Rappel · 1

Rappel — Suites majorées, minorées et bornées

Complète les définitions caractérisant les bornes d'une suite réelle $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ :

Remarque

Une suite bornée est à la fois majorée et minorée : il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $m \le u_n \le M$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Point de départ · 2

Soit une suite $(u_n)$ croissante : $u_0 \le u_1 \le u_2 \le \dots$

Supposons que tous ses termes soient bloqués sous une constante, par exemple $u_n \le 5$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Que peut-il advenir des termes de la suite quand $n$ devient très grand ?

Comme $(u_n)$ monte constamment sans jamais pouvoir redescendre ni franchir le plafond 5, ses valeurs se tassent nécessairement : la suite ne peut pas osciller indéfiniment et se rapproche d'une limite finie.

Définition · 3

Théorème de convergence monotone

$\text{Toute suite croissante et majorée est convergente.}$

\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n \le u_{n+1} \quad \text{et} \quad u_n \le M \implies \lim_{n \to +\infty} u_n = l \quad \text{avec} \quad l \le M

$\text{Toute suite décroissante et minorée est convergente.}$

\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} \le u_n \quad \text{et} \quad u_n \ge m \implies \lim_{n \to +\infty} u_n = l \quad \text{avec} \quad l \ge m

Remarque

Si une suite est croissante et non majorée, elle diverge vers $+\infty$ . Si une suite est décroissante et non minorée, elle diverge vers $-\infty$ .

Exemple travaillé · 4

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \ge 1$ par :
$u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}$
Démontre que la suite $(u_n)$ est convergente.

1

On étudie la monotonie en formant la différence de deux termes consécutifs :

u_{n+1} - u_n = \left(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k}\right) - \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}\right)

2

On simplifie les termes communs aux deux sommes et on réduit au même dénominateur :

u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2(n+1)} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)}

3

Pour tout entier $n \ge 1$ , $(2n+1)(2n+2) > 0$ , donc $u_{n+1} - u_n > 0$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

4

On majore chaque terme de la somme par son terme le plus grand :

\forall k \in \{1, \dots, n\}, \quad \frac{1}{n+k} < \frac{1}{n} \implies u_n < \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} = n \times \frac{1}{n} = 1

5

La suite $(u_n)$ est strictement croissante et majorée par 1. D'après le théorème de convergence monotone, $(u_n)$ converge vers un réel $l \le 1$ .

Exemple travaillé · 5

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :
$u_{n+1} = u_n + \frac{2}{u_n}$
Démontre que $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ .

1

Par récurrence immédiate, $u_0 = 1 > 0$ et si $u_n > 0$ , alors $u_{n+1} = u_n + \frac{2}{u_n} > 0$ . Donc $u_n > 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

2

On étudie le sens de variation :

u_{n+1} - u_n = \frac{2}{u_n} > 0

3

La différence étant strictement positive, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

4

Supposons par l'absurde que $(u_n)$ soit majorée. Étant croissante et majorée, elle convergerait vers un réel fini $l$ . Puisque $u_n \ge u_0 = 1$ , on aurait $l \ge 1$ .

5

La fonction $f : x \mapsto x + \frac{2}{x}$ est continue sur $[1 ; +\infty[$ . En passant à la limite dans la relation de récurrence :

l = l + \frac{2}{l} \iff \frac{2}{l} = 0

6

L'équation $\frac{2}{l} = 0$ n'admet aucune solution réelle. L'hypothèse de majoration est donc absurde : la suite $(u_n)$ est croissante et non majorée, elle diverge donc vers $+\infty$ .

Piège classique · 6

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : $u_n = 3 - \frac{2}{n+1}$
Un élève constate que pour tout entier $n$ , $\frac{2}{n+1} > 0$ , d'où $u_n < 5$ .
La suite étant strictement croissante et majorée par 5, il affirme : « Donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 5$ ».
Que penses-tu de sa conclusion ?

Attention

Affirmer que la limite d'une suite croissante est égale à la valeur du majorant utilisé.

À la place : Le théorème garantit uniquement que la limite $l$ existe et satisfait $l \le M$ . Ici, $\lim_{n \to +\infty} \frac{2}{n+1} = 0$ , donc la limite réelle est $l = 3$ (qui est bien strictement inférieure à 5).

Vérification · 7

Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \ge 1$ par : $v_n = -1 + \frac{1}{n^2}$
Quelle conclusion le théorème de convergence monotone permet-il de formuler sur la suite $(v_n)$ ?

Remarque

Pour tout $n \ge 1$ , $v_{n+1} - v_n = \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2} < 0$ , donc la suite est strictement décroissante. De plus, $\frac{1}{n^2} > 0 \implies v_n > -1$ , donc elle est minorée par $-1$ . Le théorème permet de conclure qu'elle converge vers un réel $l \ge -1$ (ici $l = -1$ ).

Point de départ · 8

Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ , où $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ .

Si la suite $(u_n)$ converge vers un réel $l \in I$ , quelle équation la limite $l$ doit-elle obligatoirement vérifier ?

Puisque $(u_n)$ converge vers $l$ , la suite décalée $(u_{n+1})$ converge également vers $l$ .
Comme la fonction $f$ est continue en $l$ , la suite image $(f(u_n))$ converge vers $f(l)$ .
En passant à la limite dans la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ , on obtient l'égalité $l = f(l)$ .

Définition · 9

Théorème du point fixe

f \text{ est une fonction continue sur un intervalle } I \text{ telle que } f(I) \subset I

(u_n) \text{ est définie par } u_0 \in I \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{n+1} = f(u_n)

$\text{Si } (u_n) \text{ converge vers un réel } l \in I, \text{ alors } f(l) = l.$

Remarque

La continuité de $f$ en $l$ est indispensable pour autoriser le passage à la limite. L'équation $f(l) = l$ fournit les valeurs candidates pour la limite : l'encadrement de la suite permet ensuite d'isoler la valeur exacte.

Exemple travaillé · 10

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :
$u_{n+1} = \sqrt{4 + 3u_n}$
On admet que la suite $(u_n)$ est strictement croissante et majorée par 4.
Détermine la limite $l$ de la suite $(u_n)$ .

1

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 4. D'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $l$ vérifiant :

0 \le l \le 4

2

La fonction associée $f : x \mapsto \sqrt{4 + 3x}$ est continue sur l'intervalle $[0 ; 4]$ . D'après le théorème du point fixe, $l$ vérifie $f(l) = l$ :

\sqrt{4 + 3l} = l

3

Comme $l \ge 0$ , on élève au carré les deux membres :

4 + 3l = l^2 \iff l^2 - 3l - 4 = 0

4

On factorise le trinôme du second degré :

(l - 4)(l + 1) = 0

5

L'équation admet deux solutions réelles : $l = 4$ et $l = -1$ .

6

Comme $0 \le l \le 4$ , la solution négative $-1$ est rejetée. On conclut que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 4$ .

Exemple travaillé · 11

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}$ .
On admet que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $0 \le u_n < 4$ .
1. Démontre que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$|u_{n+1} - 4| \le \frac{1}{2}|u_n - 4|$
2. En déduire la limite de la suite $(u_n)$ .

1

On utilise la quantité conjuguée pour transformer la différence :

u_{n+1} - 4 = \sqrt{3u_n + 4} - 4 = \frac{3u_n + 4 - 16}{\sqrt{3u_n + 4} + 4} = \frac{3(u_n - 4)}{\sqrt{3u_n + 4} + 4}

2

Comme $u_n \ge 0$ , on a $\sqrt{3u_n + 4} \ge 2$ , d'où $\sqrt{3u_n + 4} + 4 \ge 6$ .

3

En passant à l'inverse, on majore le quotient numérique :

\frac{3}{\sqrt{3u_n + 4} + 4} \le \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

4

En prenant la valeur absolue, on obtient pour tout entier naturel $n$ :

|u_{n+1} - 4| \le \frac{1}{2}|u_n - 4|

5

Par récurrence immédiate, on en déduit :

|u_n - 4| \le \left(\frac{1}{2}\right)^n |u_0 - 4| = 4\left(\frac{1}{2}\right)^n

6

Comme $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ , par le critère de comparaison avec la valeur absolue, on conclut que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 4$ .

Piège classique · 12

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \frac{1}{2}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :
$u_{n+1} = \frac{2u_n}{1 + u_n^2}$
On a prouvé que $(u_n)$ est croissante et que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\frac{1}{2} \le u_n \le 1$ .
Elle converge donc vers un réel $l$ .
L'équation du point fixe $\frac{2l}{1+l^2} = l$ admet trois solutions réelles : $-1$ , $0$ et $1$ .
Quelle est la limite de la suite $(u_n)$ ?

Attention

Choisir $l = 0$ en pensant que 0 est une solution positive admissible, ou affirmer que la suite a deux limites possibles (0 et 1).

À la place : Pour tout entier $n$ , on a $u_n \ge \frac{1}{2}$ . Par passage à la limite dans les inégalités, on a nécessairement $l \ge \frac{1}{2}$ . Cela élimine $-1$ et $0$ . La seule valeur possible est donc $l = 1$ .

Vérification · 13

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :
$u_{n+1} = 2 + \frac{3}{u_n}$
On admet que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a $u_n \ge 2$ et que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $l$ .
Quelle est la valeur de la limite $l$ ?

Remarque

L'équation du point fixe s'écrit $l = 2 + \frac{3}{l}$ , soit $l^2 - 2l - 3 = 0$ . Les solutions sont $l = 3$ et $l = -1$ . Comme pour tout $n$ , $u_n \ge 2$ , le passage à la limite impose $l \ge 2$ , ce qui élimine $-1$ . La limite est donc $l = 3$ .

Point de départ · 14

Imagine deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ : $(u_n)$ est croissante et avance vers la droite, tandis que $(v_n)$ est décroissante et recule vers la gauche, avec $u_n \le v_n$ à chaque étape.

Si la distance $v_n - u_n$ devient aussi petite que l'on veut quand $n$ tend vers $+\infty$ , que se passe-t-il pour ces deux suites ?

Comme $(u_n)$ monte sans dépasser $(v_n)$ , et $(v_n)$ descend sans passer sous $(u_n)$ , leur écart qui s'annule les force à converger vers un unique point de rencontre : elles emprisonnent une même limite $l$ .

Définition · 15

Définition et théorème des suites adjacentes

$\text{Deux suites } (u_n) \text{ et } (v_n) \text{ sont adjacentes si et seulement si :}$

(u_n) \text{ est croissante et } (v_n) \text{ est décroissante}

\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n \le v_n

\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0

$\text{Théorème : Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite } l.$

$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n \le l \le v_n$

Exemple travaillé · 16

Soient les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0 = 1$ , $v_0 = 2$ , et pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :
$u_{n+1} = \frac{2u_n + v_n}{3} \quad \text{et} \quad v_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3}$
Démontre que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites adjacentes.

1

On étudie la suite différence $w_n = v_n - u_n$ pour tout entier naturel $n$ :

w_{n+1} = v_{n+1} - u_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3} - \frac{2u_n + v_n}{3} = \frac{v_n - u_n}{3} = \frac{1}{3}w_n

2

La suite $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et de premier terme $w_0 = v_0 - u_0 = 1$ . Son terme général est :

w_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n

3

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $w_n > 0$ , ce qui prouve que $v_n - u_n > 0$ , soit $u_n < v_n$ .

4

On détermine le sens de variation de chaque suite en exprimant l'écart avec $w_n$ :

u_{n+1} - u_n = \frac{v_n - u_n}{3} = \frac{w_n}{3} > 0 \implies (u_n) \text{ est strictement croissante}

5

v_{n+1} - v_n = \frac{u_n - v_n}{3} = -\frac{w_n}{3} < 0 \implies (v_n) \text{ est strictement décroissante}

6

Comme $-1 < \frac{1}{3} < 1$ , on calcule la limite de l'écart :

\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = 0

7

$(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ est décroissante, et $\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0$ . Les deux suites sont donc adjacentes.

Exemple travaillé · 17

On reprend les suites adjacentes de l'exemple précédent :
$u_{n+1} = \frac{2u_n + v_n}{3} \quad \text{et} \quad v_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3}$
avec $u_0 = 1$ et $v_0 = 2$ .
Montre que la suite $s_n = u_n + v_n$ est constante, puis détermine la limite commune $l$ de $(u_n)$ et $(v_n)$ .

1

On exprime $s_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $v_n$ :

s_{n+1} = u_{n+1} + v_{n+1} = \frac{2u_n + v_n}{3} + \frac{u_n + 2v_n}{3} = \frac{3u_n + 3v_n}{3} = u_n + v_n = s_n

2

La suite $(s_n)$ est constante : pour tout entier naturel $n$ , on a :

s_n = s_0 = u_0 + v_0 = 1 + 2 = 3

3

Comme les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes, elles convergent vers une même limite finie $l$ . Par passage à la limite dans la relation $u_n + v_n = 3$ :

l + l = 3 \iff 2l = 3 \iff l = \frac{3}{2}

4

D'après la propriété d'encadrement des suites adjacentes, on a pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

u_n \le \frac{3}{2} \le v_n

Piège classique · 18

Soient les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout $n \ge 1$ par :
$u_n = \frac{1}{n} \quad \text{et} \quad v_n = \frac{1}{n+1}$
Un élève calcule $\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0 - 0 = 0$ et remarque que $u_n \ge v_n$ pour tout $n$ .
Il affirme : « Donc les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes ».
Que penses-tu de cette affirmation ?

Attention

Déclarer deux suites adjacentes uniquement parce que leur différence tend vers 0.

À la place : Pour être adjacentes, l'une des suites doit être croissante et l'autre décroissante. Ici, $(u_n)$ et $(v_n)$ sont toutes les deux strictement décroissantes : elles ne sont pas adjacentes.

Vérification · 19

On considère les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies pour tout $n \ge 1$ par :
$u_n = 3 - \frac{2}{n} \quad \text{et} \quad v_n = 3 + \frac{1}{n^2}$
Ces deux suites sont-elles adjacentes ?

Remarque

Pour tout $n \ge 1$ , $u_{n+1} - u_n = \frac{2}{n(n+1)} > 0$ , donc $(u_n)$ est croissante. Pour $(v_n)$ , $v_{n+1} - v_n = \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2} < 0$ , donc $(v_n)$ est décroissante. Enfin, $\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n}\right) = 0$ . Les trois conditions sont vérifiées : les suites sont adjacentes et ont pour limite commune 3.

Point de départ · 20

On considère la somme suivante pour tout $n \ge 1$ :
$S_n = \underbrace{\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n}}_{n \text{ termes}}$
Chaque terme $\frac{1}{n}$ tend individuellement vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$ .
Quelle est la limite de $S_n$ quand $n \to +\infty$ ?

La somme compte $n$ termes tous égaux à $\frac{1}{n}$ : $S_n = n \times \frac{1}{n} = 1$ pour tout entier $n \ge 1$ , donc sa limite est 1.
Cela prouve qu'on ne peut jamais passer à la limite terme à terme dans une somme dont le nombre de termes augmente avec $n$ .

Définition · 21

Théorème des gendarmes et sommes dépendantes de n

$\text{Soient } (u_n), (v_n) \text{ et } (w_n) \text{ trois suites réelles.}$

\exists N_0 \in \mathbb{N}, \; \forall n \ge N_0, \quad v_n \le u_n \le w_n

\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = L \quad (L \in \mathbb{R})

$\lim_{n \to +\infty} u_n = L$

Remarque

Pour déterminer la limite d'une somme de $n$ termes dépendants de $n$ , on encadre le terme général par deux valeurs indépendantes de l'indice de sommation, puis on multiplie ces bornes par le nombre total de termes avant de passer à la limite.

Exemple travaillé · 22

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par :
$u_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k} = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + \dots + \frac{n}{n^2+n}$
Détermine la limite de la suite $(u_n)$ .

1

Pour tout entier $k$ tel que $1 \le k \le n$ , on encadre le dénominateur :

n^2 + 1 \le n^2 + k \le n^2 + n

2

La fonction inverse étant strictement décroissante sur les réels strictement positifs :

\frac{1}{n^2 + n} \le \frac{1}{n^2 + k} \le \frac{1}{n^2 + 1}

3

On multiplie par le numérateur $n > 0$ , puis on additionne ces $n$ inégalités pour $k$ allant de 1 à $n$ :

n \times \frac{n}{n^2 + n} \le \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k} \le n \times \frac{n}{n^2 + 1} \iff \frac{n^2}{n^2 + n} \le u_n \le \frac{n^2}{n^2 + 1}

4

On évalue la limite des bornes en factorisant par les termes dominants :

\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n^2 + n} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} = 1

5

D'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ converge et :

\lim_{n \to +\infty} u_n = 1

Exemple travaillé · 23

Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par :
$v_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$
Détermine la limite de la suite $(v_n)$ .

1

Pour tout entier $k \in \{1, \dots, n\}$ , on encadre l'expression sous la racine :

n^2 + 1 \le n^2 + k \le n^2 + n

2

La fonction $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$ étant strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$ :

\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}

3

La somme compte exactement $n$ termes. En sommant membre à membre :

\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} \le v_n \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}

4

On factorise $n^2$ sous le radical pour simplifier les bornes :

\frac{n}{\sqrt{n^2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}} = \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}

5

On calcule les limites des deux bornes à l'infini :

\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}} = 1

6

D'après le théorème des gendarmes, la suite $(v_n)$ converge vers 1 :

\lim_{n \to +\infty} v_n = 1

Piège classique · 24

Soit la suite $(w_n)$ définie pour tout $n \ge 1$ par : $w_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}$
Un élève affirme : « Pour tout entier $k$ , $\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n^2+k^2} = 0$ , donc en additionnant ces zéros, on a $\lim_{n \to +\infty} w_n = 0$ ».
Que penses-tu de son raisonnement ?

Attention

Calculer la limite de chaque terme isolément dans une somme de $n$ termes pour conclure que la somme globale tend vers 0.

À la place : Le théorème de la limite d'une somme ne s'applique qu'à un nombre fixe de termes. Quand le nombre de termes tend vers $+\infty$ , l'accumulation d'une infinité de petites valeurs peut converger vers un réel non nul : il est indispensable d'encadrer globalement la somme.

Vérification · 25

On considère la suite $(S_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par :
$S_n = \sum_{k=0}^{2n+1} \frac{n}{n^2+k} = \frac{n}{n^2} + \frac{n}{n^2+1} + \dots + \frac{n}{n^2+2n+1}$
Combien de termes comporte cette somme et quelle est sa limite quand $n \to +\infty$ ?

Remarque

L'indice $k$ varie de 0 à $2n+1$ , donc la somme comporte $(2n+1) - 0 + 1 = 2n+2$ termes.
Pour $0 \le k \le 2n+1$ , on a $n^2 \le n^2+k \le n^2+2n+1 = (n+1)^2$ .
En sommant les $2n+2$ termes : $\frac{n(2n+2)}{(n+1)^2} \le S_n \le \frac{n(2n+2)}{n^2}$ .
Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2+2n}{(n+1)^2} = 2$ et $\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2+2n}{n^2} = 2$ , le théorème des gendarmes donne $\lim_{n \to +\infty} S_n = 2$ .

Point de départ · 26

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = (-1)^n$ .

Si on sépare les termes selon la parité de leur indice en observant d'un côté les indices pairs $n = 2k$ et de l'autre les indices impairs $n = 2k+1$ , que constate-t-on ?

Pour tout entier $k$ , $u_{2k} = (-1)^{2k} = 1$ et $u_{2k+1} = (-1)^{2k+1} = -1$ .
Les valeurs se scindent en deux sous-suites constantes distinctes qui ne se rejoignent jamais : la suite globale $(u_n)$ oscille indéfiniment sans converger vers une valeur unique.

Définition · 27

Théorème de convergence par sous-suites de rangs pairs et impairs

$\lim_{n \to +\infty} u_n = l \iff \left(\lim_{n \to +\infty} u_{2n} = l \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} u_{2n+1} = l\right)$

Remarque

Ce théorème s'applique que la limite $l$ soit un réel fini ou infinie ( $+\infty$ ou $-\infty$ ). Si les deux sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ admettent des limites différentes, la suite $(u_n)$ n'a pas de limite et diverge.

Exemple travaillé · 28

Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :
$u_n = \frac{n + (-1)^n}{2n + (-1)^{n+1}}$
Étudie la convergence de la suite $(u_n)$ .

1

On exprime la sous-suite des termes de rang pair en remplaçant $n$ par $2n$ :

u_{2n} = \frac{2n + (-1)^{2n}}{2(2n) + (-1)^{2n+1}} = \frac{2n + 1}{4n - 1}

2

On calcule la limite de $(u_{2n})$ en factorisant par le terme dominant $n$ :

\lim_{n \to +\infty} u_{2n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n}{4n} = \frac{1}{2}

3

On exprime la sous-suite des termes de rang impair en remplaçant $n$ par $2n+1$ :

u_{2n+1} = \frac{2n + 1 + (-1)^{2n+1}}{2(2n+1) + (-1)^{2n+2}} = \frac{2n + 1 - 1}{4n + 2 + 1} = \frac{2n}{4n + 3}

4

On calcule la limite de $(u_{2n+1})$ :

\lim_{n \to +\infty} u_{2n+1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n}{4n} = \frac{1}{2}

5

Les deux sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $\frac{1}{2}$ . D'après le théorème des sous-suites, $(u_n)$ converge et $\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{2}$ .

Exemple travaillé · 29

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :
$u_{n+1} = 1 + \frac{1}{1 + u_n}$
Calcule $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ , puis justifie que la suite $(u_n)$ n'est pas monotone.

1

On calcule les premiers termes de la suite :

u_1 = 1 + \frac{1}{1 + 1} = \frac{3}{2} = 1{,}5

2

u_2 = 1 + \frac{1}{1 + \frac{3}{2}} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5} = 1{,}4

3

u_3 = 1 + \frac{1}{1 + \frac{7}{5}} = 1 + \frac{5}{12} = \frac{17}{12} \approx 1{,}42

4

On compare les termes consécutifs : $u_0 < u_1$ , mais $u_1 > u_2$ et $u_2 < u_3$ .

5

La suite n'étant ni croissante ni décroissante, elle n'est pas monotone. La fonction associée $f : x \mapsto 1 + \frac{1}{1+x}$ étant strictement décroissante, elle inverse l'ordre à chaque itération : les termes oscillent de part et d'autre de la limite.

Piège classique · 30

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :
$u_{n+1} = \frac{3}{u_n + 1}$
Un élève calcule $u_1 = \frac{3}{1+1} = 1{,}5$ . Constatant que $u_1 > u_0$ , il affirme : « Donc par récurrence, la suite $(u_n)$ est strictement croissante ».
Que penses-tu de son affirmation ?

Attention

Conclure à la croissance globale d'une suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ dès que $u_1 > u_0$ , sans vérifier le sens de variation de la fonction $f$ .

À la place : L'implication $u_n \le u_{n+1} \implies f(u_n) \le f(u_{n+1})$ n'est vraie que si $f$ est croissante. Ici, $f : x \mapsto \frac{3}{x+1}$ est strictement décroissante, ce qui donne $u_2 = \frac{3}{1{,}5+1} = 1{,}2 < u_1$ . La suite oscille et n'est pas monotone.

Vérification · 31

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout $n \ge 1$ par :
$v_n = (-1)^n + \frac{1}{n}$
Que peut-on conclure quant à la convergence de la suite $(v_n)$ ?

Remarque

Pour les indices pairs : $v_{2n} = (-1)^{2n} + \frac{1}{2n} = 1 + \frac{1}{2n}$ , d'où $\lim_{n \to +\infty} v_{2n} = 1$ .
Pour les indices impairs : $v_{2n+1} = (-1)^{2n+1} + \frac{1}{2n+1} = -1 + \frac{1}{2n+1}$ , d'où $\lim_{n \to +\infty} v_{2n+1} = -1$ .
Les deux sous-suites admettent des limites distinctes ( $1 \ne -1$ ), donc la suite $(v_n)$ ne possède pas de limite : elle diverge.

Suites réelles — cours

Le cours

Rappel — Suites majorées, minorées et bornées

Théorème de convergence monotone

Théorème du point fixe

Définition et théorème des suites adjacentes

Théorème des gendarmes et sommes dépendantes de n

Théorème de convergence par sous-suites de rangs pairs et impairs

Chapitres liés

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