

1. 1) a). Pour $x = 2$, calculer les rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ sous forme de fractions irréductibles.

   Indice — Que valent $\dfrac{2}{6}$ et $\dfrac{3}{9}$ sous forme irréductible ?

   Correction

   Pour $x = 2$, on a $AM = 2$ et $AN = 2 + 1 = 3$.
   On calcule les rapports :
   - $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$
   - $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$

2. 1) b). En déduire la position relative des droites $(MN)$ et $(BC)$ pour $x = 2$. Justifier la réponse.

   Indice — Que constate-t-on entre $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$ sachant que $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ ?

   Correction

   D'après la question précédente, $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1}{3}$.
   Les points $A, M, B$ d'une part et $A, N, C$ d'autre part étant alignés dans le même ordre, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

3. 2). Pour $x = 4$, calculer les rapports $\dfrac{AM}{AB}$ et $\dfrac{AN}{AC}$, puis déterminer la position relative des droites $(MN)$ et $(BC)$.

   Indice — Est-ce que $\dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{9}$ ?

   Correction

   Pour $x = 4$, on a $AM = 4$ et $AN = 5$.
   Les rapports valent $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ (soit $\dfrac{6}{9}$) et $\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{5}{9}$.
   Comme $\dfrac{AM}{AB} \neq \dfrac{AN}{AC}$, d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

4. 3) a). Pour tout réel $x \in ]0\,;\,6[$, exprimer la différence ci-dessous sous la forme d'une fraction de dénominateur $18$ :
   $$\dfrac{AN}{AC} - \dfrac{AM}{AB}$$

   Indice — Que donne la réduction au même dénominateur $18$ de l'expression $\dfrac{x+1}{9} - \dfrac{x}{6}$ ?

   Correction

   Pour tout $x \in ]0\,;\,6[$, $AM = x$ et $AN = x + 1$.
   En réduisant au dénominateur commun $18$ :
   $$\dfrac{AN}{AC} - \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{x+1}{9} - \dfrac{x}{6} = \dfrac{2(x+1) - 3x}{18} = \dfrac{2 - x}{18}$$

5. 3) b). En déduire la valeur exacte de $x$ pour laquelle les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

   Indice — Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $\dfrac{2 - x}{18} = 0$ ?

   Correction

   D'après la question précédente, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles si et seulement si $\dfrac{2 - x}{18} = 0$.

   Un quotient est nul si son numérateur est nul, ce qui donne $2 - x = 0$, soit $x = 2$.

   Cette valeur appartenant à l'intervalle $]0\,;\,6[$, la valeur exacte de $x$ pour laquelle $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles est $x = 2$.

Soit $ABCD$ un trapèze dont les bases $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, avec $AB = 6$ et $CD = 9$.

Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent au point $I$.

Les longueurs des diagonales sont $AC = 15$ et $BD = 20$.

Pour tout point $M$ du segment $[AC]$, on pose $t = AM$.

1. 1). Déterminer la valeur exacte des rapports $\dfrac{IA}{IC}$ et $\dfrac{IB}{ID}$ sous forme de fractions irréductibles.

   Indice — Que vaut $\dfrac{IA}{IC}$ dans la configuration formée par les droites parallèles $(AB)$ et $(CD)$ croisées en $I$ ?

   Correction

   Les droites $(AB)$ et $(CD)$ étant parallèles, le théorème de Thalès appliqué aux triangles $IAB$ et $ICD$ donne :
   $$\frac{IA}{IC} = \frac{IB}{ID} = \frac{AB}{CD} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

2. 2). En déduire les longueurs exactes des segments $[AI]$ et $[IC]$.

   Indice — En posant $x = AI$, quelle égalité obtient-on en exprimant $IC$ en fonction de $x$ ?

   Correction

   Le point $I$ appartient au segment $[AC]$ de longueur $15$, donc $AI + IC = 15$.
   Comme $IC = \frac{3}{2} AI$, on obtient $\frac{5}{2} AI = 15$, ce qui donne $AI = 6$ et $IC = 9$.

3. 3). Déterminer de manière analogue les longueurs exactes des segments $[BI]$ et $[ID]$.

   Indice — En posant $y = BI$, quelle égalité lie $y$, $20 - y$ et le rapport de la question 1) ?

   Correction

   De même sur le segment $[BD]$ de longueur $20$, $BI + ID = 20$ avec $ID = \frac{3}{2} BI$.
   On obtient $\frac{5}{2} BI = 20$, d'où $BI = 8$ et $ID = 12$.

4. 4). Justifier que la position du point $M$ sur le segment $[AC]$ par rapport au point $I$ définit deux sous-intervalles distincts pour la variable $t$, que l'on précisera.

   Indice — Comparer la valeur de $t = AM$ à la longueur calculée du segment $[AI]$.

   Correction

   Le point $M$ parcourt $[AC]$ de longueur $15$, donc $t = AM \in [0, 15]$. Le point $I$ est situé à la distance $AI = 6$ de $A$.
   Selon que $M$ appartient à $[AI]$ ou à $[IC]$, la variable $t$ se situe respectivement dans l'intervalle $[0, 6]$ ou dans $[6, 15]$.

5. 5). Pour $t \in ]0\,;\,6[$, la parallèle à la droite $(BD)$ passant par $M$ coupe le côté $[AB]$ en $P$. Exprimer la longueur $MP$ en fonction de $t$.

   Indice — Dans le triangle $ABI$, quel rapport de longueurs est égal à $\dfrac{AM}{AI}$ ?

   Correction

   Dans le triangle $ABI$, la droite $(MP)$ est parallèle à $(BI)$. D'après le théorème de Thalès :
   $$\dfrac{AM}{AI} = \dfrac{MP}{IB}$$

   Comme $AI = 6$ et $IB = 8$, on obtient $\dfrac{t}{6} = \dfrac{MP}{8}$, ce qui donne $MP = \dfrac{4}{3}t$.

6. 6). Pour $t \in [6\,;\,15[$, la parallèle à la droite $(BD)$ passant par $M$ coupe le côté $[CD]$ en $Q$. Exprimer la longueur $MQ$ en fonction de $t$.

   Indice — Dans le triangle $ICD$, exprimer $MC$ en fonction de $t$ et écrire l'égalité des rapports issus de la parallèle.

   Correction

   Pour $t \in [6\,;\,15[$, le point $M$ appartient au segment $[IC]$ et $MC = 15 - t$.
   Dans le triangle $ICD$, la droite $(MQ)$ est parallèle à $(ID)$. D'après le théorème de Thalès :
   $$\dfrac{CM}{CI} = \dfrac{MQ}{ID}$$

   Comme $CI = 9$ et $ID = 12$, on a $\dfrac{15 - t}{9} = \dfrac{MQ}{12}$, ce qui donne $MQ = \dfrac{4}{3}(15 - t) = 20 - \dfrac{4}{3}t$.

7. 7). Évaluer les deux expressions de $MP$ et $MQ$ pour la valeur frontière $t = 6$ et interpréter géométriquement ce résultat.

   Indice — Calculer la valeur obtenue dans chacune des deux expressions pour $t = 6$.

   Correction

   Pour la valeur frontière $t = 6$, le point $M$ se confond avec le point d'intersection $I$.
   - L'expression de $MP$ donne $\dfrac{4}{3} \times 6 = 8$, ce qui correspond exactement à la longueur $IB$.
   - L'expression de $MQ$ donne $\dfrac{4}{3}(15 - 6) = 12$, ce qui correspond à la longueur $ID$.

   Géométriquement, en $t = 6$, les points $P$ et $Q$ se confondent respectivement avec $B$ et $D$. Les deux segments $[MP]$ et $[MQ]$ se rejoignent en $I$ pour reformer la diagonale entière $[BD]$, dont la longueur vaut $8 + 12 = 20$.

8. 8). Soit $N$ un point du segment $[BI]$ tel que $BN = \dfrac{8}{3}$ et $K$ un point du segment $[AB]$ tel que $BK = 2$. Les droites $(KN)$ et $(AC)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

   Indice — Dans le triangle $ABI$, calculer et comparer $\dfrac{BK}{BA}$ et $\dfrac{BN}{BI}$ en vérifiant l'ordre des points.

   Correction

   Dans le triangle $ABI$, comparons les rapports de longueurs en partant du sommet $B$ :
   - $\dfrac{BK}{BA} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$
   - $\dfrac{BN}{BI} = \dfrac{8/3}{8} = \dfrac{1}{3}$

   Les rapports $\dfrac{BK}{BA}$ et $\dfrac{BN}{BI}$ sont égaux et les points $B, K, A$ d'une part, et $B, N, I$ d'autre part, sont alignés dans cet ordre. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(KN)$ et $(AI)$ (donc la droite $(AC)$) sont parallèles.

On considère deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sécantes en un point $O$ tel que $O \in [AB]$ et $O \in [CD]$.

On donne les longueurs suivantes :
$$OA = 4 \quad ; \quad OB = 6 \quad ; \quad OC = 3 \quad ; \quad OD = \frac{9}{2} \quad ; \quad AC = 5$$

On suppose de plus que les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles.

1. 1. Calculer la longueur $BD$.

   Indice — Que vaut le rapport $\dfrac{OB}{OA}$ en fonction de $BD$ et $AC$ ?

   Correction

   Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes en $O$ et les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, on a l'égalité des rapports :
   $$\frac{OB}{OA} = \frac{BD}{AC}$$
   En remplaçant par les valeurs connues, on obtient :
   $$\frac{6}{4} = \frac{BD}{5}$$
   On en déduit : $BD = 5 \times \frac{6}{4} = \frac{15}{2}$ (ou $7,5$).

2. 2. Soit $P$ un point du segment $[OD]$ tel que $OP = 3$. On considère le point $Q$ de la droite $(AB)$ tel que les droites $(PQ)$ et $(AC)$ soient parallèles. Calculer la longueur $OQ$.

   Indice — Exprime le rapport $\dfrac{OQ}{OA}$ en utilisant la sécante commune contenant $P$.

   Correction

   Les droites $(AQ)$ et $(CP)$ sont sécantes en $O$ et les droites $(PQ)$ et $(AC)$ sont parallèles. En appliquant le théorème de Thalès, on obtient :
   $$\frac{OQ}{OA} = \frac{OP}{OC}$$
   En remplaçant par les valeurs connues ($OA = 4$, $OP = 3$ et $OC = 3$) :
   $$\frac{OQ}{4} = \frac{3}{3} = 1$$
   On en déduit que $OQ = 4$.

3. 3. Déterminer la valeur du rapport $K = \dfrac{OB}{OA}$ et vérifier que :
   $$K = \frac{OD}{OC} = \frac{BD}{AC}$$

   Indice — Compare les valeurs de $\dfrac{OB}{OA}$, $\dfrac{OD}{OC}$ et $\dfrac{BD}{AC}$.

   Correction

   Calculons la valeur de chacun des trois rapports :
   - $K = \frac{OB}{OA} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
   - $\frac{OD}{OC} = \frac{9/2}{3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$
   - $\frac{BD}{AC} = \frac{15/2}{5} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

   Les trois rapports sont bien égaux à $\frac{3}{2}$, ce qui vérifie l'égalité demandée.

4. 4. En déduire la valeur exacte du rapport entre l'aire du triangle $OBD$ et l'aire du triangle $OAC$ sous forme d'une fraction irréductible.

   Indice — Si les longueurs sont multipliées par $K$, par quel facteur l'aire est-elle multipliée ?

   Correction

   Le triangle $OBD$ est un agrandissement du triangle $OAC$ de rapport $K = \frac{3}{2}$.
   Lors d'un agrandissement de rapport $K$, les aires sont multipliées par $K^2$. Le rapport entre l'aire du triangle $OBD$ et celle du triangle $OAC$ est donc :
   $$K^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$
   La valeur exacte du rapport sous forme de fraction irréductible est $\frac{9}{4}$.

5. 5. Soit $k$ un réel strictement positif. On place les points $M$ sur la droite $(AB)$ et $N$ sur la droite $(CD)$ de telle sorte que $O \in [AM]$, $O \in [CN]$, $OM = k \cdot OA$ et $ON = k \cdot OC$. Exprimer les rapports $\dfrac{OM}{OB}$ et $\dfrac{ON}{OD}$ en fonction de $k$.

   Indice — Remplace $OM$ par $k \cdot OA$ dans le rapport $\dfrac{OM}{OB}$.

   Correction

   On exprime chaque rapport en remplaçant $OM$ et $ON$ par leurs expressions en fonction de $k$ :
   $$\frac{OM}{OB} = \frac{k \cdot OA}{OB} = \frac{4k}{6} = \frac{2}{3}k$$
   $$\frac{ON}{OD} = \frac{k \cdot OC}{OD} = \frac{3k}{\frac{9}{2}} = \frac{6k}{9} = \frac{2}{3}k$$

   Les deux rapports sont donc égaux à $\dfrac{2}{3}k$.

6. 6. Exprimer l'aire du triangle $OMN$ en fonction de l'aire du triangle $OAC$ et de $k$.

   Indice — Exprime le produit $OM \times ON$ en fonction de $OA \times OC$.

   Correction

   Les angles $\widehat{MON}$ et $\widehat{AOC}$ sont opposés par le sommet $O$, donc $\sin(\widehat{MON}) = \sin(\widehat{AOC})$.

   En exprimant l'aire du triangle $OMN$ par la formule trigonométrique :
   $$\text{Aire}(OMN) = \frac{1}{2} OM \cdot ON \cdot \sin(\widehat{MON}) = \frac{1}{2} (k \cdot OA)(k \cdot OC) \sin(\widehat{AOC}) = k^2 \cdot \text{Aire}(OAC)$$

   L'aire du triangle $OMN$ est égale à $k^2 \cdot \text{Aire}(OAC)$.

7. 7. Démontrer que pour tout réel $k > 0$, les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles.

   Indice — Que vaut le rapport $\dfrac{OM}{OA}$ ? Compare-le à $\dfrac{ON}{OC}$.

   Correction

   On calcule séparément les rapports d'agrandissement de centre $O$ :
   $$\frac{OM}{OA} = \frac{k \cdot OA}{OA} = k \quad \text{et} \quad \frac{ON}{OC} = \frac{k \cdot OC}{OC} = k$$

   Les rapports $\dfrac{OM}{OA}$ et $\dfrac{ON}{OC}$ sont égaux. Les points $A, O, M$ et $C, O, N$ étant alignés dans le même ordre, les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.

Dans un plan muni d'une configuration géométrique de type concours, on considère un triangle de base associé à des demi-droites et des sécantes permettant d'établir des relations de proportionnalité avancées.

1. 1. Tracer un triangle $ABC$ tel que $AB = 6$ cm, $AC = 4.8$ cm et $BC = 8.4$ cm. Placer le point $E$ sur la demi-droite d'origine $B$ contenant $A$ tel que $BE = 11$ cm, et le point $F$ sur la demi-droite d'origine $C$ contenant $A$ tel que $CF = 8.8$ cm. Calculer les longueurs $AE$ et $AF$.

   Indice — Examine la définition de la demi-droite d'origine $B$ contenant $A$ pour déterminer la position relative des points et la soustraction de longueurs à effectuer.

   Correction

   Le point $E$ appartient à la demi-droite $[BA)$ avec $BE = 11$ cm et $BA = 6$ cm. Comme $BE > BA$, le point $A$ appartient au segment $[BE]$. On en déduit : $AE = BE - AB = 11 - 6 = 5$ cm.

   De même, le point $F$ appartient à la demi-droite $[CA)$ avec $CF = 8,8$ cm et $CA = 4,8$ cm. Comme $CF > CA$, le point $A$ appartient au segment $[CF]$. On en déduit : $AF = CF - AC = 8,8 - 4,8 = 4$ cm.

2. 2. Donner les valeurs exactes des longueurs $AE$ et $AF$ sous forme de nombres décimaux.

   Indice — Vérifie si les valeurs numériques obtenues permettent d'exprimer les longueurs sous forme de nombres décimaux exacts.

   Correction

   Les longueurs obtenues à la question précédente sont des nombres entiers, qui sont des cas particuliers de nombres décimaux. Les valeurs exactes sont donc $AE = 5$ cm et $AF = 4$ cm.

3. 3. Calculer et comparer les rapports de longueurs $\frac{AE}{AB}$ et $\frac{AF}{AC}$.

   Indice — Forme les rapports $\frac{AE}{AB}$ et $\frac{AF}{AC}$ et réduis-les sous forme de fractions irréductibles exactes.

   Correction

   On calcule et simplifie chacun des rapports :
   - $\frac{AE}{AB} = \frac{5}{6}$
   - $\frac{AF}{AC} = \frac{4}{4,8} = \frac{40}{48} = \frac{5}{6}$

   On constate que les deux rapports sont égaux : $\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{5}{6}$.

4. 4. Préciser l'ordre d'alignement des points $E, A, B$ d'une part et $F, A, C$ d'autre part.

   Indice — Observe attentivement l'appartenance des points aux segments et aux demi-droites pour vérifier leur disposition relative.

   Correction

   D'après la position des points établie à la première question :
   - Le point $A$ appartient au segment $[BE]$, donc les points $E, A, B$ sont alignés dans l'ordre $E, A, B$ (ou $B, A, E$).
   - Le point $A$ appartient au segment $[CF]$, donc les points $F, A, C$ sont alignés dans l'ordre $F, A, C$ (ou $C, A, F$).

5. 5. Démontrer que les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles.

   Indice — Mobilise la réciproque du théorème de Thalès en vérifiant toutes ses conditions d'application.

   Correction

   On applique la réciproque du théorème de Thalès dans le triangle $ABC$ avec les points $E$ sur $[AB]$ et $F$ sur $[AC]$. On vérifie que les points $A, E, B$ d'une part, et $A, F, C$ d'autre part, sont alignés dans le même ordre. En constatant l'égalité des rapports $\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$, on conclut que les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles.

6. 6. Considérer un point $I$ situé sur le segment $[AC]$ et isoler un triangle de sommet $A$ incluant $(IM) \parallel (BC)$. Appliquer le théorème de Thalès direct pour exprimer un rapport.

   Indice — Soit $I$ le point d'intersection des diagonales d'un quadrilatère $ABCD$ associé à cette configuration. Considère le sous-triangle formé par l'intersection des diagonales.

   Correction

   Dans le triangle $ABC$, les droites $(IM)$ et $(BC)$ sont parallèles par hypothèse, avec $I \in [AC]$ et $M \in [AB]$. En appliquant le théorème de Thalès direct, on obtient l'égalité des rapports de longueurs : $\frac{AI}{AC} = \frac{AM}{AB}$.

7. 7. Établir un rapport commun servant de pont logique entre les différentes configurations géométriques du double Thalès.

   Indice — Utilise la deuxième diagonale du quadrilatère pour établir un second rapport de proportionnalité lié au même point d'intersection $I$.

   Correction

   En considérant la seconde diagonale $[BD]$ du quadrilatère et en appliquant le théorème de Thalès dans la configuration associée passant par $I$, on obtient un second rapport de proportionnalité. Le rapport lié aux segments de la diagonale contenant $I$ (par exemple $\frac{AI}{AC}$) sert de pont logique commun reliant les deux configurations.

8. 8. Déduire une égalité de rapports entre les côtés du grand triangle par transitivité.

   Indice — Utilise la transitivité de l'égalité des rapports de longueurs pour relier les côtés du grand triangle.

   Correction

   Par transitivité, puisque les deux rapports établis précédemment sont égaux à un même troisième rapport intermédiaire (le pont logique), on en déduit directement l'égalité finale entre les rapports des côtés du grand triangle.

9. 9. Vérifier et formuler l'hypothèse rigoureuse concernant l'ordre d'alignement des points dans le grand triangle final.

   Indice — Formule explicitement la condition indispensable relative à l'ordre d'alignement des points avant de conclure.

   Correction

   Pour appliquer rigoureusement la réciproque du théorème de Thalès, il est indispensable de vérifier l'ordre des points. On formule l'hypothèse suivante : les points $A$, $M$, $B$ d'une part, et $A$, $N$, $C$ d'autre part, sont alignés dans le même ordre sur les droites sécantes.

10. 10. Conclure par la réciproque du théorème de Thalès pour valider le parallélisme final demandé entre les droites de la configuration.

    Indice — Conclus en combinant l'égalité des rapports et l'ordre d'alignement pour obtenir le parallélisme final demandé.

    Correction

    On dispose de l'égalité des rapports de longueurs $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ et de l'alignement des points dans le même ordre établi à la question 9. Par la réciproque du théorème de Thalès, on conclut que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

On considère un trapèze $ABCD$ de bases $[AB]$ et $[CD]$ tel que $(AB) \parallel (CD)$. On donne les longueurs $AB = 6$ et $CD = 9$. Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en un point $I$.

1. 1. Construire une figure soignée en respectant les données de l'énoncé, en plaçant les points $A$, $B$, $C$, $D$ et $I$.

   Indice — Utilise une règle graduée pour tracer deux segments parallèles de longueurs respectives 6 cm et 9 cm, puis relie leurs extrémités pour former le trapèze et ses diagonales.

   Correction

   Tracer deux segments parallèles $[AB]$ et $[CD]$ de longueurs 6 cm et 9 cm. Relier les points $A$ à $D$ et $B$ à $C$ pour former le trapèze $ABCD$, puis tracer les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ qui se coupent en $I$.

2. 2. Déterminer la valeur exacte du rapport $\frac{IA}{IC}$.

   Indice — Identifie la configuration en papillon de sommet $I$ formée par les droites parallèles $(AB)$ et $(CD)$ coupées par les sécantes $(AC)$ et $(BD)$.

   Correction

   Les droites $(AB)$ et $(CD)$ étant parallèles, le théorème de Thalès appliqué à la configuration papillon de sommet $I$ donne : $\frac{IA}{IC} = \frac{AB}{CD} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

3. 3. Soit $M$ le point du segment $[AD]$ tel que $(IM) \parallel (CD)$. Montrer que $\frac{AM}{AD} = \frac{2}{5}$.

   Indice — Applique le théorème de Thalès dans le triangle $ADC$ avec la droite parallèle $(IM)$ pour exprimer le rapport $\frac{AM}{AD}$ à l'aide de $IA$ et $IC$.

   Correction

   Dans le triangle $ADC$, la droite $(IM)$ est parallèle à $(CD)$. D'après le théorème de Thalès, $\frac{AM}{AD} = \frac{AI}{AC}$. Comme $\frac{IA}{IC} = \frac{2}{3}$, on a $AC = AI + IC = \frac{5}{2}AI$. Ainsi, $\frac{AM}{AD} = \frac{AI}{\frac{5}{2}AI} = \frac{2}{5}$.

4. 4. En déduire la longueur du segment $[IM]$ sous forme d'une fraction irréductible.

   Indice — Utilise à nouveau les rapports de Thalès dans le triangle $ADC$ pour exprimer $IM$ en fonction de $CD$ et du rapport $\frac{AM}{AD}$ trouvé précédemment.

   Correction

   Par le théorème de Thalès dans le triangle $ADC$, on a $\frac{IM}{CD} = \frac{AM}{AD} = \frac{2}{5}$. D'où $IM = \frac{2}{5} \times 9 = \frac{18}{5}$.

5. 5. Soit $N$ le point du segment $[BC]$ tel que $(IN) \parallel (CD)$. Déterminer la longueur du segment $[IN]$.

   Indice — Applique une démarche analogue dans le triangle $BDC$ (ou $ABC$) en utilisant la parallèle $(IN)$ pour exprimer $IN$ en fonction de $CD$.

   Correction

   Dans le triangle $BDC$, la droite $(IN)$ est parallèle à $(CD)$. D'après le théorème de Thalès, $\frac{IN}{CD} = \frac{BI}{BD}$. Comme $I$ est le point d'intersection des diagonales du trapèze, on a $\frac{BI}{ID} = \frac{AB}{CD} = \frac{2}{3}$, d'où $\frac{BI}{BD} = \frac{2}{5}$. On en déduit $IN = \frac{2}{5} \times 9 = 3{,}6$.

6. 6. Que représente le point $I$ pour le segment $[MN]$ ? Justifier la réponse.

   Indice — Compare les longueurs $IM$ et $IN$ obtenues aux questions précédentes et utilise la position des points $M$, $I$ et $N$.

   Correction

   Les calculs précédents donnent $IM = 3{,}6$ et $IN = 3{,}6$, soit $IM = IN$. Par ailleurs, les droites $(IM)$ et $(IN)$ étant toutes deux parallèles à $(CD)$ et passant par le point $I$, les points $M$, $I$ et $N$ sont alignés. Le point $I$ est donc le milieu du segment $[MN]$.

7. 7. Soit $P$ un point du segment $[AD]$ distinct de $M$. La droite $(PI)$ coupe la droite $(BC)$ en un point $Q$. On suppose que $(PQ) \parallel (CD)$. Montrer par l'absurde que cette hypothèse est impossible.

   Indice — Suppose que $(PQ) \parallel (CD)$. Compare la droite $(PQ)$ avec la droite $(MN)$ en utilisant l'unicité de la parallèle passant par un point donné.

   Correction

   Supposons par l'absurde que $(PQ) \parallel (CD)$. La droite $(PQ)$ passe par le point $I$ et est parallèle à $(CD)$. Or, la droite $(MN)$ passe également par $I$ et est parallèle à $(CD)$. Par unicité de la parallèle passant par un point donné, les droites $(PQ)$ et $(MN)$ sont confondues. On en déduirait que $P$ est le point d'intersection de $(AD)$ et $(MN)$, soit $P = M$, ce qui contredit l'énoncé. Ainsi, l'hypothèse $(PQ) \parallel (CD)$ est impossible.

8. 8. Les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en un point $K$. Montrer que $\frac{KA}{KD} = \frac{2}{3}$.

   Indice — Considère le triangle $KCD$ où la droite $(AB)$ est parallèle à la base $(CD)$ et applique le théorème de Thalès de sommet $K$.

   Correction

   Dans le triangle $KCD$, la droite $(AB)$ est parallèle au côté $[CD]$. D'après le théorème de Thalès de sommet $K$, on a $\frac{KA}{KD} = \frac{AB}{CD}$. En remplaçant par les valeurs de l'énoncé, $\frac{KA}{KD} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

9. 9. Soit $E$ le milieu du segment $[AB]$, c'est-à-dire $E = A*B$. La droite $(KE)$ coupe la droite $(CD)$ en un point $F$. Montrer que $F$ est le milieu du segment $[CD]$.

   Indice — Exprime le rapport $\frac{KE}{KF}$ de deux manières différentes dans les triangles $KDF$ et $KCF$ à l'aide des segments parallèles $[AE]$ et $[EB]$.

   Correction

   Dans le triangle $KDF$, la droite $(AE)$ est parallèle à $(DF)$. D'après le théorème de Thalès, on a $\frac{KE}{KF} = \frac{AE}{DF}$.

   De même, dans le triangle $KCF$, $(EB) \parallel (FC)$, donc $\frac{KE}{KF} = \frac{EB}{FC}$.

   On en déduit que $\frac{AE}{DF} = \frac{EB}{FC}$. Comme $E$ est le milieu de $[AB]$, $AE = EB$, ce qui implique $DF = FC$. $F$ est donc le milieu de $[CD]$.

10. 10. La droite $(KI)$ coupe le segment $[AB]$ en un point $E'$ et le segment $[CD]$ en un point $F'$. En utilisant les rapports $\frac{AE'}{DF'}$ et $\frac{E'B}{F'C}$, établir que $E'$ est le milieu de $[AB]$ et $F'$ est le milieu de $[CD]$, puis en déduire que les points $K$, $E$, $I$ et $F$ sont alignés.

    Indice — Utilise le théorème de Thalès de sommet $K$ puis de sommet $I$ pour obtenir un système d'équations sur les longueurs $AE'$, $E'B$, $DF'$ et $F'C$.

    Correction

    Par le théorème de Thalès de sommet $K$, les droites parallèles $(AB)$ et $(CD)$ donnent $\frac{AE'}{DF'} = \frac{KE'}{KF'} = \frac{E'B}{F'C}$, d'où $AE' \cdot F'C = E'B \cdot DF'$.

    Par le théorème de Thalès (configuration croisée) de sommet $I$, on a $\frac{AE'}{F'C} = \frac{IE'}{IF'} = \frac{E'B}{DF'}$, d'où $AE' \cdot DF' = E'B \cdot F'C$.

    En combinant ces deux relations, on obtient $AE' = E'B$ et $DF' = F'C$. Ainsi, $E'$ est le milieu $E$ de $[AB]$ et $F'$ est le milieu $F$ de $[CD]$.

    Par conséquent, la droite $(KI)$, qui contient $E'$ et $F'$, contient également $E$ et $F$, ce qui prouve l'alignement des points $K$, $E$, $I$ et $F$.