Rappel · 1

Soit $f$ une fonction continue et strictement décroissante sur l'intervalle $[1 ; 4]$ . Quel est l'intervalle image $f([1 ; 4])$ ?

Remarque

Une fonction strictement décroissante inverse l'ordre des inégalités : pour $1 \le x \le 4$ , on a $f(4) \le f(x) \le f(1)$ . L'intervalle image s'écrit donc $[f(4) ; f(1)]$ .

Point de départ · 2

Unicité de l'antécédent

L'équation $x^2 = 4$ admet deux solutions distinctes dans $\mathbb{R}$ : $2$ et $-2$ . Quelle propriété empêche une fonction d'atteindre deux fois la même valeur ?

Remarque

Si une courbe monte puis descend, une même ordonnée peut être coupée plusieurs fois. Pour garantir qu'une valeur n'est atteinte qu'une seule fois, la fonction doit varier dans un seul sens : elle doit être strictement monotone.

Définition · 3

Théorème de la bijection

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

f \text{ est continue sur } I

f \text{ est strictement monotone sur } I

$f \text{ réalise une bijection de } I \text{ sur } f(I)$

Cela signifie que pour tout réel $y \in f(I)$ , l'équation $f(x) = y$ admet une unique solution dans $I$ .

Piège classique · 4

Soit $f$ une fonction continue et strictement décroissante sur $[2 ; +\infty[$ telle que $f(2) = 3$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$ . Quel est l'intervalle image $J = f([2 ; +\infty[)$ ?

Attention

Écrire $J = [3 ; -\infty[$ , en recopiant l'ordre des bornes de l'intervalle de départ.

À la place : Un intervalle s'écrit toujours de la plus petite borne vers la plus grande : $J = ]-\infty ; 3]$ . La décroissance stricte inverse le sens des bornes.

Exemple travaillé · 5

Soit la fonction $f$ définie sur $I = ]-1 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ . Montrer que $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.

1

La fonction $f$ est rationnelle, donc continue et dérivable sur son ensemble de définition, en particulier sur $]-1 ; +\infty[$ .

2

On calcule sa dérivée pour tout $x \in ]-1 ; +\infty[$ :

f'(x) = \frac{2(x+1) - (2x-1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2}

3

Pour tout $x > -1$ , on a $3 > 0$ et $(x+1)^2 > 0$ , donc $f'(x) > 0$ . La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1 ; +\infty[$ .

4

On détermine les limites aux bornes de $I$ :

\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2

5

Puisque $f$ est continue et strictement croissante sur $]-1 ; +\infty[$ , elle réalise une bijection de $]-1 ; +\infty[$ sur l'intervalle :

J = ]-\infty ; 2[

Exemple travaillé · 6

Soit la fonction $f$ définie sur $[1 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ . Montrer que $f$ réalise une bijection de $[1 ; +\infty[$ sur un intervalle $J$ à déterminer.

1

La fonction $f$ est dérivable sur $[1 ; +\infty[$ comme quotient de fonctions polynomiales dont le dénominateur ne s'annule jamais sur $\mathbb{R}$ .

2

On calcule sa dérivée pour tout $x \ge 1$ :

f'(x) = \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot (2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}

3

Pour tout $x > 1$ , $x^2 > 1$ donc $1-x^2 < 0$ . La dérivée s'annule uniquement en $1$ et reste strictement négative sur $]1 ; +\infty[$ : $f$ est strictement décroissante sur $[1 ; +\infty[$ .

4

On calcule l'image de la borne fermée et la limite en l'infini :

f(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2} \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1+x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2} = 0

5

La fonction $f$ est continue et strictement décroissante. Les bornes s'inversent, donc $f$ réalise une bijection de $[1 ; +\infty[$ sur :

J = \left]0 ; \frac{1}{2}\right]

Vérification · 7

Soit la fonction $g$ définie sur $I = [2 ; +\infty[$ par $g(x) = x^2 - 4x + 1$ . Laquelle de ces justifications établit que $g$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ ?

Remarque

Pour tout $x > 2$ , $g'(x) = 2x - 4 > 0$ , donc $g$ est continue et strictement croissante sur $[2 ; +\infty[$ . Avec $g(2) = -3$ et $\lim_{+\infty} g = +\infty$ , on a bien $J = [g(2) ; \lim_{+\infty} g[ = [-3 ; +\infty[$ .

Point de départ · 8

L'opération inverse

Si une fonction $f$ transforme le nombre $3$ en $7$ , c'est-à-dire $f(3) = 7$ , quelle opération permet de retrouver $3$ à partir de $7$ ?

Remarque

Pour défaire l'effet de $f$ , on cherche l'antécédent de $7$ . Dès que chaque image possède un unique antécédent, cette opération d'inversion définit une nouvelle fonction, appelée fonction réciproque de $f$ et notée $f^{-1}$ .

Définition · 9

Définition de la fonction réciproque

Soit $f$ une bijection d'un intervalle $I$ sur $J = f(I)$ .

$f^{-1} : J \to I, \quad y \mapsto x \quad \text{tel que} \quad f(x) = y$

L'équivalence fondamentale s'écrit, pour tout $x \in I$ et tout $y \in J$ :

$f(x) = y \iff x = f^{-1}(y)$

Par composition de $f$ et de sa réciproque, on obtient les identités :

$f^{-1}(f(x)) = x \quad (\forall x \in I) \quad \text{et} \quad f(f^{-1}(y)) = y \quad (\forall y \in J)$

Définition · 10

Continuité et sens de variation de $f^{-1}$

f \text{ est continue et strictement monotone sur } I

$f^{-1} \text{ est continue et strictement monotone sur } J = f(I)$

La fonction réciproque $f^{-1}$ varie exactement dans le même sens que $f$ :

Remarque

Si $f$ est strictement croissante sur $I$ , alors $f^{-1}$ est strictement croissante sur $J$ . Si $f$ est strictement décroissante sur $I$ , alors $f^{-1}$ est strictement décroissante sur $J$ .

Piège classique · 11

Soit $f$ une fonction continue et strictement décroissante sur $]0 ; +\infty[$ . Quel est le sens de variation de sa fonction réciproque $f^{-1}$ sur son ensemble de définition ?

Attention

Penser que la réciproque inverse le sens de variation et devient croissante, ou confondre $f^{-1}$ avec la fonction inverse $\frac{1}{f}$ .

À la place : La fonction réciproque conserve toujours le sens de variation : si $f$ est strictement décroissante, $f^{-1}$ est également strictement décroissante.

Exemple travaillé · 12

Soit la fonction $f$ définie sur $I = ]-1 ; +\infty[$ par $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ , réalisant une bijection sur $J = ]-\infty ; 2[$ . Déterminer l'expression explicite de $f^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$ .

1

Pour tout $x \in ]-\infty ; 2[$ , on pose l'équation fondamentale $f(y) = x$ d'inconnue $y \in ]-1 ; +\infty[$ :

\frac{2y-1}{y+1} = x

2

On élimine le dénominateur par produit en croix, ce qui est licite puisque $y > -1$ :

2y - 1 = x(y + 1)

3

On développe puis on regroupe les termes contenant l'inconnue $y$ du même côté :

2y - xy = x + 1

4

On factorise le membre de gauche par $y$ :

y(2 - x) = x + 1

5

Puisque $x \in ]-\infty ; 2[$ , la quantité $2 - x$ est strictement positive, donc non nulle. On peut diviser pour isoler $y$ :

y = \frac{x + 1}{2 - x}

6

L'expression de la fonction réciproque est donc :

f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2 - x}

Exemple travaillé · 13

Soit la fonction $f$ définie sur $I = [2 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2 - 4x + 1$ , réalisant une bijection sur $J = [-3 ; +\infty[$ . Déterminer l'expression de $f^{-1}(x)$ pour tout $x \in [-3 ; +\infty[$ .

1

Pour tout $x \in [-3 ; +\infty[$ , on résout l'équation $f(y) = x$ d'inconnue $y \in [2 ; +\infty[$ :

y^2 - 4y + 1 = x

2

On met le trinôme sous forme canonique en complétant le carré :

(y - 2)^2 - 3 = x \iff (y - 2)^2 = x + 3

3

Comme $x \ge -3$ , la quantité $x + 3$ est positive. En extrayant la racine carrée :

|y - 2| = \sqrt{x + 3}

4

La condition $y \in [2 ; +\infty[$ impose $y - 2 \ge 0$ , donc la valeur absolue se simplifie en $y - 2$ :

y - 2 = \sqrt{x + 3}

5

On isole $y$ pour obtenir l'expression finale :

f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x + 3}

Piège classique · 14

Lors de la résolution de $(y - 2)^2 = x + 3$ pour expliciter la réciproque de $f(x) = x^2 - 4x + 1$ sur $[2 ; +\infty[$ , l'équation fournit deux candidats : $y = 2 + \sqrt{x+3}$ et $y = 2 - \sqrt{x+3}$ . Pourquoi rejette-t-on $y = 2 - \sqrt{x+3}$ ?

Attention

Conserver deux expressions avec un double signe « $\pm$ » pour la réciproque, ou choisir arbitrairement l'une des racines sans justification.

À la place : L'inconnue $y = f^{-1}(x)$ doit appartenir à l'intervalle de départ $I = [2 ; +\infty[$ , ce qui exige $y \ge 2$ . Or pour tout $x > -3$ , on a $2 - \sqrt{x+3} < 2$ , ce qui contredit l'appartenance à $I$ . Seule la solution $y = 2 + \sqrt{x+3}$ vérifie $y \ge 2$ .

Vérification · 15

Soit $f$ une bijection continue et strictement croissante de $[-1 ; 5]$ sur $[2 ; 14]$ telle que $f(3) = 8$ . Que vaut $f^{-1}(8)$ et quel est le sens de variation de $f^{-1}$ ?

Remarque

D'après l'équivalence fondamentale, $f(3) = 8 \iff f^{-1}(8) = 3$ . De plus, la fonction réciproque conserve le sens de variation de $f$ : $f$ étant strictement croissante, $f^{-1}$ est strictement croissante sur $[2 ; 14]$ .

Point de départ · 16

Échanger les rôles de $x$ et $y$

L'équivalence fondamentale affirme que $f(a) = b \iff f^{-1}(b) = a$ .

Sur un graphique, le point $M(a ; b)$ appartient à la courbe de $f$ si et seulement si le point $M'(b ; a)$ appartient à la courbe de $f^{-1}$ .

Remarque

L'échange des coordonnées $(a ; b) \mapsto (b ; a)$ correspond géométriquement à la symétrie orthogonale par rapport à la droite $\Delta : y = x$ .

Définition · 17

Symétrie des courbes et inversion des tangentes

$\mathcal{C}_f \text{ et } \mathcal{C}_{f^{-1}} \text{ sont symétriques par rapport à la droite } \Delta : y = x$

Cette réflexion axiale échange les directions horizontales et verticales :

Si $\mathcal{C}_f$ admet en $A(a ; b)$ une tangente de pente $m \neq 0$ , alors $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ admet en $A'(b ; a)$ une tangente de pente $\frac{1}{m}$ .

Une tangente horizontale pour $\mathcal{C}_f$ ( $m = 0$ ) devient une tangente verticale pour $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ , et réciproquement.

Définition · 18

Dérivabilité de la réciproque en un point

Soit $f$ une fonction strictement monotone sur un intervalle $I$ , $a \in I$ et $b = f(a)$ .

f \text{ est dérivable en } a

f'(a) \neq 0

$f^{-1} \text{ est dérivable en } b = f(a) \quad \text{et} \quad (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$

Remarque

Si $f'(a) = 0$ , la courbe $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ admet au point $b$ une tangente verticale : la fonction $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $b$ .

Piège classique · 19

Soit $f$ une fonction dérivable et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ telle que $f(1) = 2$ , $f'(1) = 5$ et $f'(2) = 11$ . Que vaut $(f^{-1})'(2)$ ?

Attention

Calculer $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{11}$ , en évaluant la dérivée de $f$ directement au nombre $b = 2$ .

À la place : La formule impose d'évaluer $f'$ en l'antécédent $a = f^{-1}(b)$ . Puisque $f(1) = 2$ , l'antécédent de $2$ est $1$ . On calcule donc $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}$ .

Exemple travaillé · 20

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + x + 1$ . On admet que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ . Montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $1$ et calculer $(f^{-1})'(1)$ .

1

On cherche l'antécédent $a$ de $1$ par $f$ , en résolvant l'équation $f(a) = 1$ :

a^3 + a + 1 = 1 \iff a(a^2 + 1) = 0 \iff a = 0

2

On calcule la fonction dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$ :

f'(x) = 3x^2 + 1

3

On évalue la dérivée en l'antécédent $a = 0$ :

f'(0) = 3(0)^2 + 1 = 1

4

La fonction $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0) \neq 0$ . D'après le théorème de dérivabilité, $f^{-1}$ est dérivable en $1$ et :

(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{1} = 1

Piège classique · 21

La fonction $f : x \mapsto \sqrt{x}$ admet en $0$ une demi-tangente verticale (elle n'est pas dérivable à droite en $0$ ). Que peut-on affirmer sur la dérivabilité de sa fonction réciproque $f^{-1}$ à droite en $0$ ?

Attention

Conclure que $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $0$ sous prétexte que $f$ ne l'est pas.

À la place : Par symétrie par rapport à la droite $y = x$ , une demi-tangente verticale pour $f$ devient une demi-tangente horizontale pour $f^{-1}$ . Sa réciproque étant $f^{-1}(x) = x^2$ sur $[0 ; +\infty[$ , elle est bien dérivable à droite en $0$ avec un nombre dérivé nul : $(f^{-1})'_d(0) = 0$ .

Vérification · 22

Soit $f$ une bijection dérivable de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ telle que $f(2) = 5$ et $f'(2) = 4$ . Quelle est l'équation cartésienne de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ au point d'abscisse $5$ ?

Remarque

Au point d'abscisse $5$ , l'ordonnée est $f^{-1}(5) = 2$ . Le coefficient directeur de la tangente est $(f^{-1})'(5) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{4}$ . L'équation de la tangente s'écrit $y = (f^{-1})'(5)(x - 5) + f^{-1}(5)$ , soit $y = \frac{1}{4}(x - 5) + 2$ .

Point de départ · 23

De la formule en un point à la fonction dérivée

On sait calculer le nombre dérivé $(f^{-1})'(b)$ en un point précis à l'aide de l'antécédent $a$ vérifiant $f(a) = b$ :

$(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$

Si la dérivée de $f$ ne s'annule en aucun point d'un intervalle, peut-on obtenir une formule générale donnant $(f^{-1})'(x)$ pour tout réel $x$ ?

Remarque

En remplaçant l'antécédent $a$ par son expression fonctionnelle $f^{-1}(x)$ , on transforme une formule ponctuelle en une fonction dérivée globale.

Définition · 24

Dérivabilité de la réciproque sur un intervalle

Soit $f$ une bijection d'un intervalle $I$ sur $J = f(I)$ .

f \text{ est dérivable sur } I

f'(x) \neq 0 \quad (\forall x \in I)

$f^{-1} \text{ est dérivable sur } J = f(I)$

Pour tout réel $x \in J$ , la fonction dérivée de la réciproque est donnée par :

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'[f^{-1}(x)]}$

Exemple travaillé · 25

Soit la fonction $f$ définie sur $]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[$ par $f(x) = \tan x$ , qui réalise une bijection sur $\mathbb{R}$ . Montrer que $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et expliciter $(f^{-1})'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

1

Pour tout $y \in ]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[$ , $f$ est dérivable et sa dérivée s'écrit :

f'(y) = 1 + \tan^2 y

2

Comme $\tan^2 y \ge 0$ , on a $f'(y) \ge 1 > 0$ : la dérivée ne s'annule en aucun point. La fonction réciproque $f^{-1}$ est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ .

3

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , on pose $y = f^{-1}(x)$ , ce qui équivaut à $\tan y = x$ avec $y \in ]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[$ .

4

On applique la formule de dérivation de la réciproque :

(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(y)} = \frac{1}{1 + \tan^2 y}

5

On substitue $\tan y$ par $x$ pour obtenir l'expression finale en fonction de $x$ :

(f^{-1})'(x) = \frac{1}{1 + x^2}

Piège classique · 26

On cherche à exprimer $(f^{-1})'(x)$ pour une bijection définie par $f(y) = \cos y$ sur $]0 ; \pi[$ . Sachant que $f'(y) = -\sin y$ et $\sin^2 y = 1 - x^2$ , quelle est la justification indispensable pour écrire $\sin y = \sqrt{1 - x^2}$ ?

Attention

Écrire directement $\sin y = \sqrt{1 - x^2}$ par automatisme, sans justifier le choix du signe positif devant le radical.

À la place : L'égalité $\sin^2 y = 1 - x^2$ donne $\sin y = \pm \sqrt{1 - x^2}$ . C'est l'appartenance de $y = f^{-1}(x)$ à l'intervalle $]0 ; \pi[$ qui garantit $\sin y > 0$ et impose rigoureusement le signe positif.

Exemple travaillé · 27

Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; \pi]$ par $f(x) = 2\cos x + 3$ , réalisant une bijection sur $[1 ; 5]$ . Montrer que sa réciproque $g = f^{-1}$ est dérivable sur $]1 ; 5[$ et prouver que pour tout $x \in ]1 ; 5[$ :

$g'(x) = \frac{-1}{\sqrt{-x^2+6x-5}}$

1

La fonction $f$ est dérivable sur $]0 ; \pi[$ et sa dérivée est $f'(y) = -2\sin y$ .

2

Pour tout $y \in ]0 ; \pi[$ , $\sin y > 0$ , donc $f'(y) \neq 0$ . D'après le théorème de dérivabilité sur un intervalle, $g$ est dérivable sur l'intervalle ouvert $f(]0 ; \pi[) = ]1 ; 5[$ .

3

Pour tout $x \in ]1 ; 5[$ , en posant $y = g(x) \in ]0 ; \pi[$ , on a $x = 2\cos y + 3$ , ce qui donne :

\cos y = \frac{x - 3}{2}

4

Puisque $y \in ]0 ; \pi[$ , $\sin y > 0$ . On extrait la racine positive à l'aide de l'identité $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ :

\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \left(\frac{x-3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{4 - (x^2 - 6x + 9)}{4}} = \frac{\sqrt{-x^2+6x-5}}{2}

5

On applique la formule $g'(x) = \frac{1}{f'(y)}$ :

g'(x) = \frac{1}{-2\sin y} = \frac{1}{-2 \left(\frac{\sqrt{-x^2+6x-5}}{2}\right)} = \frac{-1}{\sqrt{-x^2+6x-5}}

Vérification · 28

Soit $f$ la fonction définie sur $I = [0 ; \pi]$ par $f(x) = 2(1+\cos x)$ , qui réalise une bijection sur $[0 ; 4]$ . Quel est l'ensemble exact de dérivabilité de sa fonction réciproque $f^{-1}$ ?

Remarque

La dérivée de $f$ est $f'(x) = -2\sin x$ . Elle s'annule aux bornes de $I$ : en $0$ ( $f(0) = 4$ ) et en $\pi$ ( $f(\pi) = 0$ ). En ces deux points, $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale, donc $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ admet une tangente verticale en $0$ et en $4$ . La réciproque $f^{-1}$ n'est donc dérivable que sur l'intervalle ouvert $]0 ; 4[$ .

Point de départ · 29

Généraliser la racine carrée

Pour tout réel positif $y$ , l'unique solution positive de l'équation $x^2 = y$ est notée $\sqrt{y}$ , qui est en fait la racine deuxième $\sqrt[2]{y}$ .

Comment noter l'unique solution positive de l'équation $x^3 = 8$ ou plus généralement de $x^n = y$ pour un entier $n \ge 2$ ?

Remarque

On généralise le radical en plaçant l'entier $n$ en indice : l'unique réel positif $x$ tel que $x^n = y$ est noté $\sqrt[n]{y}$ , et se lit « racine $n$ -ième de $y$ ».

Définition · 30

La fonction racine $n$ -ième

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ .

$x \mapsto x^n \text{ réalise une bijection de } \mathbb{R}_+ \text{ sur } \mathbb{R}_+$

Sa fonction réciproque est appelée fonction racine $n$ -ième, notée $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ :

$x^n = y \iff x = \sqrt[n]{y} \quad (\forall x, y \ge 0)$

Elle vérifie les identités fondamentales pour tout réel positif $x$ :

$(\sqrt[n]{x})^n = x \quad \text{et} \quad \sqrt[n]{x^n} = x$

Pour tous réels positifs $a$ et $b$ , et pour tout entier $p \ge 2$ :

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \quad \text{et} \quad \sqrt[n]{\sqrt[p]{a}} = \sqrt[np]{a}$

Exemple travaillé · 31

Simplifier les deux réels suivants sans calculatrice :
$A = \sqrt[3]{2^6 \cdot 3^3} \quad \text{et} \quad B = \sqrt{\sqrt[3]{729}}$

1

Pour $A$ , on regroupe les puissances sous un exposant commun $3$ :

2^6 \cdot 3^3 = (2^2)^3 \cdot 3^3 = (4 \cdot 3)^3 = 12^3

2

On applique l'identité fondamentale $\sqrt[n]{x^n} = x$ avec $n = 3$ :

A = \sqrt[3]{12^3} = 12

3

Pour $B$ , on applique la règle d'imbrication $\sqrt[n]{\sqrt[p]{a}} = \sqrt[np]{a}$ avec $n = 2$ et $p = 3$ :

B = \sqrt[2]{\sqrt[3]{729}} = \sqrt[6]{729}

4

On décompose $729$ en puissances de $3$ ( $729 = 3^6$ ) pour conclure :

B = \sqrt[6]{3^6} = 3

Définition · 32

Continuité et dérivation de la racine $n$ -ième

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ .

$x \mapsto \sqrt[n]{x} \text{ est continue sur } [0 ; +\infty[ \text{ et dérivable sur } ]0 ; +\infty[$

Pour tout réel $x > 0$ , sa dérivée est donnée par :

$(\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{n(\sqrt[n]{x})^{n-1}}$

Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ , alors $\sqrt[n]{u}$ est dérivable sur $I$ et :

$(\sqrt[n]{u(x)})' = \frac{u'(x)}{n(\sqrt[n]{u(x)})^{n-1}}$

Piège classique · 33

Sur quel ensemble la fonction $f : x \mapsto \sqrt[3]{x}$ est-elle dérivable ?

Attention

Répondre $[0 ; +\infty[$ , en confondant l'ensemble de définition avec l'ensemble de dérivabilité.

À la place : En $0$ , le taux d'accroissement $\frac{\sqrt[3]{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ tend vers $+\infty$ quand $x \to 0^+$ . La courbe admet une demi-tangente verticale à l'origine : $f$ n'est pas dérivable en $0$ , son domaine de dérivabilité est $]0 ; +\infty[$ .

Exemple travaillé · 34

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \sqrt[3]{x^2+1}$ . Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et expliciter $f'(x)$ pour tout réel $x$ .

1

On pose $u(x) = x^2+1$ . La fonction polynomiale $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $x^2 \ge 0$ donc $u(x) = x^2+1 \ge 1 > 0$ : la quantité sous le radical ne s'annule jamais.

3

Puisque $u$ est dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$ , la composée $f = \sqrt[3]{u}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

4

On applique la formule $(\sqrt[3]{u})' = \frac{u'}{3(\sqrt[3]{u})^2}$ avec $u'(x) = 2x$ :

f'(x) = \frac{2x}{3(\sqrt[3]{x^2+1})^2}

Vérification · 35

Soit la fonction $g$ définie sur $[2 ; +\infty[$ par $g(x) = \sqrt[4]{x-2}$ . Quel est son domaine de dérivabilité et que vaut sa dérivée ?

Remarque

L'expression sous le radical $u(x) = x-2$ s'annule en $2$ . La fonction n'est donc dérivable que lorsque $x - 2 > 0$ , c'est-à-dire sur $]2 ; +\infty[$ . Sur cet intervalle ouvert, $u'(x) = 1$ , donc $g'(x) = \frac{1}{4(\sqrt[4]{x-2})^3}$ .

Fonctions réciproques — cours

Le cours

Unicité de l'antécédent

Théorème de la bijection

L'opération inverse

Définition de la fonction réciproque

Continuité et sens de variation de $f^{-1}$

Échanger les rôles de $x$ et $y$

Symétrie des courbes et inversion des tangentes

Dérivabilité de la réciproque en un point

De la formule en un point à la fonction dérivée

Dérivabilité de la réciproque sur un intervalle

Généraliser la racine carrée

La fonction racine $n$ -ième

Continuité et dérivation de la racine $n$ -ième

Chapitres liés

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Fonctions réciproques — cours

Le cours

Unicité de l'antécédent

Théorème de la bijection

L'opération inverse

Définition de la fonction réciproque

Continuité et sens de variation de f−1f^{-1}f−1

Échanger les rôles de xxx et yyy

Symétrie des courbes et inversion des tangentes

Dérivabilité de la réciproque en un point

De la formule en un point à la fonction dérivée

Dérivabilité de la réciproque sur un intervalle

Généraliser la racine carrée

La fonction racine nnn-ième

Continuité et dérivation de la racine nnn-ième

Chapitres liés

Continuer sur Lumio

Continuité et sens de variation de $f^{-1}$

Échanger les rôles de $x$ et $y$

La fonction racine $n$ -ième

Continuité et dérivation de la racine $n$ -ième