Point de départ · 1

Quelle fonction a pour dérivée $f(x) = 2x$ sur $\mathbb{R}$ ?

En dérivant $x^2 + c$ , la constante $c$ s'annule car $(c)' = 0$ . Il n'y a donc pas une seule fonction dont la dérivée vaut $2x$ , mais une infinité de fonctions qui diffèrent d'une constante.

Définition · 2

Définition et ensemble des primitives

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

$Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et : $$\forall x \in I, \; F'(x) = f(x)$$$

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ , l'ensemble de toutes les primitives de $f$ sur $I$ est l'ensemble des fonctions :

$x \mapsto F(x) + c \quad (c \in \mathbb{R})$

Exemple travaillé · 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ . Montrer que la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 7$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

1

$F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme fonction polynôme.

2

Pour tout réel $x$ , on calcule la dérivée $F'(x)$ :

3

F'(x) = 3x^2 - 2 \times 2x + 5 - 0 = 3x^2 - 4x + 5

4

Pour tout réel $x$ , $F'(x) = f(x)$ . Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Définition · 4

Unicité sous condition initiale

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ , $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$ .

$Il existe une unique primitive $F_0$ de $f$ sur $I$ telle que : $$F_0(x_0) = y_0$$$

Remarque

La condition $F(x_0) = y_0$ détermine de manière unique la constante $c$ parmi l'infinité des primitives $F(x) + c$ .

Exemple travaillé · 5

Déterminer l'unique primitive $G$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f(x) = 6x^2 - 2x + 1$ telle que $G(1) = 4$ .

1

Les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont de la forme :

2

G(x) = 2x^3 - x^2 + x + c \quad (c \in \mathbb{R})

3

On applique la condition initiale $G(1) = 4$ pour déterminer $c$ :

4

2(1)^3 - (1)^2 + 1 + c = 4 \iff 2 + c = 4 \iff c = 2

5

L'unique primitive cherchée est :

6

G(x) = 2x^3 - x^2 + x + 2

Piège classique · 6

Soit $f$ une fonction définie sur $D = \mathbb{R}^* = ]-\infty ; 0[ \;\cup\; ]0 ; +\infty[$ . Deux primitives quelconques de $f$ sur $D$ diffèrent-elles nécessairement d'une seule et même constante réelle sur tout $D$ ?

Attention

Affirmer que deux primitives diffèrent d'une constante unique globale dès qu'elles ont la même dérivée, même si le domaine n'est pas connexe.

À la place : Le théorème exige que le domaine soit un intervalle. Sur $D = \mathbb{R}^*$ , une primitive peut valoir $F(x) + c_1$ sur $]-\infty ; 0[$ et $F(x) + c_2$ sur $]0 ; +\infty[$ avec $c_1 \neq c_2$ sans contredire $F'(x) = f(x)$ .

Vérification · 7

Soit $f(x) = 4x - 3$ définie sur $\mathbb{R}$ . Quelle est l'unique primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(2) = 5$ ?

Remarque

Les primitives de $f$ sont $F(x) = 2x^2 - 3x + c$ . La condition donne $F(2) = 2(2)^2 - 3(2) + c = 5 \iff 2 + c = 5$ , d'où $c = 3$ .

Point de départ · 8

Pour trouver une primitive de $f(x) = 2x(x^2+1)^3$ , doit-on obligatoirement développer l'expression $(x^2+1)^3$ ?

Non, car le facteur $2x$ placé devant est exactement la dérivée de $u(x) = x^2+1$ . L'expression est de la forme $u'(x) \times (u(x))^3$ , ce qui permet de primitiver directement sans développer.

Définition · 9

Primitives des formes composées usuelles

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ .

$\text{Une primitive de } u' u^n \text{ est } \frac{1}{n+1} u^{n+1} \quad (n \in \mathbb{N}^*)$

$\text{Une primitive de } \frac{u'}{\sqrt{u}} \text{ est } 2\sqrt{u} \quad (u > 0)$

$\text{Une primitive de } \frac{u'}{u^n} \text{ est } -\frac{1}{(n-1)u^{n-1}} \quad (n \ge 2, \; u \neq 0)$

Exemple travaillé · 10

Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$ .

1

On pose $u(x) = x^2+3$ . La fonction $u$ est dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$ .

2

On calcule la dérivée de $u$ :

3

u'(x) = 2x

4

Le numérateur contient $x$ . On fait apparaître la dérivée $2x$ en ajustant par la constante $\frac{1}{2}$ :

5

f(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2x}{\sqrt{x^2+3}} = \frac{1}{2} \times \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}

6

Une primitive de $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ est $2\sqrt{u}$ . On en déduit une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ :

7

F(x) = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{x^2+3} = \sqrt{x^2+3}

Exemple travaillé · 11

Déterminer une primitive sur $]1 ; +\infty[$ de la fonction $f(x) = \frac{3}{(2x-1)^4}$ .

1

On pose $u(x) = 2x-1$ . La fonction $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $]1 ; +\infty[$ .

2

On calcule la dérivée de $u$ :

3

u'(x) = 2

4

On exprime $f(x)$ sous la forme $k \times \frac{u'(x)}{(u(x))^4}$ en introduisant le facteur 2 compensé par $\frac{1}{2}$ :

5

f(x) = \frac{3}{2} \times \frac{2}{(2x-1)^4} = \frac{3}{2} \times \frac{u'(x)}{(u(x))^4}

6

Avec $n = 4$ , une primitive de $\frac{u'}{u^4}$ est $-\frac{1}{3u^3}$ . On en déduit une primitive $F$ de $f$ sur $]1 ; +\infty[$ :

7

F(x) = \frac{3}{2} \times \left(-\frac{1}{3(2x-1)^3}\right) = -\frac{1}{2(2x-1)^3}

Piège classique · 12

Pour primitiver $f(x) = \frac{x}{(x-1)^2}$ sur $]1 ; +\infty[$ , peut-on poser $u(x) = x-1$ et appliquer directement la formule de $\frac{u'}{u^2}$ ?

Attention

Traiter la variable $x$ au numérateur comme une constante multiplicative et écrire $f(x) = x \times \frac{1}{(x-1)^2}$ pour obtenir une primitive fausse en $-\frac{x}{x-1}$ .

À la place : On ne peut ajuster qu'une constante multiplicative non nulle, jamais une variable $x$ . Comme $u'(x) = 1$ , le numérateur contient un facteur variable $x$ qui interdit l'application directe. Il faut d'abord réécrire : $\frac{x}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)+1}{(x-1)^2} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^2}$ .

Vérification · 13

Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f(x) = x^2(x^3+1)^4$ ?

Remarque

En posant $u(x) = x^3+1$ , on a $u'(x) = 3x^2$ . On réécrit $f(x) = \frac{1}{3} \times 3x^2(x^3+1)^4 = \frac{1}{3} u'(x)(u(x))^4$ . Une primitive est donc $F(x) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}(u(x))^5 = \frac{1}{15}(x^3+1)^5$ .

Point de départ · 14

Quelle est une primitive de la fonction $f(x) = \cos(3x)$ sur $\mathbb{R}$ ?

En dérivant $\sin(3x)$ , on obtient $3\cos(3x)$ par dérivation d'une fonction composée. Pour retrouver exactement $\cos(3x)$ , il faut compenser ce facteur 3 en divisant par 3.

Définition · 15

Primitives des fonctions trigonométriques

Soit $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$ . Sur $\mathbb{R}$ :

$\text{Une primitive de } x \mapsto \cos(ax+b) \text{ est } x \mapsto \frac{1}{a}\sin(ax+b)$

$\text{Une primitive de } x \mapsto \sin(ax+b) \text{ est } x \mapsto -\frac{1}{a}\cos(ax+b)$

Plus généralement, si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :

$\text{Une primitive de } u'\cos(u) \text{ est } \sin(u)$

$\text{Une primitive de } u'\sin(u) \text{ est } -\cos(u)$

Exemple travaillé · 16

Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f(x) = \sin(x)\cos^3(x)$ .

1

L'expression contient une puissance de $\cos(x)$ accompagnée du facteur linéaire $\sin(x)$ . On pose $u(x) = \cos(x)$ .

2

On calcule la dérivée de $u$ :

3

u'(x) = -\sin(x)

4

Le facteur $\sin(x)$ est l'opposé de $u'(x)$ . On réécrit $f(x)$ pour faire apparaître la forme $-u'(x)(u(x))^3$ :

5

f(x) = -(-\sin(x))\cos^3(x) = -u'(x)(u(x))^3

6

Une primitive de $u'u^3$ est $\frac{1}{4}u^4$ . On en déduit une primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ :

7

F(x) = -\frac{1}{4}\cos^4(x)

Exemple travaillé · 17

Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g(x) = \cos^2(x)$ .

1

L'expression comporte une puissance paire de $\cos(x)$ sans aucun facteur $\sin(x)$ pour servir de dérivée interne. Le modèle composé $u'u^n$ est donc inutilisable.

2

On utilise la formule trigonométrique de duplication $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$ pour linéariser $\cos^2(x)$ :

3

\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)

4

Chaque terme s'intègre alors directement : une primitive de $\frac{1}{2}$ est $\frac{1}{2}x$ , et une primitive de $\cos(2x)$ est $\frac{1}{2}\sin(2x)$ .

5

On obtient une primitive $G$ de $g$ sur $\mathbb{R}$ :

6

G(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x)

Piège classique · 18

L'affirmation suivante est-elle correcte : « Une primitive de $f(x) = \sin^2(x)$ sur $\mathbb{R}$ est $F(x) = \frac{1}{3}\sin^3(x)$ » ?

Attention

Appliquer la règle des puissances $x^n \mapsto \frac{x^{n+1}}{n+1}$ directement à une fonction trigonométrique sans vérifier la présence de sa dérivée interne.

À la place : La dérivée de $\frac{1}{3}\sin^3(x)$ est $\frac{1}{3} \times 3\sin^2(x) \times \cos(x) = \sin^2(x)\cos(x) \neq \sin^2(x)$ . En l'absence du facteur multiplicatif $\cos(x)$ , la forme $u'u^2$ est inapplicable : il faut obligatoirement linéariser via $\sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}$ .

Vérification · 19

Quelle est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f(x) = \cos(x)\sin^4(x)$ ?

Remarque

En posant $u(x) = \sin(x)$ , la dérivée est $u'(x) = \cos(x)$ . L'expression est directement de la forme $u'(x)(u(x))^4$ , dont une primitive est $\frac{1}{5}(u(x))^5 = \frac{1}{5}\sin^5(x)$ .

Point de départ · 20

Pour une fonction définie par morceaux comme $f(x) = |x|$ , peut-on choisir n'importe quelles constantes $c_1$ et $c_2$ indépendantes sur $]-\infty ; 0[$ et $[0 ; +\infty[$ pour construire une primitive sur $\mathbb{R}$ ?

Une primitive sur un intervalle doit être dérivable sur cet intervalle, ce qui exige qu'elle soit continue. Les expressions sur chaque branche doivent donc obligatoirement se raccorder en $0$ , ce qui lie la constante $c_1$ à la constante $c_2$ .

Définition · 21

Primitives et fonctions définies par morceaux

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ .

$\text{Toute primitive } F \text{ de } f \text{ sur } I \text{ est dérivable sur } I, \text{ donc nécessairement continue sur } I.$

Si $f$ est définie par des expressions distinctes selon les intervalles, on détermine les primitives sur chaque intervalle, puis on ajuste les constantes d'intégration pour assurer la continuité de $F$ en chaque point de raccordement.

Exemple travaillé · 22

Déterminer l'unique primitive $F$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f(x) = |x-1|$ telle que $F(1) = 0$ .

1

On explicite $f(x)$ sans valeur absolue selon le signe de $x-1$ :

2

f(x) = \begin{cases} x - 1 & \text{si } x \ge 1 \\ -x + 1 & \text{si } x < 1 \end{cases}

3

Pour $x \ge 1$ , les primitives de $x-1$ sont de la forme :

4

F_1(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + c_1

5

La condition initiale $F(1) = 0$ détermine la constante $c_1$ :

6

F_1(1) = \frac{1}{2}(1)^2 - 1 + c_1 = 0 \iff -\frac{1}{2} + c_1 = 0 \iff c_1 = \frac{1}{2}

7

Pour $x < 1$ , les primitives de $-x+1$ sont de la forme :

8

F_2(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + c_2

9

La fonction $F$ est dérivable donc continue en $1$ , ce qui impose $\lim_{x \to 1^-} F_2(x) = F(1) = 0$ :

10

-\frac{1}{2}(1)^2 + 1 + c_2 = 0 \iff \frac{1}{2} + c_2 = 0 \iff c_2 = -\frac{1}{2}

11

On obtient l'unique primitive cherchée sur $\mathbb{R}$ :

12

F(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} & \text{si } x \ge 1 \\ -\frac{1}{2}x^2 + x - \frac{1}{2} & \text{si } x < 1 \end{cases}

Exemple travaillé · 23

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \le 1 \\ 3x^2 & \text{si } x > 1 \end{cases}$ . Déterminer la primitive $F$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(0) = 0$ .

1

Pour $x \le 1$ , $f(x) = 2x + 1$ . Les primitives sont de la forme $F_1(x) = x^2 + x + c_1$ .

2

La condition $F(0) = 0$ donne $0^2 + 0 + c_1 = 0$ , donc $c_1 = 0$ . Ainsi, pour tout $x \le 1$ :

3

F(x) = x^2 + x

4

Pour $x > 1$ , $f(x) = 3x^2$ . Les primitives sont de la forme :

5

F_2(x) = x^3 + c_2

6

$F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc continue en $1$ , ce qui impose $\lim_{x \to 1^+} F_2(x) = F(1)$ :

7

1^3 + c_2 = 1^2 + 1 \iff 1 + c_2 = 2 \iff c_2 = 1

8

L'unique primitive sur $\mathbb{R}$ vérifiant $F(0) = 0$ est :

9

F(x) = \begin{cases} x^2 + x & \text{si } x \le 1 \\ x^3 + 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}

Piège classique · 24

Soit $f(x) = |x|$ sur $\mathbb{R}$ . Un élève propose pour primitive : $F(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 + 1 & \text{si } x \ge 0 \\ -\frac{1}{2}x^2 + 3 & \text{si } x < 0 \end{cases}$ . Pourquoi cette fonction $F$ n'est-elle PAS une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?

Attention

Attribuer des constantes d'intégration arbitraires sur chaque sous-intervalle sans imposer la continuité au point de raccordement.

À la place : Une primitive sur un intervalle doit être dérivable sur cet intervalle, ce qui impose qu'elle soit continue. Ici, $\lim_{x \to 0^-} F(x) = 3 \neq F(0) = 1$ : la fonction présente un saut en $0$ , elle n'est donc pas continue et ne peut pas être dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Vérification · 25

Soit $f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x \ge 1 \\ 2 & \text{si } x < 1 \end{cases}$ . Sachant que $F(x) = x^2$ pour $x \ge 1$ , quelle expression de $F(x)$ pour $x < 1$ assure que $F$ soit une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ ?

Remarque

Pour $x < 1$ , les primitives de $2$ sont de la forme $2x + c$ . Par continuité en $1$ , on doit avoir $\lim_{x \to 1^-} (2x + c) = F(1) \iff 2(1) + c = 1^2 \iff 2 + c = 1$ , soit $c = -1$ . L'expression correcte est donc $2x - 1$ .

Point de départ · 26

Si la courbe d'une fonction $f$ monte (fonction croissante), une primitive $F$ de $f$ est-elle obligatoirement croissante ?

Non. Par définition, $F'(x) = f(x)$ . Le sens de variation de $F$ dépend exclusivement du signe de sa dérivée $f(x)$ , et non du fait que $f$ monte ou descende.

Définition · 27

Variations et extrema d'une primitive à partir de $f$

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $F$ une primitive de $f$ sur $I$ . Pour tout $x \in I$ , on a $F'(x) = f(x)$ .

$f(x) \ge 0 \text{ sur } I \iff F \text{ est croissante sur } I$

$f(x) \le 0 \text{ sur } I \iff F \text{ est décroissante sur } I$

Si $f$ s'annule en $x_0$ en changeant de signe, alors $F$ admet un extremum local en $x_0$ :

$f \text{ passe de } + \text{ à } - \implies F(x_0) \text{ est un maximum local}$

$f \text{ passe de } - \text{ à } + \implies F(x_0) \text{ est un minimum local}$

Exemple travaillé · 28

On donne ci-dessus la courbe d'une fonction continue $f$ sur $[-3 ; 3]$ . Déterminer le sens de variation d'une primitive $F$ de $f$ et la nature de ses extrema locaux.

1

On détermine le signe de $f(x)$ selon la position de sa courbe par rapport à l'axe des abscisses.

2

Pour tout $x \in [-3 ; -2] \cup [2 ; 3]$ , la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, donc $f(x) \ge 0$ . La primitive $F$ est donc croissante sur $[-3 ; -2]$ et sur $[2 ; 3]$ .

3

Pour tout $x \in [-2 ; 2]$ , la courbe est au-dessous de l'axe des abscisses, donc $f(x) \le 0$ . La primitive $F$ est donc décroissante sur $[-2 ; 2]$ .

4

En $x = -2$ , $f$ s'annule en passant de positif à négatif : $F$ admet un maximum local en $-2$ .

5

En $x = 2$ , $f$ s'annule en passant de négatif à positif : $F$ admet un minimum local en $2$ .

Piège classique · 29

Sur l'intervalle $[0 ; 2]$ , la courbe de $f$ descend : $f$ est strictement décroissante. Quel est le sens de variation d'une primitive $F$ de $f$ sur $[0 ; 2]$ ?

Attention

Conclure que $F$ est décroissante sur $[0 ; 2]$ parce que la courbe de $f$ descend.

À la place : Une primitive $F$ a pour dérivée $F' = f$ . Sur $[0 ; 2]$ , la courbe de $f$ est située au-dessus de l'axe des abscisses, donc $f(x) \ge 0$ . Par conséquent, $F'(x) \ge 0$ et $F$ est strictement croissante sur $[0 ; 2]$ .

Exemple travaillé · 30

Deux courbes $C_1$ et $C_2$ sont tracées sur un même repère. L'une représente une fonction continue $f$ , l'autre une primitive $F$ de $f$ . Comment identifier avec certitude laquelle est $F$ ?

1

On repère les points où l'une des courbes admet une tangente horizontale (extremum local).

2

Puisque $F' = f$ , tout extremum local de $F$ en une abscisse $x_0$ impose $f(x_0) = 0$ .

3

On vérifie si l'autre courbe coupe l'axe des abscisses exactement à cette même abscisse $x_0$ .

4

On confirme par les intervalles de monotonie : sur les zones où la courbe candidate à être $f$ est au-dessus de l'axe ( $f \ge 0$ ), la courbe candidate à être $F$ doit être croissante.

5

La courbe dont les variations correspondent au signe de l'autre est la primitive $F$ .

Vérification · 31

Soit $f$ une fonction continue et strictement négative sur un intervalle $[1 ; 5]$ . Que peut-on affirmer sur toute primitive $F$ de $f$ sur cet intervalle ?

Remarque

Puisque $F'(x) = f(x) < 0$ sur $[1 ; 5]$ , la dérivée de $F$ est strictement négative, donc $F$ est strictement décroissante sur cet intervalle. Le signe des valeurs prises par $F(x)$ dépend en revanche de la constante d'intégration.

Point de départ · 32

Pour étudier les variations de $g(x) = F(x^3)$ sur $\mathbb{R}$ , où $F$ est une primitive de $f(t) = \frac{1}{1+t^2}$ , doit-on d'abord chercher une formule explicite pour $F(x)$ ?

Non. En utilisant la formule de dérivation d'une fonction composée, on a $g'(x) = 3x^2 \times F'(x^3) = 3x^2 \times f(x^3)$ . Il suffit donc de connaître $f$ pour déterminer la dérivée et le sens de variation de $g$ , sans jamais expliciter $F$ .

Définition · 33

Dérivée d'une composée et parité d'une primitive

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $J$ , $F$ une primitive de $f$ sur $J$ , et $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ telle que $u(I) \subset J$ .

$\text{La fonction } g = F \circ u \text{ est dérivable sur } I \text{ et : } \forall x \in I, \; g'(x) = u'(x) \times f(u(x))$

Propriétés de parité sur un intervalle $I$ centré en $0$ :

$f \text{ est impaire} \implies \text{toutes les primitives de } f \text{ sont paires}$

$f \text{ est paire} \implies \text{seule la primitive vérifiant } F(0) = 0 \text{ est impaire}$

Exemple travaillé · 34

Soit $F$ la primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ s'annulant en $0$ . Montrer que $F$ est une fonction impaire.

1

La fonction $f$ est continue et paire sur $\mathbb{R}$ car pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f(-x) = \frac{1}{1+(-x)^2} = \frac{1}{1+x^2} = f(x)$ .

2

On pose $g(x) = F(x) + F(-x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ . $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , donc $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

3

On dérive la fonction composée $x \mapsto F(-x)$ avec la formule $(F \circ u)' = u' \times (F' \circ u)$ où $u(x) = -x$ :

4

g'(x) = F'(x) + (-1) \times F'(-x) = f(x) - f(-x)

5

Comme $f$ est paire, $f(-x) = f(x)$ , d'où :

6

g'(x) = f(x) - f(x) = 0

7

La dérivée de $g$ est identiquement nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$ , donc $g$ est constante : pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $g(x) = g(0)$ .

8

On évalue en $0$ à l'aide de la condition initiale $F(0) = 0$ :

9

g(0) = F(0) + F(0) = 0 \implies \forall x \in \mathbb{R}, \; F(x) + F(-x) = 0 \iff F(-x) = -F(x)

10

La fonction $F$ est donc impaire sur $\mathbb{R}$ .

Exemple travaillé · 35

Soit $F$ la primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f(t) = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ s'annulant en $0$ . On pose pour tout $x \in \left]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right[$ , $h(x) = F(\tan x)$ . Exprimer $h'(x)$ sous forme simplifiée.

1

La fonction $u(x) = \tan x$ est dérivable sur $\left]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right[$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ . $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , donc $h = F \circ u$ est dérivable sur cet intervalle.

2

On applique la règle de dérivation d'une fonction composée :

3

h'(x) = u'(x) \times F'(u(x)) = (1+\tan^2 x) \times f(\tan x)

4

On remplace $f(\tan x)$ par son expression :

5

h'(x) = (1+\tan^2 x) \times \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 x}} = \sqrt{1+\tan^2 x}

6

On utilise l'identité trigonométrique $1+\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ :

7

h'(x) = \sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}} = \frac{1}{|\cos x|}

8

Pour tout $x \in \left]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right[$ , on a $\cos x > 0$ , donc $|\cos x| = \cos x$ . On conclut :

9

h'(x) = \frac{1}{\cos x}

Piège classique · 36

Soit $f$ une fonction paire continue sur $\mathbb{R}$ et $G$ une primitive quelconque de $f$ . Peut-on affirmer que $G$ est nécessairement impaire ?

Attention

Croire que toute primitive d'une fonction paire est automatiquement impaire par symétrie avec le cas des fonctions impaires.

À la place : Si $f$ est paire, ses primitives s'écrivent $G(x) = F(x) + c$ , où $F$ est l'unique primitive impaire vérifiant $F(0) = 0$ . Dès que $c \neq 0$ , on a $G(-x) = -F(x) + c \neq -G(x)$ : la fonction $G$ n'est ni paire ni impaire.

Vérification · 37

Soit $F$ la primitive sur $\mathbb{R}$ de $f(t) = \frac{1}{1+t^4}$ s'annulant en $0$ . On pose $k(x) = F(x^2)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ . Quelle est l'expression de la dérivée $k'(x)$ ?

Remarque

En appliquant la dérivée d'une composée avec $u(x) = x^2$ , on a $k'(x) = u'(x) \times F'(u(x)) = 2x \times f(x^2) = 2x \times \frac{1}{1+(x^2)^4} = \frac{2x}{1+x^8}$ .

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Variations et extrema d'une primitive à partir de $f$

Dérivée d'une composée et parité d'une primitive

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