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Suites réelles — cours

4ème année (Bac) · section Sciences expérimentales · mathématiques, programme officiel tunisien.

Exercices corrigés : Suites réelles Maths 4ème année (Bac) Sciences expérimentales

Le cours

Rappel · 1

Rappel — Suites majorées, minorées et bornées

Complète les définitions caractérisant les bornes d'une suite réelle (un)(u_n) définie sur N\mathbb{N} :

Remarque

Une suite bornée est à la fois majorée et minorée : il existe deux réels mm et MM tels que m≤un≤Mm \le u_n \le M pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

Point de départ · 2

Soit une suite (un)(u_n) croissante : u0≤u1≤u2≤…u_0 \le u_1 \le u_2 \le \dots

Supposons que tous ses termes soient bloqués sous une constante, par exemple un≤5u_n \le 5 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

Que peut-il advenir des termes de la suite quand nn devient très grand ?

Comme (un)(u_n) monte constamment sans jamais pouvoir redescendre ni franchir le plafond 5, ses valeurs se tassent nécessairement : la suite ne peut pas osciller indéfiniment et se rapproche d'une limite finie.

Définition · 3

Théorème de convergence monotone

Toute suite croissante et majoreˊe est convergente.\text{Toute suite croissante et majorée est convergente.}

∀n∈N,un≤un+1etun≤M  ⟹  lim⁡n→+∞un=lavecl≤M\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n \le u_{n+1} \quad \text{et} \quad u_n \le M \implies \lim_{n \to +\infty} u_n = l \quad \text{avec} \quad l \le M

Toute suite deˊcroissante et minoreˊe est convergente.\text{Toute suite décroissante et minorée est convergente.}

∀n∈N,un+1≤unetun≥m  ⟹  lim⁡n→+∞un=lavecl≥m\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} \le u_n \quad \text{et} \quad u_n \ge m \implies \lim_{n \to +\infty} u_n = l \quad \text{avec} \quad l \ge m

Remarque

Si une suite est croissante et non majorée, elle diverge vers +∞+\infty. Si une suite est décroissante et non minorée, elle diverge vers −∞-\infty.

Exemple travaillé · 4

Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout n≥1n \ge 1 par :
un=∑k=1n1n+k=1n+1+1n+2+⋯+12nu_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}
Démontre que la suite (un)(u_n) est convergente.

1

On étudie la monotonie en formant la différence de deux termes consécutifs :

un+1−un=(∑k=1n+11n+1+k)−(∑k=1n1n+k)u_{n+1} - u_n = \left(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k}\right) - \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}\right)
2

On simplifie les termes communs aux deux sommes et on réduit au même dénominateur :

un+1−un=12n+1+12n+2−1n+1=12n+1−12(n+1)=1(2n+1)(2n+2)u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2(n+1)} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)}
3

Pour tout entier n≥1n \ge 1, (2n+1)(2n+2)>0(2n+1)(2n+2) > 0, donc un+1−un>0u_{n+1} - u_n > 0 : la suite (un)(u_n) est strictement croissante.

4

On majore chaque terme de la somme par son terme le plus grand :

∀k∈{1,…,n},1n+k<1n  ⟹  un<∑k=1n1n=n×1n=1\forall k \in \{1, \dots, n\}, \quad \frac{1}{n+k} < \frac{1}{n} \implies u_n < \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} = n \times \frac{1}{n} = 1
5

La suite (un)(u_n) est strictement croissante et majorée par 1. D'après le théorème de convergence monotone, (un)(u_n) converge vers un réel l≤1l \le 1.

Exemple travaillé · 5

Soit la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0 = 1 et pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par :
un+1=un+2unu_{n+1} = u_n + \frac{2}{u_n}
Démontre que lim⁡n→+∞un=+∞\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty.

1

Par récurrence immédiate, u0=1>0u_0 = 1 > 0 et si un>0u_n > 0, alors un+1=un+2un>0u_{n+1} = u_n + \frac{2}{u_n} > 0. Donc un>0u_n > 0 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

2

On étudie le sens de variation :

un+1−un=2un>0u_{n+1} - u_n = \frac{2}{u_n} > 0
3

La différence étant strictement positive, la suite (un)(u_n) est strictement croissante.

4

Supposons par l'absurde que (un)(u_n) soit majorée. Étant croissante et majorée, elle convergerait vers un réel fini ll. Puisque un≥u0=1u_n \ge u_0 = 1, on aurait l≥1l \ge 1.

5

La fonction f:x↦x+2xf : x \mapsto x + \frac{2}{x} est continue sur [1;+∞[[1 ; +\infty[. En passant à la limite dans la relation de récurrence :

l=l+2l  ⟺  2l=0l = l + \frac{2}{l} \iff \frac{2}{l} = 0
6

L'équation 2l=0\frac{2}{l} = 0 n'admet aucune solution réelle. L'hypothèse de majoration est donc absurde : la suite (un)(u_n) est croissante et non majorée, elle diverge donc vers +∞+\infty.

Piège classique · 6

On considère la suite (un)(u_n) définie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par : un=3−2n+1u_n = 3 - \frac{2}{n+1}
Un élève constate que pour tout entier nn, 2n+1>0\frac{2}{n+1} > 0, d'où un<5u_n < 5.
La suite étant strictement croissante et majorée par 5, il affirme : « Donc lim⁡n→+∞un=5\lim_{n \to +\infty} u_n = 5 ».
Que penses-tu de sa conclusion ?

Attention

Affirmer que la limite d'une suite croissante est égale à la valeur du majorant utilisé.

À la place : Le théorème garantit uniquement que la limite ll existe et satisfait l≤Ml \le M. Ici, lim⁡n→+∞2n+1=0\lim_{n \to +\infty} \frac{2}{n+1} = 0, donc la limite réelle est l=3l = 3 (qui est bien strictement inférieure à 5).

Vérification · 7

Soit la suite (vn)(v_n) définie pour tout n≥1n \ge 1 par : vn=−1+1n2v_n = -1 + \frac{1}{n^2}
Quelle conclusion le théorème de convergence monotone permet-il de formuler sur la suite (vn)(v_n) ?

Remarque

Pour tout n≥1n \ge 1, vn+1−vn=1(n+1)2−1n2<0v_{n+1} - v_n = \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2} < 0, donc la suite est strictement décroissante. De plus, 1n2>0  ⟹  vn>−1\frac{1}{n^2} > 0 \implies v_n > -1, donc elle est minorée par −1-1. Le théorème permet de conclure qu'elle converge vers un réel l≥−1l \ge -1 (ici l=−1l = -1).

Point de départ · 8

Soit (un)(u_n) une suite définie par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), où ff est une fonction continue sur un intervalle II.

Si la suite (un)(u_n) converge vers un réel l∈Il \in I, quelle équation la limite ll doit-elle obligatoirement vérifier ?

Puisque (un)(u_n) converge vers ll, la suite décalée (un+1)(u_{n+1}) converge également vers ll.
Comme la fonction ff est continue en ll, la suite image (f(un))(f(u_n)) converge vers f(l)f(l).
En passant à la limite dans la relation un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), on obtient l'égalité l=f(l)l = f(l).

Définition · 9

Théorème du point fixe

f est une fonction continue sur un intervalle I telle que f(I)⊂If \text{ est une fonction continue sur un intervalle } I \text{ telle que } f(I) \subset I
(un) est deˊfinie par u0∈Iet∀n∈N,  un+1=f(un)(u_n) \text{ est définie par } u_0 \in I \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{n+1} = f(u_n)

Si (un) converge vers un reˊel l∈I, alors f(l)=l.\text{Si } (u_n) \text{ converge vers un réel } l \in I, \text{ alors } f(l) = l.

Remarque

La continuité de ff en ll est indispensable pour autoriser le passage à la limite. L'équation f(l)=lf(l) = l fournit les valeurs candidates pour la limite : l'encadrement de la suite permet ensuite d'isoler la valeur exacte.

Exemple travaillé · 10

Soit la suite (un)(u_n) définie par u0=0u_0 = 0 et pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par :
un+1=4+3unu_{n+1} = \sqrt{4 + 3u_n}
On admet que la suite (un)(u_n) est strictement croissante et majorée par 4.
Détermine la limite ll de la suite (un)(u_n).

1

La suite (un)(u_n) est croissante et majorée par 4. D'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel ll vérifiant :

0≤l≤40 \le l \le 4
2

La fonction associée f:x↦4+3xf : x \mapsto \sqrt{4 + 3x} est continue sur l'intervalle [0;4][0 ; 4]. D'après le théorème du point fixe, ll vérifie f(l)=lf(l) = l :

4+3l=l\sqrt{4 + 3l} = l
3

Comme l≥0l \ge 0, on élève au carré les deux membres :

4+3l=l2  ⟺  l2−3l−4=04 + 3l = l^2 \iff l^2 - 3l - 4 = 0
4

On factorise le trinôme du second degré :

(l−4)(l+1)=0(l - 4)(l + 1) = 0
5

L'équation admet deux solutions réelles : l=4l = 4 et l=−1l = -1.

6

Comme 0≤l≤40 \le l \le 4, la solution négative −1-1 est rejetée. On conclut que lim⁡n→+∞un=4\lim_{n \to +\infty} u_n = 4.

Exemple travaillé · 11

Soit la suite (un)(u_n) définie par u0=0u_0 = 0 et pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par un+1=3un+4u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}.
On admet que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, on a 0≤un<40 \le u_n < 4.
1. Démontre que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :
∣un+1−4∣≤12∣un−4∣|u_{n+1} - 4| \le \frac{1}{2}|u_n - 4|
2. En déduire la limite de la suite (un)(u_n).

1

On utilise la quantité conjuguée pour transformer la différence :

un+1−4=3un+4−4=3un+4−163un+4+4=3(un−4)3un+4+4u_{n+1} - 4 = \sqrt{3u_n + 4} - 4 = \frac{3u_n + 4 - 16}{\sqrt{3u_n + 4} + 4} = \frac{3(u_n - 4)}{\sqrt{3u_n + 4} + 4}
2

Comme un≥0u_n \ge 0, on a 3un+4≥2\sqrt{3u_n + 4} \ge 2, d'où 3un+4+4≥6\sqrt{3u_n + 4} + 4 \ge 6.

3

En passant à l'inverse, on majore le quotient numérique :

33un+4+4≤36=12\frac{3}{\sqrt{3u_n + 4} + 4} \le \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
4

En prenant la valeur absolue, on obtient pour tout entier naturel nn :

∣un+1−4∣≤12∣un−4∣|u_{n+1} - 4| \le \frac{1}{2}|u_n - 4|
5

Par récurrence immédiate, on en déduit :

∣un−4∣≤(12)n∣u0−4∣=4(12)n|u_n - 4| \le \left(\frac{1}{2}\right)^n |u_0 - 4| = 4\left(\frac{1}{2}\right)^n
6

Comme lim⁡n→+∞(12)n=0\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0, par le critère de comparaison avec la valeur absolue, on conclut que lim⁡n→+∞un=4\lim_{n \to +\infty} u_n = 4.

Piège classique · 12

Soit la suite (un)(u_n) définie par u0=12u_0 = \frac{1}{2} et pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par :
un+1=2un1+un2u_{n+1} = \frac{2u_n}{1 + u_n^2}
On a prouvé que (un)(u_n) est croissante et que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, 12≤un≤1\frac{1}{2} \le u_n \le 1.
Elle converge donc vers un réel ll.
L'équation du point fixe 2l1+l2=l\frac{2l}{1+l^2} = l admet trois solutions réelles : −1-1, 00 et 11.
Quelle est la limite de la suite (un)(u_n) ?

Attention

Choisir l=0l = 0 en pensant que 0 est une solution positive admissible, ou affirmer que la suite a deux limites possibles (0 et 1).

À la place : Pour tout entier nn, on a un≥12u_n \ge \frac{1}{2}. Par passage à la limite dans les inégalités, on a nécessairement l≥12l \ge \frac{1}{2}. Cela élimine −1-1 et 00. La seule valeur possible est donc l=1l = 1.

Vérification · 13

On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=3u_0 = 3 et pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par :
un+1=2+3unu_{n+1} = 2 + \frac{3}{u_n}
On admet que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, on a un≥2u_n \ge 2 et que la suite (un)(u_n) converge vers un réel ll.
Quelle est la valeur de la limite ll ?

Remarque

L'équation du point fixe s'écrit l=2+3ll = 2 + \frac{3}{l}, soit l2−2l−3=0l^2 - 2l - 3 = 0. Les solutions sont l=3l = 3 et l=−1l = -1. Comme pour tout nn, un≥2u_n \ge 2, le passage à la limite impose l≥2l \ge 2, ce qui élimine −1-1. La limite est donc l=3l = 3.

Point de départ · 14

Imagine deux suites réelles (un)(u_n) et (vn)(v_n) : (un)(u_n) est croissante et avance vers la droite, tandis que (vn)(v_n) est décroissante et recule vers la gauche, avec un≤vnu_n \le v_n à chaque étape.

Si la distance vn−unv_n - u_n devient aussi petite que l'on veut quand nn tend vers +∞+\infty, que se passe-t-il pour ces deux suites ?

Comme (un)(u_n) monte sans dépasser (vn)(v_n), et (vn)(v_n) descend sans passer sous (un)(u_n), leur écart qui s'annule les force à converger vers un unique point de rencontre : elles emprisonnent une même limite ll.

Définition · 15

Définition et théorème des suites adjacentes

Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes si et seulement si :\text{Deux suites } (u_n) \text{ et } (v_n) \text{ sont adjacentes si et seulement si :}

(un) est croissante et (vn) est deˊcroissante(u_n) \text{ est croissante et } (v_n) \text{ est décroissante}
∀n∈N,un≤vn\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n \le v_n
lim⁡n→+∞(vn−un)=0\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0

Theˊoreˋme : Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la meˆme limite l.\text{Théorème : Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite } l.

∀n∈N,un≤l≤vn\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n \le l \le v_n

Exemple travaillé · 16

Soient les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) définies par u0=1u_0 = 1, v0=2v_0 = 2, et pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par :
un+1=2un+vn3etvn+1=un+2vn3u_{n+1} = \frac{2u_n + v_n}{3} \quad \text{et} \quad v_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3}
Démontre que (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont deux suites adjacentes.

1

On étudie la suite différence wn=vn−unw_n = v_n - u_n pour tout entier naturel nn :

wn+1=vn+1−un+1=un+2vn3−2un+vn3=vn−un3=13wnw_{n+1} = v_{n+1} - u_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3} - \frac{2u_n + v_n}{3} = \frac{v_n - u_n}{3} = \frac{1}{3}w_n
2

La suite (wn)(w_n) est une suite géométrique de raison 13\frac{1}{3} et de premier terme w0=v0−u0=1w_0 = v_0 - u_0 = 1. Son terme général est :

wn=(13)nw_n = \left(\frac{1}{3}\right)^n
3

Pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, wn>0w_n > 0, ce qui prouve que vn−un>0v_n - u_n > 0, soit un<vnu_n < v_n.

4

On détermine le sens de variation de chaque suite en exprimant l'écart avec wnw_n :

un+1−un=vn−un3=wn3>0  ⟹  (un) est strictement croissanteu_{n+1} - u_n = \frac{v_n - u_n}{3} = \frac{w_n}{3} > 0 \implies (u_n) \text{ est strictement croissante}
5
vn+1−vn=un−vn3=−wn3<0  ⟹  (vn) est strictement deˊcroissantev_{n+1} - v_n = \frac{u_n - v_n}{3} = -\frac{w_n}{3} < 0 \implies (v_n) \text{ est strictement décroissante}
6

Comme −1<13<1-1 < \frac{1}{3} < 1, on calcule la limite de l'écart :

lim⁡n→+∞(vn−un)=lim⁡n→+∞(13)n=0\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = 0
7

(un)(u_n) est croissante, (vn)(v_n) est décroissante, et lim⁡n→+∞(vn−un)=0\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = 0. Les deux suites sont donc adjacentes.

Exemple travaillé · 17

On reprend les suites adjacentes de l'exemple précédent :
un+1=2un+vn3etvn+1=un+2vn3u_{n+1} = \frac{2u_n + v_n}{3} \quad \text{et} \quad v_{n+1} = \frac{u_n + 2v_n}{3}
avec u0=1u_0 = 1 et v0=2v_0 = 2.
Montre que la suite sn=un+vns_n = u_n + v_n est constante, puis détermine la limite commune ll de (un)(u_n) et (vn)(v_n).

1

On exprime sn+1s_{n+1} en fonction de unu_n et vnv_n :

sn+1=un+1+vn+1=2un+vn3+un+2vn3=3un+3vn3=un+vn=sns_{n+1} = u_{n+1} + v_{n+1} = \frac{2u_n + v_n}{3} + \frac{u_n + 2v_n}{3} = \frac{3u_n + 3v_n}{3} = u_n + v_n = s_n
2

La suite (sn)(s_n) est constante : pour tout entier naturel nn, on a :

sn=s0=u0+v0=1+2=3s_n = s_0 = u_0 + v_0 = 1 + 2 = 3
3

Comme les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont adjacentes, elles convergent vers une même limite finie ll. Par passage à la limite dans la relation un+vn=3u_n + v_n = 3 :

l+l=3  ⟺  2l=3  ⟺  l=32l + l = 3 \iff 2l = 3 \iff l = \frac{3}{2}
4

D'après la propriété d'encadrement des suites adjacentes, on a pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :

un≤32≤vnu_n \le \frac{3}{2} \le v_n

Piège classique · 18

Soient les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) définies pour tout n≥1n \ge 1 par :
un=1netvn=1n+1u_n = \frac{1}{n} \quad \text{et} \quad v_n = \frac{1}{n+1}
Un élève calcule lim⁡n→+∞(un−vn)=0−0=0\lim_{n \to +\infty} (u_n - v_n) = 0 - 0 = 0 et remarque que un≥vnu_n \ge v_n pour tout nn.
Il affirme : « Donc les suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont adjacentes ».
Que penses-tu de cette affirmation ?

Attention

Déclarer deux suites adjacentes uniquement parce que leur différence tend vers 0.

À la place : Pour être adjacentes, l'une des suites doit être croissante et l'autre décroissante. Ici, (un)(u_n) et (vn)(v_n) sont toutes les deux strictement décroissantes : elles ne sont pas adjacentes.

Vérification · 19

On considère les deux suites (un)(u_n) et (vn)(v_n) définies pour tout n≥1n \ge 1 par :
un=3−2netvn=3+1n2u_n = 3 - \frac{2}{n} \quad \text{et} \quad v_n = 3 + \frac{1}{n^2}
Ces deux suites sont-elles adjacentes ?

Remarque

Pour tout n≥1n \ge 1, un+1−un=2n(n+1)>0u_{n+1} - u_n = \frac{2}{n(n+1)} > 0, donc (un)(u_n) est croissante. Pour (vn)(v_n), vn+1−vn=1(n+1)2−1n2<0v_{n+1} - v_n = \frac{1}{(n+1)^2} - \frac{1}{n^2} < 0, donc (vn)(v_n) est décroissante. Enfin, lim⁡n→+∞(vn−un)=lim⁡n→+∞(1n2+2n)=0\lim_{n \to +\infty} (v_n - u_n) = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n}\right) = 0. Les trois conditions sont vérifiées : les suites sont adjacentes et ont pour limite commune 3.

Point de départ · 20

On considère la somme suivante pour tout n≥1n \ge 1 :
Sn=1n+1n+⋯+1n⏟n termesS_n = \underbrace{\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n}}_{n \text{ termes}}
Chaque terme 1n\frac{1}{n} tend individuellement vers 0 quand nn tend vers +∞+\infty.
Quelle est la limite de SnS_n quand n→+∞n \to +\infty ?

La somme compte nn termes tous égaux à 1n\frac{1}{n} : Sn=n×1n=1S_n = n \times \frac{1}{n} = 1 pour tout entier n≥1n \ge 1, donc sa limite est 1.
Cela prouve qu'on ne peut jamais passer à la limite terme à terme dans une somme dont le nombre de termes augmente avec nn.

Définition · 21

Théorème des gendarmes et sommes dépendantes de n

Soient (un),(vn) et (wn) trois suites reˊelles.\text{Soient } (u_n), (v_n) \text{ et } (w_n) \text{ trois suites réelles.}

∃N0∈N,  ∀n≥N0,vn≤un≤wn\exists N_0 \in \mathbb{N}, \; \forall n \ge N_0, \quad v_n \le u_n \le w_n
lim⁡n→+∞vn=lim⁡n→+∞wn=L(L∈R)\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = L \quad (L \in \mathbb{R})

lim⁡n→+∞un=L\lim_{n \to +\infty} u_n = L

Remarque

Pour déterminer la limite d'une somme de nn termes dépendants de nn, on encadre le terme général par deux valeurs indépendantes de l'indice de sommation, puis on multiplie ces bornes par le nombre total de termes avant de passer à la limite.

Exemple travaillé · 22

Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^* par :
un=∑k=1nnn2+k=nn2+1+nn2+2+⋯+nn2+nu_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k} = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + \dots + \frac{n}{n^2+n}
Détermine la limite de la suite (un)(u_n).

1

Pour tout entier kk tel que 1≤k≤n1 \le k \le n, on encadre le dénominateur :

n2+1≤n2+k≤n2+nn^2 + 1 \le n^2 + k \le n^2 + n
2

La fonction inverse étant strictement décroissante sur les réels strictement positifs :

1n2+n≤1n2+k≤1n2+1\frac{1}{n^2 + n} \le \frac{1}{n^2 + k} \le \frac{1}{n^2 + 1}
3

On multiplie par le numérateur n>0n > 0, puis on additionne ces nn inégalités pour kk allant de 1 à nn :

n×nn2+n≤∑k=1nnn2+k≤n×nn2+1  ⟺  n2n2+n≤un≤n2n2+1n \times \frac{n}{n^2 + n} \le \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k} \le n \times \frac{n}{n^2 + 1} \iff \frac{n^2}{n^2 + n} \le u_n \le \frac{n^2}{n^2 + 1}
4

On évalue la limite des bornes en factorisant par les termes dominants :

lim⁡n→+∞n2n2+n=1etlim⁡n→+∞n2n2+1=1\lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n^2 + n} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} = 1
5

D'après le théorème des gendarmes, la suite (un)(u_n) converge et :

lim⁡n→+∞un=1\lim_{n \to +\infty} u_n = 1

Exemple travaillé · 23

Soit la suite (vn)(v_n) définie pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^* par :
vn=∑k=1n1n2+k=1n2+1+1n2+2+⋯+1n2+nv_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}
Détermine la limite de la suite (vn)(v_n).

1

Pour tout entier k∈{1,…,n}k \in \{1, \dots, n\}, on encadre l'expression sous la racine :

n2+1≤n2+k≤n2+nn^2 + 1 \le n^2 + k \le n^2 + n
2

La fonction x↦1xx \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}} étant strictement décroissante sur ]0;+∞[]0 ; +\infty[ :

1n2+n≤1n2+k≤1n2+1\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \le \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}
3

La somme compte exactement nn termes. En sommant membre à membre :

nn2+n≤vn≤nn2+1\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} \le v_n \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}
4

On factorise n2n^2 sous le radical pour simplifier les bornes :

nn2(1+1n)=nn1+1n=11+1n\frac{n}{\sqrt{n^2\left(1 + \frac{1}{n}\right)}} = \frac{n}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}
5

On calcule les limites des deux bornes à l'infini :

lim⁡n→+∞11+1n=1etlim⁡n→+∞11+1n2=1\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}} = 1
6

D'après le théorème des gendarmes, la suite (vn)(v_n) converge vers 1 :

lim⁡n→+∞vn=1\lim_{n \to +\infty} v_n = 1

Piège classique · 24

Soit la suite (wn)(w_n) définie pour tout n≥1n \ge 1 par : wn=∑k=1nnn2+k2w_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}
Un élève affirme : « Pour tout entier kk, lim⁡n→+∞nn2+k2=0\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n^2+k^2} = 0, donc en additionnant ces zéros, on a lim⁡n→+∞wn=0\lim_{n \to +\infty} w_n = 0 ».
Que penses-tu de son raisonnement ?

Attention

Calculer la limite de chaque terme isolément dans une somme de nn termes pour conclure que la somme globale tend vers 0.

À la place : Le théorème de la limite d'une somme ne s'applique qu'à un nombre fixe de termes. Quand le nombre de termes tend vers +∞+\infty, l'accumulation d'une infinité de petites valeurs peut converger vers un réel non nul : il est indispensable d'encadrer globalement la somme.

Vérification · 25

On considère la suite (Sn)(S_n) définie pour tout n∈N∗n \in \mathbb{N}^* par :
Sn=∑k=02n+1nn2+k=nn2+nn2+1+⋯+nn2+2n+1S_n = \sum_{k=0}^{2n+1} \frac{n}{n^2+k} = \frac{n}{n^2} + \frac{n}{n^2+1} + \dots + \frac{n}{n^2+2n+1}
Combien de termes comporte cette somme et quelle est sa limite quand n→+∞n \to +\infty ?

Remarque

L'indice kk varie de 0 à 2n+12n+1, donc la somme comporte (2n+1)−0+1=2n+2(2n+1) - 0 + 1 = 2n+2 termes.
Pour 0≤k≤2n+10 \le k \le 2n+1, on a n2≤n2+k≤n2+2n+1=(n+1)2n^2 \le n^2+k \le n^2+2n+1 = (n+1)^2.
En sommant les 2n+22n+2 termes : n(2n+2)(n+1)2≤Sn≤n(2n+2)n2\frac{n(2n+2)}{(n+1)^2} \le S_n \le \frac{n(2n+2)}{n^2}.
Comme lim⁡n→+∞2n2+2n(n+1)2=2\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2+2n}{(n+1)^2} = 2 et lim⁡n→+∞2n2+2nn2=2\lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2+2n}{n^2} = 2, le théorème des gendarmes donne lim⁡n→+∞Sn=2\lim_{n \to +\infty} S_n = 2.

Point de départ · 26

On considère la suite (un)(u_n) définie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par un=(−1)nu_n = (-1)^n.

Si on sépare les termes selon la parité de leur indice en observant d'un côté les indices pairs n=2kn = 2k et de l'autre les indices impairs n=2k+1n = 2k+1, que constate-t-on ?

Pour tout entier kk, u2k=(−1)2k=1u_{2k} = (-1)^{2k} = 1 et u2k+1=(−1)2k+1=−1u_{2k+1} = (-1)^{2k+1} = -1.
Les valeurs se scindent en deux sous-suites constantes distinctes qui ne se rejoignent jamais : la suite globale (un)(u_n) oscille indéfiniment sans converger vers une valeur unique.

Définition · 27

Théorème de convergence par sous-suites de rangs pairs et impairs

lim⁡n→+∞un=l  ⟺  (lim⁡n→+∞u2n=letlim⁡n→+∞u2n+1=l)\lim_{n \to +\infty} u_n = l \iff \left(\lim_{n \to +\infty} u_{2n} = l \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} u_{2n+1} = l\right)

Remarque

Ce théorème s'applique que la limite ll soit un réel fini ou infinie (+∞+\infty ou −∞-\infty). Si les deux sous-suites (u2n)(u_{2n}) et (u2n+1)(u_{2n+1}) admettent des limites différentes, la suite (un)(u_n) n'a pas de limite et diverge.

Exemple travaillé · 28

Soit la suite (un)(u_n) définie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par :
un=n+(−1)n2n+(−1)n+1u_n = \frac{n + (-1)^n}{2n + (-1)^{n+1}}
Étudie la convergence de la suite (un)(u_n).

1

On exprime la sous-suite des termes de rang pair en remplaçant nn par 2n2n :

u2n=2n+(−1)2n2(2n)+(−1)2n+1=2n+14n−1u_{2n} = \frac{2n + (-1)^{2n}}{2(2n) + (-1)^{2n+1}} = \frac{2n + 1}{4n - 1}
2

On calcule la limite de (u2n)(u_{2n}) en factorisant par le terme dominant nn :

lim⁡n→+∞u2n=lim⁡n→+∞2n4n=12\lim_{n \to +\infty} u_{2n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n}{4n} = \frac{1}{2}
3

On exprime la sous-suite des termes de rang impair en remplaçant nn par 2n+12n+1 :

u2n+1=2n+1+(−1)2n+12(2n+1)+(−1)2n+2=2n+1−14n+2+1=2n4n+3u_{2n+1} = \frac{2n + 1 + (-1)^{2n+1}}{2(2n+1) + (-1)^{2n+2}} = \frac{2n + 1 - 1}{4n + 2 + 1} = \frac{2n}{4n + 3}
4

On calcule la limite de (u2n+1)(u_{2n+1}) :

lim⁡n→+∞u2n+1=lim⁡n→+∞2n4n=12\lim_{n \to +\infty} u_{2n+1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n}{4n} = \frac{1}{2}
5

Les deux sous-suites (u2n)(u_{2n}) et (u2n+1)(u_{2n+1}) convergent vers la même limite 12\frac{1}{2}. D'après le théorème des sous-suites, (un)(u_n) converge et lim⁡n→+∞un=12\lim_{n \to +\infty} u_n = \frac{1}{2}.

Exemple travaillé · 29

Soit la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0 = 1 et pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par :
un+1=1+11+unu_{n+1} = 1 + \frac{1}{1 + u_n}
Calcule u1u_1, u2u_2 et u3u_3, puis justifie que la suite (un)(u_n) n'est pas monotone.

1

On calcule les premiers termes de la suite :

u1=1+11+1=32=1,5u_1 = 1 + \frac{1}{1 + 1} = \frac{3}{2} = 1{,}5
2
u2=1+11+32=1+25=75=1,4u_2 = 1 + \frac{1}{1 + \frac{3}{2}} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5} = 1{,}4
3
u3=1+11+75=1+512=1712≈1,42u_3 = 1 + \frac{1}{1 + \frac{7}{5}} = 1 + \frac{5}{12} = \frac{17}{12} \approx 1{,}42
4

On compare les termes consécutifs : u0<u1u_0 < u_1, mais u1>u2u_1 > u_2 et u2<u3u_2 < u_3.

5

La suite n'étant ni croissante ni décroissante, elle n'est pas monotone. La fonction associée f:x↦1+11+xf : x \mapsto 1 + \frac{1}{1+x} étant strictement décroissante, elle inverse l'ordre à chaque itération : les termes oscillent de part et d'autre de la limite.

Piège classique · 30

Soit la suite (un)(u_n) définie par u0=1u_0 = 1 et pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par :
un+1=3un+1u_{n+1} = \frac{3}{u_n + 1}
Un élève calcule u1=31+1=1,5u_1 = \frac{3}{1+1} = 1{,}5. Constatant que u1>u0u_1 > u_0, il affirme : « Donc par récurrence, la suite (un)(u_n) est strictement croissante ».
Que penses-tu de son affirmation ?

Attention

Conclure à la croissance globale d'une suite récurrente un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n) dès que u1>u0u_1 > u_0, sans vérifier le sens de variation de la fonction ff.

À la place : L'implication un≤un+1  ⟹  f(un)≤f(un+1)u_n \le u_{n+1} \implies f(u_n) \le f(u_{n+1}) n'est vraie que si ff est croissante. Ici, f:x↦3x+1f : x \mapsto \frac{3}{x+1} est strictement décroissante, ce qui donne u2=31,5+1=1,2<u1u_2 = \frac{3}{1{,}5+1} = 1{,}2 < u_1. La suite oscille et n'est pas monotone.

Vérification · 31

On considère la suite (vn)(v_n) définie pour tout n≥1n \ge 1 par :
vn=(−1)n+1nv_n = (-1)^n + \frac{1}{n}
Que peut-on conclure quant à la convergence de la suite (vn)(v_n) ?

Remarque

Pour les indices pairs : v2n=(−1)2n+12n=1+12nv_{2n} = (-1)^{2n} + \frac{1}{2n} = 1 + \frac{1}{2n}, d'où lim⁡n→+∞v2n=1\lim_{n \to +\infty} v_{2n} = 1.
Pour les indices impairs : v2n+1=(−1)2n+1+12n+1=−1+12n+1v_{2n+1} = (-1)^{2n+1} + \frac{1}{2n+1} = -1 + \frac{1}{2n+1}, d'où lim⁡n→+∞v2n+1=−1\lim_{n \to +\infty} v_{2n+1} = -1.
Les deux sous-suites admettent des limites distinctes (1≠−11 \ne -1), donc la suite (vn)(v_n) ne possède pas de limite : elle diverge.

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