Rappel · 1

Complète l'égalité définissant la dérivabilité d'une fonction $f$ en un réel $a$ :

Remarque

Ce nombre réel fini, noté $f'(a)$ , est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ .

Point de départ · 2

Soit $f(x) = \sqrt{x}$ définie sur $[0 ; +\infty[$ . Pour tout $x > 0$ , la formule de dérivation donne $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Peut-on calculer directement $f'(0)$ avec cette formule ?

Remarque

La formule opératoire n'est valable que sur l'intervalle ouvert $]0 ; +\infty[$ . En $x=0$ , elle conduit à une division par zéro : seul le taux d'accroissement permet de trancher.

Définition · 3

Limite infinie du taux d'accroissement et demi-tangente verticale

$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = +\infty \quad (\text{ou } -\infty)$

Lorsque le taux d'accroissement admet une limite infinie en $a$ , la fonction $f$ n'est pas dérivable à droite en $a$ .

La courbe représentative admet au point $A(a, f(a))$ une demi-tangente verticale portée par la droite d'équation $x=a$ .

Piège classique · 4

Soit $g(x) = \sqrt{3x}$ définie sur $[0 ; +\infty[$ . Pour étudier la dérivabilité de $g$ à droite en $0$ , quelle démarche applique-t-on ?

Attention

Remplacer directement $x$ par $0$ dans la formule formelle $g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x}}$ et conclure à une impossibilité.

À la place : La formule $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ n'est valable que sur les intervalles où $u(x) > 0$ . En un point où le radicande s'annule, on doit obligatoirement revenir au calcul de la limite du taux d'accroissement.

Exemple travaillé · 5

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = \sqrt{x(x+2)}$ . Étudie la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ et donne l'interprétation géométrique du résultat.

1

On évalue $f(0) = 0$ et on écrit le taux d'accroissement en $0$ pour tout $x > 0$ :

\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\sqrt{x(x+2)}}{x}

2

Pour lever l'indétermination, on fait entrer $x$ sous le radical sachant que $x = \sqrt{x^2}$ pour $x > 0$ :

\frac{\sqrt{x(x+2)}}{\sqrt{x^2}} = \sqrt{\frac{x(x+2)}{x^2}} = \sqrt{\frac{x+2}{x}}

3

On étudie la limite du quotient lorsque $x$ tend vers $0^+$ :

\lim_{x \to 0^+} \frac{x+2}{x} = +\infty \implies \lim_{x \to 0^+} \sqrt{\frac{x+2}{x}} = +\infty

4

La limite est infinie : $f$ n'est pas dérivable à droite en $0$ . La courbe admet au point $(0,0)$ une demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

Vérification · 6

Soit $h$ une fonction définie et continue sur $[1 ; +\infty[$ vérifiant $\lim_{x \to 1^+} \frac{h(x)-h(1)}{x-1} = +\infty$ . Que possède la courbe représentative de $h$ au point d'abscisse $1$ ?

Remarque

Une limite infinie du taux d'accroissement en un point du domaine traduit une demi-tangente verticale au point $(1, h(1))$ , et non une asymptote.

Point de départ · 7

La fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en $0$ , avec $f(0) = 0$ . Sa courbe représentative admet-elle une tangente unique au point $(0,0)$ ?

Remarque

Pour $x > 0$ , la courbe est la demi-droite $y = x$ de pente $1$ . Pour $x < 0$ , c'est la demi-droite $y = -x$ de pente $-1$ . Au point $(0,0)$ , les deux demi-droites se raccordent en formant un angle : il n'y a pas de tangente unique.

Définition · 8

Dérivabilité à gauche, à droite et point anguleux

$f \text{ est dérivable en } a \iff f'_g(a) = f'_d(a) \in \mathbb{R}$

Une fonction $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en $a$ avec des nombres dérivés égaux.

Si $f'_g(a)$ et $f'_d(a)$ sont finis mais distincts ( $f'_g(a) \ne f'_d(a)$ ), la fonction n'est pas dérivable en $a$ . La courbe admet au point $A(a, f(a))$ deux demi-tangentes sécantes : le point $A$ est appelé un point anguleux.

Piège classique · 9

Une fonction $f$ est continue en $2$ . On calcule les limites des taux d'accroissement : $\lim_{x \to 2^-} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = -3$ et $\lim_{x \to 2^+} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = 3$ . Que peut-on en déduire pour la dérivabilité de $f$ en $2$ ?

Attention

Penser que la fonction est dérivable parce que les deux limites sont finies, ou croire que le nombre dérivé est la moyenne des deux ( $f'(2) = 0$ ).

À la place : Pour être dérivable en $2$ , les deux limites doivent être strictement égales. Comme $f'_g(2) = -3 \ne 3 = f'_d(2)$ , la fonction $f$ n'est pas dérivable en $2$ et la courbe possède un point anguleux.

Exemple travaillé · 10

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f(x) = \begin{cases} 2-x^2 & \text{si } x \le 1 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases}$
Étudie la dérivabilité de $f$ en $1$ et détermine les équations des demi-tangentes au point d'abscisse $1$ .

1

On évalue $f(1) = 2 - 1^2 = 1$ . On étudie d'abord la dérivabilité à gauche en $1$ pour $x < 1$ :

\lim_{x \to 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{2-x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1-x^2}{x-1}

2

On factorise le numérateur pour simplifier par $(x-1)$ :

\lim_{x \to 1^-} \frac{-(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^-} -(x+1) = -2 \implies f'_g(1) = -2

3

On étudie ensuite la dérivabilité à droite en $1$ pour $x > 1$ :

\lim_{x \to 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{\frac{1}{x}-1}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1-x}{x(x-1)} = \lim_{x \to 1^+} -\frac{1}{x} = -1 \implies f'_d(1) = -1

4

Comme $f'_g(1) = -2 \ne -1 = f'_d(1)$ , la fonction $f$ n'est pas dérivable en $1$ . La courbe admet au point $(1,1)$ deux demi-tangentes d'équations :

\begin{cases} T_g : y = -2(x-1) + 1 = -2x + 3 & (x \le 1) \\ T_d : y = -1(x-1) + 1 = -x + 2 & (x \ge 1) \end{cases}

Vérification · 11

Soit la fonction $g(x) = |x-3|$ . Complète les valeurs des nombres dérivés à droite et à gauche en $3$ :

Remarque

Pour $x > 3$ , $g(x) = x-3$ donc $g'_d(3) = 1$ . Pour $x < 3$ , $g(x) = -(x-3) = -x+3$ donc $g'_g(3) = -1$ . Les dérivées diffèrent : la courbe admet un point anguleux en $x=3$ .

Point de départ · 12

Soit la fonction $h(x) = (2x+1)^3$ . Si on applique naïvement la formule de dérivation d'une puissance $x^3 \mapsto 3x^2$ , on obtiendrait $3(2x+1)^2$ . Or, en développant $h(x) = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$ , sa dérivée réelle est $h'(x) = 24x^2 + 24x + 6 = 6(2x+1)^2$ . D'où provient le facteur multiplicatif $2$ supplémentaire ?

Remarque

Ce facteur $2$ est exactement la dérivée de la fonction intérieure $u(x) = 2x+1$ . Lorsque deux fonctions s'enchaînent, la variation de la fonction externe dépend de la vitesse à laquelle la fonction interne varie.

Définition · 13

Dérivabilité et dérivation d'une fonction composée

f \text{ est dérivable en } a \quad \text{et} \quad g \text{ est dérivable en } f(a)

$(g \circ f)'(a) = f'(a) \times g'(f(a))$

De manière générale, si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ est dérivable sur un intervalle $J$ contenant $f(I)$ , alors $g \circ f$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x \in I$ :

$(g \circ f)'(x) = f'(x) \times g'(f(x))$

Remarque

Cas usuels pour une fonction $u$ dérivable :
- $(\cos(u))' = -u' \sin(u)$
- $(\sin(u))' = u' \cos(u)$
- $(u^n)' = n u' u^{n-1}$ ( $n \ge 1$ )

Piège classique · 14

On donne $f(1) = 2$ , $f'(1) = 3$ , $g(1) = 5$ , $g'(1) = 4$ , et $g'(2) = -1$ . Pour calculer le nombre dérivé $(g \circ f)'(1)$ , quelle formule applique-t-on ?

Attention

Calculer $(g \circ f)'(1) = f'(1) \times g'(1)$ en évaluant la dérivée externe au point initial $1$ .

À la place : La fonction externe $g$ prend pour argument l'image $f(1) = 2$ . On doit donc évaluer sa dérivée en $2$ : $(g \circ f)'(1) = f'(1) \times g'(f(1)) = 3 \times g'(2) = 3 \times (-1) = -3$ .

Exemple travaillé · 15

Soient les fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$ . On donne $u(0) = \frac{\pi}{3}$ , $u'(0) = 2$ , et $v(x) = \cos x$ . Justifie que la fonction $h = v \circ u$ est dérivable en $0$ et calcule $h'(0)$ .

1

On vérifie les hypothèses de dérivabilité en un point : $u$ est dérivable en $0$ et $v$ est dérivable en $u(0) = \frac{\pi}{3}$ .

2

D'après le théorème de dérivation d'une fonction composée, $h = v \circ u$ est dérivable en $0$ et :

h'(0) = u'(0) \times v'(u(0))

3

On dérive la fonction externe $v(x) = \cos x$ , ce qui donne $v'(x) = -\sin x$ . On évalue ensuite cette dérivée en $u(0) = \frac{\pi}{3}$ :

v'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

4

On effectue le produit avec la dérivée interne $u'(0) = 2$ :

h'(0) = 2 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3}

Exemple travaillé · 16

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos(2x^2+1)$ . Justifie que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calcule sa fonction dérivée $f'(x)$ .

1

On décompose $f$ sous la forme $f = v \circ u$ avec $u(x) = 2x^2+1$ et $v(X) = \cos(X)$ .

2

La fonction polynôme $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , et la fonction $\cos$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ . Par composition, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

3

On dérive l'argument intérieur $u$ pour obtenir la dérivée interne :

u'(x) = 4x

4

On applique la règle de dérivation $(\cos(u))' = -u' \sin(u)$ :

f'(x) = -4x \sin(2x^2+1)

Vérification · 17

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \sin(3x^2)$ . Complète l'expression de sa dérivée $g'(x)$ :

Remarque

On pose $u(x) = 3x^2$ . Sa dérivée est $u'(x) = 6x$ . Par la formule $(\sin(u))' = u' \cos(u)$ , on obtient $g'(x) = 6x \cos(3x^2)$ .

Point de départ · 18

Une courbe représentative d'une fonction continue et dérivable relie les points $A(0, 2)$ et $B(3, 2)$ . La fonction part et revient à la même ordonnée sans faire de saut ni de pointe. Que peut-on affirmer avec certitude sur la tangente en au moins un point entre $0$ et $3$ ?

Remarque

Puisque la fonction part et revient à la même altitude ( $f(0) = f(3) = 2$ ), elle doit nécessairement atteindre au moins un extremum local où sa tangente devient parfaitement horizontale : c'est l'idée intuitive du théorème de Rolle.

Définition · 19

Théorème de Rolle

f \text{ est continue sur } [a\; b] \quad (a < b)

f \text{ est dérivable sur } ]a\; b[

f(a) = f(b)

$\exists c \in ]a\; b[ \quad \text{tel que} \quad f'(c) = 0$

Interprétation géométrique : si la courbe relie deux points de même ordonnée, elle admet au moins une tangente horizontale en un point d'abscisse strictement comprise entre $a$ et $b$ .

Piège classique · 20

Soit $f(x) = x^5 - 3x^4 - 5x^3 + 15x^2 + 4x + 2$ . On constate que $f(-1) = 14$ et $f(1) = 14$ . Pour prouver que la courbe admet au moins une tangente horizontale sur $]-1\; 1[$ , quelle démarche privilégier ?

Attention

Calculer la dérivée $f'(x) = 5x^4 - 12x^3 - 15x^2 + 30x + 4$ et tenter de résoudre l'équation de degré 4 $f'(x) = 0$ .

À la place : L'énoncé demande de prouver l'existence d'une tangente horizontale, sans en exiger l'abscisse exacte. Comme $f$ est polynomiale (donc continue sur $[-1\; 1]$ et dérivable sur $]-1\; 1[$ ) et que $f(-1) = f(1)$ , le théorème de Rolle garantit immédiatement l'existence d'un réel $c \in ]-1\; 1[$ tel que $f'(c) = 0$ .

Définition · 21

Théorème des accroissements finis (TAF)

f \text{ est continue sur } [a\; b] \quad (a < b)

f \text{ est dérivable sur } ]a\; b[

$\exists c \in ]a\; b[ \quad \text{tel que} \quad f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$

Ce résultat s'écrit aussi sous la forme du taux d'accroissement :

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$

Interprétation géométrique : la courbe admet au moins une tangente parallèle à la sécante $(AB)$ , où $A(a, f(a))$ et $B(b, f(b))$ .

Exemple travaillé · 22

Soit la fonction $f$ définie sur $[1\; 2]$ par $f(x) = x^2\sqrt{x-1}$ . Montrer que l'équation $f'(x) = 4$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]1\; 2[$ .

1

On vérifie les hypothèses de régularité : la fonction $x \mapsto x^2$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ , et $x \mapsto \sqrt{x-1}$ est continue sur $[1\; 2]$ et dérivable sur $]1\; 2[$ . Donc $f$ est continue sur $[1\; 2]$ et dérivable sur $]1\; 2[$ .

2

On calcule les images aux deux bornes :

f(1) = 1^2\sqrt{1-1} = 0 \quad \text{et} \quad f(2) = 2^2\sqrt{2-1} = 4

3

On calcule le taux de variation moyen entre $1$ et $2$ :

\frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-0}{1} = 4

4

D'après le théorème des accroissements finis, il existe au moins un réel $c \in ]1\; 2[$ tel que $f'(c) = \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = 4$ . L'équation $f'(x) = 4$ admet donc bien au moins une solution dans $]1\; 2[$ .

Vérification · 23

Soit $g$ une fonction continue sur $[0\; 4]$ et dérivable sur $]0\; 4[$ vérifiant $g(0) = 1$ et $g(4) = 9$ . D'après le théorème des accroissements finis, quelle équation admet au moins une solution $c \in ]0\; 4[$ ?

Remarque

Le taux d'accroissement moyen vaut $\frac{g(4)-g(0)}{4-0} = \frac{9-1}{4} = \frac{8}{4} = 2$ . Le TAF garantit donc l'existence d'un réel $c \in ]0\; 4[$ vérifiant $g'(c) = 2$ .

Point de départ · 24

Un véhicule roule sur une autoroute à une vitesse instantanée toujours comprise entre $60\text{ km/h}$ et $90\text{ km/h}$ . En $2\text{ heures}$ de trajet, quelle distance a-t-il pu parcourir ?

Remarque

Si la vitesse instantanée (la dérivée) reste bornée par $m = 60$ et $M = 90$ , la distance parcourue (la variation globale de position) est obligatoirement comprise entre $60 \times 2 = 120\text{ km}$ et $90 \times 2 = 180\text{ km}$ . C'est l'idée intuitive de l'inégalité des accroissements finis.

Définition · 25

Théorème de l'inégalité des accroissements finis (IAF)

f \text{ est dérivable sur un intervalle } I

Première forme (encadrement) : s'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout $x \in I$ , $m \le f'(x) \le M$ , alors pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ tels que $a \le b$ :

$m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)$

Ce qui équivaut, pour $a < b$ , à encadrer le taux d'accroissement :

$m \le \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \le M$

Deuxième forme (valeur absolue) : s'il existe un réel $k > 0$ tel que pour tout $x \in I$ , $|f'(x)| \le k$ , alors pour tous réels $a$ et $b$ de $I$ :

$|f(b)-f(a)| \le k|b-a|$

Piège classique · 26

Soit la fonction $f(x) = \sqrt{x}$ sur l'intervalle $[1 ; 4]$ . Sa dérivée est $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Quel est l'encadrement correct de $f'(x)$ sur $[1 ; 4]$ pour appliquer l'IAF ?

Attention

Écrire directement $f'(1) \le f'(x) \le f'(4)$ , ce qui donne $\frac{1}{2} \le f'(x) \le \frac{1}{4}$ (inégalité absurde qui inverse l'ordre des réels).

À la place : La fonction $f'$ est strictement décroissante sur $[1 ; 4]$ . Le minimum est donc atteint en $4$ et le maximum en $1$ : $f'(4) \le f'(x) \le f'(1)$ , soit $\frac{1}{4} \le f'(x) \le \frac{1}{2}$ .

Exemple travaillé · 27

Soit la fonction $f(x) = \tan x$ définie sur $[0 ; \frac{\pi}{4}]$ . En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que pour tout $x \in [0 ; \frac{\pi}{4}]$ , on a : $x \le \tan x \le 2x$ .

1

La fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; \frac{\pi}{4}]$ et pour tout $t \in [0 ; \frac{\pi}{4}]$ , sa dérivée est :

f'(t) = 1 + \tan^2 t

2

La fonction tangente est strictement croissante sur $[0 ; \frac{\pi}{4}]$ , donc pour $0 \le t \le \frac{\pi}{4}$ , on a $0 \le \tan t \le 1$ , d'où $0 \le \tan^2 t \le 1$ . En ajoutant $1$ :

1 \le f'(t) \le 2

3

Soit $x \in [0 ; \frac{\pi}{4}]$ . On applique l'inégalité des accroissements finis à $f$ sur l'intervalle $[0 ; x]$ avec $m = 1$ et $M = 2$ :

1 \times (x-0) \le f(x)-f(0) \le 2 \times (x-0)

4

Comme $f(0) = \tan(0) = 0$ , l'inégalité devient directement :

x \le \tan x \le 2x

Exemple travaillé · 28

Soit la fonction $g(x) = \cos x$ définie sur $\mathbb{R}$ . En utilisant l'inégalité des accroissements finis, montrer que pour tout réel $h$ , on a : $\left|\cos\left(\frac{\pi}{3}+h\right) - \frac{1}{2}\right| \le |h|$ .

1

La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est $g'(t) = -\sin t$ .

2

Pour tout réel $t$ , on a $|-\sin t| \le 1$ , donc pour tout $t \in \mathbb{R}$ :

|g'(t)| \le 1

3

On applique la deuxième forme de l'inégalité des accroissements finis à $g$ entre les réels $a = \frac{\pi}{3}$ et $b = \frac{\pi}{3}+h$ avec la constante $k = 1$ :

\left|g\left(\frac{\pi}{3}+h\right) - g\left(\frac{\pi}{3}\right)\right| \le 1 \times \left|\left(\frac{\pi}{3}+h\right) - \frac{\pi}{3}\right|

4

Comme $g\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ , on obtient directement :

\left|\cos\left(\frac{\pi}{3}+h\right) - \frac{1}{2}\right| \le |h|

Vérification · 29

Soit une fonction $f$ dérivable sur $[1 ; 8]$ telle que pour tout $x \in [1 ; 8]$ , $|f'(x)| \le 5$ . Complète la majoration fournie par l'inégalité des accroissements finis :

Remarque

D'après l'inégalité des accroissements finis en valeur absolue, $|f(8)-f(1)| \le k|8-1| = 5 \times 7 = 35$ .

Point de départ · 30

On considère une suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ , où $f$ est une fonction strictement décroissante sur $[0 ; 2]$ . Si $u_0 < u_1$ , la suite $(u_n)$ est-elle nécessairement croissante ?

Remarque

Non. Comme $f$ renverse l'ordre, $u_0 < u_1$ entraîne $f(u_0) > f(u_1)$ , c'est-à-dire $u_1 > u_2$ , puis $u_2 < u_3$ . Les termes oscillent de part et d'autre de la limite : la suite n'est pas monotone. L'étude classique du sens de variation échoue, ce qui motive l'usage d'une méthode de contraction basée sur l'inégalité des accroissements finis.

Définition · 31

Théorème de contraction pour une suite récurrente

f \text{ est dérivable sur un intervalle } I \text{ stable par } f \quad (f(I) \subset I)

\exists \alpha \in I \quad \text{tel que} \quad f(\alpha) = \alpha

\exists k \in ]0 ; 1[ \quad \text{tel que} \quad \forall x \in I, \; |f'(x)| \le k

\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n \in I \quad \text{et} \quad u_{n+1} = f(u_n)

$\forall n \in \mathbb{N}, \quad |u_{n+1} - \alpha| \le k|u_n - \alpha|$

Par récurrence, cette inégalité de contraction se propage jusqu'au premier terme :

$\forall n \in \mathbb{N}, \quad |u_n - \alpha| \le k^n |u_0 - \alpha|$

Comme $0 < k < 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} k^n = 0$ . Le théorème des gendarmes garantit alors que $\lim_{n \to +\infty} u_n = \alpha$ .

Piège classique · 32

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 1 + \frac{1}{\sqrt{u_n}}$ sur $[1 ; 2]$ . La fonction associée $f(x) = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}}$ est strictement décroissante. Pour prouver que $(u_n)$ converge vers la solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=x$ , quelle démarche adopte-t-on ?

Attention

Étudier le signe de la différence $f(x) - x$ pour chercher à prouver que $(u_n)$ est une suite monotone.

À la place : Lorsque la fonction $f$ est décroissante, la suite $(u_n)$ n'est pas monotone : ses termes oscillent alternativement au-dessus et en dessous du point fixe $\alpha$ . Seule l'inégalité des accroissements finis $|f(u_n)-f(\alpha)| \le k|u_n-\alpha|$ avec $k < 1$ permet d'établir la convergence par contraction géométrique.

Exemple travaillé · 33

Soit $f(x) = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}}$ sur $[1 ; 2]$ . On admet que $f([1 ; 2]) \subset [1 ; 2]$ et que l'équation $f(x) = x$ admet une unique solution $\alpha \in ]1 ; 2[$ . Montre que pour tout $x \in [1 ; 2]$ , $|f'(x)| \le \frac{1}{2}$ , puis que la suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ vérifie pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $|u_{n+1} - \alpha| \le \frac{1}{2}|u_n - \alpha|$ .

1

On dérive $f$ sur $[1 ; 2]$ :

f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}

2

Pour $x \in [1 ; 2]$ , on a $x \ge 1$ , donc $x\sqrt{x} \ge 1$ . Par passage à l'inverse : $\frac{1}{x\sqrt{x}} \le 1$ . On en déduit :

|f'(x)| = \frac{1}{2x\sqrt{x}} \le \frac{1}{2}

3

Comme $u_0 = 2 \in [1 ; 2]$ et que l'intervalle $[1 ; 2]$ est stable par $f$ , une récurrence immédiate prouve que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \in [1 ; 2]$ .

4

Les réels $u_n$ et $\alpha$ appartiennent tous deux à $[1 ; 2]$ . D'après l'inégalité des accroissements finis en valeur absolue avec $k = \frac{1}{2}$ :

|f(u_n) - f(\alpha)| \le \frac{1}{2}|u_n - \alpha|

5

Comme $f(u_n) = u_{n+1}$ et $f(\alpha) = \alpha$ , on conclut directement :

|u_{n+1} - \alpha| \le \frac{1}{2}|u_n - \alpha|

Exemple travaillé · 34

On considère la suite $(u_n)$ vérifiant $u_0 = 2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $|u_{n+1} - \alpha| \le \frac{1}{2}|u_n - \alpha|$ avec $\alpha \in ]1 ; 2[$ . Montre par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $|u_n - \alpha| \le \left(\frac{1}{2}\right)^n$ , puis détermine la limite de la suite $(u_n)$ .

1

Initialisation : pour $n = 0$ , $|u_0 - \alpha| = |2 - \alpha|$ . Comme $1 < \alpha < 2$ , on a $0 < 2 - \alpha < 1$ , donc :

|u_0 - \alpha| \le 1 = \left(\frac{1}{2}\right)^0

2

Hérédité : supposons que pour un entier $n \ge 0$ , $|u_n - \alpha| \le \left(\frac{1}{2}\right)^n$ .

3

Au rang $n+1$ , on applique la relation de contraction et l'hypothèse de récurrence :

|u_{n+1} - \alpha| \le \frac{1}{2}|u_n - \alpha| \le \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}

4

L'inégalité $|u_n - \alpha| \le \left(\frac{1}{2}\right)^n$ est donc vraie pour tout entier naturel $n$ .

5

Comme $-1 < \frac{1}{2} < 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$ . Par le théorème des gendarmes encadrant $|u_n - \alpha| \ge 0$ :

\lim_{n \to +\infty} |u_n - \alpha| = 0 \implies \lim_{n \to +\infty} u_n = \alpha

Vérification · 35

Une suite $(u_n)$ vérifie $u_{n+1} = f(u_n)$ sur un intervalle où $|f'(x)| \le \frac{2}{5}$ et $f(1) = 1$ . On donne $u_0 = 0$ . Complète l'inégalité de majoration et la limite de $(u_n)$ :

Remarque

On a $|u_0 - 1| = |0 - 1| = 1$ . L'inégalité des accroissements finis donne $|u_{n+1}-1| \le \frac{2}{5}|u_n-1|$ , d'où par récurrence $|u_n-1| \le \left(\frac{2}{5}\right)^n$ . Comme $0 < \frac{2}{5} < 1$ , la suite géométrique tend vers $0$ et $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$ .

Point de départ · 36

Soit la fonction cube $f(x) = x^3$ . Au point $O(0,0)$ , la tangente à la courbe est l'axe des abscisses d'équation $y = 0$ . Comment se positionne la courbe par rapport à sa tangente au voisinage de $0$ ?

Remarque

Pour $x > 0$ , $x^3 > 0$ : la courbe est située au-dessus de sa tangente. Pour $x < 0$ , $x^3 < 0$ : la courbe est située au-dessous. La courbe traverse sa tangente en $(0,0)$ : un tel point de contact est appelé un point d'inflexion.

Définition · 37

Point d'inflexion et critère de la dérivée seconde

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$ . On dit que le point $I(a, f(a))$ est un point d'inflexion de la courbe $C_f$ si $C_f$ traverse sa tangente en ce point.

f \text{ est deux fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant } a

$I(a, f(a)) \text{ est un point d'inflexion de } C_f \iff f''(x) \text{ s'annule en } a \text{ en changeant de signe}$

Piège classique · 38

Soit la fonction $g(x) = x^4$ définie sur $\mathbb{R}$ . Sa dérivée seconde est $g''(x) = 12x^2$ . On constate que $g''(0) = 0$ . Le point $O(0,0)$ est-il un point d'inflexion de la courbe de $g$ ?

Attention

Conclure qu'un point est un point d'inflexion dès que la dérivée seconde s'annule ( $g''(0) = 0$ ).

À la place : L'annulation seule ne suffit pas : la dérivée seconde doit impérativement changer de signe. Ici, pour tout $x \ne 0$ , $g''(x) = 12x^2 > 0$ . Comme $g''$ garde un signe constant positif, la courbe ne traverse pas sa tangente en $0$ (elle reste entièrement au-dessus) : $(0,0)$ n'est pas un point d'inflexion.

Exemple travaillé · 39

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^4 - 6x^2 + 1$ . Montre que la courbe $C_f$ admet deux points d'inflexion et détermine leurs coordonnées.

1

La fonction $f$ est polynomiale, donc deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ . On calcule sa dérivée première puis sa dérivée seconde :

f'(x) = 4x^3 - 12x \implies f''(x) = 12x^2 - 12

2

On factorise $f''(x)$ pour trouver ses racines :

f''(x) = 12(x^2 - 1) = 12(x - 1)(x + 1)

3

Les racines de $f''$ sont $-1$ et $1$ . Le trinôme $12x^2 - 12$ est strictement positif à l'extérieur des racines et strictement négatif à l'intérieur : $f''$ s'annule donc en changeant de signe en $-1$ et en $1$ .

4

On calcule les ordonnées des deux points d'inflexion :

f(-1) = (-1)^4 - 6(-1)^2 + 1 = -4 \quad \text{et} \quad f(1) = 1^4 - 6(1)^2 + 1 = -4

5

La courbe $C_f$ admet exactement deux points d'inflexion : $I_1(-1, -4)$ et $I_2(1, -4)$ .

Exemple travaillé · 40

Soit la fonction $g$ définie sur $[0 ; \pi]$ par $g(x) = 1 + \frac{1}{2}\cos x$ . Montre que la courbe $C_g$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera les coordonnées.

1

La fonction $g$ est deux fois dérivable sur $[0 ; \pi]$ . On calcule ses dérivées successives :

g'(x) = -\frac{1}{2}\sin x \implies g''(x) = -\frac{1}{2}\cos x

2

On cherche les annulations de $g''(x)$ sur l'intervalle $[0 ; \pi]$ :

g''(x) = 0 \iff \cos x = 0 \iff x = \frac{\pi}{2}

3

On étudie le signe de $g''(x)$ de part et d'autre de $\frac{\pi}{2}$ :
- Pour $x \in [0 ; \frac{\pi}{2}[$ , $\cos x > 0$ , d'où $g''(x) < 0$ .
- Pour $x \in ]\frac{\pi}{2} ; \pi]$ , $\cos x < 0$ , d'où $g''(x) > 0$ .

4

La dérivée seconde s'annule en $\frac{\pi}{2}$ en changeant de signe (de négatif à positif). La courbe $C_g$ admet donc un unique point d'inflexion $I$ d'abscisse $\frac{\pi}{2}$ .

5

On calcule son ordonnée :

g\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \frac{1}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 = 1

6

Le point d'inflexion de $C_g$ est $I\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ .

Vérification · 41

Soit la fonction $h(x) = x^3 - 3x^2 + 5$ . Complète les coordonnées du point d'inflexion $I$ de sa courbe représentative :

Remarque

On calcule $h'(x) = 3x^2 - 6x$ puis $h''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)$ . La dérivée seconde s'annule et change de signe en $x = 1$ . L'ordonnée correspondante est $h(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 5 = 3$ . Le point d'inflexion est donc $I(1, 3)$ .

Dérivabilité — cours

Le cours

Limite infinie du taux d'accroissement et demi-tangente verticale

Dérivabilité à gauche, à droite et point anguleux

Dérivabilité et dérivation d'une fonction composée

Théorème de Rolle

Théorème des accroissements finis (TAF)

Théorème de l'inégalité des accroissements finis (IAF)

Théorème de contraction pour une suite récurrente

Point d'inflexion et critère de la dérivée seconde

Chapitres liés

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